Εκτίμηση Διαστημάτων Εμπιστοσύνης

Στόχοι μάθησης

Οι στατιστικές θεωρούν τα εξής δύο βασικά καθήκοντα:

Έχουμε κάποια εκτίμηση που βασίζεται σε δείγματα δεδομένων και θέλουμε να κάνουμε κάποια πιθανολογική δήλωση σχετικά με το πού βρίσκεται η πραγματική τιμή της εκτιμώμενης παραμέτρου.

Έχουμε μια συγκεκριμένη υπόθεση που πρέπει να ελεγχθεί χρησιμοποιώντας δείγματα δεδομένων.

Σε αυτό το θέμα εξετάζουμε την πρώτη εργασία. Ας εισαγάγουμε επίσης τον ορισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης.

Ένα διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα που χτίζεται γύρω από την εκτιμώμενη τιμή μιας παραμέτρου και δείχνει πού βρίσκεται η πραγματική τιμή της εκτιμώμενης παραμέτρου με μια εκ των προτέρων καθορισμένη πιθανότητα.

Αφού μελετήσετε το υλικό για αυτό το θέμα, μπορείτε:

μάθετε τι είναι ένα διάστημα εμπιστοσύνης για μια εκτίμηση.

μάθουν να ταξινομούν στατιστικά προβλήματα.

κατακτήστε την τεχνική της κατασκευής διαστημάτων εμπιστοσύνης, τόσο χρησιμοποιώντας στατιστικούς τύπους όσο και χρησιμοποιώντας εργαλεία λογισμικού.

μάθετε να προσδιορίζετε τα απαιτούμενα μεγέθη δειγμάτων για να επιτύχετε ορισμένες παραμέτρους ακρίβειας των στατιστικών εκτιμήσεων.

Κατανομές χαρακτηριστικών του δείγματος

Τ-κατανομή

Όπως συζητήθηκε παραπάνω, η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής είναι κοντά στην τυποποιημένη κανονική κατανομή με τις παραμέτρους 0 και 1. Εφόσον δεν γνωρίζουμε την τιμή του σ, την αντικαθιστούμε με κάποια εκτίμηση του s. Η ποσότητα έχει ήδη διαφορετική κατανομή, δηλαδή ή Κατανομή μαθητών, η οποία καθορίζεται από την παράμετρο n -1 (ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας). Αυτή η κατανομή είναι κοντά στην κανονική κατανομή (όσο μεγαλύτερο n, τόσο πιο κοντά είναι οι κατανομές).

Στο Σχ. 95
παρουσιάζεται η κατανομή Μαθητών με 30 βαθμούς ελευθερίας. Όπως μπορείτε να δείτε, είναι πολύ κοντά στην κανονική κατανομή.

Παρόμοιες με τις συναρτήσεις για εργασία με την κανονική κατανομή NORMIDIST και NORMINV, υπάρχουν λειτουργίες για εργασία με την κατανομή t - STUDIST (TDIST) και STUDRASOBR (TINV). Ένα παράδειγμα χρήσης αυτών των συναρτήσεων φαίνεται στο αρχείο STUDRASP.XLS (πρότυπο και λύση) και στην Εικ. 96
.

Κατανομές άλλων χαρακτηριστικών

Όπως ήδη γνωρίζουμε, για να προσδιορίσουμε την ακρίβεια της εκτίμησης της μαθηματικής προσδοκίας, χρειαζόμαστε μια κατανομή t. Για την εκτίμηση άλλων παραμέτρων, όπως η διακύμανση, απαιτούνται διαφορετικές κατανομές. Δύο από αυτά είναι η F-κατανομή και x 2 -κατανομή.

Διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο όρο

Διάστημα εμπιστοσύνης- αυτό είναι ένα διάστημα που δημιουργείται γύρω από την εκτιμώμενη τιμή της παραμέτρου και δείχνει πού βρίσκεται η πραγματική τιμή της εκτιμώμενης παραμέτρου με μια εκ των προτέρων καθορισμένη πιθανότητα.

Εμφανίζεται η κατασκευή ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή με τον εξής τρόπο:

Παράδειγμα

Το εστιατόριο γρήγορου φαγητού σχεδιάζει να επεκτείνει τη γκάμα του με ένα νέο είδος σάντουιτς. Για να υπολογίσει τη ζήτηση για αυτό, ο διαχειριστής σχεδιάζει να επιλέξει τυχαία 40 επισκέπτες από αυτούς που το έχουν ήδη δοκιμάσει και να τους ζητήσει να βαθμολογήσουν τη στάση τους απέναντι στο νέο προϊόν σε κλίμακα από το 1 έως το 10. Ο διευθυντής θέλει να εκτιμήσει το αναμενόμενο τον αριθμό των πόντων που θα λάβει το νέο προϊόν και δημιουργεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95% για αυτήν την εκτίμηση. Πώς να το κάνετε αυτό; (βλ. αρχείο SANDWICH1.XLS (πρότυπο και λύση).

Λύση

Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε . Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στο Σχ. 97
.

Διάστημα εμπιστοσύνης για τη συνολική αξία

Μερικές φορές, χρησιμοποιώντας δείγματα δεδομένων, είναι απαραίτητο να εκτιμηθεί όχι η μαθηματική προσδοκία, αλλά το συνολικό άθροισμα των τιμών. Για παράδειγμα, σε μια κατάσταση με έναν ελεγκτή, το ενδιαφέρον μπορεί να είναι η εκτίμηση όχι του μέσου μεγέθους λογαριασμού, αλλά του αθροίσματος όλων των λογαριασμών.

Έστω N ο συνολικός αριθμός των στοιχείων, n το μέγεθος του δείγματος, T 3 είναι το άθροισμα των τιμών στο δείγμα, T" η εκτίμηση για το άθροισμα σε ολόκληρο τον πληθυσμό και, στη συνέχεια, και υπολογίζεται το διάστημα εμπιστοσύνης από τον τύπο όπου s είναι η εκτίμηση της τυπικής απόκλισης για το δείγμα, είναι ο μέσος όρος εκτίμησης για το δείγμα.

Παράδειγμα

Ας υποθέσουμε ότι μια φορολογική υπηρεσία θέλει να υπολογίσει τις συνολικές επιστροφές φόρου για 10.000 φορολογούμενους. Ο φορολογούμενος είτε λαμβάνει επιστροφή χρημάτων είτε πληρώνει πρόσθετους φόρους. Βρείτε το διάστημα εμπιστοσύνης 95% για το ποσό επιστροφής χρημάτων, υποθέτοντας μέγεθος δείγματος 500 ατόμων (δείτε το αρχείο AMOUNT OF REFUND.XLS (πρότυπο και λύση).

Λύση

Το StatPro δεν έχει ειδική διαδικασία για αυτήν την περίπτωση, ωστόσο, μπορεί να σημειωθεί ότι τα όρια μπορούν να ληφθούν από τα όρια για τον μέσο όρο με βάση τους παραπάνω τύπους (Εικ. 98
).

Διάστημα εμπιστοσύνης για αναλογία

Έστω p η μαθηματική προσδοκία του μεριδίου των πελατών και έστω p b η εκτίμηση αυτού του μεριδίου που προκύπτει από ένα δείγμα μεγέθους n. Μπορεί να αποδειχθεί ότι για αρκετά μεγάλο η κατανομή αξιολόγησης θα είναι κοντά στο κανονικό με μαθηματική προσδοκία p και τυπική απόκλιση . Το τυπικό σφάλμα εκτίμησης σε αυτή την περίπτωση εκφράζεται ως , και το διάστημα εμπιστοσύνης είναι όπως .

Παράδειγμα

Το εστιατόριο γρήγορου φαγητού σχεδιάζει να επεκτείνει τη γκάμα του με ένα νέο είδος σάντουιτς. Για να αξιολογήσει τη ζήτηση για αυτό, ο διαχειριστής επέλεξε τυχαία 40 επισκέπτες από αυτούς που το είχαν ήδη δοκιμάσει και τους ζήτησε να βαθμολογήσουν τη στάση τους απέναντι στο νέο προϊόν σε κλίμακα από το 1 έως το 10. Ο διευθυντής θέλει να υπολογίσει την αναμενόμενη αναλογία πελάτες που βαθμολογούν το νέο προϊόν τουλάχιστον με 6 βαθμούς (αναμένει ότι αυτοί οι πελάτες θα είναι οι καταναλωτές του νέου προϊόντος).

Λύση

Αρχικά, δημιουργούμε μια νέα στήλη με βάση το χαρακτηριστικό 1, εάν η βαθμολογία του πελάτη ήταν πάνω από 6 βαθμοί και 0 διαφορετικά (βλ. αρχείο SANDWICH2.XLS (πρότυπο και λύση).

Μέθοδος 1

Μετρώντας τον αριθμό του 1, υπολογίζουμε το μερίδιο και, στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε τους τύπους.

Η τιμή zcr λαμβάνεται από ειδικούς πίνακες κανονικής κατανομής (για παράδειγμα, 1,96 για διάστημα εμπιστοσύνης 95%).

