Εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα με τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών. Κατάταξη μήτρας

Για να δουλέψουμε με την έννοια της κατάταξης μήτρας, θα χρειαστούμε πληροφορίες από το θέμα "Αλγεβρικές προσθήκες και δευτερεύουσες. Τύποι δευτερευόντων και αλγεβρικές προσθήκες". Πρώτα απ 'όλα, αυτό αφορά τον όρο "matrix minor", αφού θα καθορίσουμε την κατάταξη του matrix ακριβώς μέσω των ανηλίκων.

Κατάταξη μήτραςείναι η μέγιστη τάξη των ανηλίκων του, μεταξύ των οποίων υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν ισούται με το μηδέν.

Ισοδύναμοι πίνακες- πίνακες των οποίων οι τάξεις είναι ίσες μεταξύ τους.

Ας εξηγήσουμε με περισσότερες λεπτομέρειες. Ας υποθέσουμε ότι μεταξύ των ανηλίκων δεύτερης τάξης υπάρχει τουλάχιστον ένα που είναι διαφορετικό από το μηδέν. Και όλοι οι ανήλικοι των οποίων η σειρά είναι μεγαλύτερη από δύο ισούνται με μηδέν. Συμπέρασμα: η κατάταξη του πίνακα είναι 2 ή, για παράδειγμα, μεταξύ των ανηλίκων της δέκατης τάξης υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν. Και όλοι οι ανήλικοι των οποίων η σειρά είναι μεγαλύτερη από 10 ισούνται με μηδέν. Συμπέρασμα: η κατάταξη του πίνακα είναι 10.

Η κατάταξη του πίνακα $A$ συμβολίζεται ως εξής: $\rang A$ ή $r(A)$. Η κατάταξη του μηδενικού πίνακα $O$ θεωρείται ότι είναι μηδέν, $\rang O=0$. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι για να σχηματίσετε έναν ελάσσονα πίνακα πρέπει να διαγράψετε γραμμές και στήλες, αλλά είναι αδύνατο να διαγράψετε περισσότερες σειρές και στήλες από αυτές που περιέχει ο ίδιος ο πίνακας. Για παράδειγμα, εάν ο πίνακας $F$ έχει μέγεθος $5\ φορές 4$ (δηλαδή περιέχει 5 σειρές και 4 στήλες), τότε η μέγιστη σειρά των δευτερευόντων του είναι τέσσερις. Δεν θα είναι πλέον δυνατός ο σχηματισμός ανηλίκων πέμπτης τάξης, αφού θα απαιτούν 5 στήλες (και έχουμε μόνο 4). Αυτό σημαίνει ότι η κατάταξη του πίνακα $F$ δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από τέσσερα, δηλ. $\rang F≤4$.

Σε γενικότερη μορφή, τα παραπάνω σημαίνουν ότι εάν ένας πίνακας περιέχει σειρές $m$ και στήλες $n$, τότε η κατάταξή του δεν μπορεί να υπερβαίνει τη μικρότερη των $m$ και $n$, δηλ. $\rang A≤\min(m,n)$.

Κατ' αρχήν, από τον ίδιο τον ορισμό της κατάταξης ακολουθεί η μέθοδος εύρεσης της. Η διαδικασία εύρεσης της κατάταξης ενός πίνακα, εξ ορισμού, μπορεί να αναπαρασταθεί σχηματικά ως εξής:

Επιτρέψτε μου να εξηγήσω αυτό το διάγραμμα με περισσότερες λεπτομέρειες. Ας αρχίσουμε να συλλογιζόμαστε από την αρχή, δηλ. από την πρώτη τάξη δευτερεύοντα στοιχεία κάποιου πίνακα $A$.

Εάν όλα τα δευτερεύοντα στοιχεία πρώτης τάξης (δηλαδή τα στοιχεία του πίνακα $A$) είναι ίσα με μηδέν, τότε $\rang A=0$. Εάν μεταξύ των δευτερευόντων πρώτης τάξης υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε $\rang A≥ 1$. Ας προχωρήσουμε στον έλεγχο των ανηλίκων δεύτερης τάξης.
Εάν όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν, τότε $\rang A=1$. Αν ανάμεσα στα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε $\rang A≥ 2$. Ας προχωρήσουμε στον έλεγχο των ανηλίκων τρίτης τάξης.
Εάν όλα τα δευτερεύοντα στοιχεία τρίτης τάξης είναι ίσα με μηδέν, τότε $\rang A=2$. Εάν μεταξύ των δευτερευόντων δευτερευόντων τρίτης τάξης υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε $\rang A≥ 3$. Ας προχωρήσουμε στον έλεγχο ανηλίκων τέταρτης τάξης.
Αν όλα τα δευτερεύοντα τέταρτης τάξης είναι ίσα με μηδέν, τότε $\rang A=3$. Εάν μεταξύ των δευτερευόντων τετάρτων τάξεων υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε $\rang A≥ 4$. Προχωράμε στον έλεγχο ανηλίκων πέμπτης τάξης και ούτω καθεξής.

