Πώς να μετατρέψετε σε σύστημα 2. Δυαδικοί αριθμοί, ψηφία και το δυαδικό σύστημα αριθμών. Μετατροπή αριθμού σε δυαδικό από δεκαδικό
Ας δούμε ένα από τα πιο σημαντικά θέματα στην επιστήμη των υπολογιστών -. Στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών, αποκαλύπτεται μάλλον «σεμνά», πιθανότατα λόγω της έλλειψης ωρών που του διατίθενται. Γνώσεις για αυτό το θέμα, ειδικά για μετάφραση αριθμητικών συστημάτων, αποτελούν προϋπόθεση για την επιτυχή επιτυχία των Ενιαίων Κρατικών Εξετάσεων και την εισαγωγή στα ΑΕΙ των αρμόδιων σχολών. Παρακάτω συζητάμε αναλυτικά έννοιες όπως π.χ συστήματα αριθμών θέσης και μη, δίνονται παραδείγματα αυτών των συστημάτων αριθμών, παρουσιάζονται κανόνες για τη μετατροπή ακέραιων δεκαδικών αριθμών, σωστά δεκαδικά κλάσματα και μικτές δεκαδικούς αριθμούς σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών, μετατροπή αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε δεκαδικό, μετατροπή από οκταδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών σε δυαδικό αριθμό Σύστημα. Υπάρχουν πολλά προβλήματα σε αυτό το θέμα στις εξετάσεις. Η ικανότητα επίλυσής τους είναι μία από τις απαιτήσεις για τους αιτούντες. Προσεχώς: Για κάθε θέμα της ενότητας, εκτός από το αναλυτικό θεωρητικό υλικό, θα παρουσιαστούν σχεδόν όλες οι πιθανές επιλογές καθήκονταγια αυτοδιδασκαλία. Επιπλέον, θα έχετε την ευκαιρία να κατεβάσετε εντελώς δωρεάν από μια υπηρεσία φιλοξενίας αρχείων έτοιμες αναλυτικές λύσεις σε αυτά τα προβλήματα, που παρουσιάζουν διάφορους τρόπους για να λάβετε τη σωστή απάντηση.
συστήματα αριθμών θέσης.
Συστήματα αριθμών χωρίς θέση- συστήματα αριθμών στα οποία η ποσοτική τιμή ενός ψηφίου δεν εξαρτάται από τη θέση του στον αριθμό.
Τα συστήματα αριθμών χωρίς θέση περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, το ρωμαϊκό, όπου αντί για αριθμούς υπάρχουν λατινικά γράμματα.
| Εγώ | 1 (ένα) |
| V | 5 (πέντε) |
| Χ | 10 (δέκα) |
| μεγάλο | 50 (πενήντα) |
| ντο | 100 (εκατό) |
| ρε | 500 (πεντακόσια) |
| Μ | 1000 (χιλιάδες) |
Εδώ το γράμμα V σημαίνει 5 ανεξάρτητα από τη θέση του. Ωστόσο, αξίζει να αναφέρουμε ότι, αν και το ρωμαϊκό σύστημα αριθμών είναι ένα κλασικό παράδειγμα ενός μη θεσιακού συστήματος αριθμών, δεν είναι εντελώς μη θέσιο, επειδή Ο μικρότερος αριθμός μπροστά από τον μεγαλύτερο αφαιρείται από αυτόν:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| ΜΙ | 1001 (1000+1=1001) |
συστήματα αριθμών θέσης.
Συστήματα θέσεων αριθμών- συστήματα αριθμών στα οποία η ποσοτική τιμή ενός ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του στον αριθμό.
Για παράδειγμα, αν μιλάμε για το δεκαδικό σύστημα αριθμών, τότε στον αριθμό 700 ο αριθμός 7 σημαίνει "επτακόσια", αλλά ο ίδιος αριθμός στον αριθμό 71 σημαίνει "επτά δεκάδες" και στον αριθμό 7020 - "επτά χιλιάδες" .
Καθε σύστημα αριθμών θέσηςέχει το δικό του βάση. Ως βάση επιλέγεται ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του δύο. Είναι ίσος με τον αριθμό των ψηφίων που χρησιμοποιούνται σε ένα δεδομένο σύστημα αριθμών.
- Για παράδειγμα:
- Δυάδικος- σύστημα αριθμών θέσης με βάση 2.
- Τετραδικός- σύστημα αριθμών θέσης με βάση 4.
- Πεντάπτυχο- σύστημα αριθμών θέσης με βάση 5.
- Οκτάεδρος- σύστημα αριθμών θέσης με βάση 8.