Χρησιμοποιώντας αυτήν την προσέγγιση και συγκεκριμένα δεδομένα για την κατασκευή ενός διαστήματος 95%, λαμβάνουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα (Εικ. 99
). Η κρίσιμη τιμή της παραμέτρου zcr είναι 1,96. Το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης είναι 0,077. Το κατώτερο όριο του διαστήματος εμπιστοσύνης είναι 0,475. Το ανώτατο όριο του διαστήματος εμπιστοσύνης είναι 0,775. Έτσι, ο διαχειριστής έχει το δικαίωμα να πιστεύει με βεβαιότητα 95% ότι το ποσοστό των πελατών που βαθμολογούν το νέο προϊόν 6 μονάδες ή υψηλότερο θα είναι μεταξύ 47,5 και 77,5.

Μέθοδος 2

Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τυπικά εργαλεία StatPro. Για να γίνει αυτό, αρκεί να σημειωθεί ότι το μερίδιο σε αυτήν την περίπτωση συμπίπτει με τη μέση τιμή της στήλης Τύπος. Στη συνέχεια κάνουμε αίτηση StatPro/Στατιστικό συμπέρασμα/Ανάλυση ενός δείγματοςνα κατασκευαστεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης του μέσου όρου (εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας) για τη στήλη Τύπος. Τα αποτελέσματα που λαμβάνονται σε αυτή την περίπτωση θα είναι πολύ κοντά στα αποτελέσματα της 1ης μεθόδου (Εικ. 99).

Διάστημα εμπιστοσύνης για τυπική απόκλιση

Το s χρησιμοποιείται ως εκτίμηση της τυπικής απόκλισης (ο τύπος δίνεται στην Ενότητα 1). Η συνάρτηση πυκνότητας της εκτίμησης s είναι η συνάρτηση chi-square, η οποία, όπως και η κατανομή t, έχει n-1 βαθμούς ελευθερίας. Υπάρχουν ειδικές λειτουργίες για εργασία με αυτήν τη διανομή CHIDIST και CHIINV.

Το διάστημα εμπιστοσύνης σε αυτή την περίπτωση δεν θα είναι πλέον συμμετρικό. Ένα συμβατικό οριοδιάγραμμα φαίνεται στο Σχ. 100 .

Παράδειγμα

Το μηχάνημα πρέπει να παράγει εξαρτήματα με διάμετρο 10 cm Ωστόσο, λόγω διαφόρων περιστάσεων, συμβαίνουν σφάλματα. Ο ελεγκτής ποιότητας ανησυχεί για δύο περιπτώσεις: πρώτον, η μέση τιμή πρέπει να είναι 10 cm. δεύτερον, ακόμη και σε αυτή την περίπτωση, αν οι αποκλίσεις είναι μεγάλες, τότε πολλά μέρη θα απορριφθούν. Κάθε μέρα φτιάχνει ένα δείγμα 50 εξαρτημάτων (βλ. αρχείο QUALITY CONTROL.XLS (πρότυπο και λύση) Τι συμπεράσματα μπορεί να βγάλει ένα τέτοιο δείγμα;

Λύση

Ας κατασκευάσουμε διαστήματα εμπιστοσύνης 95% για τη μέση και τυπική απόκλιση χρησιμοποιώντας StatPro/Στατιστικό συμπέρασμα/Ανάλυση ενός δείγματος(Εικ. 101
).

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την υπόθεση της κανονικής κατανομής των διαμέτρων, υπολογίζουμε την αναλογία των ελαττωματικών προϊόντων, ορίζοντας μέγιστη απόκλιση 0,065. Χρησιμοποιώντας τις δυνατότητες του πίνακα αντικατάστασης (η περίπτωση δύο παραμέτρων), σχεδιάζουμε την εξάρτηση της αναλογίας των ελαττωμάτων από τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση (Εικ. 102
).

Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά μεταξύ δύο μέσων

Αυτή είναι μια από τις πιο σημαντικές εφαρμογές των στατιστικών μεθόδων. Παραδείγματα καταστάσεων.

Ένας διευθυντής καταστήματος ρούχων θα ήθελε να μάθει πόσα περισσότερα ή λιγότερα ξοδεύει η μέση γυναίκα πελάτης στο κατάστημα από τον μέσο άνδρα πελάτη.

Οι δύο αεροπορικές εταιρείες εκτελούν παρόμοια δρομολόγια. Μια οργάνωση καταναλωτών θα ήθελε να συγκρίνει τη διαφορά μεταξύ των μέσων αναμενόμενων χρόνων καθυστέρησης πτήσης και για τις δύο αεροπορικές εταιρείες.

Η εταιρεία στέλνει κουπόνια για ορισμένα είδη αγαθών σε μια πόλη και όχι σε άλλη. Οι διαχειριστές θέλουν να συγκρίνουν τους μέσους όγκους αγορών αυτών των προϊόντων τους επόμενους δύο μήνες.

Ένας έμπορος αυτοκινήτων συχνά ασχολείται με παντρεμένα ζευγάρια σε παρουσιάσεις. Για να κατανοήσουμε τις προσωπικές τους αντιδράσεις στην παρουσίαση, τα ζευγάρια συχνά παίρνουν συνέντευξη ξεχωριστά. Ο διευθυντής θέλει να αξιολογήσει τη διαφορά στις βαθμολογίες που δίνουν άνδρες και γυναίκες.

Περίπτωση ανεξάρτητων δειγμάτων

Η διαφορά μεταξύ των μέσων θα έχει t-κατανομή με n 1 + n 2 - 2 βαθμούς ελευθερίας. Το διάστημα εμπιστοσύνης για μ 1 - μ 2 εκφράζεται με τη σχέση:

Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί όχι μόνο χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους, αλλά και χρησιμοποιώντας τυπικά εργαλεία StatPro. Για να γίνει αυτό, αρκεί να χρησιμοποιήσετε

Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά μεταξύ των αναλογιών

Έστω η μαθηματική προσδοκία των μετοχών. Έστω οι δειγματοληπτικές εκτιμήσεις τους, που κατασκευάστηκαν από δείγματα μεγέθους n 1 και n 2, αντίστοιχα. Τότε είναι μια εκτίμηση για τη διαφορά. Επομένως, το διάστημα εμπιστοσύνης αυτής της διαφοράς εκφράζεται ως:

Εδώ το z cr είναι μια τιμή που λαμβάνεται από μια κανονική κατανομή χρησιμοποιώντας ειδικούς πίνακες (για παράδειγμα, 1,96 για διάστημα εμπιστοσύνης 95%).

Το τυπικό σφάλμα εκτίμησης εκφράζεται σε αυτή την περίπτωση από τη σχέση:

.

Παράδειγμα

Το μαγαζί ετοιμαζόμενος για μεγάλη πώληση ανέλαβε την παρακάτω έρευνα μάρκετινγκ. Οι 300 κορυφαίοι αγοραστές επιλέχθηκαν και χωρίστηκαν τυχαία σε δύο ομάδες των 150 μελών η καθεμία. Σε όλους τους επιλεγμένους αγοραστές στάλθηκαν προσκλήσεις για συμμετοχή στην πώληση, αλλά μόνο τα μέλη της πρώτης ομάδας έλαβαν ένα κουπόνι που τους δικαιούσε έκπτωση 5%. Κατά την πώληση καταγράφηκαν οι αγορές και των 300 επιλεγμένων αγοραστών. Πώς μπορεί ένας διευθυντής να ερμηνεύσει τα αποτελέσματα και να κρίνει την αποτελεσματικότητα των κουπονιών; (βλ. αρχείο COUPONS.XLS (πρότυπο και λύση)).

Λύση

Για τη συγκεκριμένη περίπτωσή μας, από τους 150 πελάτες που έλαβαν εκπτωτικό κουπόνι, οι 55 πραγματοποίησαν αγορά με έκπτωση και από τους 150 που δεν έλαβαν κουπόνι, μόνο οι 35 πραγματοποίησαν αγορά (Εικ. 103
). Τότε οι τιμές των αναλογιών του δείγματος είναι 0,3667 και 0,2333, αντίστοιχα. Και η διαφορά δείγματος μεταξύ τους είναι ίση με 0,1333, αντίστοιχα. Υποθέτοντας ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95%, βρίσκουμε από τον πίνακα κανονικής κατανομής z cr = 1,96. Ο υπολογισμός του τυπικού σφάλματος της διαφοράς δείγματος είναι 0,0524. Τελικά διαπιστώνουμε ότι το κατώτερο όριο του διαστήματος εμπιστοσύνης 95% είναι 0,0307 και το ανώτερο όριο είναι 0,2359, αντίστοιχα. Τα αποτελέσματα που λαμβάνονται μπορούν να ερμηνευτούν με τέτοιο τρόπο ώστε για κάθε 100 πελάτες που έλαβαν εκπτωτικό κουπόνι, να περιμένουμε από 3 έως 23 νέους πελάτες. Ωστόσο, πρέπει να έχουμε υπόψη μας ότι αυτό το συμπέρασμα από μόνο του δεν σημαίνει αποτελεσματικότητα χρήσης κουπονιών (αφού με την παροχή έκπτωσης χάνουμε κέρδος!). Ας το δείξουμε αυτό με συγκεκριμένα δεδομένα. Ας υποθέσουμε ότι το μέσο μέγεθος αγοράς είναι 400 ρούβλια, εκ των οποίων 50 ρούβλια. υπάρχει κέρδος για το κατάστημα. Τότε το αναμενόμενο κέρδος σε 100 πελάτες που δεν έλαβαν κουπόνι είναι:

50 0,2333 100 = 1166,50 τρίψτε.

