Ολική παράγωγος συνάρτησης πολλών μεταβλητών. Παράγωγα μιγαδικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Τι είναι "μερική παράγωγος"
) έχουμε ήδη συναντήσει επανειλημμένα μερικές παραγώγους σύνθετων συναρτήσεων όπως και πιο δύσκολα παραδείγματα. Λοιπόν για τι άλλο μπορείτε να μιλήσετε;! ...Και όλα είναι όπως στη ζωή - δεν υπάρχει πολυπλοκότητα που να μην είναι περίπλοκη =) Αλλά τα μαθηματικά είναι αυτά για τα μαθηματικά, για να χωρέσουν την ποικιλομορφία του κόσμου μας σε ένα αυστηρό πλαίσιο. Και μερικές φορές αυτό μπορεί να γίνει με μία μόνο πρόταση:
Γενικά, η σύνθετη συνάρτηση έχει τη μορφή 
, Οπου, τουλάχιστον ένατων γραμμάτων αντιπροσωπεύει λειτουργία, η οποία μπορεί να εξαρτάται από αυθαίρετοςαριθμός μεταβλητών.
Η ελάχιστη και απλούστερη επιλογή είναι η γνωστή σύνθετη συνάρτηση μιας μεταβλητής, του οποίου το παράγωγομάθαμε πώς να βρίσκουμε το τελευταίο εξάμηνο. Έχετε επίσης τις δεξιότητες να διαφοροποιήσετε τις λειτουργίες (Ρίξτε μια ματιά στις ίδιες λειτουργίες 
)
.
Έτσι, τώρα θα μας ενδιαφέρει μόνο η υπόθεση. Λόγω της μεγάλης ποικιλίας σύνθετων συναρτήσεων, οι γενικοί τύποι για τα παράγωγά τους είναι πολύ δυσκίνητοι και δύσκολο να χωνευτούν. Από αυτή την άποψη, θα περιοριστώ σε συγκεκριμένα παραδείγματα από τα οποία μπορείτε να κατανοήσετε τη γενική αρχή της εύρεσης αυτών των παραγώγων:
Παράδειγμα 1
Δίνεται μια σύνθετη συνάρτηση όπου 
. Απαιτείται:
1) Βρείτε την παράγωγό της και καταγράψτε την ολική διαφορά 1ης τάξης.
2) υπολογίστε την τιμή της παραγώγου στο .
Λύση: Αρχικά, ας δούμε την ίδια τη λειτουργία. Μας προσφέρεται μια λειτουργία ανάλογα με το και , το οποίο με τη σειρά του είναι λειτουργίεςμία μεταβλητή: 
Δεύτερον, ας δώσουμε μεγάλη προσοχή στην ίδια την εργασία - πρέπει να βρούμε παράγωγο, δηλαδή δεν μιλάμε για επιμέρους παράγωγα, που έχουμε συνηθίσει να βρίσκουμε! Από τη λειτουργία 
Στην πραγματικότητα εξαρτάται μόνο από μία μεταβλητή, τότε η λέξη "παράγωγο" σημαίνει ολικό παράγωγο. Πώς να τη βρεις;
Το πρώτο πράγμα που έρχεται στο μυαλό είναι η άμεση αντικατάσταση και περαιτέρω διαφοροποίηση. Ας αντικαταστήσουμε 
για να λειτουργήσει: 
, μετά από το οποίο δεν υπάρχουν προβλήματα με την επιθυμητή παράγωγο:
Και, κατά συνέπεια, η συνολική διαφορά: 
Αυτή η λύση είναι μαθηματικά σωστή, αλλά μια μικρή απόχρωση είναι ότι όταν το πρόβλημα διατυπώνεται όπως έχει διατυπωθεί, κανείς δεν περιμένει τέτοια βαρβαρότητα από εσάς =) Σοβαρά όμως, μπορείτε πραγματικά να βρείτε λάθος εδώ. Φανταστείτε ότι μια συνάρτηση περιγράφει το πέταγμα μιας μέλισσας και οι ένθετες λειτουργίες αλλάζουν ανάλογα με τη θερμοκρασία. Εκτέλεση άμεσης αντικατάστασης 
, παίρνουμε μόνο ιδιωτικές πληροφορίες, που χαρακτηρίζει την πτήση, ας πούμε, μόνο σε ζεστό καιρό. Επιπλέον, εάν σε ένα άτομο που δεν γνωρίζει τις μέλισσες παρουσιαστεί το τελικό αποτέλεσμα και ακόμη και πει ποια είναι αυτή η λειτουργία, τότε δεν θα μάθει ποτέ τίποτα για τον θεμελιώδη νόμο της πτήσης!
Έτσι, εντελώς απροσδόκητα, ο βουητός μας αδερφός μας βοήθησε να κατανοήσουμε το νόημα και τη σημασία της καθολικής φόρμουλας: 
Εξοικειωθείτε με τον συμβολισμό "διώροφης" για τα παράγωγα - στην εργασία που εξετάζουμε, είναι αυτά που χρησιμοποιούνται. Σε αυτή την περίπτωση, κάποιος πρέπει να είναι πολυ κομψοστο λήμμα: παράγωγα με άμεσα σύμβολα “de” είναι πλήρη παράγωγα, και τα παράγωγα με στρογγυλεμένα εικονίδια είναι μερικώς παράγωγα. Ας ξεκινήσουμε με τα τελευταία: 
Λοιπόν, με τις "ουρές" όλα είναι γενικά στοιχειώδη:
Ας αντικαταστήσουμε τις παραγώγους που βρέθηκαν στον τύπο μας:
Όταν μια συνάρτηση προτείνεται αρχικά με περίπλοκο τρόπο, θα είναι λογικό (και αυτό εξηγείται παραπάνω!)αφήστε τα αποτελέσματα ως έχουν: 
Ταυτόχρονα, στις «εξελιγμένες» απαντήσεις είναι προτιμότερο να απέχουμε ακόμη και από ελάχιστες απλοποιήσεις (εδώ, για παράδειγμα, ζητά να αφαιρεθεί 3 μείον)- και έχετε λιγότερη δουλειά και ο γούνινος φίλος σας είναι στην ευχάριστη θέση να αναθεωρήσει την εργασία ευκολότερα.
Ωστόσο, ένας πρόχειρος έλεγχος δεν θα είναι περιττός. Ας αντικαταστήσουμε 
στην ευρεθείσα παράγωγο και πραγματοποιήστε απλοποιήσεις: 
(στο τελευταίο βήμα χρησιμοποιήσαμε τριγωνομετρικούς τύπους 
, 
)
Ως αποτέλεσμα, προέκυψε το ίδιο αποτέλεσμα με τη μέθοδο «βάρβαρης» λύσης.
