Введение

При рассмотрении целого ряда задач, необходимо учитывать требование целочисленности используемых переменных. Методы решения задач линейного программирования не гарантируют целочисленности решения.

Иногда задачи целочисленного линейного программирования решают приближенно. Для этого решают задачу без учета целочисленности переменных, затем в полученном оптимальном решении округляют результаты до ближайших целых значений. Использование таких решений допустимо в тех ситуациях, где значения переменных достаточно велики, и погрешностью округления можно пренебречь. Если значения переменных невелики, то округление может привести к значительному расхождению с оптимальным решением.

Одним из широко распространенных методов решения целочисленных задач является метод ветвей и границ, впервые, он был предложен Ленд и Дойг в 1960 г.

ветвь граница линейное программирование

Метод ветвей и границ

Алгоритм метода ветвей и границ предусматривает декомпозицию исходной задачи линейного программирования (ЗЛП) на последовательность задач, содержащих дополнительные ограничения на переменные, которые затем оптимизируются.

1. Процесс начинают с решения задачи симплексным или графическим методом без учета требования на целочисленность переменных. Эту задачу называют ЗЛП-0. Если все переменные оптимального плана целые, то этот план также является оптимальными для задач целочисленного программирования.

2. Если некоторая переменная, не получила целочисленного значения, то производится ветвление на две новые задачи ЗЛП-1, ЗЛП-2. Одна из задач ЗЛП-1 представляет собой задачу ЗЛП-0, дополненную ограничением где - целая часть числа. Вторая образуется путем добавления к задаче ЗЛП-0 ограничения. Следует отметить, что выбор целочисленной переменной может быть произвольным определяться следующим образом:

по возрастанию или убыванию индексов;

переменная представляет важное решение принимаемое в рамках данной задачи;

коэффициент в целевой функции при этой переменной существенно превосходит все остальные.

3. Задачи ЗЛП-1 и ЗЛП-2 решаются самостоятельно. Ветвь оканчивается, если область допустимых решений пуста, либо её оптимальное решение полностью целочисленное. В противном случае возникает необходимость ветвления с п.2, обозначая следующие номера задач ЗЛП в естественном порядке ЗЛП-3, ЗЛП-4.

Процесс решения можно представить в виде дерева, в котором вершина ЗЛП-0 отвечает начальному плану решения задачи, а каждая из соединенных с ней ветвью вершин отвечает оптимальному плану следующей задачи.

Рассмотрим следующий пример. Максимизировать целевую функцию

при ограничениях

Воспользуемся графическим методом решения задачи линейного программирования.

1. Решим исходную задачу без учета требования целочисленности переменных.

Обозначим эту задачу линейного программирования ЗЛП-0.

На рисунке 1.1 штриховкой выделен многоугольник решений данной задачи. Максимальное значение достигается в точке Решение не является целочисленным.

Следующий шаг метода ветвей и границ состоит в ветвлении по одной из целочисленных переменных, имеющих дробное значение, например. Для этого добавим к задаче ЗЛП-0 два новых ограничения и Этими ограничениями удаляется интервал = в котором нет целых значений. Таким образом, в процессе ветвления создаются две новые задачи ЗЛП-1 и ЗЛП-2.

Рисунок 1.1 Решение задачи ЗЛП-0

2. Решим задачу ЗЛП-1 графически.

На рисунке 1.2 изображена допустимая область задачи ЗЛП-1. Максимальное значение достигается в точке. Решение задачи нецелочисленное.

Рисунок 1.2 Решение задачи ЗЛП-1

3. Решим задачу ЗЛП-2 графически.

В данном случае множество допустимых решений пусто (рисунок 1.2). Система ограничений несовместна, и задачу ЗЛП-2 можно исключить из дальнейшего рассмотрения.

Рисунок 1.3 Решение задачи ЗЛП-2

Теперь продолжим исследование задачи ЗЛП-1, поскольку значение нецелое. Произведем еще одно ветвление, путем введения ограничений и. В результате получаем две новые задачи ЗЛП-3 и ЗЛП-4.

Метод ветвей и границ -- один из комбинаторных методов. Его суть заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определенным признакам перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов.

Метод ветвей и границ состоит в следующем: множество допустимых решений (планов) некоторым способом разбивается на подмножества, каждое из которых этим же способом снова разбивается на подмножества. Процесс продолжается до тех пор, пока не получено оптимальное целочисленное решение исходной задачи.