Παρόμοιοι υπολογισμοί για 100 πελάτες που έλαβαν κουπόνι δίνουν:

30 0,3667 100 = 1100,10 τρίψτε.

Η μείωση του μέσου κέρδους στα 30 εξηγείται από το γεγονός ότι, χρησιμοποιώντας την έκπτωση, οι πελάτες που έλαβαν ένα κουπόνι θα πραγματοποιήσουν κατά μέσο όρο μια αγορά για 380 ρούβλια.

Έτσι, το τελικό συμπέρασμα δείχνει την αναποτελεσματικότητα της χρήσης τέτοιων κουπονιών στη συγκεκριμένη περίπτωση.

Σχόλιο. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τυπικά εργαλεία StatPro. Για να γίνει αυτό, αρκεί να μειώσετε αυτό το πρόβλημα στο πρόβλημα της εκτίμησης της διαφοράς μεταξύ δύο μέσων τιμών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο και στη συνέχεια να εφαρμόσετε StatPro/Στατιστικό συμπέρασμα/Ανάλυση δύο δειγμάτωνγια την κατασκευή ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για τη διαφορά μεταξύ δύο μέσων τιμών.

Έλεγχος του μήκους διαστήματος εμπιστοσύνης

Το μήκος του διαστήματος εμπιστοσύνης εξαρτάται από παρακάτω συνθήκες:

δεδομένα απευθείας (τυπική απόκλιση).

επίπεδο σημασίας·

το μέγεθος του δείγματος.

Μέγεθος δείγματος για την εκτίμηση του μέσου όρου

Αρχικά, ας εξετάσουμε το πρόβλημα στη γενική περίπτωση. Ας υποδηλώσουμε την τιμή του μισού μήκους του διαστήματος εμπιστοσύνης που μας δίνεται ως Β (Εικ. 104
). Γνωρίζουμε ότι το διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή κάποιας τυχαίας μεταβλητής Χ εκφράζεται ως , Οπου . Πιστεύοντας:

και εκφράζοντας το n, παίρνουμε .

Δυστυχώς, δεν γνωρίζουμε την ακριβή τιμή της διακύμανσης της τυχαίας μεταβλητής X. Επιπλέον, δεν γνωρίζουμε την τιμή του tcr, αφού εξαρτάται από το n μέσω του αριθμού των βαθμών ελευθερίας. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορούμε να κάνουμε τα εξής. Αντί της διακύμανσης s, χρησιμοποιούμε κάποια εκτίμηση της διακύμανσης με βάση τυχόν διαθέσιμες υλοποιήσεις της τυχαίας μεταβλητής υπό μελέτη. Αντί για την τιμή t cr, χρησιμοποιούμε την τιμή z cr για την κανονική κατανομή. Αυτό είναι αρκετά αποδεκτό, καθώς οι συναρτήσεις πυκνότητας κατανομής για την κανονική και τις κατανομές t είναι πολύ κοντινές (εκτός από την περίπτωση του μικρού n). Έτσι, ο απαιτούμενος τύπος παίρνει τη μορφή:

.

Δεδομένου ότι ο τύπος δίνει, σε γενικές γραμμές, μη ακέραια αποτελέσματα, η στρογγυλοποίηση με μια περίσσεια του αποτελέσματος λαμβάνεται ως το επιθυμητό μέγεθος δείγματος.

Παράδειγμα

Το εστιατόριο γρήγορου φαγητού σχεδιάζει να επεκτείνει τη γκάμα του με ένα νέο είδος σάντουιτς. Για να αξιολογήσει τη ζήτηση για αυτό, ο διαχειριστής σχεδιάζει να επιλέξει τυχαία έναν αριθμό επισκεπτών από αυτούς που το έχουν ήδη δοκιμάσει και να τους ζητήσει να βαθμολογήσουν τη στάση τους απέναντι στο νέο προϊόν σε κλίμακα από το 1 έως το 10. Ο διευθυντής θέλει να εκτιμήσει ο αναμενόμενος αριθμός πόντων που θα λάβει το νέο προϊόν προϊόν και κατασκευάζει ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95% για αυτήν την εκτίμηση. Παράλληλα, θέλει το μισό πλάτος του διαστήματος εμπιστοσύνης να μην ξεπερνά το 0,3. Πόσους επισκέπτες χρειάζεται να πάρει συνέντευξη;

ως εξής:

Εδώ r otsείναι μια εκτίμηση της αναλογίας p, και το B είναι ένα δεδομένο μισό μήκος του διαστήματος εμπιστοσύνης. Μια υπερεκτίμηση για το n μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας την τιμή r ots= 0,5. Σε αυτήν την περίπτωση, το μήκος του διαστήματος εμπιστοσύνης δεν θα υπερβαίνει την καθορισμένη τιμή B για οποιαδήποτε πραγματική τιμή του p.

Παράδειγμα

Αφήστε τον διαχειριστή από το προηγούμενο παράδειγμα να σχεδιάσει να εκτιμήσει το μερίδιο των πελατών που προτίμησαν έναν νέο τύπο προϊόντος. Θέλει να κατασκευάσει ένα διάστημα εμπιστοσύνης 90% του οποίου το μισό μήκος δεν υπερβαίνει το 0,05. Πόσοι πελάτες θα πρέπει να συμπεριληφθούν στο τυχαίο δείγμα;

Λύση

Στην περίπτωσή μας, η τιμή του z cr = 1,645. Επομένως, η απαιτούμενη ποσότητα υπολογίζεται ως .

Εάν ο διαχειριστής είχε λόγους να πιστεύει ότι η επιθυμητή τιμή p ήταν, για παράδειγμα, περίπου 0,3, τότε αντικαθιστώντας αυτήν την τιμή στον παραπάνω τύπο, θα παίρναμε μια μικρότερη τυχαία τιμή δείγματος, δηλαδή 228.

Φόρμουλα για τον προσδιορισμό τυχαίο μέγεθος δείγματος σε περίπτωση διαφοράς μεταξύ δύο μέσωνγραμμένο ως:

.

Παράδειγμα

Κάποια εταιρεία υπολογιστών διαθέτει κέντρο εξυπηρέτησης πελατών. Πρόσφατα, ο αριθμός των παραπόνων πελατών για κακή ποιότητα υπηρεσιών έχει αυξηθεί. Το κέντρο εξυπηρέτησης απασχολεί κυρίως δύο τύπους υπαλλήλων: αυτούς που δεν έχουν μεγάλη εμπειρία, αλλά έχουν ολοκληρώσει ειδικά προπαρασκευαστικά μαθήματα και εκείνους που έχουν μεγάλη πρακτική εμπειρία, αλλά δεν έχουν ολοκληρώσει ειδικά μαθήματα. Η εταιρεία θέλει να αναλύσει τα παράπονα πελατών τους τελευταίους έξι μήνες και να συγκρίνει τον μέσο αριθμό παραπόνων για κάθε μία από τις δύο ομάδες εργαζομένων. Υποτίθεται ότι οι αριθμοί στα δείγματα και για τις δύο ομάδες θα είναι οι ίδιοι. Πόσοι εργαζόμενοι πρέπει να συμπεριληφθούν στο δείγμα για να ληφθεί ένα διάστημα 95% με μισό μήκος όχι μεγαλύτερο από 2;

Λύση

Εδώ το σ ots είναι μια εκτίμηση της τυπικής απόκλισης και των δύο τυχαίων μεταβλητών με την υπόθεση ότι είναι κοντά. Επομένως, στο πρόβλημά μας πρέπει να λάβουμε με κάποιο τρόπο αυτήν την εκτίμηση. Αυτό μπορεί να γίνει, για παράδειγμα, ως εξής. Έχοντας εξετάσει δεδομένα για παράπονα πελατών τους τελευταίους έξι μήνες, ένας διευθυντής μπορεί να παρατηρήσει ότι κάθε υπάλληλος λαμβάνει γενικά από 6 έως 36 παράπονα. Γνωρίζοντας ότι για μια κανονική κατανομή σχεδόν όλες οι τιμές δεν απέχουν περισσότερες από τρεις τυπικές αποκλίσεις από τη μέση τιμή, μπορεί εύλογα να πιστέψει ότι:

Όπου σ ots = 5.

Αντικαθιστώντας αυτήν την τιμή στον τύπο, παίρνουμε .

