Când configurați rețele de diferite dimensiuni și vă ocupați de calcule în fiecare zi, nu trebuie să creați acest tip de foaie de cheat, totul se face pe un reflex necondiționat. Dar când te uiți foarte rar în rețele, nu îți amintești întotdeauna care este masca în formă zecimală pentru prefixul 21 sau care este adresa de rețea pentru același prefix. În acest sens, am decis să scriu mai multe articole mici-cheat sheets despre conversia numerelor în diverse sisteme de numere, adrese de rețea, măști etc. În această parte vom vorbi despre conversia numerelor în diferite sisteme numerice.

1. Sisteme numerice

Când faci ceva legat de rețelele de calculatoare și IT, oricum vei întâlni acest concept. Și ca tip IT inteligent, trebuie să înțelegi asta măcar puțin, chiar dacă în practică îl vei folosi foarte rar.
Să ne uităm la traducerea fiecărei cifre dintr-o adresă IP 98.251.16.138 în următoarele sisteme numerice:

• Binar
• Octal
• Zecimal
• hexazecimal

1.1 Decimală

Deoarece numerele sunt scrise în zecimală, vom sări peste conversia de la zecimal la zecimal :)

1.1.1 Decimal → Binar

După cum știm, sistemul de numere binare este folosit în aproape toate computerele moderne și multe alte dispozitive de calcul. Sistemul este foarte simplu - avem doar 0 și 1.
Pentru a converti un număr cu zecime în formă binară, trebuie să utilizați diviziunea modulo 2 (adică împărțirea întregului cu 2), ca urmare a căreia vom avea întotdeauna un rest fie 1, fie 0. În acest caz, rezultatul este scris de la dreapta la stânga. Un exemplu va pune totul la locul lui:

Figura 1.1 – Conversia numerelor din sistem zecimal în sistem binar

Figura 1.2 – Conversia numerelor din sistem zecimal în sistem binar

Voi descrie împărțirea numărului 98. Împărțim 98 la 2, ca rezultat avem 49 și restul este 0. Apoi continuăm împărțirea și împărțim 49 la 2, ca rezultat avem 24 cu restul de 1. Și în același mod ajungem la 1 sau 0 în divizibil. Apoi scriem rezultatul de la dreapta la stânga.

1.1.2 Decimală → Octal

Sistemul octal este un sistem de numere întregi cu baza 8. I.e. toate numerele din acesta sunt reprezentate în intervalul 0 – 7 și pentru a converti din sistemul zecimal trebuie să utilizați diviziunea modulo 8.

Figura 1.3 – Conversia numerelor din sistem zecimal în sistem octal

Împărțirea este similară cu sistemul în 2 puncte.

1.1.3 Decimală → Hexazecimală

Sistemul hexazecimal a înlocuit aproape complet sistemul octal. Are o bază de 16, dar folosește cifre zecimale de la 0 la 9 + litere latine de la A (numărul 10) la F (numărul 15). Îl întâlniți de fiecare dată când verificați setările adaptorului de rețea - aceasta este adresa MAC. Același lucru când este utilizat IPv6.

Figura 1.4 – Conversia numerelor din zecimal în hexazecimal

1.2 Binar

În exemplul anterior, am convertit toate numerele zecimale în alte sisteme numerice, dintre care unul este binar. Acum să convertim fiecare număr din forma binară.

1.2.1 Binar → Decimal

Pentru a converti numerele din binar în zecimal, trebuie să cunoașteți două nuanțe. Primul este că fiecare zero și unu au un factor de 2 la a n-a putere, în care n crește de la dreapta la stânga cu exact unu. Al doilea este că după înmulțire, toate numerele trebuie adăugate și obținem numărul în formă zecimală. Ca rezultat, vom avea o formulă ca aceasta:

D = (a n × p n-1) + (a n-1 × p n-2) + (a n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)

Unde,
D este numărul zecimal pe care îl căutăm;
n– numărul de caractere dintr-un număr binar;
a – un număr în formă binară la a n-a poziție (adică primul caracter, al doilea etc.);
p – coeficient egal cu 2,8 sau 16 la putere n(în funcție de sistemul de numere)

De exemplu, să luăm numărul 110102. Ne uităm la formula și scriem:

• Numărul este format din 5 caractere ( n=5)

a 5 = 1, a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0

• p = 2 (deoarece convertim din binar în zecimal)

Ca rezultat avem:

D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10

Pentru cei care sunt obișnuiți să scrie de la dreapta la stânga, formularul va arăta astfel:

D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10

Dar, după cum știm, rearanjarea termenilor nu schimbă suma. Acum să convertim numerele noastre în formă zecimală.