Алгоритм решения:

Первоначально находим симплексным методом или методом искусственного базиса оптимальный план задачи без учета целочисленности переменных. Пусть им является план X 0 . Если среди компонент этого плана нет дробных чисел, то тем самым найдено искомое решение данной задачи и

Если же среди компонент плана X 0 имеются дробные числа, то X 0 не удовлетворяет условию целочисленности и необходимо осуществить упорядоченный переход к новым планам, пока не будет найдено решение задачи. Покажем, как это можно сделать, предварительно отметив, что F(X 0) F(X) для всякого последующего плана X.

Предполагая, что найденный оптимальный план X 0 не удовлетворяет условию целочисленности переменных, тем самым считаем, что среди его компонент есть дробные числа. Пусть, например, переменная приняла в плане X 0 дробное значение. Тогда в оптимальном целочисленном плане ее значение будет по крайней мере либо меньше или равно ближайшему меньшему целому числу, либо больше или равно ближайшему большему целому числу. Определяя эти числа, находим симплексным методом решение двух задач линейного программирования:

Найдем решение задач линейного программирования (I) и (II). Очевидно, здесь возможен один из следующих четырех случаев:

• 1. Одна из задач неразрешима, а другая имеет целочисленный оптимальный план. Тогда этот план и значение целевой функции на нем и дают решение исходной задачи.
• 2. Одна из задач неразрешима, а другая имеет оптимальный план, среди компонент которого есть дробные числа. Тогда рассматриваем вторую задачу и в ее оптимальном плане выбираем одну из компонент, значение которой равно дробному числу, и строим две задачи, аналогичные задачам (I) и (II).
• 3. Обе задачи разрешимы. Одна из задач имеет оптимальный целочисленный план, а в оптимальном плане другой задачи есть дробные числа. Тогда вычисляем значения целевой функции на этих планах и сравниваем их между собой. Если на целочисленном оптимальном плане значение целевой функции больше или равно ее значению на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то данный целочисленный план является оптимальным для исходной задачи и он вместе со значением целевой функции на нем дает искомое решение.

Если же значение целевой функции больше на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то следует взять одно из таких чисел и для задачи, план которой рассматривается, необходимо построить две задачи, аналогичные (I) и (II).

4. Обе задачи разрешимы, и среди оптимальных планов обеих задач есть дробные числа. Тогда вычисляем значение целевой функции на данных оптимальных планах и рассматриваем ту из задач, для которой значение целевой функции является наибольшим. В оптимальном плане этой задачи выбираем одну из компонент, значение которой является дробным числом, и строим две задачи, аналогичные (I) и (II).

Таким образом, описанный выше итерационный процесс может быть представлен в виде некоторого дерева, на котором исходная вершина отвечает оптимальному плану Х 0 задачи (1)-(3), а каждая соединенная с ней ветвью вершина отвечает оптимальным планам задач (I) и (II). Каждая из этих вершин имеет свои ветвления. При этом на каждом шаге выбирается та вершина, для которой значение функции является наибольшим. Если на некотором шаге будет получен план, имеющий целочисленные компоненты, и значение функции на нем окажется больше или равно, чем значение функции в других возможных для ветвления вершинах, то данный план является оптимальным планом исходной задачи целочисленного программирования и значение целевой функции на нем является максимальным.

Итак, процесс нахождения решения задачи целочисленного программирования (1)-(4) методом ветвей и границ включает следующие основные этапы:

• 1. Находят решение задачи линейного программирования (1)-(3).
• 2. Составляют дополнительные ограничения для одной из переменных, значение которой в оптимальном плане задачи (1)-(3) является дробным числом.
• 3. Находят решение задач (I) и (II), которые получаются из задачи (1)-(3) в результате присоединения дополнительных ограничений.
• 4. В случае необходимости составляют дополнительные ограничения для переменной, значение которой является дробным, формулируют задачи, аналогичные задачам (I) и (II), и находят их решение. Итерационный процесс продолжают до тех пор, пока не будет найдена вершина, соответствующая целочисленному плану задачи (1)-(3) и такая, что значение функции в этой вершине больше или равно значению функции в других возможных для ветвления вершинах.

Описанный выше метод ветвей и границ имеет более простую логическую схему расчетов, чем метод Гомори. Поэтому в большинстве случаев для нахождения решения конкретных задач целочисленного программирования с использованием ЭВМ применяется именно этот метод.

целочисленный программирование задача коммивояжер ранец

Коммивояжер (бродячий торговец) желает посетить ряд городов и вернуться в исходный город, минимизируя суммарную длину (стоимость) переездов. Эта задача в математической форме формулируется как задача нахождения во взвешенном графе гамильтонова цикла минимальной длины и называется задачей коммивояжера.