Φόρμουλα για τον προσδιορισμό τυχαίο μέγεθος δείγματος σε περίπτωση εκτίμησης της διαφοράς μεταξύ των αναλογιώνέχει τη μορφή:

Παράδειγμα

Κάποια εταιρεία έχει δύο εργοστάσια που παράγουν παρόμοια προϊόντα. Ένας διευθυντής εταιρείας θέλει να συγκρίνει το ποσοστό των ελαττωματικών προϊόντων και στα δύο εργοστάσια. Σύμφωνα με τις διαθέσιμες πληροφορίες, το ποσοστό ελαττωμάτων και στα δύο εργοστάσια κυμαίνεται από 3 έως 5%. Προορίζεται να δημιουργήσει ένα διάστημα εμπιστοσύνης 99% με μισό μήκος όχι μεγαλύτερο από 0,005 (ή 0,5%). Πόσα προϊόντα πρέπει να επιλεγούν από κάθε εργοστάσιο;

Λύση

Εδώ τα p 1ots και p 2ots είναι εκτιμήσεις δύο άγνωστων μεριδίων ελαττωμάτων στο 1ο και το 2ο εργοστάσιο. Αν βάλουμε p 1ots = p 2ots = 0,5, τότε παίρνουμε μια υπερεκτιμημένη τιμή για το n. Επειδή όμως στην περίπτωσή μας έχουμε κάποιες a priori πληροφορίες για αυτές τις μετοχές, παίρνουμε την ανώτερη εκτίμηση αυτών των μετοχών, δηλαδή 0,05. Παίρνουμε

Κατά την εκτίμηση ορισμένων παραμέτρων πληθυσμού από δεδομένα δείγματος, είναι χρήσιμο να δίνεται όχι μόνο μια σημειακή εκτίμηση της παραμέτρου, αλλά και να παρέχεται ένα διάστημα εμπιστοσύνης που δείχνει πού μπορεί να βρίσκεται η ακριβής τιμή της παραμέτρου που εκτιμάται.

Σε αυτό το κεφάλαιο, εξοικειωθήκαμε επίσης με ποσοτικές σχέσεις που μας επιτρέπουν να κατασκευάζουμε τέτοια διαστήματα για διάφορες παραμέτρους. έμαθαν τρόπους ελέγχου του μήκους του διαστήματος εμπιστοσύνης.

Σημειώστε επίσης ότι το πρόβλημα της εκτίμησης των μεγεθών του δείγματος (το πρόβλημα του προγραμματισμού ενός πειράματος) μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τυπικά εργαλεία StatPro, δηλαδή StatPro/Στατιστικό συμπέρασμα/Επιλογή μεγέθους δείγματος.

Υπάρχουν δύο τύποι εκτιμήσεων στις στατιστικές: σημειακή και μεσοδιάστημα. Σημειακή εκτίμησηείναι ένα ενιαίο δείγμα στατιστικής που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση μιας παραμέτρου πληθυσμού. Για παράδειγμα, ο μέσος όρος του δείγματος είναι μια σημειακή εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας του πληθυσμού και της διακύμανσης του δείγματος S 2- σημειακή εκτίμηση της διακύμανσης του πληθυσμού σ 2. Έχει αποδειχθεί ότι ο μέσος όρος του δείγματος είναι μια αμερόληπτη εκτίμηση των μαθηματικών προσδοκιών του πληθυσμού. Ένας μέσος όρος δείγματος ονομάζεται αμερόληπτος επειδή ο μέσος όρος όλων των δειγμάτων σημαίνει (με το ίδιο μέγεθος δείγματος) n) ισούται με τη μαθηματική προσδοκία του γενικού πληθυσμού.

Για τη διακύμανση του δείγματος S 2έγινε μια αμερόληπτη εκτίμηση της διακύμανσης του πληθυσμού σ 2, ο παρονομαστής της διακύμανσης του δείγματος πρέπει να οριστεί ίσος με n – 1 , αλλά όχι n. Με άλλα λόγια, η διακύμανση του πληθυσμού είναι ο μέσος όρος όλων των πιθανών διακυμάνσεων του δείγματος.

Κατά την εκτίμηση των παραμέτρων πληθυσμού, θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη ότι δειγματοληπτικά στατιστικά στοιχεία όπως π.χ , εξαρτώνται από συγκεκριμένα δείγματα. Για να λάβουμε υπόψη αυτό το γεγονός, να αποκτήσουμε εκτίμηση διαστήματοςμαθηματική προσδοκία του γενικού πληθυσμού, αναλύστε την κατανομή των μέσων δειγμάτων (για περισσότερες λεπτομέρειες, βλ.). Το κατασκευασμένο διάστημα χαρακτηρίζεται από ένα ορισμένο επίπεδο εμπιστοσύνης, το οποίο αντιπροσωπεύει την πιθανότητα να εκτιμηθεί σωστά η πραγματική παράμετρος πληθυσμού. Παρόμοια διαστήματα εμπιστοσύνης μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εκτίμηση της αναλογίας ενός χαρακτηριστικού Rκαι η κύρια κατανεμημένη μάζα του πληθυσμού.

Κατεβάστε τη σημείωση σε ή μορφή, παραδείγματα σε μορφή

Κατασκευή ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για τη μαθηματική προσδοκία του πληθυσμού με γνωστή τυπική απόκλιση

Κατασκευή ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για το μερίδιο ενός χαρακτηριστικού στον πληθυσμό

Αυτή η ενότητα επεκτείνει την έννοια του διαστήματος εμπιστοσύνης σε κατηγορικά δεδομένα. Αυτό μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε το μερίδιο του χαρακτηριστικού στον πληθυσμό Rχρησιμοποιώντας κοινόχρηστο δείγμα Rμικρό= X/n. Όπως αναφέρεται, εάν οι ποσότητες nRΚαι n(1 – p)υπερβείτε τον αριθμό 5, η διωνυμική κατανομή μπορεί να προσεγγιστεί ως κανονική. Επομένως, για να εκτιμηθεί το μερίδιο ενός χαρακτηριστικού στον πληθυσμό Rείναι δυνατό να κατασκευαστεί ένα διάστημα του οποίου το επίπεδο εμπιστοσύνης είναι ίσο με (1 – α)x100%.

Οπου Πμικρό- αναλογία δείγματος του χαρακτηριστικού ίση με Χ/n, δηλ. αριθμός επιτυχιών διαιρούμενος με μέγεθος δείγματος, R- το μερίδιο του χαρακτηριστικού στο γενικό πληθυσμό, Ζ- κρίσιμη τιμή της τυποποιημένης κανονικής κατανομής, n- το μέγεθος του δείγματος.

Παράδειγμα 3.Ας υποθέσουμε ότι ένα δείγμα που αποτελείται από 100 τιμολόγια που συμπληρώθηκαν τον τελευταίο μήνα εξάγεται από το πληροφοριακό σύστημα. Ας πούμε ότι 10 από αυτά τα τιμολόγια συντάχθηκαν με λάθη. Ετσι, R= 10/100 = 0,1. Το επίπεδο εμπιστοσύνης 95% αντιστοιχεί στην κρίσιμη τιμή Z = 1,96.

Έτσι, η πιθανότητα μεταξύ 4,12% και 15,88% των τιμολογίων να περιέχουν σφάλματα είναι 95%.

Για ένα δεδομένο μέγεθος δείγματος, το διάστημα εμπιστοσύνης που περιέχει την αναλογία του χαρακτηριστικού στον πληθυσμό φαίνεται ευρύτερο από ό,τι για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή. Αυτό συμβαίνει επειδή οι μετρήσεις μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής περιέχουν περισσότερες πληροφορίες από τις μετρήσεις κατηγορικών δεδομένων. Με άλλα λόγια, τα κατηγορικά δεδομένα που λαμβάνουν μόνο δύο τιμές περιέχουν ανεπαρκείς πληροφορίες για την εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής τους.