Ας υπολογίσουμε την παράγωγο στο σημείο. Πρώτα είναι βολικό να μάθετε τις τιμές "διαμετακόμισης". (τιμές συνάρτησης 
)
:
Τώρα καταρτίζουμε τους τελικούς υπολογισμούς, οι οποίοι σε αυτήν την περίπτωση μπορούν να εκτελεστούν με διαφορετικούς τρόπους. Χρησιμοποιώ μια ενδιαφέρουσα τεχνική στην οποία ο 3ος και ο 4ος "όροφος" απλοποιούνται όχι σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες, αλλά μετατρέπονται ως το πηλίκο δύο αριθμών:
Και, φυσικά, είναι αμαρτία να μην το ελέγξετε χρησιμοποιώντας μια πιο συμπαγή σημειογραφία 
:
Απάντηση: 
Συμβαίνει ότι το πρόβλημα προτείνεται σε μια «ημι-γενική» μορφή:
«Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης όπου 
»
Δηλαδή, δεν δίνεται η «κύρια» συνάρτηση, αλλά τα «ένθετα» της είναι αρκετά συγκεκριμένα. Η απάντηση πρέπει να δοθεί με τον ίδιο τρόπο:
Επιπλέον, η συνθήκη μπορεί να είναι ελαφρώς κρυπτογραφημένη:
«Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης 
»
Σε αυτή την περίπτωση χρειάζεστε μόνος τουορίστε ένθετες συναρτήσεις με ορισμένα κατάλληλα γράμματα, για παράδειγμα, μέσω 
και χρησιμοποιήστε τον ίδιο τύπο:
Παρεμπιπτόντως, σχετικά με τους χαρακτηρισμούς γραμμάτων. Έχω επανειλημμένα προτρέψει να μην «κολλάμε στα γράμματα» σαν να είναι σωσίβιο, και τώρα αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό! Αναλύοντας διάφορες πηγές για το θέμα, γενικά είχα την εντύπωση ότι οι συγγραφείς "τρελάθηκαν" και άρχισαν να ρίχνουν ανελέητα τους μαθητές στην θυελλώδη άβυσσο των μαθηματικών =) Συγχωρέστε με λοιπόν :))
Παράδειγμα 2
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης 
, Αν 
Οι άλλοι χαρακτηρισμοί δεν πρέπει να προκαλούν σύγχυση! Κάθε φορά που αντιμετωπίζετε μια εργασία όπως αυτή, πρέπει να απαντήσετε σε δύο απλές ερωτήσεις:
1) Από τι εξαρτάται η "κύρια" λειτουργία;Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση "zet" εξαρτάται από δύο συναρτήσεις ("y" και "ve").
2) Από ποιες μεταβλητές εξαρτώνται οι ένθετες συναρτήσεις;Σε αυτήν την περίπτωση, και τα δύο «ένθετα» εξαρτώνται μόνο από το «Χ».
Επομένως, δεν θα πρέπει να δυσκολευτείτε να προσαρμόσετε τη φόρμουλα σε αυτήν την εργασία!
Μια σύντομη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.
Πρόσθετα παραδείγματα του πρώτου τύπου μπορούν να βρεθούν στο Το βιβλίο προβλημάτων του Ryabushko (IDZ 10.1)Λοιπόν, οδεύουμε προς συνάρτηση τριών μεταβλητών:
Παράδειγμα 3
Δίνεται μια συνάρτηση όπου .
Υπολογίστε την παράγωγο στο σημείο
Ο τύπος για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης, όπως πολλοί μαντεύουν, έχει μια σχετική μορφή: 
Αποφασίστε μόλις το μαντέψετε =)
Για κάθε περίπτωση, θα δώσω έναν γενικό τύπο για τη συνάρτηση:
, αν και στην πράξη είναι απίθανο να δείτε κάτι μεγαλύτερο από το Παράδειγμα 3.
Επιπλέον, μερικές φορές είναι απαραίτητο να διαφοροποιηθεί μια "κομμένη" έκδοση - κατά κανόνα, μια συνάρτηση της φόρμας ή. Αφήνω αυτήν την ερώτηση για να τη μελετήσετε μόνοι σας - βρείτε μερικά απλά παραδείγματα, σκεφτείτε, πειραματιστείτε και εξάγετε συντομευμένους τύπους για παράγωγα.
Εάν κάτι εξακολουθεί να είναι ασαφές, παρακαλώ ξαναδιαβάστε σιγά σιγά και κατανοήστε το πρώτο μέρος του μαθήματος, γιατί τώρα η εργασία θα γίνει πιο περίπλοκη:
Παράδειγμα 4
Να βρείτε τις μερικές παραγώγους μιας μιγαδικής συνάρτησης, όπου 
Λύση: αυτή η συνάρτηση έχει τη μορφή , και μετά από άμεση αντικατάσταση και παίρνουμε τη συνήθη συνάρτηση δύο μεταβλητών: 
Αλλά ένας τέτοιος φόβος όχι μόνο δεν είναι αποδεκτός, αλλά δεν θέλει πια να διαφοροποιηθεί =) Επομένως, θα χρησιμοποιήσουμε έτοιμους τύπους. Για να σας βοηθήσω να κατανοήσετε γρήγορα το μοτίβο, θα κάνω μερικές σημειώσεις: 
Κοιτάξτε προσεκτικά την εικόνα από πάνω προς τα κάτω και από αριστερά προς τα δεξιά….
Αρχικά, ας βρούμε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης "κύρια":
Τώρα βρίσκουμε τις παράγωγες «Χ» των «γραμμών»:
και γράψτε την τελική παράγωγο «Χ»:
Ομοίως με το «παιχνίδι»:
Και
Μπορείτε να επιμείνετε σε ένα άλλο στυλ - βρείτε όλες τις "ουρές" ταυτόχρονα 
και στη συνέχεια γράψτε και τα δύο παράγωγα.
Απάντηση:
Σχετικά με την αντικατάσταση 
κατά κάποιο τρόπο δεν το σκέφτομαι καθόλου =) =), αλλά μπορείτε να τροποποιήσετε λίγο τα αποτελέσματα. Αν και πάλι γιατί; – απλώς δυσκολεύουν τον έλεγχο του καθηγητή.
Αν χρειαστεί, τότε πλήρες διαφορικόεδώ είναι γραμμένο σύμφωνα με τη συνήθη φόρμουλα και, παρεμπιπτόντως, σε αυτό το βήμα τα ελαφριά καλλυντικά γίνονται κατάλληλα: 
Αυτό είναι... ...φέρετρο με ρόδες.
Λόγω της δημοτικότητας του τύπου σύνθετης λειτουργίας που εξετάζεται, υπάρχουν μερικές εργασίες για ανεξάρτητη λύση. Ένα απλούστερο παράδειγμα σε μια "ημι-γενική" μορφή είναι για την κατανόηση του ίδιου του τύπου;-):
Παράδειγμα 5
Να βρείτε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης, όπου 
Και πιο περίπλοκο - με τη συμπερίληψη τεχνικών διαφοροποίησης:
Παράδειγμα 6
Βρείτε το πλήρες διαφορικό μιας συνάρτησης 
, Οπου 
Όχι, δεν προσπαθώ να "σας στείλω στο κάτω μέρος" - όλα τα παραδείγματα προέρχονται από πραγματικά έργα και "στην ανοιχτή θάλασσα" μπορείτε να συναντήσετε οποιαδήποτε γράμματα. Σε κάθε περίπτωση, θα χρειαστεί να αναλύσετε τη λειτουργία (απαντώντας σε 2 ερωτήσεις - βλέπε παραπάνω), παρουσιάστε το σε γενική μορφή και τροποποιήστε προσεκτικά τους τύπους μερικών παραγώγων. Μπορεί τώρα να μπερδευτείτε λίγο, αλλά θα καταλάβετε την ίδια την αρχή της κατασκευής τους! Γιατί οι πραγματικές προκλήσεις μόλις ξεκινούν :)))
Παράδειγμα 7
Βρείτε μερικές παραγώγους και δημιουργήστε το πλήρες διαφορικό μιας μιγαδικής συνάρτησης
, Οπου
Λύση: η συνάρτηση «κύρια» έχει τη μορφή και εξακολουθεί να εξαρτάται από δύο μεταβλητές – «x» και «y». Αλλά σε σύγκριση με το Παράδειγμα 4, έχει προστεθεί μια άλλη ένθετη συνάρτηση και επομένως οι τύποι μερικής παραγώγου επιμηκύνονται επίσης. Όπως σε εκείνο το παράδειγμα, για καλύτερη οπτικοποίηση του μοτίβου, θα επισημάνω τις «κυριότερες» επιμέρους παραγώγους σε διαφορετικά χρώματα: 
Και πάλι, μελετήστε προσεκτικά το ρεκόρ από πάνω προς τα κάτω και από αριστερά προς τα δεξιά.
Δεδομένου ότι το πρόβλημα έχει διατυπωθεί σε μια «ημι-γενική» μορφή, όλη η εργασία μας περιορίζεται ουσιαστικά στην εύρεση μερικών παραγώγων των ενσωματωμένων συναρτήσεων: 
Ένας μαθητής της πρώτης τάξης μπορεί να χειριστεί: 
Και ακόμη και το πλήρες διαφορικό έγινε πολύ ωραίο:
Δεν σας πρόσφερα εσκεμμένα κάποια συγκεκριμένη λειτουργία - έτσι ώστε η περιττή ακαταστασία να μην παρεμποδίζει την καλή κατανόηση της έννοιας της εργασίας.
