Απλή μέθοδος επίλυσης προβλημάτων. Απλή μέθοδος επίλυσης προβλημάτων

. Αλγόριθμος μεθόδου Simplex

Παράδειγμα 5.1.Λύστε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού χρησιμοποιώντας τη μέθοδο simplex:

Λύση:

Εγώ επανάληψη:

x3, x4, x5, x6 x1,x2. Ας εκφράσουμε τις βασικές μεταβλητές ως ελεύθερες:

Ας μειώσουμε την αντικειμενική συνάρτηση στην ακόλουθη μορφή:

Με βάση το πρόβλημα που προκύπτει, θα σχηματίσουμε τον αρχικό πίνακα simplex:

Πίνακας 5.3

Γνήσιος πίνακας simplex

				Αξιολογικές Σχέσεις

Σύμφωνα με τον ορισμό της βασικής λύσης, οι ελεύθερες μεταβλητές είναι ίσες με μηδέν και οι τιμές των βασικών μεταβλητών είναι ίσες με τις αντίστοιχες τιμές των ελεύθερων αριθμών, δηλαδή:

Στάδιο 3: έλεγχος της συμβατότητας του συστήματος περιορισμών PAP.

Σε αυτήν την επανάληψη (στον Πίνακα 5.3), το πρόσημο της ασυνέπειας του συστήματος περιορισμού (σύμβολο 1) δεν προσδιορίζεται (δηλαδή δεν υπάρχει γραμμή με αρνητικό ελεύθερο αριθμό (εκτός από τη γραμμή της αντικειμενικής συνάρτησης) στην οποία δεν θα υπήρχε να είναι τουλάχιστον ένα αρνητικό στοιχείο (δηλ. αρνητικός συντελεστής για μια ελεύθερη μεταβλητή)).

Σε αυτήν την επανάληψη (στον Πίνακα 5.3), το πρόσημο του απεριόριστου της αντικειμενικής συνάρτησης (σύμβολο 2) δεν προσδιορίστηκε (δηλαδή, δεν υπάρχει στήλη με αρνητικό στοιχείο στη σειρά της αντικειμενικής συνάρτησης (εκτός από τη στήλη των ελεύθερων αριθμών ) στο οποίο δεν θα υπήρχε τουλάχιστον ένα θετικό στοιχείο) .

Δεδομένου ότι το βασικό διάλυμα που βρέθηκε δεν περιέχει αρνητικά συστατικά, είναι αποδεκτό.

Στάδιο 6: Έλεγχος βελτιστοποίησης.

Η βασική λύση που βρέθηκε δεν είναι βέλτιστη, αφού σύμφωνα με το κριτήριο βελτιστοποίησης (σημείο 4) δεν πρέπει να υπάρχουν αρνητικά στοιχεία στη γραμμή της αντικειμενικής συνάρτησης (ο ελεύθερος αριθμός αυτής της γραμμής δεν λαμβάνεται υπόψη κατά την εξέταση αυτού του κριτηρίου). Επομένως, σύμφωνα με τον αλγόριθμο της μεθόδου simplex, περνάμε στο στάδιο 8.

Εφόσον η βασική λύση που βρέθηκε είναι αποδεκτή, θα αναζητήσουμε τη στήλη επίλυσης σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα: προσδιορίζουμε τις στήλες με αρνητικά στοιχεία στη σειρά της αντικειμενικής συνάρτησης (εκτός από τη στήλη των ελεύθερων αριθμών). Σύμφωνα με τον Πίνακα 5.3, υπάρχουν δύο τέτοιες στήλες: στήλη « x1"και στήλη" x2" Από τέτοιες στήλες, επιλέγεται αυτή που περιέχει το μικρότερο στοιχείο στη γραμμή της συνάρτησης προορισμού. Αυτή θα είναι η επιτρεπτή. στήλη " x2" περιέχει το μικρότερο στοιχείο (–3) σε σύγκριση με τη στήλη " x1

Για να προσδιορίσουμε τη γραμμή επίλυσης, βρίσκουμε τις θετικές εκτιμώμενες αναλογίες των ελεύθερων αριθμών προς τα στοιχεία της στήλης επίλυσης, η γραμμή που αντιστοιχεί στη μικρότερη αναλογία θετικής αξιολόγησης γίνεται αποδεκτή ως επιλυμένη.

Πίνακας 5.4

Γνήσιος πίνακας simplex

Στον Πίνακα 5.4, η μικρότερη θετική σχέση αξιολόγησης αντιστοιχεί στη γραμμή " x5», επομένως, θα είναι επιτρεπτή.

Το στοιχείο που βρίσκεται στην τομή της στήλης ενεργοποίησης και της γραμμής ενεργοποίησης γίνεται αποδεκτό ως ενεργό. Στο παράδειγμά μας, αυτό είναι το στοιχείο που βρίσκεται στη διασταύρωση της γραμμής " x5"και στήλες" x2».

Το στοιχείο επίλυσης εμφανίζει μια βάση και μια ελεύθερη μεταβλητή που πρέπει να αντικατασταθούν στον πίνακα simplex για να μεταβείτε σε μια νέα «βελτιωμένη» βασική λύση. Στην περίπτωση αυτή πρόκειται για μεταβλητές x5Και x2, στον νέο πίνακα simplex (Πίνακας 5.5) τα ανταλλάσσουμε.

9.1. Μετασχηματισμός του αναλυτικού στοιχείου.

Το στοιχείο ανάλυσης του Πίνακα 5.4 μετατρέπεται ως εξής:

Εισάγουμε το αποτέλεσμα που προκύπτει σε ένα παρόμοιο κελί στον Πίνακα 5.5.

9.2. Μετατροπή συμβολοσειράς ανάλυσης.

Διαιρούμε τα στοιχεία της γραμμής επίλυσης του πίνακα 5.4 με το στοιχείο επίλυσης αυτού του πίνακα simplex, τα αποτελέσματα χωρούν σε παρόμοια κελιά του νέου πίνακα simplex (πίνακας 5.5). Οι μετασχηματισμοί των στοιχείων συμβολοσειράς ανάλυσης δίνονται στον Πίνακα 5.5.

9.3. Μετατροπή της στήλης ανάλυσης.