Figura 1.5 – Conversia numerelor din sistem binar în sistem zecimal

1.2.2 Binar → Octal

Când traducem, trebuie să împărțim numărul binar în grupuri de trei caractere de la dreapta la stânga. Dacă ultimul grup nu este format din trei caractere, atunci pur și simplu înlocuim biții lipsă cu zerouri. De exemplu:

10101001 = 0 10 101 001

1011100 = 00 1 011 100

Fiecare grup de biți este unul dintre numerele octale. Pentru a afla care dintre ele, trebuie să utilizați formula 1.2.1 scrisă mai sus pentru fiecare grup de biți. Ca rezultat obținem.

Figura 1.6 – Conversia numerelor din sistem binar în sistem octal

1.2.3 Binar → Hexazecimal

Aici trebuie să împărțim numărul binar în grupuri de patru caractere de la dreapta la stânga, urmat de adăugarea de zerouri la biții lipsă ai grupului, așa cum este descris mai sus. Dacă ultimul grup este format din zerouri, atunci acestea ar trebui ignorate.

110101011 = 000 1 1010 1011

1011100 = 0 101 1100

001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000

Fiecare grup de biți este unul dintre numerele hexazecimale. Folosim formula 1.2.1 pentru fiecare grup de biți.

Figura 1.7 – Conversia numerelor din binar în hexazecimal

1,3 octal

În acest sistem, este posibil să avem dificultăți numai la conversia în hexazecimal, deoarece restul traducerii merge fără probleme.

1.3.1 Octal → Binar

Fiecare număr din sistemul octal este un grup de trei biți din sistemul binar, așa cum este descris mai sus. Pentru a traduce, trebuie să folosim o foaie de cheat:

Figura 1.8 – Spur pentru conversia numerelor din sistemul octal

Folosind această tabletă, ne vom converti numerele în sistemul binar.

Figura 1.9 – Conversia numerelor din octal în binar

Voi descrie puțin concluzia. Primul nostru număr este 142, ceea ce înseamnă că vor fi trei grupuri de câte trei biți fiecare. Folosim pintenul și vedem că numărul 1 este 001, numărul 4 este 100 și numărul 2 este 010. Ca rezultat, avem numărul 001100010.

1.3.2 Octal → Decimal

Aici folosim formula 1.2.1 numai cu un coeficient de 8 (adică p=8). Ca rezultat avem

Figura 1.10 – Conversia numerelor din sistem octal în sistem zecimal

• Numărul este format din 3 caractere ( n=3)

a 3 = 1, a 2 = 4, a 1 = 2

• p = 8 (deoarece convertim de la octal la zecimal)

Ca rezultat avem:

D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10

1.3.3 Octal → Hexazecimal

După cum a fost scris mai devreme, pentru a traduce, mai întâi trebuie să convertim numerele în sistem binar, apoi din binar în hexazecimal, împărțindu-le în grupuri de 4 biți. Puteți folosi următorul pinten.

Figura 1.11 – Spur pentru conversia numerelor din sistemul hexazecimal

Acest tabel vă va ajuta să convertiți din binar în hexazecimal. Acum să ne convertim numerele.

Figura 1.12 – Conversia numerelor din octal în hexazecimal

1.4 Hexazecimal

Acest sistem are aceeași problemă la conversia în octal. Dar mai multe despre asta mai târziu.