Απάντηση: 
Αρκετά συχνά μπορείτε να βρείτε επενδύσεις "μεικτού μεγέθους", για παράδειγμα:
Εδώ η "κύρια" συνάρτηση, αν και έχει τη μορφή , εξακολουθεί να εξαρτάται τόσο από το "x" και από το "y". Επομένως, οι ίδιοι τύποι λειτουργούν - μόνο μερικές μερικές παράγωγοι θα είναι ίσες με μηδέν. Επιπλέον, αυτό ισχύει και για λειτουργίες όπως 
, στο οποίο κάθε «γραμμή» εξαρτάται από μία μεταβλητή.
Μια παρόμοια κατάσταση εμφανίζεται στα δύο τελευταία παραδείγματα του μαθήματος:
Παράδειγμα 8
Να βρείτε το συνολικό διαφορικό μιας μιγαδικής συνάρτησης σε ένα σημείο
Λύση: η συνθήκη διατυπώνεται με «δημοσιονομικό» τρόπο και πρέπει οι ίδιοι να ονομάσουμε τις ένθετες συναρτήσεις. Νομίζω ότι αυτή είναι μια καλή επιλογή:
Τα "ένθετα" περιέχουν ( ΠΡΟΣΟΧΗ!) ΤΡΙΑ γράμματα είναι το παλιό καλό "X-Y-Z", που σημαίνει ότι η "κύρια" συνάρτηση στην πραγματικότητα εξαρτάται από τρεις μεταβλητές. Μπορεί να ξαναγραφτεί επισήμως ως , και οι μερικές παράγωγοι σε αυτήν την περίπτωση προσδιορίζονται από τους ακόλουθους τύπους: 
Σαρώνουμε, εμβαθύνουμε, καταγράφουμε….
Στο έργο μας: 
Θεωρήστε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών:
Εφόσον οι μεταβλητές $x$ και $y$ είναι ανεξάρτητες, για μια τέτοια συνάρτηση μπορούμε να εισαγάγουμε την έννοια της μερικής παραγώγου:
Η μερική παράγωγος της συνάρτησης $f$ στο σημείο $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ σε σχέση με τη μεταβλητή $x$ είναι το όριο
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Δέλτα x;((y)_(0)) \δεξιά))(\Δέλτα x)\]
Ομοίως, μπορείτε να ορίσετε τη μερική παράγωγο σε σχέση με τη μεταβλητή $y$:
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Δέλτα y \δεξιά))(\Δέλτα y)\]
Με άλλα λόγια, για να βρείτε τη μερική παράγωγο μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών, πρέπει να διορθώσετε όλες τις άλλες μεταβλητές εκτός από την επιθυμητή και στη συνέχεια να βρείτε τη συνηθισμένη παράγωγο σε σχέση με αυτήν την επιθυμητή μεταβλητή.
Αυτό οδηγεί στην κύρια τεχνική για τον υπολογισμό τέτοιων παραγώγων: απλά υποθέστε ότι όλες οι μεταβλητές εκτός από αυτήν είναι μια σταθερά και, στη συνέχεια, διαφοροποιήστε τη συνάρτηση όπως θα διαφοροποιούσατε μια «συνηθισμένη» - με μια μεταβλητή. Για παράδειγμα:
$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left((x)^(2 )) \δεξιά))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$
Προφανώς, οι μερικές παράγωγοι σε σχέση με διαφορετικές μεταβλητές δίνουν διαφορετικές απαντήσεις - αυτό είναι φυσιολογικό. Είναι πολύ πιο σημαντικό να καταλάβουμε γιατί, ας πούμε, στην πρώτη περίπτωση αφαιρέσαμε ήρεμα τα $10y$ από κάτω από το πρόσημο του παραγώγου και στη δεύτερη περίπτωση μηδενίσαμε εντελώς τον πρώτο όρο. Όλα αυτά συμβαίνουν λόγω του γεγονότος ότι όλα τα γράμματα, εκτός από τη μεταβλητή με την οποία πραγματοποιείται η διαφοροποίηση, θεωρούνται σταθερές: μπορούν να αφαιρεθούν, να "καούν" κ.λπ.
Τι είναι η «μερική παράγωγος»;
Σήμερα θα μιλήσουμε για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και μερικές παραγώγους τους. Πρώτον, τι είναι μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών; Μέχρι τώρα, έχουμε συνηθίσει να θεωρούμε μια συνάρτηση ως $y\left(x \right)$ ή $t\left(x \right)$, ή οποιαδήποτε μεταβλητή και μία μεμονωμένη συνάρτησή της. Τώρα θα έχουμε μία συνάρτηση, αλλά πολλές μεταβλητές. Καθώς αλλάζουν τα $y$ και $x$, η τιμή της συνάρτησης θα αλλάξει. Για παράδειγμα, εάν το $x$ διπλασιαστεί, η τιμή της συνάρτησης θα αλλάξει και εάν το $x$ αλλάξει, αλλά το $y$ δεν αλλάξει, η τιμή της συνάρτησης θα αλλάξει με τον ίδιο τρόπο.
Φυσικά, μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών, ακριβώς όπως μια συνάρτηση μιας μεταβλητής, μπορεί να διαφοροποιηθεί. Ωστόσο, δεδομένου ότι υπάρχουν πολλές μεταβλητές, είναι δυνατή η διαφοροποίηση ανάλογα με διαφορετικές μεταβλητές. Σε αυτήν την περίπτωση, προκύπτουν συγκεκριμένοι κανόνες που δεν υπήρχαν κατά τη διαφοροποίηση μιας μεταβλητής.
Πρώτα απ 'όλα, όταν υπολογίζουμε την παράγωγο μιας συνάρτησης από οποιαδήποτε μεταβλητή, πρέπει να υποδείξουμε για ποια μεταβλητή υπολογίζουμε την παράγωγο - αυτό ονομάζεται μερική παράγωγος. Για παράδειγμα, έχουμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών και μπορούμε να την υπολογίσουμε και σε $x$ και σε $y$ - δύο επιμέρους παραγώγους κάθε μεταβλητής.
Δεύτερον, από τη στιγμή που έχουμε καθορίσει μία από τις μεταβλητές και αρχίσουμε να υπολογίζουμε τη μερική παράγωγο σε σχέση με αυτήν, τότε όλες οι άλλες που περιλαμβάνονται σε αυτή τη συνάρτηση θεωρούνται σταθερές. Για παράδειγμα, στο $z\left(xy \right)$, αν θεωρήσουμε τη μερική παράγωγο σε σχέση με το $x$, τότε όπου και αν συναντήσουμε το $y$, το θεωρούμε σταθερά και το αντιμετωπίζουμε ως τέτοιο. Συγκεκριμένα, κατά τον υπολογισμό της παραγώγου ενός προϊόντος, μπορούμε να βγάλουμε το $y$ από αγκύλες (έχουμε μια σταθερά) και κατά τον υπολογισμό της παραγώγου ενός αθροίσματος, αν κάπου λάβουμε μια παράγωγο μιας παράστασης που περιέχει $y$ και δεν περιέχει $x$, τότε η παράγωγος αυτής της έκφρασης θα είναι ίση με "μηδέν" ως παράγωγο μιας σταθεράς.
Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι μιλάω για κάτι περίπλοκο και πολλοί μαθητές στην αρχή μπερδεύονται. Ωστόσο, δεν υπάρχει τίποτα υπερφυσικό σε μερικές παραγώγους, και τώρα θα το δούμε χρησιμοποιώντας το παράδειγμα συγκεκριμένων προβλημάτων.