Διαιρούμε τα στοιχεία της στήλης ανάλυσης του Πίνακα 5.4 με το στοιχείο ανάλυσης αυτού του πίνακα simplex και το αποτέλεσμα λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο. Τα αποτελέσματα που ελήφθησαν χωρούν σε παρόμοια κελιά του νέου πίνακα simplex (Πίνακας 5.5). Οι μετασχηματισμοί των στοιχείων της στήλης ανάλυσης δίνονται στον Πίνακα 5.5.

9.4. Μετασχηματισμός των υπολοίπων στοιχείων του πίνακα simplex.

Ο μετασχηματισμός των υπολοίπων στοιχείων του πίνακα simplex (δηλαδή, στοιχείων που δεν βρίσκονται στη γραμμή επίλυσης και στη στήλη επίλυσης) πραγματοποιείται σύμφωνα με τον κανόνα "ορθογώνιο".

Για παράδειγμα, σκεφτείτε να μετατρέψετε ένα στοιχείο που βρίσκεται στη διασταύρωση της γραμμής " x3" και στήλες "", ας το υποδηλώσουμε υπό όρους " x3" Στον Πίνακα 5.4, σχεδιάζουμε νοερά ένα ορθογώνιο, η μία κορυφή του οποίου βρίσκεται στο κελί του οποίου την τιμή μετασχηματίζουμε (δηλ. στο κελί " x3"), και η άλλη (διαγώνια κορυφή) βρίσκεται σε ένα κελί με ένα στοιχείο επίλυσης. Οι άλλες δύο κορυφές (της δεύτερης διαγωνίου) προσδιορίζονται μοναδικά. Στη συνέχεια, η μετασχηματισμένη τιμή του κελιού " x3" θα είναι ίση με την προηγούμενη τιμή αυτού του κελιού μείον το κλάσμα, στον παρονομαστή του οποίου είναι το στοιχείο επίλυσης (από τον Πίνακα 5.4) και στον αριθμητή είναι το γινόμενο δύο άλλων αχρησιμοποίητων κορυφών, δηλ.:

« x3»: .

Οι τιμές των άλλων κελιών μετατρέπονται με παρόμοιο τρόπο:

« x3 x1»: ;

« x4»: ;

« x4 x1»: ;

« x6»: ;

« x6 x1»: ;

«»: ;

« x1»: .

Ως αποτέλεσμα αυτών των μετασχηματισμών, προέκυψε ένας νέος πίνακας simplex (Πίνακας 5.5).

II επανάληψη:

Στάδιο 1: σύνταξη πίνακα simplex.

Πίνακας 5.5

Simplex τραπέζιII επαναλήψεις

				Εκτιμώμενος σχέση

Στάδιο 2: προσδιορισμός της βασικής λύσης.

Ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών simplex, ελήφθη μια νέα βασική λύση (Πίνακας 5.5):

Όπως μπορείτε να δείτε, με αυτή τη βασική λύση η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης = 15, η οποία είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη βασική λύση.

Η ασυνέπεια του συστήματος περιορισμών σύμφωνα με το χαρακτηριστικό 1 στον Πίνακα 5.5 δεν έχει εντοπιστεί.

Στάδιο 4: έλεγχος του ορίου της αντικειμενικής συνάρτησης.

Το απεριόριστο της αντικειμενικής συνάρτησης σύμφωνα με το κριτήριο 2 στον Πίνακα 5.5 δεν αποκαλύπτεται.

Στάδιο 5: έλεγχος του παραδεκτού της βασικής λύσης που βρέθηκε.

Η βασική λύση που βρέθηκε σύμφωνα με το κριτήριο 4 δεν είναι η βέλτιστη, καθώς η γραμμή της αντικειμενικής συνάρτησης του πίνακα simplex (Πίνακας 5.5) περιέχει ένα αρνητικό στοιχείο: –2 (ο ελεύθερος αριθμός αυτής της γραμμής δεν λαμβάνεται υπόψη όταν εξετάζεται αυτό χαρακτηριστικό γνώρισμα). Επομένως, προχωράμε στο στάδιο 8.

Στάδιο 8: προσδιορισμός του στοιχείου επίλυσης.

8.1. Ορισμός της στήλης ανάλυσης.

Η βασική λύση που βρέθηκε είναι αποδεκτή προσδιορίζουμε τις στήλες με αρνητικά στοιχεία στη σειρά της αντικειμενικής συνάρτησης (εκτός από τη στήλη των ελεύθερων αριθμών). Σύμφωνα με τον Πίνακα 5.5, υπάρχει μόνο μία τέτοια στήλη: « x1" Επομένως, το αποδεχόμαστε ως επιτρεπόμενο.

8.2. Ορισμός συμβολοσειράς ενεργοποίησης.

Σύμφωνα με τις λαμβανόμενες τιμές των θετικών σχέσεων αξιολόγησης στον Πίνακα 5.6, το ελάχιστο είναι η σχέση που αντιστοιχεί στη γραμμή " x3" Επομένως, το αποδεχόμαστε ως επιτρεπόμενο.

Πίνακας 5.6

Simplex τραπέζιII επαναλήψεις

				Εκτιμώμενος σχέση
				3/1=3 – λεπ

Στάδιο 9: μετασχηματισμός του πίνακα simplex.

Οι μετασχηματισμοί του πίνακα simplex (Πίνακας 5.6) εκτελούνται με τον ίδιο τρόπο όπως στην προηγούμενη επανάληψη. Τα αποτελέσματα μετασχηματισμών στοιχείων του πίνακα simplex δίνονται στον Πίνακα 5.7.

III επανάληψη

Με βάση τα αποτελέσματα των μετασχηματισμών simplex της προηγούμενης επανάληψης, συνθέτουμε έναν νέο πίνακα simplex:

Πίνακας 5.7

Simplex τραπέζιIII επαναλήψεις

				Εκτιμώμενος σχέση

Στάδιο 2: προσδιορισμός της βασικής λύσης.

Ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών simplex, ελήφθη μια νέα βασική λύση (Πίνακας 5.7):

Στάδιο 3: έλεγχος της συμβατότητας του συστήματος περιορισμών.

Η ασυνέπεια του συστήματος περιορισμών σύμφωνα με το χαρακτηριστικό 1 στον Πίνακα 5.7 δεν έχει εντοπιστεί.

Στάδιο 4: έλεγχος του ορίου της αντικειμενικής συνάρτησης.

Το απεριόριστο της αντικειμενικής συνάρτησης σύμφωνα με το κριτήριο 2 στον Πίνακα 5.7 δεν αποκαλύπτεται.