ΣΕυπολογισμός εκτιμήσεων που εξάγονται από έναν πεπερασμένο πληθυσμό

Εκτίμηση μαθηματικής προσδοκίας.Συντελεστής διόρθωσης για τον τελικό πληθυσμό ( fpc) χρησιμοποιήθηκε για τη μείωση του τυπικού σφάλματος κατά έναν παράγοντα. Κατά τον υπολογισμό των διαστημάτων εμπιστοσύνης για εκτιμήσεις παραμέτρων πληθυσμού, εφαρμόζεται ένας συντελεστής διόρθωσης σε περιπτώσεις όπου τα δείγματα λαμβάνονται χωρίς να επιστραφούν. Έτσι, ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τη μαθηματική προσδοκία που έχει ένα επίπεδο εμπιστοσύνης ίσο με (1 – α)x100%, υπολογίζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα 4.Για να δείξουμε τη χρήση του συντελεστή διόρθωσης για έναν πεπερασμένο πληθυσμό, ας επιστρέψουμε στο πρόβλημα του υπολογισμού του διαστήματος εμπιστοσύνης για το μέσο ποσό των τιμολογίων, που συζητήθηκε παραπάνω στο Παράδειγμα 3. Ας υποθέσουμε ότι μια εταιρεία εκδίδει 5.000 τιμολόγια το μήνα και Χ=110,27 δολάρια, μικρό= 28,95 $ Ν = 5000, n = 100, α = 0,05, t 99 = 1,9842. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (6) παίρνουμε:

Εκτίμηση του μεριδίου ενός χαρακτηριστικού.Όταν επιλέγετε χωρίς επιστροφή, το διάστημα εμπιστοσύνης για την αναλογία του χαρακτηριστικού που έχει επίπεδο εμπιστοσύνης ίσο με (1 – α)x100%, υπολογίζεται με τον τύπο:

Διαστήματα εμπιστοσύνης και ηθικά ζητήματα

Κατά τη δειγματοληψία ενός πληθυσμού και την εξαγωγή στατιστικών συμπερασμάτων, συχνά προκύπτουν ηθικά ζητήματα. Το κυριότερο είναι το πώς συμφωνούν τα διαστήματα εμπιστοσύνης και οι σημειακές εκτιμήσεις των δειγματοληπτικών στατιστικών. Οι εκτιμήσεις σημείων δημοσίευσης χωρίς να προσδιορίζονται τα σχετικά μεσοδιαστήματα εμπιστοσύνης (συνήθως στο επίπεδο εμπιστοσύνης 95%) και το μέγεθος του δείγματος από το οποίο προέρχονται μπορεί να δημιουργήσουν σύγχυση. Αυτό μπορεί να δώσει στον χρήστη την εντύπωση ότι η σημειακή εκτίμηση είναι ακριβώς αυτή που χρειάζεται για να προβλέψει τις ιδιότητες ολόκληρου του πληθυσμού. Επομένως, είναι απαραίτητο να γίνει κατανοητό ότι σε οποιαδήποτε έρευνα η εστίαση δεν πρέπει να είναι σε σημειακές εκτιμήσεις, αλλά σε εκτιμήσεις διαστήματος. Επιπλέον, θα πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή στη σωστή επιλογή των μεγεθών του δείγματος.

Τις περισσότερες φορές, τα αντικείμενα της στατιστικής χειραγώγησης είναι τα αποτελέσματα κοινωνιολογικών ερευνών του πληθυσμού για ορισμένα πολιτικά ζητήματα. Ταυτόχρονα, τα αποτελέσματα της έρευνας δημοσιεύονται στα πρωτοσέλιδα των εφημερίδων και το δειγματοληπτικό λάθος και η μεθοδολογία στατιστικής ανάλυσης δημοσιεύονται κάπου στη μέση. Για να αποδειχθεί η εγκυρότητα των ληφθέντων σημειακών εκτιμήσεων, είναι απαραίτητο να υποδειχθεί το μέγεθος του δείγματος βάσει του οποίου ελήφθησαν, τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης και το επίπεδο σημαντικότητάς του.

Επόμενη σημείωση

Χρησιμοποιούνται υλικά από το βιβλίο Levin et al. – Μ.: Williams, 2004. – Σελ. 448–462

Κεντρικό οριακό θεώρημαδηλώνει ότι με ένα αρκετά μεγάλο μέγεθος δείγματος, η κατανομή του δείγματος των μέσων μπορεί να προσεγγιστεί με μια κανονική κατανομή. Αυτή η ιδιότητα δεν εξαρτάται από τον τύπο κατανομής του πληθυσμού.

Συχνά ο εκτιμητής πρέπει να αναλύσει την αγορά ακινήτων του τμήματος στο οποίο βρίσκεται το ακίνητο που αξιολογείται. Εάν η αγορά είναι ανεπτυγμένη, μπορεί να είναι δύσκολο να αναλυθεί ολόκληρο το σύνολο των παρουσιαζόμενων αντικειμένων, επομένως ένα δείγμα αντικειμένων χρησιμοποιείται για ανάλυση. Αυτό το δείγμα δεν αποδεικνύεται πάντα ομοιογενές μερικές φορές είναι απαραίτητο να το καθαρίσετε από ακραία σημεία - πολύ υψηλές ή πολύ χαμηλές προσφορές στην αγορά. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιείται διάστημα εμπιστοσύνης. Σκοπός αυτής της μελέτης είναι η διεξαγωγή συγκριτικής ανάλυσης δύο μεθόδων για τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης και η επιλογή της βέλτιστης επιλογής υπολογισμού κατά την εργασία με διαφορετικά δείγματα στο σύστημα estimatica.pro.

Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα τιμών χαρακτηριστικών που υπολογίζεται με βάση ένα δείγμα, το οποίο με γνωστή πιθανότητα περιέχει την εκτιμώμενη παράμετρο του γενικού πληθυσμού.

Το σημείο του υπολογισμού ενός διαστήματος εμπιστοσύνης είναι να κατασκευαστεί ένα τέτοιο διάστημα με βάση τα δεδομένα δείγματος έτσι ώστε να μπορεί να δηλωθεί με δεδομένη πιθανότητα ότι η τιμή της εκτιμώμενης παραμέτρου βρίσκεται σε αυτό το διάστημα. Με άλλα λόγια, το διάστημα εμπιστοσύνης περιέχει την άγνωστη τιμή της εκτιμώμενης τιμής με μια ορισμένη πιθανότητα. Όσο μεγαλύτερο είναι το διάστημα, τόσο μεγαλύτερη είναι η ανακρίβεια.

Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για τον προσδιορισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης. Σε αυτό το άρθρο θα δούμε 2 μεθόδους:

• μέσω της διάμεσης και τυπικής απόκλισης·
• μέσω της κρίσιμης τιμής της στατιστικής t (συντελεστής μαθητή).

Στάδια συγκριτικής ανάλυσης διαφορετικών μεθόδων υπολογισμού CI:

1. σχηματίστε ένα δείγμα δεδομένων.

2. Το επεξεργαζόμαστε χρησιμοποιώντας στατιστικές μεθόδους: υπολογίζουμε τη μέση τιμή, διάμεσο, διακύμανση κ.λπ.

3. Υπολογίστε το διάστημα εμπιστοσύνης με δύο τρόπους.

4. αναλύστε τα καθαρισμένα δείγματα και τα προκύπτοντα διαστήματα εμπιστοσύνης.

Στάδιο 1. Δειγματοληψία δεδομένων

Το δείγμα σχηματίστηκε χρησιμοποιώντας το σύστημα estimatica.pro. Το δείγμα περιελάμβανε 91 προσφορές για την πώληση διαμερισμάτων ενός δωματίου στην 3η ζώνη τιμών με διάταξη τύπου «Χρουστσόφ».

Πίνακας 1. Αρχικό δείγμα

	Τιμή 1 τ.μ., μονάδες

Εικ.1. Αρχικό δείγμα

Στάδιο 2. Επεξεργασία του αρχικού δείγματος

Η επεξεργασία ενός δείγματος χρησιμοποιώντας στατιστικές μεθόδους απαιτεί τον υπολογισμό των ακόλουθων τιμών:

1. Αριθμητικός μέσος όρος

2. Διάμεσος - αριθμός που χαρακτηρίζει το δείγμα: ακριβώς τα μισά από τα στοιχεία του δείγματος είναι μεγαλύτερα από το διάμεσο, τα άλλα μισά είναι μικρότερα από το διάμεσο

(για δείγμα με περιττό αριθμό τιμών)

3. Εύρος - η διαφορά μεταξύ των μέγιστων και ελάχιστων τιμών στο δείγμα

4. Διακύμανση - χρησιμοποιείται για την ακριβέστερη εκτίμηση της διακύμανσης των δεδομένων

5. Η τυπική απόκλιση δείγματος (εφεξής - SD) είναι ο πιο συνηθισμένος δείκτης της διασποράς των τιμών προσαρμογής γύρω από τον αριθμητικό μέσο όρο.

6. Συντελεστής διακύμανσης - αντικατοπτρίζει τον βαθμό διασποράς των τιμών προσαρμογής

7. συντελεστής ταλάντωσης - αντικατοπτρίζει τη σχετική διακύμανση των ακραίων τιμών τιμής στο δείγμα γύρω από τον μέσο όρο

Πίνακας 2. Στατιστικοί δείκτες του αρχικού δείγματος

Ο συντελεστής διακύμανσης, που χαρακτηρίζει την ομοιογένεια των δεδομένων, είναι 12,29%, αλλά ο συντελεστής ταλάντωσης είναι πολύ υψηλός. Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι το αρχικό δείγμα δεν είναι ομοιογενές, οπότε ας προχωρήσουμε στον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης.

Στάδιο 3. Υπολογισμός διαστήματος εμπιστοσύνης

Μέθοδος 1. Υπολογισμός με χρήση της διάμεσης και τυπικής απόκλισης.

Το διάστημα εμπιστοσύνης προσδιορίζεται ως εξής: ελάχιστη τιμή - η τυπική απόκλιση αφαιρείται από τη διάμεση τιμή. μέγιστη τιμή - η τυπική απόκλιση προστίθεται στη διάμεση τιμή.