Προβλήματα με ρίζες και πολυώνυμα
Εργασία Νο. 1
Για να μην χάνουμε χρόνο, ας ξεκινήσουμε από την αρχή με σοβαρά παραδείγματα.
Αρχικά, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω αυτόν τον τύπο:
Αυτή είναι η τυπική τιμή του πίνακα που γνωρίζουμε από το τυπικό μάθημα.
Σε αυτήν την περίπτωση, η παράγωγος $z$ υπολογίζεται ως εξής:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\αριστερά(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]
Ας το κάνουμε ξανά, αφού η ρίζα δεν είναι $x$, αλλά κάποια άλλη έκφραση, σε αυτήν την περίπτωση $\frac(y)(x)$, τότε πρώτα θα χρησιμοποιήσουμε την τυπική τιμή του πίνακα και μετά, αφού η ρίζα είναι όχι $x $, και μια άλλη έκφραση, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε την παράγωγό μας με μια άλλη αυτής της παράστασης σε σχέση με την ίδια μεταβλητή. Ας υπολογίσουμε πρώτα τα εξής:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]
Επιστρέφουμε στην έκφρασή μας και γράφουμε:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\αριστερά(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \δεξιά)\]
Βασικά, αυτό είναι όλο. Ωστόσο, είναι λάθος να το αφήσουμε σε αυτή τη μορφή: μια τέτοια κατασκευή δεν είναι βολική για περαιτέρω υπολογισμούς, οπότε ας τη μετατρέψουμε λίγο:
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2)) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]
Η απάντηση βρέθηκε. Τώρα ας ασχοληθούμε με το $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\αριστερά(\frac(y)(x) \δεξιά))^(\prime ))_(y)\]
Ας το γράψουμε ξεχωριστά:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac((((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]
Τώρα γράφουμε:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\αριστερά(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2)))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2)))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
Εγινε.
Πρόβλημα Νο 2
Αυτό το παράδειγμα είναι απλούστερο και πιο σύνθετο από το προηγούμενο. Είναι πιο περίπλοκο επειδή υπάρχουν περισσότερες ενέργειες, αλλά είναι απλούστερο επειδή δεν υπάρχει root και, επιπλέον, η συνάρτηση είναι συμμετρική σε σχέση με τα $x$ και τα $y$, π.χ. αν ανταλλάξουμε $x$ και $y$, ο τύπος δεν θα αλλάξει. Αυτή η παρατήρηση θα απλοποιήσει περαιτέρω τον υπολογισμό της μερικής παραγώγου, δηλ. αρκεί να μετρήσετε ένα από αυτά και στο δεύτερο απλά να ανταλλάξετε $x$ και $y$.
Ας ξεκινήσουμε δουλειά:
\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \δεξιά ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))((\αριστερά(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \δεξιά))^(2)))\]
Ας μετρήσουμε:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
Ωστόσο, πολλοί μαθητές δεν καταλαβαίνουν αυτόν τον συμβολισμό, οπότε ας τον γράψουμε ως εξής:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\αριστερά(y \δεξιά))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
Έτσι, είμαστε για άλλη μια φορά πεπεισμένοι για την καθολικότητα του αλγορίθμου μερικής παραγώγου: ανεξάρτητα από το πώς τους υπολογίζουμε, εάν εφαρμοστούν σωστά όλοι οι κανόνες, η απάντηση θα είναι η ίδια.
Τώρα ας δούμε μια ακόμη μερική παράγωγο από τον μεγάλο μας τύπο:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \δεξιά))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
Ας αντικαταστήσουμε τις παραστάσεις που προκύπτουν στον τύπο μας και πάρουμε:
\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ δεξιά)-xy((\αριστερά(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \δεξιά))^(\prime ))_(x))((\αριστερά (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \δεξιά))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \δεξιά))^(2)))=\]
\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \δεξιά))((\ αριστερά(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \δεξιά))^(2))=\frac(y\αριστερά(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \δεξιά))(((\αριστερά(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \δεξιά))^(2 )))\]
Με βάση τα $x$ που υπολογίζονται. Και για να υπολογίσουμε το $y$ από την ίδια έκφραση, ας μην εκτελέσουμε την ίδια ακολουθία ενεργειών, αλλά ας εκμεταλλευτούμε τη συμμετρία της αρχικής μας έκφρασης - απλώς αντικαθιστούμε όλα τα $y$ στην αρχική μας έκφραση με $x$ και αντίστροφα:
\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \δεξιά))((( \αριστερά(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \δεξιά))^(2)))\]
Λόγω συμμετρίας, υπολογίσαμε αυτή την έκφραση πολύ πιο γρήγορα.
Αποχρώσεις της λύσης
Για μερικές παραγώγους, λειτουργούν όλοι οι τυπικοί τύποι που χρησιμοποιούμε για τις συνηθισμένες, δηλαδή η παράγωγος του πηλίκου. Ταυτόχρονα, όμως, προκύπτουν συγκεκριμένα χαρακτηριστικά: αν θεωρήσουμε τη μερική παράγωγο του $x$, τότε όταν την λάβουμε από την $x$, τη θεωρούμε ως σταθερά και επομένως η παράγωγός της θα είναι ίση με "μηδέν" .
Όπως και στην περίπτωση των συνηθισμένων παραγώγων, το πηλίκο (η ίδια παράγωγος) μπορεί να υπολογιστεί με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Για παράδειγμα, η ίδια κατασκευή που μόλις υπολογίσαμε μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
Ταυτόχρονα, από την άλλη πλευρά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο από το άθροισμα της παραγώγου. Όπως γνωρίζουμε, ισούται με το άθροισμα των παραγώγων. Για παράδειγμα, ας γράψουμε τα εξής:
\[((\αριστερά(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \δεξιά))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]
Τώρα, γνωρίζοντας όλα αυτά, ας προσπαθήσουμε να δουλέψουμε με πιο σοβαρές εκφράσεις, καθώς οι πραγματικές μερικές παράγωγοι δεν περιορίζονται μόνο σε πολυώνυμα και ρίζες: υπάρχουν επίσης η τριγωνομετρία και οι λογάριθμοι και η εκθετική συνάρτηση. Τώρα ας το κάνουμε αυτό.
Προβλήματα με τριγωνομετρικές συναρτήσεις και λογάριθμους
Εργασία Νο. 1
Ας γράψουμε τους παρακάτω τυπικούς τύπους:
\[((\αριστερά(\sqrt(x) \δεξιά))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\αριστερά(\cos x \δεξιά))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]
Οπλισμένοι με αυτή τη γνώση, ας προσπαθήσουμε να λύσουμε:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\αριστερά (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Ας γράψουμε μια μεταβλητή ξεχωριστά:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Ας επιστρέψουμε στον σχεδιασμό μας:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Αυτό ήταν, το βρήκαμε για $x$, τώρα ας κάνουμε τους υπολογισμούς για $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\αριστερά (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Και πάλι, ας υπολογίσουμε μια έκφραση:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \δεξιά)\]
Επιστρέφουμε στην αρχική έκφραση και συνεχίζουμε τη λύση:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Εγινε.
Πρόβλημα Νο 2
Ας γράψουμε τον τύπο που χρειαζόμαστε:
\[((\αριστερά(\ln x \δεξιά))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
Τώρα ας μετρήσουμε με $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\αριστερά(x+\ln y \δεξιά))^(\prime ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]
Βρέθηκε για $x$. Μετράμε με $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\αριστερά(x+\ln y \δεξιά))^(\prime ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\αριστερά(x+\ln y \δεξιά))\ ]
Το πρόβλημα λύθηκε.
Αποχρώσεις της λύσης
Άρα, όποια συνάρτηση και να πάρουμε τη μερική παράγωγο, οι κανόνες παραμένουν ίδιοι, ανεξάρτητα από το αν δουλεύουμε με τριγωνομετρία, με ρίζες ή με λογάριθμους.
Οι κλασικοί κανόνες εργασίας με τυπικές παραγώγους παραμένουν αμετάβλητοι, δηλαδή, η παράγωγος ενός αθροίσματος και μιας διαφοράς, ενός πηλίκου και μιας μιγαδικής συνάρτησης.