Στάδιο 5: έλεγχος του παραδεκτού της βασικής λύσης που βρέθηκε.

Η βασική λύση που βρέθηκε σύμφωνα με το κριτήριο 3 είναι αποδεκτή, καθώς δεν περιέχει αρνητικά συστατικά.

Στάδιο 6: έλεγχος της βελτιστοποίησης της βασικής λύσης που βρέθηκε.

Η βασική λύση που βρέθηκε σύμφωνα με το κριτήριο 4 δεν είναι η βέλτιστη, καθώς η γραμμή της αντικειμενικής συνάρτησης του πίνακα simplex (Πίνακας 5.7) περιέχει ένα αρνητικό στοιχείο: –3 (ο ελεύθερος αριθμός αυτής της γραμμής δεν λαμβάνεται υπόψη όταν εξετάζεται αυτό χαρακτηριστικό γνώρισμα). Επομένως, προχωράμε στο στάδιο 8.

Στάδιο 8: προσδιορισμός του στοιχείου επίλυσης.

8.1. Ορισμός της στήλης ανάλυσης.

Η βασική λύση που βρέθηκε είναι αποδεκτή προσδιορίζουμε τις στήλες με αρνητικά στοιχεία στη σειρά της αντικειμενικής συνάρτησης (εκτός από τη στήλη των ελεύθερων αριθμών). Σύμφωνα με τον Πίνακα 5.7, υπάρχει μόνο μία τέτοια στήλη: « x5" Επομένως, το αποδεχόμαστε ως επιτρεπόμενο.

8.2. Ορισμός συμβολοσειράς ενεργοποίησης.

Σύμφωνα με τις λαμβανόμενες τιμές των θετικών σχέσεων αξιολόγησης στον Πίνακα 5.8, το ελάχιστο είναι η σχέση που αντιστοιχεί στη γραμμή " x4" Επομένως, το αποδεχόμαστε ως επιτρεπόμενο.

Πίνακας 5.8

Simplex τραπέζιIII επαναλήψεις

				Εκτιμώμενος σχέση

				5/5=1 – λεπ

Στάδιο 9: μετασχηματισμός του πίνακα simplex.

Οι μετασχηματισμοί του πίνακα simplex (Πίνακας 5.8) εκτελούνται με τον ίδιο τρόπο όπως στην προηγούμενη επανάληψη. Τα αποτελέσματα μετασχηματισμών στοιχείων του πίνακα simplex δίνονται στον Πίνακα 5.9.

IV επανάληψη

Στάδιο 1: κατασκευή νέου πίνακα simplex.

Πίνακας 5.9

Simplex τραπέζιIV επαναλήψεις

				Εκτιμώμενος σχέση
			–(–3/5)=3/5

			–(1/5)=–1/5
			–(9/5)=–9/5
			–(–3/5)=3/5

Στάδιο 2: προσδιορισμός της βασικής λύσης.

Ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών simplex, ελήφθη μια νέα βασική λύση σύμφωνα με τον Πίνακα 5.9, η λύση είναι η εξής:

Στάδιο 3: έλεγχος της συμβατότητας του συστήματος περιορισμών.

Η ασυνέπεια του συστήματος περιορισμών σύμφωνα με το χαρακτηριστικό 1 στον Πίνακα 5.9 δεν έχει εντοπιστεί.

Στάδιο 4: έλεγχος του ορίου της αντικειμενικής συνάρτησης.

Το απεριόριστο της αντικειμενικής συνάρτησης σύμφωνα με το κριτήριο 2 στον Πίνακα 5.9 δεν αποκαλύπτεται.

Στάδιο 5: έλεγχος του παραδεκτού της βασικής λύσης που βρέθηκε.

Η βασική λύση που βρέθηκε σύμφωνα με το κριτήριο 3 είναι αποδεκτή, καθώς δεν περιέχει αρνητικά συστατικά.

Στάδιο 6: έλεγχος της βελτιστοποίησης της βασικής λύσης που βρέθηκε.

Η βασική λύση που βρέθηκε σύμφωνα με το χαρακτηριστικό 4 είναι η βέλτιστη, καθώς δεν υπάρχουν αρνητικά στοιχεία στη γραμμή της αντικειμενικής συνάρτησης του πίνακα simplex (Πίνακας 5.9) (ο ελεύθερος αριθμός αυτής της γραμμής δεν λαμβάνεται υπόψη κατά την εξέταση αυτού του χαρακτηριστικού) .

Στάδιο 7: έλεγχος της εναλλακτικότητας της λύσης.

Η λύση που βρέθηκε είναι μοναδική, αφού δεν υπάρχουν μηδενικά στοιχεία στη γραμμή της αντικειμενικής συνάρτησης (Πίνακας 5.9) (ο ελεύθερος αριθμός αυτής της γραμμής δεν λαμβάνεται υπόψη κατά την εξέταση αυτού του χαρακτηριστικού).

Απάντηση: η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του υπό εξέταση προβλήματος =24, η οποία επιτυγχάνεται στο.

Παράδειγμα 5.2.Να λύσετε το παραπάνω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού με την προϋπόθεση ότι η αντικειμενική συνάρτηση είναι ελαχιστοποιημένη:

Λύση:

Εγώ επανάληψη:

Στάδιο 1: σχηματισμός του αρχικού πίνακα simplex.

Το αρχικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού δίνεται σε τυπική μορφή. Ας το φέρουμε σε κανονική μορφή εισάγοντας μια πρόσθετη μη αρνητική μεταβλητή σε κάθε έναν από τους περιορισμούς ανισότητας, π.χ.

Στο προκύπτον σύστημα εξισώσεων, παίρνουμε ως επιτρεπόμενες (βασικές) μεταβλητές x3, x4, x5, x6, τότε οι ελεύθερες μεταβλητές θα είναι x1,x2. Ας εκφράσουμε τις βασικές μεταβλητές ως ελεύθερες.

Αυτή η μέθοδος είναι μια μέθοδος σκόπιμης απαρίθμησης λύσεων αναφοράς σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. Επιτρέπει, σε έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων, είτε να βρεθεί μια βέλτιστη λύση είτε να διαπιστωθεί ότι δεν υπάρχει βέλτιστη λύση.