1.4.1 Hex → Binar

Fiecare număr în hexazecimal este un grup de patru biți în binar, așa cum este descris mai sus. Pentru a traduce, putem folosi foaia de cheat de mai sus. Ca urmare:

Figura 1.13 – Conversia numerelor din hexazecimal în binar

Să luăm primul număr - 62. Folosind tabelul (Fig. 1.11) vedem că 6 este 0110, 2 este 0010, ca urmare avem numărul 01100010.

1.4.2 Hex → Decimal

Aici folosim formula 1.2.1 numai cu un coeficient de 16 (adică p=16). Ca rezultat avem

Figura 1.14 – Conversia numerelor din hexazecimal în zecimal

Să luăm primul număr. Pe baza formulei 1.2.1:

• Numărul este format din 2 caractere ( n=2)

a 2 = 6, a 1 = 2

• p = 16 (deoarece convertim de la hexazecimal la zecimal)

Ca rezultat avem.

D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10

1.4.3 Hex → Octal

Pentru a converti în sistemul octal, trebuie mai întâi să convertiți în binar, apoi să îl împărțiți în grupuri de 3 biți și să utilizați tabelul (Fig. 1.8). Ca urmare:

Figura 1.15 – Conversia numerelor din hexazecimal în octal

Vom vorbi despre adrese IP, măști și rețele.

Instrucțiuni

Video pe tema

În sistemul de numărare pe care îl folosim în fiecare zi, există zece cifre - de la zero la nouă. De aceea se numește zecimală. Totuși, în calculele tehnice, în special cele legate de calculatoare, altele sisteme, în special binar și hexazecimal. Prin urmare, trebuie să fiți capabil să traduceți numere de la unul sisteme numărând la altul.

Vei avea nevoie

• - o bucată de hârtie;
• - creion sau stilou;
• - calculator.

Instrucțiuni

Sistemul binar este cel mai simplu. Are doar două cifre - zero și unu. Fiecare cifră a binarului numere, începând de la capăt, corespunde unei puteri de doi. Doi în egal cu unu, în primul - doi, în al doilea - patru, în al treilea - opt și așa mai departe.

Să presupunem că vi se dă numărul binar 1010110. Unitățile din acesta se află pe locurile al doilea, al treilea, al cincilea și al șaptelea. Prin urmare, în sistemul zecimal acest număr este 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.

Problemă inversă - zecimală numere sistem. Să presupunem că aveți numărul 57. Pentru a-l obține, trebuie să împărțiți succesiv numărul la 2 și să scrieți restul. Numărul binar va fi construit de la sfârșit la început.
Primul pas vă va oferi ultima cifră: 57/2 = 28 (restul 1).
Apoi îl obțineți pe al doilea de la final: 28/2 = 14 (restul 0).
Alți pași: 14/2 = 7 (restul 0);
7/2 = 3 (restul 1);
3/2 = 1 (restul 1);
1/2 = 0 (restul 1).
Acesta este ultimul pas deoarece rezultatul împărțirii este zero. Drept urmare, ați primit numărul binar 111001.
Verificați răspunsul: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

Al doilea, folosit în probleme informatice, este hexazecimal. Nu are zece, ci șaisprezece cifre. Pentru a evita noile convenții, primele zece cifre de hexazecimal sisteme sunt desemnate prin numere obișnuite, iar restul de șase - prin litere latine: A, B, C, D, E, F. Ele corespund notării zecimale numere m de la 10 la 15. Pentru a evita confuziile, numărul scris în hexazecimal este precedat de semnul # sau de simbolurile 0x.

Conversie inversă din zecimală sisteme la hexazecimal se face folosind aceeași metodă a resturilor ca și la binar. De exemplu, luați numărul 10000. Împărțind-l în mod constant la 16 și notând resturile, obțineți:
10000/16 = 625 (restul 0).
625/16 = 39 (restul 1).
39/16 = 2 (restul 7).
2/16 = 0 (restul 2).
Rezultatul calculului va fi numărul hexazecimal #2710.
Verificați răspunsul: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.