Τι μας περιμένει στο τέλος αυτής της διαδικασίας; Είναι πιθανό ότι μεταξύ των δευτερευόντων δευτερολέπτων kth τάξης θα υπάρχει τουλάχιστον ένα διαφορετικό από το μηδέν, και όλα τα δευτερεύοντα στοιχεία (k+1) θα είναι ίσα με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι k είναι η μέγιστη τάξη των δευτερευόντων, μεταξύ των οποίων υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν, δηλ. ο βαθμός θα είναι ίσος με k. Ενδέχεται να υπάρχει διαφορετική κατάσταση: μεταξύ των ανηλίκων τάξης k-ης θα υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με το μηδέν, αλλά δεν θα είναι πλέον δυνατό να σχηματιστούν ανήλικα άτομα τάξης (k+1). Σε αυτήν την περίπτωση, η κατάταξη του πίνακα είναι επίσης ίση με k. Εν συντομία, Η σειρά του τελευταίου σύνθετου μη μηδενικού δευτερεύοντος θα είναι ίση με την κατάταξη του πίνακα.

Ας προχωρήσουμε σε παραδείγματα στα οποία η διαδικασία εύρεσης της κατάταξης μιας μήτρας, εξ ορισμού, θα επεξηγηθεί με σαφήνεια. Επιτρέψτε μου να τονίσω για άλλη μια φορά ότι στα παραδείγματα αυτού του θέματος θα αρχίσουμε να βρίσκουμε την κατάταξη των πινάκων χρησιμοποιώντας μόνο τον ορισμό της κατάταξης. Άλλες μέθοδοι (υπολογισμός της κατάταξης μιας μήτρας με χρήση της μεθόδου οριοθέτησης ανηλίκων, υπολογισμός της κατάταξης ενός πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών) συζητούνται στα ακόλουθα θέματα.

Παρεμπιπτόντως, δεν είναι καθόλου απαραίτητο να ξεκινήσει η διαδικασία εύρεσης του βαθμού με ανηλίκους της μικρότερης τάξης, όπως έγινε στα παραδείγματα Νο. 1 και Νο. 2. Μπορείτε να προχωρήσετε αμέσως σε ανηλίκους υψηλότερων τάξεων (βλ. παράδειγμα Νο. 3).

Παράδειγμα Νο. 1

Βρείτε την κατάταξη του πίνακα $A=\left(\begin(array)(cccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Αυτός ο πίνακας έχει μέγεθος $3\ φορές 5$, δηλ. περιέχει τρεις σειρές και πέντε στήλες. Από τους αριθμούς 3 και 5, το ελάχιστο είναι 3, επομένως η κατάταξη του πίνακα $A$ δεν είναι μεγαλύτερη από 3, δηλ. $\rang A≤ 3$. Και αυτή η ανισότητα είναι προφανής, αφού δεν θα μπορούμε πλέον να σχηματίζουμε δευτερεύοντα τέταρτης τάξης - απαιτούν 4 σειρές και έχουμε μόνο 3. Ας προχωρήσουμε απευθείας στη διαδικασία εύρεσης της κατάταξης ενός δεδομένου πίνακα.

Μεταξύ των δευτερευόντων της πρώτης τάξης (δηλαδή μεταξύ των στοιχείων του πίνακα $A$) υπάρχουν μη μηδενικά. Για παράδειγμα, 5, -3, 2, 7. Γενικά, δεν μας ενδιαφέρει ο συνολικός αριθμός των μη μηδενικών στοιχείων. Υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό στοιχείο - και αυτό είναι αρκετό. Εφόσον μεταξύ των ανηλίκων πρώτης τάξης υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό, συμπεραίνουμε ότι το $\raned A≥ 1$ και προχωράμε στον έλεγχο των δευτερευόντων δευτερευόντων.