Το κύριο περιεχόμενο της μεθόδου simplex είναι το εξής:

Υποδείξτε μια μέθοδο για την εύρεση της βέλτιστης λύσης αναφοράς
Υποδείξτε τη μέθοδο μετάβασης από τη μια λύση αναφοράς στην άλλη, στην οποία η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα είναι πιο κοντά στη βέλτιστη, δηλ. υποδεικνύουν έναν τρόπο βελτίωσης της λύσης αναφοράς
Ορίστε κριτήρια που σας επιτρέπουν να σταματήσετε αμέσως την αναζήτηση λύσεων υποστήριξης στη βέλτιστη λύση ή να βγάλετε ένα συμπέρασμα σχετικά με την απουσία βέλτιστης λύσης.

Αλγόριθμος της μεθόδου simplex για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού

Για να λύσετε ένα πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο simplex, πρέπει να κάνετε τα εξής:

Φέρτε το πρόβλημα σε κανονική μορφή
Βρείτε την αρχική λύση υποστήριξης με "βάση μονάδας" (αν δεν υπάρχει λύση υποστήριξης, τότε το πρόβλημα δεν έχει λύση λόγω της ασυμβατότητας του συστήματος περιορισμών)
Υπολογίστε τις εκτιμήσεις των αποσυνθέσεων των διανυσμάτων με βάση τη λύση αναφοράς και συμπληρώστε τον πίνακα της μεθόδου simplex
Εάν το κριτήριο για τη μοναδικότητα της βέλτιστης λύσης ικανοποιηθεί, τότε η λύση του προβλήματος τελειώνει
Εάν πληρούται η προϋπόθεση για την ύπαρξη ενός συνόλου βέλτιστων λύσεων, τότε όλες οι βέλτιστες λύσεις βρίσκονται με απλή απαρίθμηση

Ένα παράδειγμα επίλυσης ενός προβλήματος με τη χρήση της μεθόδου simplex

Παράδειγμα 26.1

Λύστε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο simplex:

Λύση:

Φέρνουμε το πρόβλημα σε κανονική μορφή.

Για να γίνει αυτό, εισάγουμε μια πρόσθετη μεταβλητή x 6 με συντελεστή +1 στην αριστερή πλευρά του πρώτου περιορισμού ανισότητας. Η μεταβλητή x 6 περιλαμβάνεται στην αντικειμενική συνάρτηση με συντελεστή μηδέν (δηλαδή δεν περιλαμβάνεται).

Παίρνουμε:

Βρίσκουμε την αρχική λύση υποστήριξης. Για να γίνει αυτό, εξισώνουμε τις ελεύθερες (μη λυμένες) μεταβλητές με μηδέν x1 = x2 = x3 = 0.

Παίρνουμε λύση αναφοράςΧ1 = (0,0,0,24,30,6) με μοναδιαία βάση Β1 = (Α4, Α5, Α6).

Υπολογίζουμε εκτιμήσεις των διανυσματικών αποσυνθέσεωνσυνθήκες με βάση το διάλυμα αναφοράς σύμφωνα με τον τύπο:

Δ k = C b X k - c k

C b = (c 1, c 2, ..., c m) - διάνυσμα συντελεστών της αντικειμενικής συνάρτησης για τις βασικές μεταβλητές
X k = (x 1k , x 2k , ... , x mk) - διάνυσμα διαστολής του αντίστοιχου διανύσματος A k σύμφωνα με τη βάση της λύσης αναφοράς
C k είναι ο συντελεστής της αντικειμενικής συνάρτησης για τη μεταβλητή x k.

Οι εκτιμήσεις των διανυσμάτων που περιλαμβάνονται στη βάση είναι πάντα ίσες με μηδέν. Η λύση αναφοράς, οι συντελεστές των επεκτάσεων και οι εκτιμήσεις των επεκτάσεων των διανυσμάτων των συνθηκών με βάση τη λύση αναφοράς γράφονται σε πίνακας simplex:

Στην κορυφή του πίνακα, για ευκολία στον υπολογισμό των εκτιμήσεων, αναγράφονται οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης. Στην πρώτη στήλη «Β» γράφονται τα διανύσματα που περιλαμβάνονται στη βάση της λύσης αναφοράς. Η σειρά με την οποία γράφονται αυτά τα διανύσματα αντιστοιχεί στους αριθμούς των επιτρεπόμενων αγνώστων στις εξισώσεις περιορισμών. Στη δεύτερη στήλη του πίνακα «Γ β» γράφονται με την ίδια σειρά οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης για τις βασικές μεταβλητές. Με τη σωστή διάταξη των συντελεστών της αντικειμενικής συνάρτησης στη στήλη «Γ β», οι εκτιμήσεις των μοναδιαίων διανυσμάτων που περιλαμβάνονται στη βάση είναι πάντα ίσες με μηδέν.

Στην τελευταία σειρά του πίνακα με εκτιμήσεις Δ k στη στήλη «A 0» αναγράφονται οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης στη λύση αναφοράς Z(X 1).

Η αρχική λύση υποστήριξης δεν είναι βέλτιστη, αφού στο μέγιστο πρόβλημα οι εκτιμήσεις Δ 1 = -2, Δ 3 = -9 για τα διανύσματα A 1 και A 3 είναι αρνητικές.

Σύμφωνα με το θεώρημα για τη βελτίωση της λύσης υποστήριξης, εάν σε ένα μέγιστο πρόβλημα τουλάχιστον ένα διάνυσμα έχει αρνητική εκτίμηση, τότε μπορείτε να βρείτε μια νέα λύση υποστήριξης στην οποία η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα είναι μεγαλύτερη.

Ας προσδιορίσουμε ποιο από τα δύο διανύσματα θα οδηγήσει σε μεγαλύτερη αύξηση της αντικειμενικής συνάρτησης.

Η αύξηση της αντικειμενικής συνάρτησης βρίσκεται με τον τύπο: .

Υπολογίζουμε τις τιμές της παραμέτρου θ 01 για την πρώτη και την τρίτη στήλη χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Λαμβάνουμε θ 01 = 6 για l = 1, θ 03 = 3 για l = 1 (Πίνακας 26.1).

Βρίσκουμε την αύξηση της αντικειμενικής συνάρτησης όταν εισάγουμε στη βάση το πρώτο διάνυσμα ΔZ 1 = - 6*(- 2) = 12, και το τρίτο διάνυσμα ΔZ 3 = - 3*(- 9) = 27.