Transfer numere din hexazecimal sisteme Este mult mai ușor să convertiți în binar. Numărul 16 este doi: 16 = 2^4. Prin urmare, fiecare cifră hexazecimală poate fi scrisă ca un număr binar de patru cifre. Dacă aveți mai puțin de patru cifre într-un număr binar, adăugați zerouri de început.
De exemplu, #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Verificați răspunsul: ambele numereîn notație zecimală sunt egale cu 8062.

Pentru a traduce, trebuie să împărțiți numărul binar în grupuri de patru cifre, începând de la sfârșit, și să înlocuiți fiecare astfel de grup cu o cifră hexazecimală.
De exemplu, 11000110101001 devine (0011)(0001)(1010)(1001), care în notație hexazecimală este egal cu #31A9. Corectitudinea răspunsului este confirmată prin conversia în notație zecimală: ambele numere sunt egale cu 12713.

Sfat 5: Cum se transformă un număr în binar

Datorită utilizării limitate a simbolurilor, sistemul binar este cel mai convenabil pentru utilizare în computere și alte dispozitive digitale. Există doar două simboluri: 1 și 0, deci acesta sistem utilizate în operarea registrelor.

Instrucțiuni

Binarul este pozițional, adică Poziția fiecărei cifre într-un număr corespunde unei anumite cifre, care este egală cu două la puterea corespunzătoare. Gradul începe de la zero și crește pe măsură ce vă deplasați de la dreapta la stânga. De exemplu, număr 101 este egal cu 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.

Considerați un număr zecimal în binar sistem prin împărțire secvențială cu 2. Pentru a converti o zecimală număr 25 în cod, trebuie să-l împărțiți cu 2 până rămâne 0 Resturile obținute la fiecare pas de împărțire sunt scrise într-o linie de la dreapta la stânga, după ce se scrie cifra ultimului rest, aceasta va fi finală.

Cei care susțin examenul de stat unificat și multe altele...

Este ciudat că în lecțiile de informatică din școli, de obicei, le arată elevilor cel mai complex și incomod mod de a converti numerele dintr-un sistem în altul. Această metodă constă în împărțirea succesivă a numărului inițial la bază și colectarea resturilor din împărțire în ordine inversă.

De exemplu, trebuie să convertiți numărul 810 10 în binar:

Scriem rezultatul în ordine inversă de jos în sus. Se dovedește că 81010 = 11001010102

Dacă trebuie să convertiți numere destul de mari în sistem binar, atunci scara de diviziune capătă dimensiunea unei clădiri cu mai multe etaje. Și cum poți aduna toate cele și zerourile și să nu ratezi niciunul?

Programul Unified State Exam în informatică include mai multe sarcini legate de conversia numerelor dintr-un sistem în altul. De obicei, aceasta este o conversie între sistemele octal și hexazecimal și binar. Acestea sunt secțiunile A1, B11. Dar există și probleme cu alte sisteme numerice, cum ar fi în secțiunea B7.

Pentru început, să ne amintim două tabele pe care ar fi bine să le cunoaștem pe de rost pentru cei care aleg informatica ca profesie viitoare.

Tabelul puterilor numărului 2:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Se obține cu ușurință prin înmulțirea numărului anterior cu 2. Deci, dacă nu vă amintiți toate aceste numere, restul nu sunt greu de obținut în minte din cele pe care le amintiți.

Tabel de numere binare de la 0 la 15 cu reprezentare hexazecimală:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Valorile lipsă sunt, de asemenea, ușor de calculat adăugând 1 la valorile cunoscute.

Conversie intreg

Deci, să începem prin a converti direct în sistemul binar. Să luăm același număr 810 10. Trebuie să descompunăm acest număr în termeni egali cu puterile a doi.

1. Căutăm puterea celor două cele mai apropiate de 810 și să nu o depășească. Acesta este 2 9 = 512.
2. Scădeți 512 din 810, obținem 298.
3. Repetați pașii 1 și 2 până când nu mai rămân 1 sau 0.
4. Am prins așa: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.

Apoi, există două metode, puteți utiliza oricare dintre ele. Cât de ușor este să vezi că în orice sistem numeric baza sa este întotdeauna 10. Pătratul bazei va fi întotdeauna 100, cubul 1000. Adică, gradul bazei sistemului numeric este 1 (unul) și sunt tot atâtea zerouri în spate câte este gradul.