Ο τελευταίος τύπος βρίσκεται πιο συχνά κατά την επίλυση προβλημάτων με μερικές παραγώγους. Τους συναντάμε σχεδόν παντού. Δεν υπήρξε ποτέ μια εργασία που να μην την συναντήσαμε. Αλλά ανεξάρτητα από τον τύπο που χρησιμοποιούμε, έχουμε μια ακόμη απαίτηση που προστίθεται, δηλαδή την ιδιαιτερότητα της εργασίας με μερικούς παραγώγους. Μόλις διορθώσουμε μια μεταβλητή, όλες οι άλλες είναι σταθερές. Συγκεκριμένα, αν θεωρήσουμε τη μερική παράγωγο της έκφρασης $\cos \frac(x)(y)$ σε σχέση με την $y$, τότε η $y$ είναι η μεταβλητή και η $x$ παραμένει σταθερή παντού. Το ίδιο πράγμα λειτουργεί αντίστροφα. Μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου και η ίδια η παράγωγος της σταθεράς θα είναι ίση με "μηδέν".
Όλα αυτά οδηγούν στο γεγονός ότι τα μερικά παράγωγα της ίδιας έκφρασης, αλλά σε σχέση με διαφορετικές μεταβλητές, μπορεί να φαίνονται εντελώς διαφορετικά. Για παράδειγμα, ας δούμε τις παρακάτω εκφράσεις:
\[((\αριστερά(x+\ln y \δεξιά))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]
\[((\αριστερά(x+\ln y \δεξιά))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
Προβλήματα με εκθετικές συναρτήσεις και λογάριθμους
Εργασία Νο. 1
Αρχικά, ας γράψουμε τον ακόλουθο τύπο:
\[((\left(((e)^(x)) \δεξιά))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]
Γνωρίζοντας αυτό το γεγονός, καθώς και την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης, ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε. Τώρα θα το λύσω με δύο διαφορετικούς τρόπους. Το πρώτο και πιο προφανές είναι το παράγωγο του προϊόντος:
\[(((z)")_(x))=((\αριστερά(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \δεξιά) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\αριστερά(((e)^(\frac(x)(y))) \δεξιά))^(\prime ) )_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Ας λύσουμε χωριστά την παρακάτω έκφραση:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
Επιστρέφουμε στον αρχικό μας σχεδιασμό και συνεχίζουμε με τη λύση:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\δεξιά)\]
Όλα, $x$ υπολογίζονται.
Ωστόσο, όπως υποσχέθηκα, τώρα θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε αυτήν την ίδια μερική παράγωγο με διαφορετικό τρόπο. Για να το κάνετε αυτό, σημειώστε τα εξής:
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]
Ας το γράψουμε ως εξής:
\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\αριστερά(x+\frac(x)(y) \δεξιά))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]
Ως αποτέλεσμα, λάβαμε ακριβώς την ίδια απάντηση, αλλά ο αριθμός των υπολογισμών αποδείχθηκε μικρότερος. Για να γίνει αυτό, αρκούσε να σημειωθεί ότι κατά την εκτέλεση του προϊόντος, μπορούν να προστεθούν οι δείκτες.
Τώρα ας μετρήσουμε με $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \δεξιά) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\αριστερά(((e)^(\frac(x)(y))) \δεξιά))^(\prime ) )_(y)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\αριστερά(\frac(x)(y) \δεξιά))^(\prime ))_(y)=\]
Ας λύσουμε μια έκφραση ξεχωριστά:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
Ας συνεχίσουμε να λύνουμε την αρχική μας κατασκευή:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
Φυσικά, αυτή η ίδια παράγωγος θα μπορούσε να υπολογιστεί με τον δεύτερο τρόπο, και η απάντηση θα ήταν η ίδια.
Πρόβλημα Νο 2
Ας μετρήσουμε με $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Ας υπολογίσουμε μια έκφραση ξεχωριστά:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]
Ας συνεχίσουμε να λύνουμε την αρχική κατασκευή: $$
Αυτή είναι η απάντηση.
Απομένει να βρούμε κατ' αναλογία χρησιμοποιώντας $y$:
\[(((z)")_(y))=((\αριστερά(x \δεξιά))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Όπως πάντα, υπολογίζουμε μια έκφραση ξεχωριστά:
\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \δεξιά) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]
Συνεχίζουμε την επίλυση του βασικού σχεδιασμού:
Όλα έχουν υπολογιστεί. Όπως μπορείτε να δείτε, ανάλογα με το ποια μεταβλητή λαμβάνεται για διαφοροποίηση, οι απαντήσεις είναι εντελώς διαφορετικές.
Αποχρώσεις της λύσης
Ακολουθεί ένα εντυπωσιακό παράδειγμα του πώς η παράγωγος της ίδιας συνάρτησης μπορεί να υπολογιστεί με δύο διαφορετικούς τρόπους. Κοιτάξτε εδώ:
\[(((z)")_(x))=\αριστερά(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \δεξιά)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\αριστερά(((e)^(\frac(x)(y))) \δεξιά))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ αριστερά(1+\frac(1)(y) \δεξιά)\]
\[(((z)")_(x))=((\αριστερά(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \δεξιά)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( ε)^(x+\frac(x)(y))).((\αριστερά(x+\frac(x)(y) \δεξιά))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \δεξιά)\ ]
Όταν επιλέγετε διαφορετικές διαδρομές, ο αριθμός των υπολογισμών μπορεί να είναι διαφορετικός, αλλά η απάντηση, εάν όλα γίνονται σωστά, θα είναι η ίδια. Αυτό ισχύει τόσο για τα κλασικά όσο και για τα μερικά παράγωγα. Ταυτόχρονα, υπενθυμίζω για άλλη μια φορά: ανάλογα με το ποια μεταβλητή λαμβάνεται η παράγωγος, δηλ. διαφοροποίηση, η απάντηση μπορεί να αποδειχθεί εντελώς διαφορετική. Κοίτα:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]
Εν κατακλείδι, για να εμπεδώσουμε όλο αυτό το υλικό, ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε δύο ακόμη παραδείγματα.
Προβλήματα με τριγωνομετρικές συναρτήσεις και συναρτήσεις με τρεις μεταβλητές
Εργασία Νο. 1
Ας γράψουμε τους παρακάτω τύπους:
\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]
\[((\left(((e)^(x)) \δεξιά))^(\prime ))=((e)^(x))\]
Ας λύσουμε τώρα την έκφρασή μας:
\[(((z)")_(x))=((\αριστερά(((3)^(x\sin y)) \δεξιά))^(\prime ))_(x)=(3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\αριστερά(x\cdot \sin y \δεξιά))^(\prime ))_(x)=\]
Ας υπολογίσουμε χωριστά την ακόλουθη κατασκευή:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ αριστερά(\sin y \δεξιά))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
Συνεχίζουμε να λύνουμε την αρχική έκφραση:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
Αυτή είναι η τελική απόκριση της ιδιωτικής μεταβλητής στο $x$. Τώρα ας μετρήσουμε με $y$:
\[(((z)")_(y))=((\αριστερά(((3)^(x\sin y)) \δεξιά))^(\prime ))_(y)=(3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]
Ας λύσουμε μια έκφραση ξεχωριστά:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ αριστερά(\sin y \δεξιά))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
Ας λύσουμε την κατασκευή μας μέχρι το τέλος:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
Πρόβλημα Νο 2
Με την πρώτη ματιά, αυτό το παράδειγμα μπορεί να φαίνεται αρκετά περίπλοκο επειδή υπάρχουν τρεις μεταβλητές. Στην πραγματικότητα, αυτή είναι μια από τις πιο εύκολες εργασίες στο σημερινό εκπαιδευτικό βίντεο.