Συνεπώς, για ταχύτερη προσέγγιση της βέλτιστης λύσης, είναι απαραίτητο να εισαχθεί το διάνυσμα Α3 στη βάση της λύσης αναφοράς αντί για το πρώτο διάνυσμα της βάσης Α6, αφού το ελάχιστο της παραμέτρου θ 03 επιτυγχάνεται στην πρώτη σειρά ( l = 1).

Εκτελούμε τον μετασχηματισμό Jordan με το στοιχείο X13 = 2, λαμβάνουμε τη δεύτερη λύση αναφοράς X2 = (0,0,3,21,42,0) με βάση B2 = (A3, A4, A5). (Πίνακας 26.2)

Αυτή η λύση δεν είναι η βέλτιστη, αφού το διάνυσμα Α2 έχει αρνητική εκτίμηση Δ2 = - 6. Για να βελτιωθεί η λύση, είναι απαραίτητο να εισαχθεί το διάνυσμα Α2 στη βάση της λύσης αναφοράς.

Καθορίζουμε τον αριθμό του διανύσματος που προκύπτει από τη βάση. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε την παράμετρο θ 02 για τη δεύτερη στήλη, ισούται με 7 για l = 2. Κατά συνέπεια, εξάγουμε το δεύτερο διάνυσμα βάσης Α4 από τη βάση. Εκτελούμε τον μετασχηματισμό Jordan με το στοιχείο x 22 = 3, λαμβάνουμε την τρίτη λύση αναφοράς X3 = (0,7,10,0,63,0) B2 = (A3, A2, A5) (Πίνακας 26.3).

Αυτή η λύση είναι η μόνη βέλτιστη, αφού για όλα τα διανύσματα που δεν περιλαμβάνονται στη βάση οι εκτιμήσεις είναι θετικές

Δ 1 = 7/2, Δ 4 = 2, Δ 6 = 7/2.

Απάντηση: max Z(X) = 201 σε X = (0,7,10,0,63).

Μέθοδος γραμμικού προγραμματισμού στην οικονομική ανάλυση

Μέθοδος γραμμικού προγραμματισμούκαθιστά δυνατή την αιτιολόγηση της βέλτιστης οικονομικής λύσης υπό συνθήκες αυστηρών περιορισμών που σχετίζονται με τους πόρους που χρησιμοποιούνται στην παραγωγή (πάγια στοιχεία ενεργητικού, υλικά, εργατικοί πόροι). Η χρήση αυτής της μεθόδου στην οικονομική ανάλυση καθιστά δυνατή την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται κυρίως με τον προγραμματισμό των δραστηριοτήτων ενός οργανισμού. Αυτή η μέθοδος βοηθά στον προσδιορισμό των βέλτιστων ποσοτήτων παραγωγής προϊόντος, καθώς και των κατευθύνσεων για την αποτελεσματικότερη χρήση των πόρων παραγωγής που διαθέτει ο οργανισμός.

Χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο, επιλύονται τα λεγόμενα ακραία προβλήματα, τα οποία συνίστανται στην εύρεση ακραίων τιμών, δηλαδή του μέγιστου και του ελάχιστου συναρτήσεων μεταβλητών μεγεθών.

Αυτή η περίοδος βασίζεται στην επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων σε περιπτώσεις όπου τα αναλυόμενα οικονομικά φαινόμενα συνδέονται με μια γραμμική, αυστηρά λειτουργική εξάρτηση. Η μέθοδος γραμμικού προγραμματισμού χρησιμοποιείται για την ανάλυση μεταβλητών παρουσία ορισμένων περιοριστικών παραγόντων.

Είναι πολύ συνηθισμένο να λύνουμε το λεγόμενο πρόβλημα μεταφοράς χρησιμοποιώντας τη μέθοδο γραμμικού προγραμματισμού. Το περιεχόμενο αυτής της εργασίας είναι η ελαχιστοποίηση των δαπανών που προκύπτουν σε σχέση με τη λειτουργία των οχημάτων υπό υφιστάμενους περιορισμούς σχετικά με τον αριθμό των οχημάτων, τη μεταφορική τους ικανότητα, τη διάρκεια της λειτουργίας τους, εάν υπάρχει ανάγκη εξυπηρέτησης του μέγιστου αριθμού πελατών.

Επιπλέον, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται ευρέως για την επίλυση του προβλήματος του προγραμματισμού. Αυτή η εργασία συνίσταται σε μια τέτοια κατανομή του χρόνου λειτουργίας για το προσωπικό ενός δεδομένου οργανισμού που θα ήταν πιο αποδεκτή τόσο για τα μέλη αυτού του προσωπικού όσο και για τους πελάτες του οργανισμού.

Αυτό το καθήκον είναι να μεγιστοποιήσει τον αριθμό των πελατών που εξυπηρετούνται υπό συνθήκες περιορισμών στον αριθμό των διαθέσιμων μελών του προσωπικού, καθώς και στο ταμείο χρόνου εργασίας.

Έτσι, η μέθοδος γραμμικού προγραμματισμού είναι πολύ διαδεδομένη στην ανάλυση της τοποθέτησης και χρήσης διαφόρων τύπων πόρων, καθώς και στη διαδικασία σχεδιασμού και πρόβλεψης των δραστηριοτήτων των οργανισμών.

Ωστόσο, ο μαθηματικός προγραμματισμός μπορεί να εφαρμοστεί και σε εκείνα τα οικονομικά φαινόμενα, η σχέση μεταξύ των οποίων δεν είναι γραμμική. Για το σκοπό αυτό, μπορούν να χρησιμοποιηθούν μέθοδοι μη γραμμικού, δυναμικού και κυρτού προγραμματισμού.

Ο μη γραμμικός προγραμματισμός βασίζεται στη μη γραμμική φύση της αντικειμενικής συνάρτησης ή των περιορισμών ή και των δύο. Οι μορφές της αντικειμενικής συνάρτησης και των περιορισμών ανισότητας σε αυτές τις συνθήκες μπορεί να είναι διαφορετικές.

Ο μη γραμμικός προγραμματισμός χρησιμοποιείται στην οικονομική ανάλυση, ιδίως όταν καθορίζεται η σχέση μεταξύ δεικτών που εκφράζουν την αποτελεσματικότητα των δραστηριοτήτων ενός οργανισμού και τον όγκο αυτής της δραστηριότητας, τη δομή του κόστους παραγωγής, τις συνθήκες της αγοράς κ.λπ.