В качестве её практического приложения можно указать следующее. Пусть имеется станок, способный выполнять несколько операций. Его перенастройка с одной операции на другую требует определенных затрат. Требуется использовать станок в циклическом режиме, минимизируя суммарные затраты на перенастройку.

В данной задаче перенастройка с одной операции на другую и обратная перенастройка могут требовать, вообще говоря, различных затрат. Поэтому и в общем случае в задаче коммивояжера рассматривается взвешенный ориентированный граф, дуги которого в прямом и обратном направлении могут иметь различные веса.

Для решения задачи коммивояжера можно попытаться использовать «жадный алгоритм», успешно примененный в задаче о минимальном остовном дереве. Упорядочим предварительно дуги по весам и будем включать дуги минимального веса, следя за тем, чтобы не возникли вершины, полустепень исхода или захода которых превышает единицу, и не появились негамильтоновы циклы. Однако, как легко убедиться, данный подход не гарантирует получение оптимального решения. В качестве простейшего контрпримера можно рассмотреть следующий граф.

Здесь каждому ребру соответствует две дуги такого же веса.

«Жадный алгоритм» прежде всего включит в цикл ребро
, как имеющее минимальный вес. Включение этого ребра, как непосредственно легко проверить, необходимо ведет к гамильтонову циклу
веса 29. Оптимальный

же гамильтонов цикл
имеет вес 12. Поэтому «жадный алгоритм» не гарантирует получения оптимального решения, хотя он может быть использован на практике в качестве полезной эвристики, во многих случаях приводящей к решениям, близким к оптимальным.

Для задачи коммивояжера не известно какого – либо эффективного алгоритма. Весьма вероятно, что такого алгоритма не существует, хотя это и не удалось до сих пор доказать. Подобные задачи не редки в дискретной математике. В случае небольшой размерности их точные решения удается получать на компьютере с помощью метода «ветвей и границ».

Под методом «ветвей и границ» понимается широкий класс методов сокращенного перебора, суть которых сводится к следующему. Множество допустимых решений А разбивается на два подмножества А 0 и А 1 , затем каждое из подмножеств также разбивается на два подмножества и т.д. Схематически это можно представить в виде дерева, начинающегося с множества всех решений и заканчивающегося его одноэлементными подмножествами, т.е. допустимыми решениями, которыми в нашем случае являются гамильтоновы циклы.

Среди допустимых решений выбирается оптимальное по функционалу качества, которым в нашем случае является длина гамильтонова цикла. Смысл метода «ветвей и границ» состоит, однако, в том, чтобы не просматривать все допустимые решения, а отсекать большинство ветвей на возможно более раннем этапе. Для этого с помощью эвристических соображений стараются сразу пойти по ветви, ведущей к решению, близкому по качеству к оптимальному. После этого большинство других ветвей отсекают с помощью границ для функционала качества, когда удается показать, что в подмножестве решений не содержится решения, лучшего по качеству, чем уже имеющееся.

Рассмотрим метод «ветвей и границ» на примере задачи коммивояжера. Пусть взвешенный орграф задан матрицей расстояний. Если некоторая дуга в графе отсутствует, то соответствующий элемент матрицы будем полагать равным ∞. Заметим, что если длины всех дуг, входящих в некоторую вершину, уменьшить на одно и то же число, то и длина оптимального гамильтонова цикла уменьшится на это же число. То же самое относится и к множеству выходящих дуг. Будем последовательно вычитать из строк и столбцов матрицы расстояний положительные числа так, чтобы элементы матрицы оставались неотрицательными. Так как длина оптимального гамильтонова цикла для графа с неотрицательной матрицей расстояний также неотрицательна, то сумма вычтенных количеств будет нижней границей для длины оптимального цикла исходного графа.

Рассмотрим пример. Пусть задан граф G с симметрической матрицей расстояний.

Значки « ∞ » на диагонали соответствуют отсутствию в графе петель – дуг, ведущих из вершины в эту же вершину. Получим, прежде всего, нижнюю границу для длины кратчайшего гамильтонового цикла. Из первой, второй, третьей и четвертой строк можно вычесть по единице, из пятой строки – два, а из пятого столбца можно вычесть ещё единицу. Это дает нижнюю границу 7, а матрица расстояний приобретает вид

Теперь выберем дугу для ветвления, т.е. разобьем множество гамильтоновых циклов на два подмножества: включающих и не включающих эту дугу. Мы рассчитываем, что данная дуга будет входить в оптимальный или близкий к оптимальному цикл. Для этого будем следовать следующему эвристическому правилу: из множества дуг нулевой длины выбирать ту, исключение которой ведет к максимальному росту нижней оценки. В нашем случае такой дугой является дуга (1,2). Запрещение этой дуги приводит к матрице

из первой строки и второго столбца которой можно вычесть по единице, что увеличивает нижнюю границу на 2 и делает её равной 9.