- Δεκαεξαδικό- σύστημα αριθμών θέσης με βάση το 16.
Για την επιτυχή επίλυση προβλημάτων στο θέμα «Αριθμητικά συστήματα», ο μαθητής πρέπει να γνωρίζει από καρδιάς την αντιστοιχία δυαδικών, δεκαδικών, οκταδικών και δεκαεξαδικών αριθμών μέχρι το 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | ΕΝΑ |
| 11 | 1011 | 13 | σι |
| 12 | 1100 | 14 | ντο |
| 13 | 1101 | 15 | ρε |
| 14 | 1110 | 16 | μι |
| 15 | 1111 | 17 | φά |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε πώς λαμβάνονται οι αριθμοί σε αυτά τα συστήματα αριθμών. Μπορείτε να μαντέψετε ότι σε οκταδικό, δεκαεξαδικό, τριαδικό και άλλα συστήματα αριθμών θέσηςόλα συμβαίνουν με τον ίδιο τρόπο όπως το δεκαδικό σύστημα που έχουμε συνηθίσει:
Ένα προστίθεται στον αριθμό και προκύπτει ένας νέος αριθμός. Αν το μοναδιαίο μέρος γίνει ίσο με τη βάση του αριθμητικού συστήματος, αυξάνουμε τον αριθμό των δεκάδων κατά 1 κ.λπ.
Αυτή η «μετάβαση του ενός» είναι που φοβίζει τους περισσότερους μαθητές. Στην πραγματικότητα, όλα είναι πολύ απλά. Η μετάβαση συμβαίνει εάν το ψηφίο των μονάδων γίνει ίσο με βάση αριθμών, αυξάνουμε τον αριθμό των δεκάδων κατά 1. Πολλοί, ενθυμούμενοι το παλιό καλό δεκαδικό σύστημα, μπερδεύονται αμέσως με τα ψηφία σε αυτήν τη μετάβαση, επειδή οι δεκαδικές και, για παράδειγμα, οι δυαδικές δεκάδες είναι διαφορετικά πράγματα.
Ως εκ τούτου, οι πολυμήχανοι μαθητές αναπτύσσουν «δικές τους μεθόδους» (παραδόξως... δουλεύουν) όταν συμπληρώνουν, για παράδειγμα, πίνακες αλήθειας, οι πρώτες στήλες (μεταβλητές τιμές) των οποίων στην πραγματικότητα είναι γεμάτες με δυαδικούς αριθμούς σε αύξουσα σειρά.
Για παράδειγμα, ας δούμε τη λήψη αριθμών οκταδικό σύστημα: Προσθέτουμε 1 στον πρώτο αριθμό (0), παίρνουμε 1. Μετά προσθέτουμε 1 στο 1, παίρνουμε 2 κ.λπ. στο 7. Αν προσθέσουμε ένα στο 7, παίρνουμε έναν αριθμό ίσο με τη βάση του συστήματος αριθμών, δηλ. 8. Στη συνέχεια, πρέπει να αυξήσετε το μέρος των δεκάδων κατά ένα (παίρνουμε το οκταδικό δέκα - 10). Ακολουθούν, προφανώς, οι αριθμοί 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...
Κανόνες μετατροπής από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο.
1 Μετατροπή ακέραιων δεκαδικών αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών.
Ο αριθμός πρέπει να διαιρεθεί με νέα βάση αριθμητικού συστήματος. Το πρώτο υπόλοιπο της διαίρεσης είναι το πρώτο δευτερεύον ψηφίο του νέου αριθμού. Εάν το πηλίκο της διαίρεσης είναι μικρότερο ή ίσο με τη νέα βάση, τότε αυτό (το πηλίκο) πρέπει να διαιρεθεί ξανά με τη νέα βάση. Η διαίρεση πρέπει να συνεχιστεί μέχρι να πάρουμε πηλίκο μικρότερο από τη νέα βάση. Αυτό είναι το υψηλότερο ψηφίο του νέου αριθμού (πρέπει να θυμάστε ότι, για παράδειγμα, στο δεκαεξαδικό σύστημα, μετά το 9 υπάρχουν γράμματα, δηλαδή εάν το υπόλοιπο είναι 11, πρέπει να το γράψετε ως Β).
Παράδειγμα ("διαίρεση ανά γωνία"): Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 173 10 στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Έτσι, 173 10 = 255 8
2 Μετατροπή κανονικών δεκαδικών κλασμάτων σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών.