Ας ξεκινήσουμε την εξερεύνηση ανηλίκων δεύτερης τάξης. Για παράδειγμα, στη διασταύρωση των γραμμών Νο. 1, Νο. 2 και στηλών Νο. 1, Νο. 4 υπάρχουν στοιχεία του παρακάτω δευτερεύοντος: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|. Για αυτήν την ορίζουσα, όλα τα στοιχεία της δεύτερης στήλης είναι ίσα με μηδέν, επομένως η ίδια η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν, δηλ. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (δείτε την ιδιότητα No. 3 στο θέμα των ιδιοτήτων των οριζόντων). Ή μπορείτε απλώς να υπολογίσετε αυτόν τον ορίζοντα χρησιμοποιώντας τον τύπο Νο. 1 από την ενότητα για τον υπολογισμό οριζόντων δεύτερης και τρίτης τάξης:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Το πρώτο δευτερεύον δευτερεύον που δοκιμάσαμε αποδείχθηκε ίσο με μηδέν. Τι σημαίνει αυτό? Σχετικά με την ανάγκη περαιτέρω ελέγχου των ανηλίκων δεύτερης τάξης. Είτε θα αποδειχθούν όλα μηδέν (και τότε η κατάταξη θα είναι ίση με 1), είτε μεταξύ τους θα υπάρχει τουλάχιστον ένα μικρότερο που είναι διαφορετικό από το μηδέν. Ας προσπαθήσουμε να κάνουμε μια καλύτερη επιλογή γράφοντας ένα δευτερεύον δευτερεύον στοιχείο, τα στοιχεία του οποίου βρίσκονται στη διασταύρωση των σειρών Νο. 1, Νο. 2 και στηλών Νο. 1 και Νο. 5: $\left|\begin( πίνακας)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|$. Ας βρούμε την τιμή αυτού του δευτερεύοντος δευτερεύοντος:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Αυτό το δευτερεύον δεν είναι ίσο με μηδέν. Συμπέρασμα: μεταξύ των ανηλίκων δεύτερης τάξης υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό. Επομένως $\rang A≥ 2$. Πρέπει να προχωρήσουμε στη μελέτη ανηλίκων τρίτης τάξης.

Αν επιλέξουμε τη στήλη Νο. 2 ή τη στήλη Νο. 4 για να σχηματίσουμε δευτερεύοντα δευτερεύοντα τρίτης τάξης, τότε τέτοια δευτερεύοντα θα είναι ίσα με μηδέν (αφού θα περιέχουν μηδενική στήλη). Απομένει να ελέγξουμε μόνο ένα δευτερεύον τρίτης τάξης, τα στοιχεία του οποίου βρίσκονται στη διασταύρωση των στηλών Νο. 1, Νο. 3, Νο. 5 και σειρών Νο. 1, Νο. 2, Νο. 3. Ας γράψουμε αυτό το δευτερεύον και ας βρούμε την αξία του:

$$ \left|\begin(array)(cccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Άρα, όλα τα δευτερεύοντα τρίτης τάξης είναι ίσα με μηδέν. Το τελευταίο μη μηδενικό δευτερεύον που συντάξαμε ήταν δεύτερης τάξης. Συμπέρασμα: η μέγιστη τάξη των ανηλίκων, μεταξύ των οποίων υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό, είναι 2. Επομένως, $\rang A=2$.

Απάντηση: $\rang A=2$.

Παράδειγμα Νο. 2

Βρείτε την κατάταξη του πίνακα $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Έχουμε έναν τετραγωνικό πίνακα τέταρτης τάξης. Ας σημειώσουμε αμέσως ότι η κατάταξη αυτού του πίνακα δεν υπερβαίνει το 4, δηλ. $\rang A≤ 4$. Ας αρχίσουμε να βρίσκουμε την κατάταξη του πίνακα.

Μεταξύ των δευτερευόντων δευτερευόντων πρώτης τάξης (δηλαδή, μεταξύ των στοιχείων του πίνακα $A$) υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν, επομένως $\rang A≥ 1$. Ας προχωρήσουμε στον έλεγχο των ανηλίκων δεύτερης τάξης. Για παράδειγμα, στη διασταύρωση των γραμμών Νο. 2, Νο. 3 και των στηλών Νο. 1 και Νο. 2, λαμβάνουμε το ακόλουθο δευτερεύον δευτερεύον: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Ας το υπολογίσουμε:

$$\ αριστερά| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

Ανάμεσα στα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν, οπότε $\rang A≥ 2$.