Включение же дуги (1,2) приводит к тому, что исключаются все остальные дуги, ведущие в вершину 2, и все остальные дуги, выходящие из вершины 1. Поэтому первую строку и второй столбец матрицы можно далее не рассматривать, и они вычеркиваются из матрицы. Кроме того, исключается дуга (2,1). Матрица принимает вид

Из её первой строки и первого столбца можно вычесть по единице, что приводит к матрице

Нижняя оценка здесь возрастает на 2 и также становится равной 9.

Нижняя оценка длины оптимального цикла остается неизменной.

Дуга (2,5) должна быть запрещена, как ведущая к появлению негамильтонова цикла, и матрица принимает вид

Нижняя оценка длины гамильтонова цикла остается, по – прежнему, равной 9.

Схематически представим проведенный анализ в виде дерева, где в кружочках стоят нижние оценки длины гамильтонова цикла.

Взглянув на это дерево, непосредственно убеждаемся, что полученный гамильтонов цикл является кратчайшим, т.к. движение по любой другой ветви дерева не может привести к более короткому циклу.

Существует ли эффективный алгоритм для решения задачи коммивояжера? а) да; б) нет; в) неизвестно.

Является ли описанный метод « ветвей и границ» эффективным алгоритмом для решения задачи коммивояжера? а) да; б) нет; в) неизвестно.

В основе метода ветвей и границ лежит идея последовательного разбиения множества допустимых решений на подмножества. На каждом шаге метода для элементов разбиения выполняется проверка для выяснения, содержит данное подмножество оптимальное решение или нет. Для этого вычисляется нижняя оценка целевой функции на данном подмножестве.

Если оценка снизу не меньше рекорда (наилучшего из найденных решений), то подмножество может больше не рассматриваться. Проверяемое подмножество может быть отброшено еще и в том случае, когда в нем удается найти наилучшее решение. Если значение целевой функции на найденном решении меньше рекорда, то происходит смена рекорда. По окончанию работы алгоритма рекорд является результатом его работы. Если удается отбросить все элементы разбиения, то рекорд - оптимальное решение задачи. В противном случае, из неотброшенных подмножеств выбирается наиболее перспективное (например, с наименьшим значением нижней оценки), и подвергается разбиению. Новые подмножества вновь подвергаются проверке и т.д. Вычисление нижней границы является важнейшим элементом данной схемы.

Для каждой конкретной задачи целочисленного программирования (другими словами, дискретной оптимизации) метод ветвей и границ реализуется по-своему. Есть много модификаций этого метода.

Рассмотрим реализацию метода ветвей и границ для задачи коммивояжёра и задачи о рюкзаке.

Рассмотрим алгоритм Литтла (методом ветвей и границ) для задачи коммивояжера. Идею можно сформулировать следующим образом. В каждой строке матрицы расстояний находится минимальный элемент и вычитается из всех элементов соответствующей строки. Получается матрица, приведенная по строкам. Аналогично приводится матрица по столбцам. Получается матрица, приведенная по строкам и столбцам. Суммируя при приведении минимальные элементы, получим константу приведения, которая будет нижней границей множества всех допустимых гамильтоновых контуров. После находятся степени нулей для приведенной матрицы (сумма минимальных элементов строки и столбца, соответствующих этому нулю) и выбирается дуга , для которой степень нулевого элемента достигает максимального значения. Множество всех гамильтоновых контуров разбивается на два подмножества, одно из которых содержит дугу , второе эту дугу не содержит. После этого приводятся полученные матрицы гамильтоновых контуров и сравниваются нижние границы подмножества гамильтоновых контуров с целью выбора для дальнейшего разбиения множества с меньшей нижней границей. Процесс разбиения множеств на подмножества сопровождается построением дерева ветвлений. Сравнивая длину гамильтонова контура с нижними границами оборванных ветвей, выбирается для дальнейшего ветвления подмножество с нижней границей, меньшей полученного контура, до тех пор, пока не получен маршрут с наименьшей длиной или не становится ясно, что такого маршрута не существует.

Пример.

Пусть в задаче коммивояжера задана следующая матрица стоимостей переездов

Находим в каждой строке матрицы минимальный элемент и вычитаем его из всех элементов соответствующей строки. Получим матрицу, приведенную по строкам, с элементами

.