Έτσι, το διάστημα εμπιστοσύνης (47179 CU; 60689 CU)

Ρύζι. 2. Τιμές που εμπίπτουν στο διάστημα εμπιστοσύνης 1.

Μέθοδος 2. Κατασκευή ενός διαστήματος εμπιστοσύνης χρησιμοποιώντας την κρίσιμη τιμή της στατιστικής t (συντελεστής σπουδαστών)

S.V. Ο Gribovsky στο βιβλίο του "Mathematical Methods for Estimating Property Value" περιγράφει μια μέθοδο για τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης χρησιμοποιώντας τον συντελεστή Student. Κατά τον υπολογισμό χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο, ο εκτιμητής πρέπει να ορίσει ο ίδιος το επίπεδο σημαντικότητας ∝, το οποίο καθορίζει την πιθανότητα με την οποία θα κατασκευαστεί το διάστημα εμπιστοσύνης. Συνήθως, χρησιμοποιούνται επίπεδα σημαντικότητας 0,1. 0,05 και 0,01. Αντιστοιχούν σε πιθανότητες εμπιστοσύνης 0,9. 0,95 και 0,99. Με αυτή τη μέθοδο, οι πραγματικές τιμές της μαθηματικής προσδοκίας και της διακύμανσης υποτίθεται ότι είναι πρακτικά άγνωστες (κάτι που ισχύει σχεδόν πάντα όταν επιλύονται πρακτικά προβλήματα εκτίμησης).

Τύπος διαστήματος εμπιστοσύνης:

n - μέγεθος δείγματος.

Η κρίσιμη τιμή της t-statistics (Student κατανομή) με επίπεδο σημαντικότητας ∝, ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας n-1, που προσδιορίζεται από ειδικούς στατιστικούς πίνακες ή χρησιμοποιώντας MS Excel (→"Στατιστική"→ STUDIST).

∝ - επίπεδο σημαντικότητας, πάρτε ∝=0,01.

Ρύζι. 2. Τιμές που εμπίπτουν στο διάστημα εμπιστοσύνης 2.

Στάδιο 4. Ανάλυση διαφορετικών μεθόδων για τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης

Δύο μέθοδοι υπολογισμού του διαστήματος εμπιστοσύνης - μέσω της διάμεσης τιμής και του συντελεστή Student - οδήγησαν σε διαφορετικές τιμές των διαστημάτων. Αντίστοιχα, πήραμε δύο διαφορετικά καθαρισμένα δείγματα.

Πίνακας 3. Στατιστικά στοιχεία για τρία δείγματα.

Δείκτης	Αρχικό δείγμα	1 επιλογή	Επιλογή 2
Μέση αξία
Διασπορά
Συντ. παραλλαγές
Συντ. ταλαντώσεις
Αριθμός αποσυρόμενων αντικειμένων, τεμ.

Με βάση τους υπολογισμούς που πραγματοποιήθηκαν, μπορούμε να πούμε ότι οι τιμές του διαστήματος εμπιστοσύνης που λαμβάνονται με διαφορετικές μεθόδους τέμνονται, επομένως μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε από τις μεθόδους υπολογισμού κατά την κρίση του εκτιμητή.

Ωστόσο, πιστεύουμε ότι όταν εργάζεστε στο σύστημα estimatica.pro, συνιστάται να επιλέξετε μια μέθοδο για τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης ανάλογα με τον βαθμό ανάπτυξης της αγοράς:

• εάν η αγορά δεν είναι ανεπτυγμένη, χρησιμοποιήστε τη μέθοδο υπολογισμού χρησιμοποιώντας τη διάμεσο και την τυπική απόκλιση, καθώς ο αριθμός των αντικειμένων που αποσύρθηκαν σε αυτήν την περίπτωση είναι μικρός.
• εάν η αγορά είναι ανεπτυγμένη, εφαρμόστε τον υπολογισμό μέσω της κρίσιμης τιμής των στατιστικών t (συντελεστής σπουδαστή), καθώς είναι δυνατό να σχηματιστεί ένα μεγάλο αρχικό δείγμα.

Για την προετοιμασία του άρθρου χρησιμοποιήθηκαν τα ακόλουθα:

1. Gribovsky S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. Μαθηματικές μέθοδοι για την εκτίμηση της αξίας του ακινήτου. Μόσχα, 2014

2. Δεδομένα συστήματος estimatica.pro

Ας κατασκευάσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης στο MS EXCEL για να εκτιμήσουμε τη μέση τιμή της κατανομής στην περίπτωση μιας γνωστής τιμής διασποράς.

Φυσικά η επιλογή επίπεδο εμπιστοσύνηςεξαρτάται πλήρως από το πρόβλημα που επιλύεται. Έτσι, ο βαθμός εμπιστοσύνης ενός επιβάτη αεροπλάνου στην αξιοπιστία ενός αεροπλάνου θα πρέπει αναμφίβολα να είναι υψηλότερος από τον βαθμό εμπιστοσύνης ενός αγοραστή στην αξιοπιστία ενός λαμπτήρα ηλεκτρικού φωτός.

Διατύπωση προβλήματος

Ας υποθέσουμε ότι από πληθυσμόςέχοντας ληφθεί δείγμαμέγεθος n. Θεωρείται ότι τυπική απόκλισηΑυτή η κατανομή είναι γνωστή. Είναι απαραίτητο με βάση αυτό δείγματααξιολογήσει το άγνωστο μέση κατανομή(μ, ) και να κατασκευάσετε το αντίστοιχο διπλής όψης διάστημα εμπιστοσύνης.

Σημειακή εκτίμηση

Όπως είναι γνωστό από στατιστική(ας το χαρακτηρίσουμε Χ μέσος όρος) είναι αμερόληπτη εκτίμηση του μέσου όρουΑυτό πληθυσμόςκαι έχει κατανομή N(μ;σ 2 /n).

Σημείωση: Τι να κάνετε αν χρειαστεί να χτίσετε διάστημα εμπιστοσύνηςσε περίπτωση διανομής που δεν είναι κανονικός?Σε αυτή την περίπτωση, έρχεται στη διάσωση, η οποία αναφέρει ότι με ένα αρκετά μεγάλο μέγεθος δείγματα n από τη διανομή μη όντας κανονικός, δειγματοληπτική κατανομή στατιστικών Χ μ.οθα κατά προσέγγισηανταποκρίνομαι κανονική κατανομήμε παραμέτρους N(μ;σ 2 /n).

Ετσι, βαθμολογική εκτίμηση μέση τιμή τιμές διανομήςέχουμε - αυτό δείγμα μέσου όρου, δηλ. Χ μέσος όρος. Τώρα ας ξεκινήσουμε διάστημα εμπιστοσύνης.

Κατασκευή ενός διαστήματος εμπιστοσύνης

Συνήθως, γνωρίζοντας την κατανομή και τις παραμέτρους της, μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή από το διάστημα που καθορίζουμε. Τώρα ας κάνουμε το αντίθετο: βρείτε το διάστημα στο οποίο θα πέσει η τυχαία μεταβλητή με δεδομένη πιθανότητα. Για παράδειγμα, από τις ιδιότητες κανονική κατανομήΕίναι γνωστό ότι με πιθανότητα 95%, κατανέμεται μια τυχαία μεταβλητή κανονικός νόμος, θα εμπίπτει στο εύρος περίπου +/- 2 από μέση αξία(δείτε άρθρο σχετικά). Αυτό το διάστημα θα χρησιμεύσει ως πρωτότυπο για εμάς διάστημα εμπιστοσύνης.

Τώρα ας δούμε αν γνωρίζουμε την κατανομή , να υπολογίσω αυτό το διάστημα; Για να απαντήσουμε στην ερώτηση, πρέπει να υποδείξουμε το σχήμα της κατανομής και τις παραμέτρους της.

Γνωρίζουμε τη μορφή διανομής - αυτή είναι κανονική κατανομή(θυμηθείτε ότι μιλάμε για δειγματοληψία στατιστική Χ μέσος όρος).

Η παράμετρος μ είναι άγνωστη σε εμάς (απλώς πρέπει να εκτιμηθεί χρησιμοποιώντας διάστημα εμπιστοσύνης), αλλά έχουμε μια εκτίμηση για αυτό Χ μέσος όρος,υπολογίζεται με βάση δείγματα,που μπορεί να χρησιμοποιηθεί.

Δεύτερη παράμετρος - τυπική απόκλιση του μέσου όρου του δείγματος θα το θεωρήσουμε γνωστό, ισούται με σ/√n.

Επειδή δεν γνωρίζουμε το μ, τότε θα δημιουργήσουμε το διάστημα +/- 2 τυπικές αποκλίσειςόχι από μέση αξία, και από τη γνωστή του εκτίμηση Χ μέσος όρος. Εκείνοι. κατά τον υπολογισμό διάστημα εμπιστοσύνηςΔΕΝ θα το υποθέσουμε Χ μέσος όροςεμπίπτει στο εύρος +/- 2 τυπικές αποκλίσειςαπό μ με πιθανότητα 95%, και θα υποθέσουμε ότι το διάστημα είναι +/- 2 τυπικές αποκλίσειςαπό Χ μέσος όροςμε 95% πιθανότητα θα καλύψει μ – μέσος όρος του γενικού πληθυσμού,από το οποίο λαμβάνεται δείγμα. Αυτές οι δύο προτάσεις είναι ισοδύναμες, αλλά η δεύτερη πρόταση μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε διάστημα εμπιστοσύνης.