Ας περάσουμε στα ανήλικα τρίτης τάξης. Ας βρούμε, για παράδειγμα, ένα ανήλικο του οποίου τα στοιχεία βρίσκονται στη διασταύρωση των σειρών Νο. 1, Νο. 3, Νο. 4 και στηλών Νο. 1, Νο. 2, Νο. 4:

$$\ αριστερά | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

Δεδομένου ότι αυτό το δευτερεύον τρίτης τάξης αποδείχθηκε ίσο με μηδέν, είναι απαραίτητο να διερευνηθεί ένα άλλο δευτερεύον τρίτης τάξης. Είτε όλοι θα είναι ίσοι με μηδέν (τότε η κατάταξη θα είναι ίση με 2), είτε μεταξύ τους θα υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν (τότε θα αρχίσουμε να μελετάμε ανηλίκους τέταρτης τάξης). Ας εξετάσουμε ένα δευτερεύον τρίτης τάξης, τα στοιχεία του οποίου βρίσκονται στη διασταύρωση των σειρών Νο. 2, Νο. 3, Νο. 4 και στηλών Νο. 2, Νο. 3, Νο. 4:

$$\ αριστερά| \begin(array) (cccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

Μεταξύ των ανηλίκων τρίτης τάξης υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό, άρα $\rang A≥ 3$. Ας προχωρήσουμε στον έλεγχο ανηλίκων τέταρτης τάξης.

Οποιοδήποτε δευτερεύον τέταρτης τάξης βρίσκεται στη διασταύρωση τεσσάρων σειρών και τεσσάρων στηλών του πίνακα $A$. Με άλλα λόγια, το δευτερεύον τέταρτης τάξης είναι ο προσδιοριστής του πίνακα $A$, αφού αυτός ο πίνακας περιέχει 4 σειρές και 4 στήλες. Η ορίζουσα αυτού του πίνακα υπολογίστηκε στο παράδειγμα Νο. 2 του θέματος «Μείωση της σειράς της ορίζουσας σε μια σειρά (στήλη)», οπότε ας πάρουμε το τελικό αποτέλεσμα:

$$\ αριστερά| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (πίνακας)\right|=86. $$

Άρα το δευτερεύον τέταρτης τάξης δεν ισούται με μηδέν. Δεν μπορούμε πλέον να σχηματίσουμε ανηλίκους πέμπτης τάξης. Συμπέρασμα: η υψηλότερη τάξη των ανηλίκων, μεταξύ των οποίων υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό, είναι 4. Αποτέλεσμα: $\rang A=4$.

Απάντηση: $\rang A=4$.

Παράδειγμα Νο. 3

Βρείτε την κατάταξη του πίνακα $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( πίνακας) \δεξιά)$.

Ας σημειώσουμε αμέσως ότι αυτός ο πίνακας περιέχει 3 σειρές και 4 στήλες, επομένως $\rang A≤ 3$. Στα προηγούμενα παραδείγματα, ξεκινήσαμε τη διαδικασία εύρεσης της κατάταξης λαμβάνοντας υπόψη ανηλίκους της μικρότερης (πρώτης) τάξης. Εδώ θα προσπαθήσουμε να ελέγξουμε αμέσως τους ανηλίκους της υψηλότερης δυνατής τάξης. Για τον πίνακα $A$ αυτά είναι τα ανήλικα τρίτης τάξης. Ας εξετάσουμε ένα δευτερεύον τρίτης τάξης, τα στοιχεία του οποίου βρίσκονται στη διασταύρωση των σειρών Νο. 1, Νο. 2, Νο. 3 και στηλών Νο. 2, Νο. 3, Νο. 4:

$$\ αριστερά| \begin(array) (cccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

Έτσι, η υψηλότερη τάξη των ανηλίκων, μεταξύ των οποίων υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν ισούται με μηδέν, είναι 3. Επομένως, η κατάταξη του πίνακα είναι 3, δηλ. $\rang A=3$.

Απάντηση: $\rang A=3$.

Σε γενικές γραμμές, η εύρεση της κατάταξης μιας μήτρας εξ ορισμού είναι, στη γενική περίπτωση, μια εργασία που απαιτεί αρκετά κόπο. Για παράδειγμα, ένας σχετικά μικρός πίνακας μεγέθους $5\ επί 4$ έχει 60 ανηλίκους δεύτερης τάξης. Και ακόμη κι αν τα 59 από αυτά είναι ίσα με μηδέν, τότε το 60ο δευτερεύον μπορεί να αποδειχθεί μη μηδενικό. Στη συνέχεια, θα πρέπει να μελετήσετε ανηλίκους τρίτης τάξης, από τους οποίους αυτή η μήτρα έχει 40 κομμάτια. Συνήθως προσπαθούν να χρησιμοποιήσουν λιγότερο περίπλοκες μεθόδους, όπως η μέθοδος οριοθέτησης ανηλίκων ή η μέθοδος ισοδύναμων μετασχηματισμών.