Ο αριθμός πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τη βάση του νέου αριθμητικού συστήματος. Το ψηφίο που έχει γίνει το ακέραιο μέρος είναι το υψηλότερο ψηφίο του κλασματικού μέρους του νέου αριθμού. Για να λάβετε το επόμενο ψηφίο, το κλασματικό μέρος του προκύπτοντος γινομένου πρέπει και πάλι να πολλαπλασιαστεί με μια νέα βάση του συστήματος αριθμών μέχρι να πραγματοποιηθεί η μετάβαση στο ολόκληρο μέρος. Συνεχίζουμε τον πολλαπλασιασμό έως ότου το κλασματικό μέρος ισούται με μηδέν ή μέχρι να φτάσουμε στην ακρίβεια που καθορίζεται στο πρόβλημα («... υπολογίστε με ακρίβεια, για παράδειγμα, δύο δεκαδικά ψηφία»).
Παράδειγμα: Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,65625 10 στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Για να μετατρέψετε αριθμούς από δεκαδικά s/s σε οποιονδήποτε άλλο, πρέπει να διαιρέσετε τον δεκαδικό αριθμό με τη βάση του συστήματος στο οποίο μετατρέπετε, ενώ διατηρείτε το υπόλοιπο από κάθε διαίρεση. Το αποτέλεσμα δημιουργείται από τα δεξιά προς τα αριστερά. Η διαίρεση συνεχίζεται έως ότου το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι μικρότερο από το διαιρέτη.
Η αριθμομηχανή μετατρέπει αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο. Μπορεί να μετατρέψει αριθμούς από δυαδικούς σε δεκαδικούς ή δεκαδικούς σε δεκαεξαδικούς, δείχνοντας τη λεπτομερή πρόοδο της λύσης. Μπορείτε εύκολα να μετατρέψετε έναν αριθμό από τριαδικό σε πεπτικό ή ακόμα και από επταήλιο σε δέκατο έβδομο. Η αριθμομηχανή μπορεί να μετατρέψει αριθμούς από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο.
Γεια σας, επισκέπτης του ιστότοπου! Συνεχίζουμε να μελετάμε το πρωτόκολλο επιπέδου δικτύου IP, και για να είμαστε πιο ακριβείς, την έκδοση IPv4. Με μια πρώτη ματιά το θέμα δυαδικοί αριθμοί και δυαδικό σύστημα αριθμώνδεν έχει καμία σχέση με το πρωτόκολλο IP, αλλά αν θυμηθούμε ότι οι υπολογιστές λειτουργούν με μηδενικά και μονά, τότε αποδεικνύεται ότι το δυαδικό σύστημα και η κατανόησή του είναι η βάση των θεμελιωδών αρχών, χρειαζόμαστε μάθετε να μετατρέπετε αριθμούς από δυαδικούς σε δεκαδικούςκαι αντίστροφα: δεκαδικό έως δυαδικό. Αυτό θα μας βοηθήσει να κατανοήσουμε καλύτερα το πρωτόκολλο IP, καθώς και την αρχή λειτουργίας των μασκών δικτύου μεταβλητού μήκους. Ας αρχίσουμε!
Εάν το θέμα των δικτύων υπολογιστών σας ενδιαφέρει, μπορείτε να διαβάσετε άλλες ηχογραφήσεις μαθημάτων.
4.4.1 Εισαγωγή
Πριν ξεκινήσουμε, αξίζει να εξηγήσουμε γιατί ένας μηχανικός δικτύου χρειάζεται αυτό το θέμα. Αν και μπορεί να έχετε δει την αναγκαιότητά του όταν μιλήσαμε, μπορείτε να πείτε ότι υπάρχουν αριθμομηχανές IP που διευκολύνουν σημαντικά την εκχώρηση διευθύνσεων IP, τον υπολογισμό των απαιτούμενων μασκών υποδικτύου/δικτύου και τον προσδιορισμό του αριθμού δικτύου και του αριθμού κεντρικού υπολογιστή στη διεύθυνση IP. Αυτό είναι σωστό, αλλά ο υπολογιστής IP δεν είναι πάντα διαθέσιμος, αυτός είναι ο νούμερο ένα λόγος. Ο δεύτερος λόγος είναι ότι στις εξετάσεις της Cisco δεν θα σου δώσουν αριθμομηχανή IP και τέλος. θα πρέπει να κάνετε τη μετατροπή των διευθύνσεων IP από δεκαδική σε δυαδική σε ένα κομμάτι χαρτί, και δεν υπάρχουν τόσο λίγες ερωτήσεις όπου αυτό απαιτείται στις εξετάσεις/εξετάσεις για την απόκτηση του πιστοποιητικού CCNA, θα ήταν κρίμα αν η εξέταση αποτύγχανε λόγω μιας τέτοιας μικροσκοπίας. Και τέλος, η κατανόηση του δυαδικού συστήματος αριθμών οδηγεί σε καλύτερη κατανόηση της αρχής της λειτουργίας.