Metoda 1: Aranjați 1 în funcție de rangurile indicatorilor termenilor. În exemplul nostru, acestea sunt 9, 8, 5, 3 și 1. Locurile rămase vor conține zerouri. Deci, am obținut reprezentarea binară a numărului 810 10 = 1100101010 2. Unitățile sunt plasate pe locurile 9, 8, 5, 3 și 1, numărând de la dreapta la stânga de la zero.

Metoda 2: Să scriem termenii ca puteri a doi unul sub celălalt, începând cu cel mai mare.

810 =

Acum să adăugăm acești pași împreună, cum ar fi plierea unui evantai: 1100101010.

Asta e tot. În același timp, problema „câte unități sunt în notația binară a numărului 810?” este de asemenea rezolvată.

Răspunsul este atâția termeni (puteri a doi) în această reprezentare. 810 are 5 dintre ele.

Acum exemplul este mai simplu.

Să transformăm numărul 63 în sistemul numeric 5-ari. Cea mai apropiată putere de la 5 la 63 este 25 (pătratul 5). Un cub (125) va fi deja mult. Adică 63 se află între pătratul lui 5 și cub. Apoi vom selecta coeficientul pentru 5 2. Acesta este 2.

Se obține 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.

Și, în sfârșit, traduceri foarte ușoare între sistemele 8 și hexazecimale. Deoarece baza lor este o putere de doi, traducerea se face automat, pur și simplu prin înlocuirea numerelor cu reprezentarea lor binară. Pentru sistemul octal, fiecare cifră este înlocuită cu trei cifre binare, iar pentru sistemul hexazecimal, patru. În acest caz, sunt necesare toate zerourile înainte, cu excepția cifrei celei mai semnificative.

Să convertim numărul 547 8 în binar.

547 8 =	101	100	111
	5	4	7

Încă unul, de exemplu 7D6A 16.

7D6A 16 =	(0)111	1101	0110	1010
	7	D	6	A

Să convertim numărul 7368 în sistemul hexazecimal Mai întâi, scrieți numerele în triplete, apoi împărțiți-le în cvadruple de la sfârșit: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. Să convertim numărul C25 16 în sistemul octal. Mai întâi, scriem numerele în patru și apoi le împărțim în trei de la sfârșit: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. Acum să ne uităm la conversia înapoi în zecimală. Nu este dificil, principalul lucru este să nu faci greșeli în calcule. Extindem numărul într-un polinom cu puteri ale bazei și coeficienți pentru ei. Apoi înmulțim și adăugăm totul. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .

Conversia numerelor negative

Aici trebuie să țineți cont de faptul că numărul va fi prezentat în codul de complement a doi. Pentru a converti un număr în cod suplimentar, trebuie să știți dimensiunea finală a numărului, adică în ce dorim să-l încadram - într-un octet, în doi octeți, în patru. Cea mai semnificativă cifră a unui număr înseamnă semnul. Dacă există 0, atunci numărul este pozitiv, dacă 1, atunci este negativ. În stânga, numărul este completat cu o cifră semn. Nu considerăm numerele nesemnate, ele sunt întotdeauna pozitive, iar bitul cel mai semnificativ din ele este folosit ca informație.

Pentru a converti un număr negativ în cod binar, trebuie să convertiți un număr pozitiv în binar, apoi schimbați zerourile în unu și cele în zerouri. Apoi adăugați 1 la rezultat.

Deci, să convertim numărul -79 în sistemul binar. Numărul ne va lua un octet.

Convertim 79 în sistemul binar, 79 = 1001111. Adăugăm zerouri în stânga la dimensiunea octetului, 8 biți, obținem 01001111. Schimbăm 1 la 0 și 0 la 1. Obținem 10110000. Adăugăm 1 la rezultat, obținem răspunsul 10110001. Pe parcurs, răspundem la întrebarea Examenului de stat unificat „câte unități sunt în reprezentarea binară a numărului -79?” Raspunsul este 4.