Если в матрице , приведенной по строкам, окажутся столбцы, не содержащие нуля, то приводим ее по столбцам. Для этого в каждом столбце матрицы выбираем минимальный элемент , и вычитаем его из всех элементов соответствующего столбца. Получим матрицу

,

каждая строка и столбец, которой содержит хотя бы один нуль. Такая матрица называется приведенной по строкам и столбцам.

Суммируя элементы и , получим константу приведения:

.

Находим степени нулей для приведенной по строкам и столбцам матрицы. Для этого мысленно нули в матице заменяем на знак и находим сумму минимальных элементов строки и столбца, соответствующих этому нулю. Записываем ее в правом верхнем углу клетки:

.

Выбираем дугу , для которой степень нулевого элемента достигает максимального значения

Разбиваем множество всех допустимых маршрутов на два подмножества:

– подмножество, содержащее дугу ;

– подмножество, не содержащее дугу

Для вычисления оценки затрат для маршрутов, включающих дугу , вычеркиваем в матрице строку и столбец и заменяем симметричный элемент на знак . Приводим полученную матрицу и вычисляем сумму констант приведения .

Рассмотрим задачу дискретного программирования в общем виде:

Найти -вектор неизвестных, D- конечное

множество допустимых значений этого вектора, F(x)- заданная целевая функция.

Идея метода состоит в разбиении D на непересекающиеся подмножества Di (эта процедура называется ветвлением) и вычислении верхней и нижней границ целевой функции на каждом из подмножеств. Нижнюю границу будем обозначать Н, а верхнюю Е. Соответственно Hi Eo, то это подмножество не содержит точку оптимума и может быть исключено из дальнейшего рассмотрения. Если верхняя граница Ei H заменяем Н на min Hi. Если Е=Н, то задача решена, иначе надо продолжить процедуру ветвления и вычисления верхней и нижней границ. При этом разбиению на очередном шаге могут подвергаться все или только некоторые подмножества до достижения равенства верхней и нижней границ, причём не на отдельном подмножестве, а для допустимой области в целом.

Простая идея метода ветвей и границ требует дополнительных вычислений для определения границ. Как правило, это приводит к решению вспомогательной оптимизационной задачи. Если эти дополнительные вычисления требуют большого числа операций, то эффективность метода может быть невелика.

Схему динамического программирования при движении от начальной точке к конечной (рис. 5.1) можно представлять как процедуру ветвления.

Множество всех допустимых траекторий (последовательность по-шаговых переходов) - это исходное множество D, на котором мы должны найти нижнюю и верхнюю границы, а также траекторию, на которой целевая функция достигает верхней границы и объявить рекордом соответствующее ей значение целевой функции. Построение множества состояний, получаемых после первого шага, - это первое ветвление.

Рис. 5.1.

Теперь подмножествами Di являются множества траекторий, каждая из которых проходит через соответствующую i-ую точку.

На последующих шагах после отбраковки всех путей, приводящих в любое (i-oe) состояние, кроме одного, соответствующим подмножеством является этот оставшийся путь со всеми его допустимыми продолжениями (рис. 5.1). Для каждого из таких подмножеств надо как-то найти верхнюю и нижнюю границы. Если нижняя граница превышает текущее значение рекорда, соответствующее состояние и все его продолжения отбраковываются. Если верхняя граница достигается на некоторой траектории и она меньше текущего значения рекорда, то получаем новый рекорд.

Эффективность такого подхода зависит от точности получаемых оценок, т.е. от Ei - Hi, и от затрат времени на их вычисление.

Фактически в упрощённом виде мы уже использовали этот метод при решении задачи о защите поверхности (разд. 4.6), когда отбраковывали состояния, для которых текущие затраты превышали суммарные затраты для начального приближения. В этом случае текущие затраты являются нижней границей, если считать нулевыми затраты на весь оставшийся путь, а суммарные затраты, соответствующие начальному приближению, являются рекордом. При таком подходе рекорд не обновлялся, хотя это можно было сделать построением начального приближения (верхней границы) для оставшегося пути подобно тому как это делалось для всей траектории при построении начального приближения. Получаемая без вычислений нижняя граница соответствует нулевым затратам на весь оставшийся путь и является крайне грубой оценкой, но получаемой «бесплатно», т.е. без вычислений.

Покажем как получать и использовать более точные оценки при решении рассмотренных выше и целого ряда других задач. При этом будем стремиться получать авозможно более точные границы при минимуме вычислений.