Γενικά, ένας μηχανικός δικτύου δεν απαιτείται να μπορεί να μετατρέπει αριθμούς από δυαδικούς σε δεκαδικούς και το αντίστροφο στο κεφάλι του. Επιπλέον, σπάνια κάποιος ξέρει πώς να το κάνει αυτό διανοητικά, οι δάσκαλοι διαφόρων μαθημάτων σε δίκτυα υπολογιστών εμπίπτουν κυρίως σε αυτήν την κατηγορία, καθώς το συναντούν συνεχώς καθημερινά. Αλλά με ένα κομμάτι χαρτί και ένα στυλό, θα πρέπει να μάθετε πώς να μεταφράζετε.
4.4.2 Δεκαδικά ψηφία και αριθμοί, ψηφία σε αριθμούς
Ας ξεκινήσουμε απλά και ας μιλήσουμε για δυαδικά ψηφία και αριθμούς, ξέρετε ότι οι αριθμοί και οι αριθμοί είναι δύο διαφορετικά πράγματα. Ένας αριθμός είναι ένα ειδικό σύμβολο για τον προσδιορισμό και ένας αριθμός είναι ένας αφηρημένος συμβολισμός για την ποσότητα. Για παράδειγμα, για να σημειώσουμε ότι έχουμε πέντε δάχτυλα στο χέρι μας, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ρωμαϊκούς και αραβικούς αριθμούς: V και 5. Στην περίπτωση αυτή, το πέντε είναι και αριθμός και ψηφίο. Και, για παράδειγμα, για να γράψουμε τον αριθμό 20 χρησιμοποιούμε δύο ψηφία: 2 και 0.
Συνολικά, στο δεκαδικό σύστημα αριθμών έχουμε δέκα ψηφία ή δέκα σύμβολα (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), συνδυάζοντας τα οποία μπορούμε να γράψουμε διαφορετικούς αριθμούς. Με ποια αρχή καθοδηγούμαστε όταν χρησιμοποιούμε το σύστημα δεκαδικών αριθμών; Ναι, όλα είναι πολύ απλά, ανεβάζουμε δέκα σε έναν ή τον άλλο βαθμό, για παράδειγμα, ας πάρουμε τον αριθμό 321. Πώς μπορεί να γραφτεί διαφορετικά, ως εξής: 3*10 2 +2*10 1 +1*10 0 . Έτσι, αποδεικνύεται ότι ο αριθμός 321 αντιπροσωπεύει τρία ψηφία:
- Ο αριθμός 3 σημαίνει το πιο σημαντικό μέρος ή σε αυτήν την περίπτωση είναι το μέρος των εκατοντάδων, διαφορετικά ο αριθμός τους.
- Ο αριθμός 2 βρίσκεται στη θέση των δεκάδων, έχουμε δύο δεκάδες.
- Ο αριθμός ένα αναφέρεται στο λιγότερο σημαντικό ψηφίο.
Δηλαδή, σε αυτό το λήμμα ένα δύο δεν είναι απλώς ένα δύο, αλλά δύο δεκάδες ή δύο επί δέκα. Και το τρία δεν είναι μόνο τρία, αλλά τρεις φορές εκατό. Λαμβάνεται η ακόλουθη εξάρτηση: η μονάδα κάθε επόμενου ψηφίου είναι δέκα φορές μεγαλύτερη από τη μονάδα του προηγούμενου, επειδή το 300 είναι τρεις φορές το εκατό. Μια παρέκκλιση σχετικά με το σύστημα δεκαδικών αριθμών ήταν απαραίτητη για να καταστεί ευκολότερη η κατανόηση του δυαδικού συστήματος.
4.4.3 Δυαδικά ψηφία και αριθμοί, καθώς και η καταγραφή τους
Υπάρχουν μόνο δύο ψηφία στο δυαδικό σύστημα αριθμών: 0 και 1. Επομένως, η εγγραφή ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα είναι συχνά πολύ μεγαλύτερος από ό,τι στο δεκαδικό σύστημα. Με εξαίρεση τους αριθμούς 0 και 1, το μηδέν στο δυαδικό σύστημα αριθμών είναι ίσο με το μηδέν στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και το ίδιο ισχύει για το ένα. Μερικές φορές, για να μην συγχέεται σε ποιο σύστημα αριθμών είναι γραμμένος ο αριθμός, χρησιμοποιούνται υποδείκτες: 267 10, 10100 12, 4712 8. Ο αριθμός στον υποευρετήριο υποδεικνύει το σύστημα αριθμών.