Adăugarea lui 1 la inversul unui număr elimină diferența dintre reprezentările +0 = 00000000 și -0 = 11111111. În codul complement a doi vor fi scrise la fel ca 00000000.

Conversia numerelor fracționale

Numerele fracționale sunt convertite în modul invers al împărțirii numerelor întregi la bază, ceea ce ne-am uitat chiar de la început. Adică, folosind înmulțirea secvențială cu o nouă bază cu colecția de părți întregi. Părțile întregi obținute în timpul înmulțirii sunt colectate, dar nu participă la următoarele operații. Se înmulțesc doar fracțiile. Dacă numărul inițial este mai mare decât 1, atunci părțile întregi și fracționale sunt translatate separat și apoi lipite împreună.

Să transformăm numărul 0,6752 în sistemul binar.

0	,6752
	*2
1	,3504
	*2
0	,7008
	*2
1	,4016
	*2
0	,8032
	*2
1	,6064
	*2
1	,2128

Procesul poate fi continuat pentru o lungă perioadă de timp până când obținem toate zerourile din partea fracțională sau se obține precizia necesară. Să ne oprim la al 6-lea semn deocamdată.

Se dovedește că 0,6752 = 0,101011.

Dacă numărul a fost 5,6752, atunci în binar va fi 101,101011.

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul este o parte importantă a aritmeticii mașinii. Să luăm în considerare regulile de bază ale traducerii.

1. Pentru a converti un număr binar într-unul zecimal, este necesar să îl scrieți sub forma unui polinom, constând din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a lui 2, și să îl calculați conform regulilor din aritmetica zecimala:

Când traduceți, este convenabil să utilizați tabelul puterilor a doi:

Tabelul 4. Puterile numărului 2

n (grad)

Exemplu.

2. Pentru a converti un număr octal într-un număr zecimal, este necesar să îl scrieți ca un polinom format din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 8 și să-l calculați conform regulilor zecimale. aritmetic:

Când traduceți, este convenabil să folosiți tabelul puterilor opt:

Tabelul 5. Puterile numărului 8

n (grad)

Exemplu. Convertiți numărul în sistemul numeric zecimal.

3. Pentru a converti un număr hexazecimal într-un număr zecimal, este necesar să îl scrieți sub forma unui polinom, constând din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 16, și să îl calculați conform regulile de aritmetică zecimală:

Când traduceți, este convenabil de utilizat blitz-ul puterilor numărului 16:

Tabelul 6. Puterile numărului 16

n (grad)

Exemplu. Convertiți numărul în sistemul numeric zecimal.

4. Pentru a converti un număr zecimal în sistem binar, acesta trebuie împărțit succesiv la 2 până când rămâne un rest mai mic sau egal cu 1 Un număr din sistemul binar este scris ca o secvență a rezultatului ultimei diviziuni și a resturilor din împărțirea în ordine inversă.

Exemplu. Convertiți numărul în sistemul numeric binar.

5. Pentru a converti un număr zecimal în sistemul octal, acesta trebuie împărțit succesiv la 8 până când rămâne un rest mai mic sau egal cu 7. Un număr din sistemul octal este scris ca o secvență de cifre a rezultatului ultimei diviziuni restul diviziunii în ordine inversă.

Exemplu. Convertiți numărul în sistemul de numere octale.

6. Pentru a converti un număr zecimal în sistemul hexazecimal, acesta trebuie împărțit succesiv la 16 până când există un rest mai mic sau egal cu 15. Un număr din sistemul hexazecimal este scris ca o succesiune de cifre a rezultatului ultimei diviziuni și resturile din împărțire în ordine inversă.

Exemplu. Convertiți numărul în sistem numeric hexazecimal.

Etichete: Sistemul de numere, traducerea sistemului de numere, sistemele de numere aferente

Schimbarea bazei pentru sistemele de numere poziționale

Într-un sistem de numere pozițional cu baza q, un număr poate fi reprezentat ca polinom

… + a 2 ∙q 2 + a 1 q 1 + a 0 ∙q 0 + a -1 ∙q -1 + a -2 ∙q -2 + …

unde coeficienții a i sunt cifrele sistemului numeric cu baza q.