Επιπλέον, ας διευκρινίσουμε το διάστημα: μια τυχαία μεταβλητή κατανεμημένη κανονικός νόμος, με 95% πιθανότητα εμπίπτει στο διάστημα +/- 1,960 τυπικές αποκλίσεις,όχι +/- 2 τυπικές αποκλίσεις. Αυτό μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο =NORM.ST.REV((1+0,95)/2), εκ. Παράδειγμα Διαστήματος φύλλου αρχείου.

Τώρα μπορούμε να διατυπώσουμε μια πιθανολογική δήλωση που θα μας χρησιμεύσει για να σχηματίσουμε διάστημα εμπιστοσύνης:
«Η πιθανότητα ότι πληθυσμός μέσος όροςπου βρίσκεται από δείγμα μέσου όρουμέσα σε 1.960" τυπικές αποκλίσεις του μέσου όρου του δείγματος", ίσο με 95%».

Η τιμή πιθανότητας που αναφέρεται στη δήλωση έχει ειδικό όνομα , το οποίο συνδέεται μεεπίπεδο σημασίας α (άλφα) με μια απλή έκφραση επίπεδο εμπιστοσύνης =1 -α . Στην περίπτωσή μας επίπεδο σημασίας α =1-0,95=0,05 .

Τώρα, με βάση αυτή την πιθανολογική πρόταση, γράφουμε μια έκφραση για υπολογισμό διάστημα εμπιστοσύνης:

όπου Z α/2 – πρότυπο κανονική κατανομή(αυτή η τιμή της τυχαίας μεταβλητής z, Τι Π(z>=Ζ α/2 )=α/2).

Σημείωση: Ανώτερο α/2-ποσοστόορίζει το πλάτος διάστημα εμπιστοσύνης V τυπικές αποκλίσεις δείγμα μέσου όρου. Ανώτερο α/2-ποσοστό πρότυπο κανονική κατανομήπάντα μεγαλύτερο από 0, κάτι που είναι πολύ βολικό.

Στην περίπτωσή μας, με α=0,05, ανώτερο α/2-ποσοστάσιο ισούται με 1.960. Για άλλα επίπεδα σημαντικότητας α (10%; 1%) ανώτερο α/2-ποσοστάσιο Ζ α/2 μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο =NORM.ST.REV(1-α/2) ή, εάν είναι γνωστό επίπεδο εμπιστοσύνης, =NORM.ST.OBR((1+επίπεδο εμπιστοσύνης)/2).

Συνήθως κατά την κατασκευή διαστήματα εμπιστοσύνης για την εκτίμηση του μέσου όρουχρησιμοποιείτε μόνο άνω α/2-ποσοστόκαι μην χρησιμοποιείτε κατώτερο α/2-ποσοστό. Αυτό είναι δυνατό γιατί πρότυπο κανονική κατανομήσυμμετρικά ως προς τον άξονα x ( την πυκνότητα κατανομής τουσυμμετρικό περίπου μέσος όρος, δηλ. 0). Επομένως, δεν υπάρχει λόγος υπολογισμού χαμηλότερο α/2-ποσοστάσιο(λέγεται απλά α /2-ποσοστό), επειδή είναι ίσο άνω α/2-ποσοστόμε αρνητικό πρόσημο.

Ας θυμηθούμε ότι, παρά το σχήμα της κατανομής της τιμής x, η αντίστοιχη τυχαία μεταβλητή Χ μέσος όροςδιανέμονται κατά προσέγγιση Πρόστιμο N(μ;σ 2 /n) (βλ. άρθρο σχετικά). Επομένως, σε γενικές γραμμές, η παραπάνω έκφραση για διάστημα εμπιστοσύνηςείναι μόνο μια προσέγγιση. Εάν η τιμή x κατανέμεται πάνω κανονικός νόμος N(μ;σ 2 /n), τότε η έκφραση για διάστημα εμπιστοσύνηςείναι ακριβής.

Υπολογισμός διαστήματος εμπιστοσύνης στο MS EXCEL

Ας λύσουμε το πρόβλημα.
Ο χρόνος απόκρισης ενός ηλεκτρονικού εξαρτήματος σε ένα σήμα εισόδου είναι ένα σημαντικό χαρακτηριστικό της συσκευής. Ένας μηχανικός θέλει να κατασκευάσει ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο χρόνο απόκρισης σε επίπεδο εμπιστοσύνης 95%. Από προηγούμενη εμπειρία, ο μηχανικός γνωρίζει ότι η τυπική απόκλιση του χρόνου απόκρισης είναι 8 ms. Είναι γνωστό ότι για την αξιολόγηση του χρόνου απόκρισης, ο μηχανικός έκανε 25 μετρήσεις, η μέση τιμή ήταν 78 ms.

Λύση: Ένας μηχανικός θέλει να μάθει τον χρόνο απόκρισης μιας ηλεκτρονικής συσκευής, αλλά καταλαβαίνει ότι ο χρόνος απόκρισης δεν είναι μια σταθερή τιμή, αλλά μια τυχαία μεταβλητή που έχει τη δική της κατανομή. Έτσι, το καλύτερο που μπορεί να ελπίζει είναι να καθορίσει τις παραμέτρους και το σχήμα αυτής της κατανομής.

Δυστυχώς, από τις προβληματικές συνθήκες δεν γνωρίζουμε το σχήμα της κατανομής του χρόνου απόκρισης (δεν χρειάζεται να είναι κανονικός). , αυτή η κατανομή είναι επίσης άγνωστη. Μόνο αυτός είναι γνωστός τυπική απόκλισησ=8. Επομένως, ενώ δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τις πιθανότητες και να κατασκευάσουμε διάστημα εμπιστοσύνης.

Ωστόσο, παρά το γεγονός ότι δεν γνωρίζουμε την κατανομή χρόνος ξεχωριστή απάντηση, γνωρίζουμε ότι σύμφωνα με CPT, δειγματοληψία μέσος χρόνος απόκρισηςείναι περίπου κανονικός(θα υποθέσουμε ότι οι προϋποθέσεις CPTπραγματοποιούνται, γιατί Μέγεθος δείγματααρκετά μεγάλο (n=25)) .

Εξάλλου, μέση τιμήαυτή η κατανομή είναι ίση με μέση αξίακατανομή μιας μεμονωμένης απάντησης, δηλ. μ. ΕΝΑ τυπική απόκλισηαυτής της κατανομής (σ/√n) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο =8/ROOT(25) .

Είναι επίσης γνωστό ότι ο μηχανικός έλαβε βαθμολογική εκτίμησηπαράμετρος μ ίση με 78 ms (Χ μέσος όρος). Επομένως, τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε τις πιθανότητες, γιατί γνωρίζουμε τη μορφή διανομής ( κανονικός) και τις παραμέτρους του (X μέσος και σ/√n).

Ο μηχανικός θέλει να μάθει αναμενόμενη αξίαμ κατανομές χρόνου απόκρισης. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, αυτό το μ είναι ίσο με μαθηματική προσδοκία της κατανομής του δείγματος του μέσου χρόνου απόκρισης. Αν χρησιμοποιήσουμε κανονική κατανομή N(X μέσος; σ/√n), τότε το επιθυμητό μ θα είναι στην περιοχή +/-2*σ/√n με πιθανότητα περίπου 95%.

Επίπεδο σημασίαςισούται με 1-0,95=0,05.

Τέλος, ας βρούμε το αριστερό και το δεξί περίγραμμα διάστημα εμπιστοσύνης.
Αριστερό περίγραμμα: =78-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*8/ROOT(25) = 74,864
Δεξί περίγραμμα: =78+NORM.ST.INV(1-0,05/2)*8/ROOT(25)=81,136

Αριστερό περίγραμμα: =NORM.REV(0.05/2; 78; 8/ROOT(25))
Δεξί περίγραμμα: =NORM.REV(1-0,05/2; 78; 8/ROOT(25))

Απάντηση: διάστημα εμπιστοσύνηςστο 95% επίπεδο εμπιστοσύνης και σ=8msecισοδυναμεί 78+/-3,136 ms.

ΣΕ παράδειγμα αρχείου στο φύλλο Sigmaγνωστό, δημιούργησε μια φόρμα για υπολογισμό και κατασκευή διπλής όψης διάστημα εμπιστοσύνηςγια αυθαίρετα δείγματαμε δεδομένο σ και επίπεδο σημασίας.

Συνάρτηση CONFIDENCE.NORM().