Τα σύμβολα 0b και &(συμβολικό) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εγγραφή δυαδικών αριθμών: 0b10111, &111. Εάν στο δεκαδικό σύστημα αριθμών, για να προφέρουμε τον αριθμό 245 χρησιμοποιούμε αυτήν την κατασκευή: διακόσια σαράντα πέντε, τότε στο δυαδικό σύστημα αριθμών, για να ονομάσουμε τον αριθμό, πρέπει να προφέρουμε ένα ψηφίο από κάθε ψηφίο, για παράδειγμα, το Ο αριθμός 1100 στο δυαδικό σύστημα αριθμών δεν πρέπει να προφέρεται ως χίλια εκατό, αλλά σαν ένα, ένα, μηδέν, μηδέν. Ας δούμε πώς γράφουμε τους αριθμούς από το 0 έως το 10 στο δυαδικό σύστημα αριθμών:
Νομίζω ότι η λογική πρέπει να είναι ξεκάθαρη μέχρι τώρα. Εάν στο σύστημα δεκαδικών αριθμών για κάθε ψηφίο είχαμε δέκα διαθέσιμες επιλογές (από το 0 έως το 9 συμπεριλαμβανομένων), τότε στο δυαδικό σύστημα αριθμών σε καθένα από τα ψηφία ενός δυαδικού αριθμού έχουμε μόνο δύο επιλογές: 0 ή 1.
Για να δουλέψουμε με διευθύνσεις IP και μάσκες υποδικτύου, χρειαζόμαστε μόνο φυσικούς αριθμούς στο δυαδικό σύστημα αριθμών, αν και το δυαδικό σύστημα μας επιτρέπει να γράφουμε κλασματικούς και αρνητικούς αριθμούς, αλλά δεν το χρειαζόμαστε αυτό.
4.4.4 Μετατροπή αριθμών από δεκαδικό σε δυαδικό
Ας ρίξουμε μια καλύτερη ματιά σε αυτό πώς να μετατρέψετε έναν αριθμό από δεκαδικό σε δυαδικό. Και εδώ όλα είναι πραγματικά πολύ, πολύ απλά, αν και είναι δύσκολο να το εξηγήσω με λόγια, οπότε θα το δώσω αμέσως παράδειγμα μετατροπής αριθμών από δεκαδικό σε δυαδικό. Ας πάρουμε τον αριθμό 61, για να μετατρέψουμε στο δυαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρέσουμε αυτόν τον αριθμό με δύο και να δούμε ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης. Και το αποτέλεσμα της διαίρεσης διαιρείται πάλι με δύο. Σε αυτήν την περίπτωση, το 61 είναι το μέρισμα, θα έχουμε πάντα ως διαιρέτη το δύο και διαιρούμε ξανά το πηλίκο (το αποτέλεσμα της διαίρεσης) με το δύο, συνεχίζουμε τη διαίρεση έως ότου το πηλίκο περιέχει 1, αυτή η τελευταία μονάδα θα είναι το αριστερό ψηφίο . Η παρακάτω εικόνα το δείχνει.
Σημειώστε ότι ο αριθμός 61 δεν είναι 101111, αλλά 111101, δηλαδή γράφουμε το αποτέλεσμα από το τέλος. Ειδικότερα στο τελευταίο, δεν έχει νόημα η διαίρεση ενός προς δύο, αφού σε αυτήν την περίπτωση χρησιμοποιείται διαίρεση ακέραιου αριθμού και με αυτήν την προσέγγιση προκύπτει όπως στο Σχήμα 4.4.2.