Εύρεση κατά $x$:
\[(((t)")_(x))=((\αριστερά(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \δεξιά))^(\prime ) )_(x)=((\αριστερά(x\cdot ((e)^(y)) \δεξιά))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \δεξιά))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y )) \δεξιά))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
Τώρα ας ασχοληθούμε με το $y$:
\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \δεξιά))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ((e)^(z)) \δεξιά))^(\prime ))_(y)=\]
\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\αριστερά (y \δεξιά))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]
Βρήκαμε την απάντηση.
Τώρα το μόνο που μένει είναι να βρείτε με $z$:
\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \δεξιά))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \δεξιά))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]
Έχουμε υπολογίσει την τρίτη παράγωγο, η οποία ολοκληρώνει τη λύση στο δεύτερο πρόβλημα.
Αποχρώσεις της λύσης
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε αυτά τα δύο παραδείγματα. Το μόνο για το οποίο είμαστε πεπεισμένοι είναι ότι η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης χρησιμοποιείται συχνά και ανάλογα με το ποια μερική παράγωγο υπολογίζουμε, παίρνουμε διαφορετικές απαντήσεις.
Στην τελευταία εργασία, μας ζητήθηκε να ασχοληθούμε με μια συνάρτηση τριών μεταβλητών ταυτόχρονα. Δεν υπάρχει τίποτα κακό σε αυτό, αλλά στο τέλος ήμασταν πεπεισμένοι ότι όλα είναι σημαντικά διαφορετικά μεταξύ τους.
Βασικά σημεία
Τα τελικά συμπεράσματα από το σημερινό βίντεο εκμάθησης είναι τα εξής:
- Οι μερικές παράγωγοι υπολογίζονται με τον ίδιο τρόπο όπως οι συνηθισμένες, αλλά για να υπολογίσουμε τη μερική παράγωγο σε σχέση με μία μεταβλητή, λαμβάνουμε όλες τις άλλες μεταβλητές που περιλαμβάνονται σε αυτή τη συνάρτηση ως σταθερές.
- Όταν εργαζόμαστε με μερικές παραγώγους, χρησιμοποιούμε τους ίδιους τυπικούς τύπους όπως και με τις συνηθισμένες παραγώγους: άθροισμα, διαφορά, παράγωγος του γινομένου και πηλίκο και, φυσικά, παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.
Φυσικά, η παρακολούθηση αυτού του μαθήματος βίντεο από μόνη της δεν αρκεί για την πλήρη κατανόηση αυτού του θέματος, επομένως αυτή τη στιγμή στον ιστότοπό μου υπάρχει ένα σύνολο προβλημάτων για αυτό το βίντεο ειδικά αφιερωμένο στο σημερινό θέμα - μπείτε, κάντε λήψη, λύστε αυτά τα προβλήματα και ελέγξτε την απάντηση . Και μετά από αυτό δεν θα έχετε κανένα πρόβλημα με τα επί μέρους παράγωγα ούτε σε εξετάσεις ούτε σε ανεξάρτητη εργασία. Φυσικά, αυτό δεν είναι το τελευταίο μάθημα στα ανώτερα μαθηματικά, επομένως επισκεφτείτε τον ιστότοπό μας, προσθέστε το VKontakte, εγγραφείτε στο YouTube, κάντε like και μείνετε μαζί μας!
1°. Η περίπτωση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής. Αν z=f(x,y) είναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση των ορισμάτων x και y, τα οποία με τη σειρά τους είναι διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής t: , τότε η παράγωγος της μιγαδικής συνάρτησης 
μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο
Παράδειγμα. Βρείτε αν, πού.
Λύση. Σύμφωνα με τον τύπο (1) έχουμε:
Παράδειγμα. Να βρείτε τη μερική παράγωγο και την ολική παράγωγο αν 
.
Λύση. .
Με βάση τον τύπο (2) παίρνουμε 
.
2°. Η περίπτωση πολλών ανεξάρτητων μεταβλητών.
Αφήνω z =στ (Χ ;y) -συνάρτηση δύο μεταβλητών ΧΚαι y,καθένα από τα οποία είναι συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής t : x =Χ (t), y =y (t).Σε αυτή την περίπτωση η συνάρτηση z =στ (Χ (t);y (t ))είναι μια σύνθετη συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής t;μεταβλητές Οι x και y είναι ενδιάμεσες μεταβλητές.
Θεώρημα. Αν z == φά(Χ ; y) -διαφοροποιήσιμο σε ένα σημείο M(x;y)ρελειτουργία και x =Χ (t)Και στο =y (t) -διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής t,τότε η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης z (t) == φά(Χ (t);y (t ))υπολογίζεται με τον τύπο
|
|
Ειδική περίπτωση:z = στ (Χ ; y),όπου y = y(x),εκείνοι. z = στ (Χ ;y (Χ )) -σύνθετη συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής Χ.Αυτή η περίπτωση μειώνει στην προηγούμενη, και τον ρόλο της μεταβλητής tπαίζει Χ.Σύμφωνα με τον τύπο (3) έχουμε:
.
Ο τελευταίος τύπος ονομάζεται συνολικοί τύποι παραγώγων.
Γενική περίπτωση:z = στ (Χ ;y),Οπου x =Χ (u ;v),y=y (u ;v).Τότε z = στ (Χ (u ;v);y (u ;v)) -σύνθετη συνάρτηση ανεξάρτητων μεταβλητών ΚαιΚαι v.Τα μερικά παράγωγά του μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο (3) ως εξής. Έχοντας διορθώσει v,αντικαθιστούμε σε αυτό , τις αντίστοιχες επιμέρους παράγωγες
Έτσι, η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης (z) σε σχέση με κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή (ΚαιΚαι v)ισούται με το άθροισμα των γινομένων των μερικών παραγώγων αυτής της συνάρτησης (z) ως προς τις ενδιάμεσες μεταβλητές της (x και y)στα παράγωγά τους ως προς την αντίστοιχη ανεξάρτητη μεταβλητή (u και v).
Σε όλες τις περιπτώσεις που εξετάζονται, ο τύπος είναι έγκυρος
(ιδιότητα αμετάβλητης συνολικής διαφοράς).
Παράδειγμα. Βρείτε και αν z = φά(x ,y ), όπου x =uv , .
Λύση. Εφαρμόζοντας τους τύπους (4) και (5), παίρνουμε:
Παράδειγμα. Δείξτε ότι η συνάρτηση ικανοποιεί την εξίσωση 
.
Λύση. Η συνάρτηση εξαρτάται από τα x και y μέσω ενός ενδιάμεσου ορίσματος, άρα
Αντικαθιστώντας μερικές παραγώγους στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, έχουμε:
Δηλαδή, η συνάρτηση z ικανοποιεί αυτή την εξίσωση.
Παράγωγος σε δεδομένη κατεύθυνση και κλίση της συνάρτησης
1°. Παράγωγος συνάρτησης σε δεδομένη κατεύθυνση. Παράγωγοσυναρτήσεις z= φά(x,y) προς αυτή την κατεύθυνσηπου ονομάζεται 
, όπου και είναι οι τιμές της συνάρτησης σε σημεία και . Εάν η συνάρτηση z είναι διαφοροποιήσιμη, τότε ο τύπος είναι έγκυρος
πού είναι οι γωνίες μεταξύ των κατευθύνσεων μεγάλοκαι τους αντίστοιχους άξονες συντεταγμένων. Η παράγωγος σε μια δεδομένη κατεύθυνση χαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης προς αυτή την κατεύθυνση.
Παράδειγμα. Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης z = 2x 2 - 3 2 στο σημείο P (1; 0) στη διεύθυνση σχηματίζοντας γωνία 120° με τον άξονα OX.
Λύση. Ας βρούμε τις μερικές παραγώγους αυτής της συνάρτησης και τις τιμές τους στο σημείο P.