De exemplu, în sistemul numeric zecimal

124.733 = 1∙10 2 + 2∙10 1 + 4∙10 0 + 7∙10 -1 + 3∙10 -2 + 3∙10 -3

Numărul de cifre dintr-un sistem numeric cu baza q este egal cu q, iar cifra maximă este q - 1. O cifră nu poate deveni egală cu q, deoarece în acest caz unitatea va fi transferată la o nouă cifră.

De exemplu, trebuie să găsiți baza minimă a sistemului numeric în care este scris numărul 7832 Deoarece cifra maximă este 8, atunci valoarea minimă este q = 8 + 1 = 9.

Baza unui sistem numeric poate fi, în principiu, orice număr: întreg, negativ, rațional, irațional, complex etc. Vom lua în considerare numai baze întregi pozitive.

De un interes deosebit pentru noi va fi baza 2 și bazele care sunt puteri de doi - 8 și 16.

În cazul în care baza cu. Cu. mai mult de zece, apoi se iau numere noi în ordine din alfabet. De exemplu, pentru sistemul hexazecimal acestea vor fi numerele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Conversia întregii părți a sistemului numeric zecimal

Prima modalitate de a converti de la sistemul numeric zecimal la sistemul numeric n-ari este de a împărți succesiv numărul la o nouă bază.

123/12 = 10 (3) 10/12 = 0 (10=A)

Colectăm în ordine inversă, mai întâi ultima valoare (aceasta este 0), apoi de sus în jos toate resturile. Se obține 0A3 = A3

4563/8 = 570 (3) 570/8 = 71 (2) 71/8 = 8 (7) 8/8 = 1 (0)

Punând-o la loc, obținem 10723

3349 10 → X 16

3349/16 = 209 (5) 209/16 = 13 (1) 13/16 = 0 (13 = D)

Punând-o împreună: 0D15 = D15

545/2 = 272 (1) 272/2 = 136 (0) 136/2 = 68 (0) 68/2 = 34 (0) 34/2 = 17 (0) 17/2 = 8 (1) 8/2 = 4 (0) 4/2 = 2(0) 2/2 = 1 (0) 1/2 = 0(1)

Colectăm 01000100001 = 1000100001

Traducerea pe hârtie se face de obicei prin împărțirea într-o coloană. Până când împărțirea rezultă în zero, fiecare răspuns ulterior este împărțit la baza c. Cu. La sfârșit, răspunsul este colectat din restul diviziei.

De asemenea, este adesea posibil să convertiți un număr în alt s. Cu. , dacă ne imaginăm mental ca fiind suma puterilor bazei corespunzătoare în care dorim să convertim numărul.

De exemplu, 129 este evident 128 + 1 = 2 7 + 1 = 10000001 2

80 = 81 - 1 = 3 4 - 1 = 10000 - 1 = 2222 3

Conversia unei părți întregi în sistemul numeric zecimal

Traducerea se realizează folosind reprezentarea numărului în sistemul numeric pozițional. Să fie necesar să translați A3 12 → X 10 Se știe că A3 este 3∙q 0 + A∙q 1 , adică 3*1 + A*12 = 3 + 120 = 123

10723 8 → X 10

1∙q 4 + 0∙q 3 + 7∙q 2 + 2∙q 1 + 3∙q 0 = 1∙8 4 + 0 + 7∙8 2 + 2∙8 + 3 = 1∙4096 + 7∙64 + 2∙8 + 3 = 4563

D∙16 2 + 1∙16 1 +5∙16 0 = 13∙256 + 16 + 5 = 3349

1000100001 2 → X 10

2 9 + 2 5 + 1 = 512 + 32 + 1 = 545.

Traducerea pe hârtie se realizează de obicei după cum urmează. Numărul gradului este scris în ordine deasupra fiecărui număr. Apoi toți termenii sunt scrisi.

Conversia părții fracționale din sistemul zecimal

La conversia unei părți fracționale, apare adesea o situație când o fracție zecimală finită se transformă într-una infinită. Prin urmare, de obicei, la traducere, este indicată acuratețea cu care este necesară traducerea. Translația se realizează prin înmulțirea secvențială a părții fracționale cu baza sistemului numeric. Întreaga parte este pliată înapoi și devine parte a fracțiunii.