Αυτός δεν είναι ο πιο γρήγορος τρόπος για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δυαδικό σε δεκαδικό.. Έχουμε αρκετούς επιταχυντές. Για παράδειγμα, ο αριθμός 7 στο δυαδικό σύστημα γράφεται ως 111, ο αριθμός 3 ως 11 και ο αριθμός 255 ως 11111111. Όλες αυτές οι περιπτώσεις είναι απίστευτα απλές. Το γεγονός είναι ότι οι αριθμοί 8, 4 και 256 είναι δυνάμεις του δύο και οι αριθμοί 7, 3 και 255 είναι ένα λιγότερο από αυτούς τους αριθμούς. Έτσι, για αριθμούς που είναι κατά ένα μικρότεροι από έναν αριθμό ίσο με τη δύναμη του δύο, ισχύει ένας απλός κανόνας: στο δυαδικό σύστημα, ένας τέτοιος δεκαδικός αριθμός γράφεται ως αριθμός μονάδων ίσος με δύναμη δύο. Έτσι, για παράδειγμα, ο αριθμός 256 είναι δύο στην όγδοη δύναμη, επομένως, το 255 γράφεται ως 11111111 και ο αριθμός 8 είναι δύο στην τρίτη δύναμη, και αυτό μας λέει ότι το 7 στο δυαδικό σύστημα αριθμών θα γραφτεί ως 111 Λοιπόν, κατανοήστε, πώς να γράψετε 256, 4 και 8 στο δυαδικό σύστημα αριθμών, απλώς προσθέστε ένα: 256 = 11111111 + 1 = 100000000. 8 = 111 + 1 = 1000; 4 = 11 + 1 = 100.
Μπορείτε να ελέγξετε οποιοδήποτε από τα αποτελέσματά σας σε μια αριθμομηχανή και είναι καλύτερα να το κάνετε στην αρχή.
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν έχουμε ξεχάσει ακόμη πώς να χωρίζουμε. Και τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε.
4.4.5 Μετατροπή αριθμών από δυαδικό σε δεκαδικό
Η μετατροπή αριθμών από δυαδικό είναι πολύ πιο εύκολη από τη μετατροπή από δεκαδικό σε δυαδικό. Ως παράδειγμα μετάφρασης, θα χρησιμοποιήσουμε τον αριθμό 11110. Προσέξτε τον παρακάτω πίνακα, δείχνει την ισχύ στην οποία πρέπει να αυξήσετε δύο για να λάβετε τελικά έναν δεκαδικό αριθμό.
Για να λάβετε έναν δεκαδικό αριθμό από αυτόν τον δυαδικό αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε αριθμό στο ψηφίο με δύο στη δύναμη και, στη συνέχεια, να προσθέσετε τα αποτελέσματα του πολλαπλασιασμού, είναι πιο εύκολο να δείξετε:
1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 16+8+4+2+0=30
Ας ανοίξουμε την αριθμομηχανή και ας βεβαιωθούμε ότι το 30 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών είναι το 11110 στο δυαδικό.
Βλέπουμε ότι όλα έγιναν σωστά. Από το παράδειγμα είναι ξεκάθαρο ότι Η μετατροπή ενός αριθμού από δυαδικό σε δεκαδικό είναι πολύ πιο εύκολη από τη μετατροπή του πίσω. Για να εργαστείτε με αυτοπεποίθηση, πρέπει απλώς να θυμάστε τις δυνάμεις δύο έως 2 8. Για λόγους σαφήνειας, θα παράσχω έναν πίνακα.
Δεν χρειαζόμαστε περισσότερα, καθώς ο μέγιστος δυνατός αριθμός που μπορεί να γραφτεί σε ένα byte (8 bit ή οκτώ δυαδικές τιμές) είναι 255, δηλαδή σε κάθε οκτάδα της διεύθυνσης IP ή της μάσκας υποδικτύου IPv4, η μέγιστη δυνατή τιμή είναι 255. Υπάρχουν πεδία , στα οποία υπάρχουν τιμές μεγαλύτερες από 255, αλλά δεν χρειάζεται να τις υπολογίσουμε.
4.4.6 Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός δυαδικών αριθμών και άλλες πράξεις με δυαδικούς αριθμούς
Ας δούμε τώρα πράξεις που μπορούν να εκτελεστούν σε δυαδικούς αριθμούς. Ας ξεκινήσουμε με απλές αριθμητικές πράξεις και μετά ας προχωρήσουμε στις πράξεις άλγεβρας Boole.
Προσθήκη δυαδικών αριθμών
Η προσθήκη δυαδικών αριθμών δεν είναι τόσο δύσκολη: 1+0 =1; 1+1=0 (θα δώσω μια εξήγηση αργότερα). 0+0=0. Αυτά ήταν απλά παραδείγματα όπου χρησιμοποιήθηκε μόνο ένα ψηφίο, ας δούμε παραδείγματα όπου ο αριθμός των ψηφίων είναι περισσότερα από ένα.
Το 101+1101 στο δεκαδικό σύστημα είναι 5 + 13 = 18. Ας μετρήσουμε σε μια στήλη.