Θεώρημα.Αφήνω u = f (x, y)δίνεται στον τομέα Δ και έστω x = x(t)Και y = y(t)εντοπίστηκαν στην περιοχή , και πότε , τότε τα x και y ανήκουν στην περιοχή D. Έστω η συνάρτηση u διαφορίσιμη στο σημείο Μ 0 (Χ 0 ,y 0 ,z 0), και συναρτήσεις x(t) και στο(t) διαφοροποιήσιμο στο αντίστοιχο σημείο t 0 , τότε η μιγαδική συνάρτηση u = f[Χ(t),y(t)]=F (t)διαφοροποιήσιμο στο σημείο t 0 και ισχύει η ισότητα:
.
Απόδειξη.Επειδή το u είναι διαφοροποιήσιμο από συνθήκη στο σημείο ( Χ 0 , y 0), τότε η συνολική προσαύξησή του αντιπροσωπεύεται ως
Διαιρώντας αυτή την αναλογία με , παίρνουμε:
Ας πάμε στο όριο στο και ας πάρουμε τον τύπο
.
Σημείωση 1.Αν u= u(x, y) Και Χ= Χ, y= y(Χ), τότε η συνολική παράγωγος της συνάρτησης uκατά μεταβλητή Χ
ή 
.
Η τελευταία ισότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξει τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, που δίνεται σιωπηρά στη μορφή φά(Χ, y) = 0, όπου y= y(Χ) (βλ. θέμα Νο. 3 και παράδειγμα 14).
Εχουμε: 
. Από εδώ 
. (6.1)
Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα 14 του θέματος Νο. 3:
;
.
Όπως μπορείτε να δείτε, οι απαντήσεις συνέπεσαν.
Σημείωση 2.Αφήνω u = φά (x, y), Οπου Χ= Χ(t , v), στο= στο(t , v). Τότε το u είναι τελικά μια σύνθετη συνάρτηση δύο μεταβλητών tΚαι v. Αν τώρα η συνάρτηση u είναι διαφορίσιμη στο σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0), και τις συναρτήσεις ΧΚαι στοδιαφοροποιήσιμο στο αντίστοιχο σημείο ( t 0 , v 0), τότε μπορούμε να μιλήσουμε για μερικές παραγώγους σε σχέση με tΚαι vαπό μια σύνθετη συνάρτηση στο σημείο ( t 0 , v 0). Αν όμως μιλάμε για τη μερική παράγωγο ως προς το t σε ένα καθορισμένο σημείο, τότε η δεύτερη μεταβλητή v θεωρείται σταθερή και ίση με v 0 . Κατά συνέπεια, μιλάμε για παράγωγο μόνο μιας μιγαδικής συνάρτησης ως προς το t και, επομένως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον παραγόμενο τύπο. Έτσι, παίρνουμε.
Διαφοροποίηση σύνθετων συναρτήσεων
Αφήστε για τη συνάρτηση n- τα ορίσματα των μεταβλητών είναι επίσης συναρτήσεις μεταβλητών:
Ισχύει το παρακάτω θεώρημα για τη διαφοροποίηση μιας μιγαδικής συνάρτησης.
Θεώρημα 8.Εάν οι συναρτήσεις είναι διαφοροποιήσιμες στο σημείο , και η συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη στο αντίστοιχο σημείο, όπου , . Τότε η μιγαδική συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη στο σημείο και οι μερικές παράγωγοι καθορίζονται από τους τύπους
όπου οι επί μέρους παράγωγοι υπολογίζονται στο σημείο και υπολογίζονται στο σημείο .
Ας αποδείξουμε αυτό το θεώρημα για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών. Αφήστε , ένα .
Αφήστε να υπάρχουν αυθαίρετες αυξήσεις ορισμάτων στο σημείο . Αντιστοιχούν σε προσαυξήσεις συναρτήσεων και στο σημείο . Αυξάνονται και αντιστοιχούν στην αύξηση της συνάρτησης στο σημείο. Εφόσον είναι διαφοροποιήσιμο στο σημείο, η προσαύξησή του μπορεί να γραφτεί με τη μορφή
όπου και υπολογίζονται στο σημείο , στο και . Λόγω της διαφοροποίησης των συναρτήσεων και στο σημείο , παίρνουμε
που υπολογίζεται στο σημείο ? .
Ας αντικαταστήσουμε το (14) με το (13) και ας αναδιατάξουμε τους όρους
Σημειώστε ότι στο , δεδομένου ότι και τείνουν στο μηδέν στο . Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι τα απειροελάχιστα στο και . Αλλά οι συναρτήσεις είναι επίσης διαφοροποιήσιμες, και, επομένως, συνεχείς στο σημείο. Επομένως, εάν και, τότε. Στη συνέχεια και στο .
Εφόσον οι μερικές παράγωγοι υπολογίζονται στο σημείο, λαμβάνουμε
Ας υποδηλώσουμε
και αυτό σημαίνει ότι είναι διαφοροποιήσιμο σε σχέση με τις μεταβλητές και , και
Συνέπεια.Εάν , και , , δηλ. , τότε η παράγωγος ως προς τη μεταβλητή tυπολογίζεται με τον τύπο
Αν τότε
Η τελευταία έκφραση ονομάζεται ο τύπος της συνολικής παραγώγουγια μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών.
Παραδείγματα. 1) Να βρείτε τη συνολική παράγωγο της συνάρτησης, όπου , .
Λύση.
2) Να βρείτε την πλήρη παράγωγο της συνάρτησης αν , .
Λύση.
Χρησιμοποιώντας τους κανόνες διαφοροποίησης μιας μιγαδικής συνάρτησης, λαμβάνουμε μια σημαντική ιδιότητα του διαφορικού μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών.
Εάν οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι συναρτήσεις, τότε το διαφορικό εξ ορισμού ισούται με:
Έστω τώρα τα ορίσματα διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις σε κάποιο σημείο της συνάρτησης σε σχέση με τις μεταβλητές και η συνάρτηση διαφοροποιήσιμη σε σχέση με τις μεταβλητές , . Τότε μπορεί να θεωρηθεί ως σύνθετη συνάρτηση των μεταβλητών , . Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, είναι διαφορίσιμο και η σχέση ισχύει
όπου καθορίζεται από τους τύπους (12). Ας αντικαταστήσουμε το (12) με το (17) και, συλλέγοντας τους συντελεστές για , λαμβάνουμε
Εφόσον ο συντελεστής της παραγώγου είναι ίσος με το διαφορικό της συνάρτησης, λάβαμε και πάλι τον τύπο (16) για το διαφορικό μιας μιγαδικής συνάρτησης.
Έτσι, ο πρώτος διαφορικός τύπος δεν εξαρτάται από το αν τα ορίσματά του είναι συναρτήσεις ή αν είναι ανεξάρτητα. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται αμετάβλητο της μορφής του πρώτου διαφορικού.
Ο τύπος Taylor (29) μπορεί επίσης να γραφτεί ως
Θα πραγματοποιήσουμε την απόδειξη για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών ή .
Αρχικά ας δούμε μια συνάρτηση μιας μεταβλητής. Αφήστε μια φορά να είναι διαφοροποιήσιμο σε μια γειτονιά του σημείου . Ο τύπος του Taylor για μια συνάρτηση μιας μεταβλητής με έναν υπόλοιπο όρο στον τύπο του Lagrange έχει
Δεδομένου ότι είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, τότε . Εξ ορισμού του διαφορικού μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής
Αν συμβολίσουμε , τότε το (31) μπορεί να γραφτεί ως
Ας εξετάσουμε κάποια γειτονιά ενός σημείου και ένα αυθαίρετο σημείο σε αυτό και ας συνδέσουμε τα σημεία με ένα ευθύγραμμο τμήμα. Είναι σαφές ότι οι συντεταγμένες και τα σημεία αυτής της γραμμής είναι γραμμικές συναρτήσεις της παραμέτρου.
Σε ένα ευθύγραμμο τμήμα, η συνάρτηση είναι μια σύνθετη συνάρτηση της παραμέτρου, επειδή . Επιπλέον, είναι μια φορά διαφοροποιήσιμο σε σχέση με και ο τύπος Taylor (32) ισχύει για, όπου , δηλ.