0,625 10 → X 2

0.625 * 2 = 1.250 (1) 0.25 * 2 = 0.5 (0) 0.5 * 2 = 1.0 (1)

0 – înmulțirea ulterioară va produce doar zerouri
Colectând de sus în jos, obținem 0,101

0,310 → X2 0,3 * 2 = 0,6 (0) 0,6 * 2 = 1,2 (1) 0,2 * 2 = 0,4 (0) 0,4 * 2 = 0,8 (0) 0,8 * 2 = 1,6 (1) 0,6 * 2 = 1,2 (1) )

0,2 ... obținem o fracție periodică
Colectăm, obținem 0,0100110011001... = 0,0(1001)

0,64510 → X5 0,645 * 5 = 3,225 (3) 0,255 * 5 = 1,275 (1) 0,275 * 5 = 1,375 (1) 0,375 * 5 = 1,875 (1) 0,875 * 5 = 4,3 * 5 = 4,3 * 5 = 1,375 (1) ( 1)...

0.3111414… = 0.311(14)

Conversia părții fracționale în sistemul zecimal

Se efectuează în mod similar translației unei părți întregi, prin înmulțirea cifrei cifrei cu baza la un grad egal cu poziția cifrei în număr.

0,101 2 → X 10

1∙2 -1 + 0∙2 -2 + 1∙2 -3 = 0.5 + 0.125 = 0.625

0,134 5 → X 10

1∙5 -1 + 3∙5 -2 +4∙5 -3 = 0.2 + 3∙0.04 + 4∙0.008 = 0.2 + 0.12 + 0.032 = 0.352

Transfer de la un sistem de numere arbitrar la unul arbitrar

Conversia dintr-un sistem de numere arbitrar într-un sistem de numere arbitrar. Cu. efectuate folosind zecimalul s. Cu.

X N → X M ≡ X N → X 10 → X M

De exemplu

1221201 3 → X 7

1221201 3 = 1∙3 6 + 2∙3 5 + 2∙3 4 + 1∙3 3 + 2∙3 2 + 1 = 729 + 2∙243 + 2∙81 + 27 + 9 + 1 = 1414 10

1414/7 = 202 (0) 202/7 = 28 (6) 28/7 = 4 (0) 4/7 = 0 (4)

1221201 3 → 4060 7

Sisteme numerice înrudite

Sistemele numerice se numesc legate atunci când bazele lor sunt puteri ale aceluiași număr. De exemplu, 2, 4, 8, 16. Translația între sistemele de numere aferente poate fi efectuată folosind tabelul

Tabel pentru conversia între sistemele de numere aferente cu baza 2

10	2	4	8	16
0	0000	000	00	0
1	0001	001	01	1
2	0010	002	02	2
3	0011	003	03	3
4	0100	010	04	4
5	0101	011	05	5
6	0110	012	06	6
7	0111	013	07	7
8	1000	020	10	8
9	1001	021	11	9
10	1010	022	12	A
11	1011	023	13	B
12	1100	030	14	C
13	1101	031	15	D
14	1110	032	16	E
15	1111	033	17	F

Pentru a converti de la un sistem de numere asociat la altul, mai întâi trebuie să convertiți numărul în sistemul binar. Pentru a converti la sistemul de numere binar, fiecare cifră a unui număr este înlocuită cu două corespunzătoare (pentru cuaternar), trei (pentru octal) sau patru (pentru hexazecimal).

Pentru 123 4, unul este înlocuit cu 01, doi cu 10, trei cu 11, obținem 11011 2

Pentru 5721 8 respectiv 101, 111, 010, 001, total 101111010001 2

Pentru E12 16 obținem 111000010010 2

Pentru a converti din sistemul binar, trebuie să împărțiți numărul în două (al 4-lea), triple (al 8-lea) sau patru de numere (al 16-lea), apoi să le înlocuiți cu valorile corespunzătoare.