Το αποτέλεσμα επισημαίνεται με πορτοκαλί χρώμα, η αριθμομηχανή λέει ότι υπολογίσαμε σωστά, μπορείτε να το ελέγξετε. Τώρα ας δούμε γιατί συνέβη αυτό, γιατί στην αρχή έγραψα ότι 1+1=0, αλλά αυτό ισχύει για την περίπτωση που έχουμε μόνο ένα ψηφίο, για περιπτώσεις που υπάρχουν περισσότερα από ένα ψηφία, 1+1=10 (ή δύο σε δεκαδικό), που είναι λογικό.
Στη συνέχεια, δείτε τι συμβαίνει, κάνουμε προσθήκες με ψηφία από τα δεξιά προς τα αριστερά:
1. 1+1=10, γράψτε μηδέν, και το ένα πηγαίνει στο επόμενο ψηφίο.
2. Στο επόμενο ψηφίο παίρνουμε 0+0+1=1 (αυτή η μονάδα μας ήρθε από το αποτέλεσμα της πρόσθεσης στο βήμα 1).
4. Εδώ έχουμε μονάδα μόνο στον δεύτερο αριθμό, αλλά έχει μεταφερθεί και εδώ, άρα 0+1+1 = 10.
5. Κολλήστε τα όλα μαζί: 10|0|1|0.
Αν είστε τεμπέληδες σε μια στήλη, τότε ας μετρήσουμε ως εξής: 101011+11011 ή 43 + 27 = 70. Τι μπορούμε να κάνουμε εδώ, αλλά ας δούμε, γιατί κανείς δεν μας απαγορεύει να κάνουμε μεταμορφώσεις και να αλλάξουμε τις θέσεις του Οι όροι δεν αλλάζουν το άθροισμα, για το δυαδικό σύστημα αριθμών αυτός ο κανόνας είναι επίσης σχετικός.
- 101011 = 101000 + 11 = 101000 + 10 + 1 = 100000 + 1000 + 10 + 1.
- 11011 = 11000 + 10 + 1 = 10000 + 1000 + 10 + 1.
- 100000 + 10000 + (1000 +1000) + (10+10) + (1+1).
- 100000 + (10000 + 10000) + 100 + 10.
- 100000 + 100000 +110
- 1000000 + 110.
- 1000110.
Μπορείτε να ελέγξετε με μια αριθμομηχανή, το 1000110 στο δυαδικό είναι 70 στο δεκαδικό.
Αφαίρεση δυαδικών αριθμών
Άμεσα ένα παράδειγμα αφαίρεσης μονοψήφιων αριθμών στο δυαδικό σύστημα αριθμών, δεν μιλήσαμε για αρνητικούς αριθμούς, επομένως δεν λαμβάνουμε υπόψη το 0-1: 1 – 0 = 1; 0 – 0 = 0; 1 – 1 = 0. Εάν υπάρχουν περισσότερα από ένα ψηφία, τότε όλα είναι επίσης απλά, δεν χρειάζεστε καν στήλες ή κόλπα: 110111 – 1000, αυτό είναι το ίδιο με 55 – 8. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε 101111. Και η καρδιά σταμάτησε να χτυπά, από πού προέρχεται η μονάδα στο τρίτο ψηφίο (αρίθμηση από αριστερά προς τα δεξιά και αρχή από το μηδέν); Είναι απλό! Στο δεύτερο ψηφίο του αριθμού 110111 υπάρχει το 0 και στο πρώτο ψηφίο υπάρχει το 1 (αν υποθέσουμε ότι η αρίθμηση των ψηφίων ξεκινά από το 0 και πηγαίνει από αριστερά προς τα δεξιά), αλλά η μονάδα του τέταρτου ψηφίου προκύπτει από προσθέτοντας δύο μονάδες του τρίτου ψηφίου (παίρνετε ένα είδος εικονικού δύο) και από αυτό για δύο αφαιρούμε ένα, το οποίο βρίσκεται στο μηδενικό ψηφίο του αριθμού 1000, και 2 - 1 = 1, και το 1 είναι έγκυρο ψηφίο στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Πολλαπλασιασμός δυαδικών αριθμών
Μένει να εξετάσουμε τον πολλαπλασιασμό των δυαδικών αριθμών, ο οποίος υλοποιείται μετατοπίζοντας ένα bit προς τα αριστερά. Αλλά πρώτα, ας δούμε τα αποτελέσματα του μονοψήφιου πολλαπλασιασμού: 1*1 = 1; 1*0=0 0*0=0. Στην πραγματικότητα, όλα είναι απλά, τώρα ας δούμε κάτι πιο σύνθετο. Ας πάρουμε τους αριθμούς 101001 (41) και 1100 (12). Θα πολλαπλασιάσουμε με στήλη.