Ο δυναμικός προγραμματισμός βασίζεται στην κατασκευή ενός δέντρου αποφάσεων. Κάθε βαθμίδα αυτού του δέντρου χρησιμεύει ως στάδιο για τον προσδιορισμό των συνεπειών μιας προηγούμενης απόφασης και για την εξάλειψη των αναποτελεσματικών επιλογών για αυτήν την απόφαση. Έτσι, ο δυναμικός προγραμματισμός έχει μια φύση πολλαπλών σταδίων, πολλαπλών σταδίων. Αυτός ο τύπος προγραμματισμού χρησιμοποιείται στην οικονομική ανάλυση για την εύρεση βέλτιστων επιλογών για την ανάπτυξη ενός οργανισμού τόσο τώρα όσο και στο μέλλον.

Ο κυρτός προγραμματισμός είναι ένας τύπος μη γραμμικού προγραμματισμού. Αυτός ο τύπος προγραμματισμού εκφράζει τη μη γραμμική φύση της σχέσης μεταξύ των αποτελεσμάτων των δραστηριοτήτων ενός οργανισμού και του κόστους του. Ο κυρτός (γνωστός και ως κοίλος) προγραμματισμός αναλύει κυρτές αντικειμενικές συναρτήσεις και κυρτά συστήματα περιορισμού (σημεία σκοπιμότητας). Ο κυρτός προγραμματισμός χρησιμοποιείται στην ανάλυση οικονομικών δραστηριοτήτων με στόχο την ελαχιστοποίηση του κόστους και ο κοίλος προγραμματισμός με στόχο τη μεγιστοποίηση του εισοδήματος υπό υφιστάμενους περιορισμούς στη δράση παραγόντων που επηρεάζουν τους αναλυόμενους δείκτες αντίθετα. Κατά συνέπεια, με τους τύπους προγραμματισμού που εξετάζονται, οι κυρτές αντικειμενικές συναρτήσεις ελαχιστοποιούνται και οι κοίλες αντικειμενικές συναρτήσεις μεγιστοποιούνται.

Βήμα 0. Προπαρασκευαστικό στάδιο.

Μειώνουμε το πρόβλημα LP σε ειδική φόρμα (15).

Βήμα 1.Σύνταξη πίνακας simplex, που αντιστοιχεί στο ειδικό έντυπο:

Σημειώστε ότι αυτός ο πίνακας αντιστοιχεί σε μια αποδεκτή βασική λύση
προβλήματα (15). Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης σε αυτή τη λύση

Βήμα 2.Έλεγχος βελτιστοποίησης

Αν μεταξύ των στοιχείων της σειράς ευρετηρίου υπάρχουν πίνακες simplex
τότε δεν υπάρχει ούτε ένα θετικό στοιχείο
, η βέλτιστη λύση στο πρόβλημα LP βρίσκεται:. Ο αλγόριθμος τερματίζεται.

Βήμα 3.Έλεγχος ακαθοριστικότητας

Αν μεταξύ
υπάρχει ένα θετικό στοιχείο
, και στην αντίστοιχη στήλη
δεν υπάρχει ούτε ένα θετικό στοιχείο
, τότε η αντικειμενική συνάρτηση μεγάλοείναι απεριόριστο από κάτω στο αποδεκτό σύνολο. Σε αυτή την περίπτωση, δεν υπάρχει βέλτιστη λύση. Ο αλγόριθμος τερματίζεται.

Βήμα 4.Επιλογή κύριας στήλης q

Ανάμεσα στα στοιχεία
επιλέξτε το μέγιστο θετικό στοιχείο
.Δηλώνουμε αυτή τη στήλη ως την πρώτη (επιτρεπτική) στήλη.

Βήμα 5.Επιλογή κύριας γραμμής Π

Ανάμεσα στα θετικά στοιχεία της στήλης
βρείτε το στοιχείο
, για το οποίο ισχύει η ισότητα

Σειρά ΠΔηλώνουμε ότι οδηγεί (επιτρέπει). Στοιχείο
Δηλώνουμε ότι είναι ο αρχηγός (επιτρέποντας).

Βήμα 6.Μετατροπή Simplex πίνακα

Δημιουργούμε έναν νέο πίνακα simplex στον οποίο:

α) αντί της βασικής μεταβλητής σημειωσε , αντί για μια μη βασική μεταβλητή σημειωσε ;

β) το κύριο στοιχείο αντικαθίσταται από την αντίστροφη τιμή
;

γ) όλα τα στοιχεία της κύριας στήλης (εκτός
) πολλαπλασιάστε με
;

δ) όλα τα στοιχεία της πρώτης γραμμής (εκτός
) πολλαπλασιάστε με ;

ε) τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα simplex μετατρέπονται σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα «ορθογώνιο».

Το γινόμενο τριών παραγόντων αφαιρείται από το στοιχείο:

το πρώτο είναι το αντίστοιχο στοιχείο της κύριας στήλης.

το δεύτερο είναι το αντίστοιχο στοιχείο της κύριας γραμμής.

το τρίτο είναι το αντίστροφο του ηγετικού στοιχείου
.

Το μετασχηματισμένο στοιχείο και οι τρεις παράγοντες που αντιστοιχούν σε αυτό είναι ακριβώς οι κορυφές του «ορθογώνου».

Βήμα 7Η μετάβαση στην επόμενη επανάληψη πραγματοποιείται επιστρέφοντας στο βήμα 2.

2.3. Αλγόριθμος μεθόδου Simplex για το μέγιστο πρόβλημα

Ο αλγόριθμος της μεθόδου simplex για το μέγιστο πρόβλημα διαφέρει από τον αλγόριθμο για το ελάχιστο πρόβλημα μόνο στα πρόσημα της γραμμής δείκτη των συντελεστών στην αντικειμενική συνάρτηση
, και συγκεκριμένα:

Στο βήμα 2:
:

Στο βήμα 3
. Η αντικειμενική συνάρτηση είναι απεριόριστη από πάνω στο αποδεκτό σύνολο.

Στο βήμα 4:
.

2.4. Ένα παράδειγμα επίλυσης ενός προβλήματος με τη χρήση της μεθόδου simplex

Λύστε το πρόβλημα που γράφτηκε στη φόρμα (15).

Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα simplex:

Δεδομένου ότι οι συντελεστές της γραμμής της αντικειμενικής συνάρτησης είναι μη αρνητικοί, η αρχική λύση βάσης δεν είναι η βέλτιστη. Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για αυτή τη βάση L=0.

Επιλέξτε την κύρια στήλη - αυτή είναι η στήλη που αντιστοιχεί στη μεταβλητή .

Επιλέξτε την κύρια γραμμή. Για αυτό βρίσκουμε
. Επομένως, η κύρια γραμμή αντιστοιχεί στη μεταβλητή .

Μετασχηματίζουμε τον πίνακα simplex εισάγοντας μια μεταβλητή στη βάση και στην έξοδο της μεταβλητής από τη βάση. Παίρνουμε τον πίνακα:

Ολοκληρώνεται μία επανάληψη της μεθόδου. Ας προχωρήσουμε σε μια νέα επανάληψη. Ο πίνακας που προκύπτει δεν είναι ο βέλτιστος. Η βασική λύση που αντιστοιχεί στον πίνακα έχει τη μορφή . Η αξία της αντικειμενικής συνάρτησης σε αυτή τη βάση L= -2.

Η κύρια στήλη εδώ είναι η στήλη που αντιστοιχεί στη μεταβλητή . Leading line – η γραμμή που αντιστοιχεί στη μεταβλητή . Αφού πραγματοποιήσουμε τους μετασχηματισμούς, λαμβάνουμε έναν πίνακα simplex:

Άλλη μια επανάληψη ολοκληρώθηκε. Ας προχωρήσουμε σε μια νέα επανάληψη.

Η γραμμή της αντικειμενικής συνάρτησης δεν περιέχει θετικές τιμές, πράγμα που σημαίνει ότι η αντίστοιχη βασική λύση είναι βέλτιστη και ο αλγόριθμος τερματίζεται.

Προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού. Είναι σε διαδοχική κατασκευή που χαρακτηρίζει την υπό εξέταση διαδικασία. Η λύση χωρίζεται σε τρία κύρια στάδια: επιλογή μεταβλητών, κατασκευή συστήματος περιορισμών και αναζήτηση αντικειμενικής συνάρτησης.

Με βάση αυτή τη διαίρεση, η συνθήκη του προβλήματος μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής: άκρο της αντικειμενικής συνάρτησης Z(X) = f(x1, x2, … ,xn) → max (min) και οι αντίστοιχες μεταβλητές, εάν είναι γνωστό ότι ικανοποιεί το σύστημα των περιορισμών: Φ_i ( x1, x2, … ,xn) = 0 για i = 1, 2, …, k;Φ_i (x1, x2, … ,xn)) 0 για i = k+1, k+ 2, …, m.

Το σύστημα των περιορισμών πρέπει να έλθει σε κανονική μορφή, δηλ. σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, όπου ο αριθμός των μεταβλητών είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των εξισώσεων (m > k). Σε αυτό το σύστημα θα υπάρχουν σίγουρα μεταβλητές που θα μπορούν να εκφραστούν μέσω άλλων μεταβλητών, και αν αυτό δεν ισχύει, τότε μπορούν να εισαχθούν τεχνητά. Στην περίπτωση αυτή, τα πρώτα ονομάζονται βάση ή τεχνητή βάση και τα δεύτερα ονομάζονται δωρεάν.

Είναι πιο βολικό να εξετάσουμε τη μέθοδο simplex χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Έστω μια γραμμική συνάρτηση f(x) = 6x1 + 5x2 + 9x3 και ένα σύστημα περιορισμών: 5x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 25 ≤ 20 4x1 + 3x3 ≤ τιμή της συνάρτησης f(x).

Λύση Στο πρώτο στάδιο, προσδιορίστε την αρχική (αναφορά) λύση του συστήματος εξισώσεων με απολύτως αυθαίρετο τρόπο, η οποία πρέπει να ικανοποιεί το δεδομένο σύστημα περιορισμών. Σε αυτή την περίπτωση απαιτείται η εισαγωγή τεχνητού, δηλ. βασικές μεταβλητές x4, x5 και x6 ως εξής: 5x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 25 x1 + 6x2 + 2x3 + x5 = 20.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι ανισότητες έχουν μετατραπεί σε ισότητες χάρη στις προστιθέμενες μεταβλητές x4, x5, x6, οι οποίες είναι μη αρνητικές ποσότητες. Έτσι, έχετε φέρει το σύστημα στην κανονική του μορφή. Η μεταβλητή x4 περιλαμβάνεται στην πρώτη εξίσωση με συντελεστή 1, και στη δεύτερη - με συντελεστή 0, το ίδιο ισχύει για τις μεταβλητές x5, x6 και τις αντίστοιχες εξισώσεις, που αντιστοιχεί στον ορισμό της βάσης.

Έχετε προετοιμάσει το σύστημα και βρήκατε την αρχική λύση αναφοράς – X0 = (0, 0, 0, 25, 20, 18). Παρουσιάστε τώρα τους συντελεστές των μεταβλητών και τους ελεύθερους όρους των εξισώσεων (τους αριθμούς στα δεξιά του συμβόλου «=») σε μορφή πίνακα για βελτιστοποίηση περαιτέρω υπολογισμών (βλ. σχήμα).

Η ουσία της μεθόδου simplex είναι να φέρει αυτόν τον πίνακα σε μια μορφή στην οποία όλοι οι αριθμοί στη σειρά L θα είναι μη αρνητικές τιμές. Εάν αποδειχθεί ότι αυτό είναι αδύνατο, τότε το σύστημα δεν έχει καθόλου τη βέλτιστη λύση. Αρχικά, επιλέξτε το μικρότερο στοιχείο αυτής της γραμμής, που είναι -9. Ο αριθμός βρίσκεται στην τρίτη στήλη. Μετατρέψτε την αντίστοιχη μεταβλητή x3 σε μεταβλητή βάσης. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε τη γραμμή με το 3 έτσι ώστε το κελί να καταλήξει στο 1.

Τώρα χρειάζεστε τα κελιά και να γυρίσετε στο 0. Για να το κάνετε αυτό, αφαιρέστε από τους αντίστοιχους αριθμούς της τρίτης σειράς κατά 3. Από τα στοιχεία της δεύτερης σειράς - τα στοιχεία της τρίτης, πολλαπλασιαζόμενα επί 2. Και, τέλος, από τα στοιχεία της σειράς L - πολλαπλασιάζονται με (-9). Λάβατε τη δεύτερη λύση αναφοράς: f(x) = L = 54 με x1 = (0, 0, 6, 7, 8, 0).