Αν οι τιμές δείγματαβρίσκονται στην περιοχή B20:B79 , ΕΝΑ επίπεδο σημασίαςίσο με 0,05; τότε ο τύπος MS EXCEL:
=AVERAGE(B20:B79)-CONFIDENCE.NORM(0.05;σ; COUNT(B20:B79))
θα επιστρέψει το αριστερό περίγραμμα διάστημα εμπιστοσύνης.

Το ίδιο όριο μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
=AVERAGE(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*σ/ROOT(COUNT(B20:B79))

Σημείωση: Η συνάρτηση CONFIDENCE.NORM() εμφανίστηκε στο MS EXCEL 2010. Σε παλαιότερες εκδόσεις του MS EXCEL, χρησιμοποιήθηκε η συνάρτηση TRUST().

Ένα άτομο μπορεί να αναγνωρίσει τις ικανότητές του μόνο προσπαθώντας να τις εφαρμόσει. (Σενεκάς)

Διαστήματα εμπιστοσύνης

γενική αναθεώρηση

Λαμβάνοντας ένα δείγμα από τον πληθυσμό, λαμβάνουμε μια σημειακή εκτίμηση της παραμέτρου που μας ενδιαφέρει και υπολογίζουμε το τυπικό σφάλμα για να υποδείξουμε την ακρίβεια της εκτίμησης.

Ωστόσο, για τις περισσότερες περιπτώσεις το τυπικό σφάλμα δεν είναι αποδεκτό. Είναι πολύ πιο χρήσιμο να συνδυαστεί αυτό το μέτρο ακρίβειας με μια εκτίμηση διαστήματος για την παράμετρο πληθυσμού.

Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τη γνώση της θεωρητικής κατανομής πιθανοτήτων του στατιστικού δείγματος (παράμετρος) προκειμένου να υπολογιστεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης (CI - Διάστημα εμπιστοσύνης, CI - Διάστημα εμπιστοσύνης) για την παράμετρο.

Γενικά, ένα διάστημα εμπιστοσύνης επεκτείνει τις εκτιμήσεις και προς τις δύο κατευθύνσεις κατά ένα ορισμένο πολλαπλάσιο του τυπικού σφάλματος (μιας δεδομένης παραμέτρου). Οι δύο τιμές (όρια εμπιστοσύνης) που ορίζουν το διάστημα συνήθως χωρίζονται με κόμμα και περικλείονται σε παρενθέσεις.

Διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο όρο

Χρήση Κανονικής Κατανομής

Ο μέσος όρος του δείγματος κατανέμεται κανονικά εάν το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο, επομένως μπορείτε να εφαρμόσετε τη γνώση της κανονικής κατανομής κατά την εξέταση του μέσου όρου του δείγματος.

Συγκεκριμένα, το 95% της κατανομής των μέσων δειγμάτων βρίσκεται εντός 1,96 τυπικών αποκλίσεων (SD) του μέσου όρου του πληθυσμού.

Όταν έχουμε μόνο ένα δείγμα, το ονομάζουμε τυπικό σφάλμα του μέσου όρου (SEM) και υπολογίζουμε το διάστημα εμπιστοσύνης 95% για τον μέσο όρο ως εξής:

Εάν επαναλάβουμε αυτό το πείραμα πολλές φορές, το διάστημα θα περιέχει τον πραγματικό μέσο πληθυσμό στο 95% του χρόνου.

Συνήθως αυτό είναι ένα διάστημα εμπιστοσύνης, όπως το διάστημα των τιμών εντός του οποίου ο πραγματικός μέσος όρος πληθυσμού (γενικός μέσος όρος) βρίσκεται με πιθανότητα εμπιστοσύνης 95%.

Αν και δεν είναι εντελώς αυστηρό (ο μέσος όρος του πληθυσμού είναι μια σταθερή τιμή και επομένως δεν μπορεί να συνδεθεί με μια πιθανότητα) να ερμηνεύσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης με αυτόν τον τρόπο, είναι εννοιολογικά ευκολότερο να το κατανοήσουμε.

Χρήση t-διανομή

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την κανονική κατανομή εάν γνωρίζετε την τιμή της διακύμανσης στον πληθυσμό. Επίσης, όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μικρό, ο μέσος όρος του δείγματος ακολουθεί μια κανονική κατανομή εάν τα υποκείμενα δεδομένα πληθυσμού κατανέμονται κανονικά.

Εάν τα δεδομένα στα οποία βασίζεται ο πληθυσμός δεν είναι κανονικά κατανεμημένα και/ή η διακύμανση του πληθυσμού είναι άγνωστη, ο μέσος όρος του δείγματος υπακούει Κατανομή t του μαθητή.

Υπολογίζουμε το διάστημα εμπιστοσύνης 95% για το μέσο όρο του γενικού πληθυσμού ως εξής:

Πού είναι η ποσοστιαία μονάδα (εκατοστη εκατοστιαία μονάδα) t-Κατανομή t του Student με (n-1) βαθμούς ελευθερίας, που δίνει πιθανότητα διπλής όψης 0,05.

Γενικά, παρέχει ευρύτερο εύρος από τη χρήση της κανονικής κατανομής επειδή λαμβάνει υπόψη την πρόσθετη αβεβαιότητα που εισάγεται με την εκτίμηση της τυπικής απόκλισης του πληθυσμού ή/και λόγω του μικρού μεγέθους του δείγματος.

Όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο (της τάξης του 100 ή περισσότερο), η διαφορά μεταξύ των δύο κατανομών ( τ-Μαθητήςκαι κανονικό) είναι ασήμαντο. Ωστόσο, χρησιμοποιούν πάντα t-κατανομή κατά τον υπολογισμό των διαστημάτων εμπιστοσύνης, ακόμη και αν το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο.

Συνήθως αναφέρεται το 95% CI. Μπορούν να υπολογιστούν και άλλα διαστήματα εμπιστοσύνης, όπως το 99% CI για τη μέση τιμή.

Αντί για το γινόμενο του τυπικού σφάλματος και της τιμής του πίνακα t-κατανομή, η οποία αντιστοιχεί σε πιθανότητα διπλής όψης 0,05, πολλαπλασιάστε την (τυπικό σφάλμα) με την τιμή που αντιστοιχεί σε πιθανότητα διπλής όψης 0,01. Αυτό είναι ένα ευρύτερο διάστημα εμπιστοσύνης από το διάστημα εμπιστοσύνης 95%, επειδή αντανακλά αυξημένη εμπιστοσύνη ότι το διάστημα περιλαμβάνει πραγματικά τον μέσο όρο του πληθυσμού.

Διάστημα εμπιστοσύνης για αναλογία

Η δειγματοληπτική κατανομή των αναλογιών έχει διωνυμική κατανομή. Ωστόσο, εάν το μέγεθος του δείγματος nείναι αρκετά μεγάλο, τότε η δειγματοληπτική κατανομή της αναλογίας είναι περίπου κανονική με τη μέση τιμή .

Αξιολογούμε με επιλεκτική στάση p=r/n(Οπου r- ο αριθμός των ατόμων στο δείγμα με τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα που μας ενδιαφέρουν) και το τυπικό σφάλμα εκτιμάται:

Το διάστημα εμπιστοσύνης 95% για την αναλογία εκτιμάται:

Εάν το μέγεθος του δείγματος είναι μικρό (συνήθως όταν n.p.ή n(1-p)πιο λιγο 5 ), τότε είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί η διωνυμική κατανομή προκειμένου να υπολογιστούν ακριβή διαστήματα εμπιστοσύνης.

Σημειώστε ότι εάν Πεκφράζεται ως ποσοστό, λοιπόν (1-p)αντικαταστάθηκε από (100-p).

Ερμηνεία των διαστημάτων εμπιστοσύνης

Κατά την ερμηνεία ενός διαστήματος εμπιστοσύνης, μας ενδιαφέρουν οι ακόλουθες ερωτήσεις:

Πόσο μεγάλο είναι το διάστημα εμπιστοσύνης;

Ένα μεγάλο διάστημα εμπιστοσύνης δείχνει ότι η εκτίμηση είναι ανακριβής. narrow υποδηλώνει ακριβή εκτίμηση.

Το πλάτος του διαστήματος εμπιστοσύνης εξαρτάται από το μέγεθος του τυπικού σφάλματος, το οποίο με τη σειρά του εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος και, όταν εξετάζουμε μια αριθμητική μεταβλητή, η μεταβλητότητα των δεδομένων παράγει μεγαλύτερα διαστήματα εμπιστοσύνης από τις μελέτες ενός μεγάλου συνόλου δεδομένων λίγων μεταβλητών .

Το CI περιλαμβάνει αξίες ιδιαίτερου ενδιαφέροντος;

Μπορείτε να ελέγξετε εάν η πιθανή τιμή για μια παράμετρο πληθυσμού εμπίπτει στο διάστημα εμπιστοσύνης. Εάν ναι, τα αποτελέσματα είναι συνεπή με αυτήν την πιθανή τιμή. Εάν όχι, τότε είναι απίθανο (για ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95%, η πιθανότητα είναι σχεδόν 5%) η παράμετρος να έχει αυτήν την τιμή.