Τα διαφορικά στον τύπο (32) είναι διαφορικά μιας μιγαδικής συνάρτησης, όπου , , , δηλ.
Αντικαθιστώντας το (33) στο (32) και λαμβάνοντας υπόψη ότι , παίρνουμε
Ο τελευταίος όρος στο (34) ονομάζεται ο υπόλοιπος όρος του τύπου Taylor in Μορφή Lagrange
Χωρίς απόδειξη, σημειώνουμε ότι αν, υπό τις συνθήκες του θεωρήματος, η συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη στο σημείο Μφορές, τότε ο υπόλοιπος όρος μπορεί να γραφτεί ως Μορφή Peano:
Κεφάλαιο 7. Συναρτήσεις Αρκετών Μεταβλητών
7.1. Χώρος Rn.Σύνολα σε γραμμικό χώρο.
Ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία είναι όλα τα πιθανά διατεταγμένα σύνολα nπραγματικούς αριθμούς, που συμβολίζονται και καλούνται ν-διάστατος αριθμητικός χώροςκαι τον αριθμό nπου ονομάζεται διάσταση του χώρου.Ένα στοιχείο ενός συνόλου ονομάζεται ένα σημείο στο χώρο, ή ένα διάνυσμα,και τους αριθμούς συντεταγμένεςαυτό το σημείο. Καλείται το σημείο =(0, 0, …0). μηδέν ή προέλευση.
Το διάστημα είναι ένα σύνολο πραγματικών αριθμών, δηλ. - αριθμός γραμμής; και – είναι ένα δισδιάστατο γεωμετρικό επίπεδο συντεταγμένων και ένας τρισδιάστατος γεωμετρικός χώρος συντεταγμένων, αντίστοιχα. Τα διανύσματα , , …, ονομάζονται βάση μονάδας.
Για δύο στοιχεία, ένα σύνολο, ορίζονται οι έννοιες του αθροίσματος των στοιχείων και του γινόμενου ενός στοιχείου με έναν πραγματικό αριθμό:
Είναι προφανές ότι, λόγω αυτού του ορισμού και των ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών, οι ισότητες είναι αληθείς:
Σύμφωνα με αυτές τις ιδιότητες ονομάζεται και χώρος γραμμικό (διάνυσμα)χώρος.
Σε γραμμικό χώρο ορίζεται κλιμακωτό προϊόνστοιχεία και ως πραγματικός αριθμός, που υπολογίζεται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:
Ο αριθμός καλείται διανυσματικό μήκοςή ο κανόνας. Τα διανύσματα ονομάζονται ορθογώνιο, Αν . Μέγεθος
, )= │ - │ =
που ονομάζεται απόσταση μεταξύ των στοιχείωνΚαι .
Αν και είναι μη μηδενικά διανύσματα, τότε γωνίαμεταξύ τους ονομάζεται γωνία τέτοια ώστε
Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι για οποιαδήποτε στοιχεία και έναν πραγματικό αριθμό, το κλιμακωτό γινόμενο ικανοποιείται:
Ένας γραμμικός χώρος με ένα βαθμωτό γινόμενο που ορίζεται σε αυτόν από τον τύπο (1) ονομάζεται Ευκλείδειος χώρος.
Αφήστε το σημείο και . Το σύνολο όλων των σημείων για τα οποία ισχύουν οι ανισότητες
που ονομάζεται n -κύβος μέτρησηςμε άκρη και κέντρο στο σημείο . Για παράδειγμα, ένας δισδιάστατος κύβος είναι ένα τετράγωνο με μια πλευρά κεντραρισμένη στο σημείο .
Το σύνολο των σημείων που ικανοποιούν την ανισότητα ονομάζεται n-διάστατη μπάλαακτίνα με κέντρο στο σημείο , το οποίο ονομάζεται επίσης
- γειτονιά του σημείουμέσα και δηλώνουν,
Έτσι, μια μονοδιάστατη μπάλα είναι ένα διάστημα μήκους . 2D μπάλα
υπάρχει ένας κύκλος για τον οποίο ισχύει η ανισότητα
Ορισμός 1. Το σετ λέγεται περιορισμένος, εάν υπάρχει
n- μια μπάλα διαστάσεων που περιέχει αυτό το σετ.
Ορισμός 2. Καλείται μια συνάρτηση που ορίζεται στο σύνολο των φυσικών αριθμών και παίρνει τιμές που ανήκουν αλληλουχίαστο διάστημα και συμβολίζεται με το που .
Ορισμός 3. Το σημείο λέγεται όριο της ακολουθίας, εάν για έναν αυθαίρετο θετικό αριθμό υπάρχει ένας φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε να ισχύει η ανισότητα για οποιονδήποτε αριθμό.
Συμβολικά, αυτός ο ορισμός γράφεται ως εξής:
Ονομασία:
Από τον ορισμό 3 προκύπτει ότι , για . Αυτή η ακολουθία ονομάζεται συγκεντρούμενοςΠρος την .
Αν μια ακολουθία δεν συγκλίνει σε κανένα σημείο, τότε καλείται αποκλίνων.
Θεώρημα 1.Για να συγκλίνει η ακολουθία σε ένα σημείο, είναι απαραίτητο και αρκετό για οποιονδήποτε αριθμό , δηλ. σε σειρά Εγώ- x συντεταγμένες των σημείων που συγκλίνουν προς Εγώ-η συντεταγμένη του σημείου.
□ Η απόδειξη προκύπτει από τις ανισότητες
Η ακολουθία ονομάζεται περιορισμένος, εάν το σύνολο των τιμών του είναι περιορισμένο, π.χ.
Όπως μια αριθμητική ακολουθία, μια συγκλίνουσα ακολουθία σημείων είναι οριοθετημένη και έχει ένα μόνο όριο.
Ορισμός 4. Η ακολουθία ονομάζεται θεμελιώδης(Ακολουθία Cauchy), εάν για οποιονδήποτε θετικό αριθμό είναι δυνατό να καθοριστεί ένας φυσικός αριθμός έτσι ώστε για αυθαίρετους φυσικούς αριθμούς και , μεγάλος , να ισχύει, δηλ.
Θεώρημα 2(Κριτήριο Cauchy). Για να είναι μια ακολουθία συγκλίνουσα, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι θεμελιώδης.
□ Αναγκαιότητα.Αφήστε το να συγκλίνει στο σημείο. Τότε παίρνουμε μια ακολουθία που συγκλίνει σε . . . , ..., το Χ λέγεται περιοχή V . Αν Χ -περιοχή, τότε λέγεται το κλείσιμό της κλειστό χώρο.
Σκηνικά ΧΚαι Υπου ονομάζεται διαχωριστικός, εάν κανένα από αυτά δεν περιέχει σημεία επαφής του άλλου.
Ενα μάτσο Χπου ονομάζεται σχετίζεται με, εάν δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένωση δύο χωριστών συνόλων.
Ενα μάτσο Χπου ονομάζεται κυρτός , εάν δύο από τα σημεία του μπορούν να συνδεθούν με ένα τμήμα που ανήκει εξ ολοκλήρου σε αυτό το σύνολο.
Παράδειγμα. Με βάση τους ορισμούς που διατυπώθηκαν παραπάνω, μπορεί να υποστηριχθεί ότι
– ένα συνδεδεμένο, γραμμικά συνδεδεμένο, ανοιχτό, μη κυρτό σύνολο, είναι μια περιοχή.
– συνδεδεμένο, γραμμικά συνδεδεμένο, μη ανοιγμένο, μη κυρτό σύνολο, όχι περιοχή.
– μη συνδεδεμένο, μη γραμμικά συνδεδεμένο, ανοιχτό, μη κυρτό σύνολο, όχι περιοχή.
– μη συνδεδεμένο, μη γραμμικά συνδεδεμένο, ανοιχτό σύνολο, όχι περιοχή.
– συνδεδεμένο, γραμμικά συνδεδεμένο, ανοιχτό σύνολο, είναι μια περιοχή.