Κλωστή, κουμπιά και ύφασμα χρησιμοποιούνται για την κατασκευή τριών τύπων πουκάμισων. Τα αποθέματα νήματος, κουμπιών και υφάσματος, οι κανόνες κατανάλωσής τους για το ράψιμο ενός πουκάμισου αναφέρονται στον πίνακα. Βρείτε το μέγιστο κέρδος και το βέλτιστο πλάνο παραγωγής προϊόντος που το εξασφαλίζει (βρείτε).

πουκάμισο 1

πουκάμισο 2

πουκάμισο 3

Αποθεματικά

κλωστές (μ.)

κουμπιά (τεμ.)

640

υφάσματα (

Κέρδος (r.)

Η λύση του προβλήματος

Πρότυπο κτίριο

Μέσω και τον αριθμό των πουκάμισων του 1ου, 2ου και 3ου τύπου που προορίζονται για κυκλοφορία.

Τότε οι περιορισμοί πόρων θα μοιάζουν με αυτό:

Επιπλέον, σύμφωνα με το νόημα της εργασίας

Αντικειμενική συνάρτηση που εκφράζει το ληφθέν κέρδος:

Παίρνουμε το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού:

Αναγωγή ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού σε κανονική μορφή

Ας περιορίσουμε το πρόβλημα σε κανονική μορφή. Ας εισάγουμε πρόσθετες μεταβλητές. Εισάγουμε όλες τις πρόσθετες μεταβλητές στην αντικειμενική συνάρτηση με συντελεστή ίσο με μηδέν. Προσθέτουμε επιπλέον μεταβλητές στα αριστερά των περιορισμών που δεν έχουν προτιμώμενη μορφή και λαμβάνουμε ισότητες.

Επίλυση του προβλήματος με τη μέθοδο simplex

Συμπληρώστε τον πίνακα simplex:

Δεδομένου ότι λύνουμε το πρόβλημα στο μέγιστο, η παρουσία αρνητικών αριθμών στη γραμμή δείκτη κατά την επίλυση του προβλήματος στο μέγιστο υποδηλώνει ότι δεν έχουμε λάβει τη βέλτιστη λύση και ότι είναι απαραίτητο να προχωρήσουμε από τον πίνακα της 0ης επανάληψης στον επόμενο.

Προχωράμε στην επόμενη επανάληψη ως εξής:

αντιστοιχεί η πρώτη στήλη

Η βασική γραμμή καθορίζεται από την ελάχιστη αναλογία ελεύθερων όρων και μελών της κύριας στήλης (απλές σχέσεις):

Στη διασταύρωση της στήλης κλειδιού και της γραμμής κλειδιού βρίσκουμε το στοιχείο ενεργοποίησης, δηλ. 9.

Τώρα προχωράμε στη σύνταξη της 1ης επανάληψης: Αντί για μοναδιαίο διάνυσμα, εισάγουμε το διάνυσμα .

Στον νέο πίνακα, στη θέση του στοιχείου ενεργοποίησης γράφουμε 1, όλα τα άλλα στοιχεία της στήλης κλειδιού είναι μηδενικά. Τα βασικά στοιχεία συμβολοσειράς χωρίζονται στο στοιχείο ενεργοποίησης. Όλα τα άλλα στοιχεία του πίνακα υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον κανόνα του ορθογωνίου.

Η στήλη κλειδιού για την 1η επανάληψη αντιστοιχεί σε

Το στοιχείο επίλυσης είναι ο αριθμός 4/3. Εξάγουμε το διάνυσμα από τη βάση και εισάγουμε το διάνυσμα. Παίρνουμε τον πίνακα της 2ης επανάληψης.

Η στήλη κλειδιού για τη 2η επανάληψη αντιστοιχεί σε

Βρίσκουμε τη γραμμή κλειδί, για αυτό ορίζουμε:

Το στοιχείο επίλυσης είναι ο αριθμός 10/3. Εξάγουμε το διάνυσμα από τη βάση και εισάγουμε το διάνυσμα. Παίρνουμε τον πίνακα της 3ης επανάληψης.

№

γ Β

Α ο

x 1

x 2

x 3

x 4

x 5

x 6

Simplex

σχέση

x 4

32/3

x 5

640

x 6

F j - c j

-2

-5

-4

x 2

32/3

1/9

1/3

1/9

x 5

1600/3

170/9

80/3

-10/9

x 6

68/3

7/9

4/3

-2/9

F j - c j

160/3

-13/9

-7/3

5/9

x 2

-1/12

1/6

-1/4

x 5

10/3

-20

x 3

7/12

-1/6

3/4

204/7

F j - c j

-1/12

1/6

7/4

x 2

1/4

1/40

-3/4

x 1

3/10

-6

x 3

-3/4

-7/40

17/4

F j - c j

1/4

1/40

5/4

Στη γραμμή ευρετηρίου, όλοι οι όροι είναι μη αρνητικοί, επομένως προκύπτει η ακόλουθη λύση στο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (το γράφουμε από τη στήλη των ελεύθερων όρων):

Είναι απαραίτητο να ράψετε 24 πουκάμισα 1ου τύπου, 7 πουκάμισα 2ου τύπου και 3 πουκάμισα 3ου τύπου. Σε αυτή την περίπτωση, το κέρδος που θα ληφθεί θα είναι μέγιστο και θα ανέρχεται σε 95 ρούβλια.

Μπορείτε να βρείτε βοήθεια για την επίλυση των προβλημάτων σας σχετικά με αυτό το θέμα στέλνοντας ένα μήνυμα στο VKontakte, το Viber ή συμπληρώνοντας τη φόρμα. Το κόστος επίλυσης της εργασίας για το σπίτι ξεκινά από 7 BYR. ανά εργασία (200 ρωσικά ρούβλια), αλλά όχι λιγότερο από 10 ρούβλια Λευκορωσίας. (300 RUB) για ολόκληρη την παραγγελία. Λεπτομερές σχέδιο. Το κόστος της ηλεκτρονικής βοήθειας στις εξετάσεις (στην περίπτωση αυτή απαιτείται προπληρωμή 100%) είναι από 30 BYR. (1000 Ρωσικά ρούβλια) για την επίλυση του εισιτηρίου.