Εάν δεν είναι σαφές από τον πίνακα πώς συνέβη αυτό, τότε θα προσπαθήσω να εξηγήσω με λόγια:
- Είναι βολικό να πολλαπλασιάσουμε δυαδικούς αριθμούς σε μια στήλη, επομένως γράφουμε τον δεύτερο παράγοντα κάτω από τον πρώτο, εάν οι αριθμοί έχουν διαφορετικούς αριθμούς ψηφίων, θα είναι πιο βολικό εάν ο μεγαλύτερος αριθμός βρίσκεται στην κορυφή.
- Το επόμενο βήμα είναι να πολλαπλασιάσουμε όλα τα ψηφία του πρώτου αριθμού με το χαμηλότερο ψηφίο του δεύτερου αριθμού. Γράφουμε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού παρακάτω πρέπει να το γράψουμε έτσι ώστε κάτω από κάθε αντίστοιχο ψηφίο να γράφεται το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού.
- Τώρα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε όλα τα ψηφία του πρώτου αριθμού με το επόμενο ψηφίο του δεύτερου αριθμού και να γράψουμε το αποτέλεσμα μία ακόμη γραμμή παρακάτω, αλλά αυτό το αποτέλεσμα πρέπει να μετατοπιστεί ένα ψηφίο προς τα αριστερά, αν κοιτάξετε τον πίνακα είναι η δεύτερη ακολουθία μηδενικών από την κορυφή.
- Το ίδιο πρέπει να κάνετε και για τα επόμενα ψηφία, κάθε φορά μετακινώντας ένα ψηφίο προς τα αριστερά, και αν κοιτάξετε τον πίνακα, μπορείτε να πείτε ότι ένα κελί προς τα αριστερά.
- Έχουμε τέσσερις δυαδικούς αριθμούς που τώρα πρέπει να προσθέσουμε και να πάρουμε το αποτέλεσμα. Πρόσφατα εξετάσαμε την προσθήκη, δεν θα έπρεπε να υπάρχουν προβλήματα.
Γενικά, η λειτουργία πολλαπλασιασμού δεν είναι τόσο δύσκολη, απλά χρειάζεται λίγη εξάσκηση.
Πράξεις Boolean Algebra
Υπάρχουν δύο πολύ σημαντικές έννοιες στην άλγεβρα Boole: true και false, το ισοδύναμο των οποίων είναι μηδέν και ένα στο δυαδικό σύστημα αριθμών. Οι τελεστές άλγεβρας Boole επεκτείνουν τον αριθμό των διαθέσιμων τελεστών σε αυτές τις τιμές, ας τους ρίξουμε μια ματιά.
Λογική λειτουργία ΚΑΙ ή AND
Η λειτουργία Logical AND ή AND είναι ισοδύναμη με τον πολλαπλασιασμό μονοψήφιων δυαδικών αριθμών.
1 ΚΑΙ 1 = 1; 1 ΚΑΙ 0 = 1; 0 ΚΑΙ 0 = 0; 0 ΚΑΙ 1 = 0.
1 ΚΑΙ 1 = 1 ; 1 ΚΑΙ 0 = 1 ; 0 ΚΑΙ 0 = 0 ; 0 ΚΑΙ 1 = 0. |
Το αποτέλεσμα του "Λογικού ΚΑΙ" θα είναι ένα μόνο εάν και οι δύο τιμές είναι ίσες με ένα σε όλες τις άλλες περιπτώσεις θα είναι μηδέν.
Λειτουργία "Logical OR" ή OR
Η λειτουργία "Logical OR" ή OR λειτουργεί με την ακόλουθη αρχή: εάν τουλάχιστον μία τιμή είναι ίση με μία, τότε το αποτέλεσμα θα είναι μία.
1 Ή 1 = 1; 1 Ή 0 = 1; 0 Ή 1 = 1; 0 Ή 0 = 0.
1 Ή 1 = 1 ; 1 Ή 0 = 1 ; 0 Ή 1 = 1 ; 0 Ή 0 = 0. |
Αποκλειστική λειτουργία OR ή XOR
Η πράξη "Αποκλειστικό OR" ή XOR θα μας δώσει αποτέλεσμα ενός μόνο εάν ένας από τους τελεστές είναι ίσος με ένα και ο δεύτερος ίσος με μηδέν. Αν και οι δύο τελεστές είναι ίσοι με μηδέν, το αποτέλεσμα θα είναι μηδέν και ακόμη και αν και οι δύο τελεστές είναι ίσοι με ένα, το αποτέλεσμα θα είναι μηδέν.