Ένας αριθμός r ονομάζεται κατάταξη του πίνακα A εάν:
1) στον πίνακα A υπάρχει μια ελάσσονα τάξης r, διαφορετική από το μηδέν.
2) όλα τα ελάσσονα τάξης (r+1) και άνω, αν υπάρχουν, ισούνται με μηδέν.
Διαφορετικά, η κατάταξη ενός πίνακα είναι η υψηλότερη δευτερεύουσα τάξη εκτός από το μηδέν.
Ονομασίες: rangA, r A ή r.
Από τον ορισμό προκύπτει ότι το r είναι θετικός ακέραιος. Για έναν μηδενικό πίνακα, η κατάταξη θεωρείται μηδέν.

Σκοπός της υπηρεσίας. Η ηλεκτρονική αριθμομηχανή έχει σχεδιαστεί για εύρεση κατάταξη μήτρας. Σε αυτήν την περίπτωση, η λύση αποθηκεύεται σε μορφή Word και Excel. δείτε παράδειγμα λύσης.

Οδηγίες. Επιλέξτε τη διάσταση του πίνακα, κάντε κλικ στο Επόμενο.

Ορισμός . Ας δοθεί ένας πίνακας κατάταξης r. Κάθε δευτερεύον στοιχείο ενός πίνακα που είναι διαφορετικό από το μηδέν και έχει τάξη r ονομάζεται βασικό και οι γραμμές και οι στήλες των συστατικών του ονομάζονται βασικές γραμμές και στήλες.
Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, ένας πίνακας Α μπορεί να έχει πολλά ελάσσονα βάσης.

Η κατάταξη του πίνακα ταυτότητας E είναι n (ο αριθμός των σειρών).

Παράδειγμα 1. Δίνονται δύο πίνακες, και τα ανήλικα τους , . Ποιο από αυτά μπορεί να θεωρηθεί ως βασικό;
Λύση. Minor M 1 =0, επομένως δεν μπορεί να αποτελέσει βάση για κανέναν από τους πίνακες. Minor M 2 =-9≠0 και έχει τάξη 2, πράγμα που σημαίνει ότι μπορεί να ληφθεί ως βάση των πινάκων A ή / και B, με την προϋπόθεση ότι έχουν τάξεις ίσες με 2. Εφόσον detB=0 (ως ορίζουσα με δύο αναλογικές στήλες), τότε το rangB=2 και το M 2 μπορούν να ληφθούν ως ελάσσονα βάσης του πίνακα Β. Η κατάταξη του πίνακα A είναι 3, λόγω του γεγονότος ότι detA=-27≠ 0 και, επομένως, η τάξη ελάσσονος βάσης αυτού του πίνακα πρέπει να είναι ίση με 3, δηλαδή το M 2 δεν αποτελεί βάση για τον πίνακα A. Σημειώστε ότι ο πίνακας Α έχει μια απλή ελάσσονα βάσης, ίση με την ορίζουσα του πίνακα Α.

Θεώρημα (σχετικά με το ελάσσονα βάσης). Οποιαδήποτε σειρά (στήλη) ενός πίνακα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των βασικών σειρών του (στήλες).
Συμπεράσματα από το θεώρημα.

Κάθε πίνακας (r+1) στήλης (γραμμής) της κατάταξης r εξαρτάται γραμμικά.
Εάν η κατάταξη ενός πίνακα είναι μικρότερη από τον αριθμό των σειρών του (στήλες), τότε οι σειρές (στήλες) του εξαρτώνται γραμμικά. Αν το rangA είναι ίσο με τον αριθμό των σειρών του (στήλες), τότε οι σειρές (στήλες) είναι γραμμικά ανεξάρτητες.
Η ορίζουσα ενός πίνακα Α είναι ίση με μηδέν αν και μόνο αν οι σειρές (στήλες) του είναι γραμμικά εξαρτώμενες.
Εάν προσθέσετε μια άλλη σειρά (στήλη) σε μια σειρά (στήλη) ενός πίνακα, πολλαπλασιαζόμενη με οποιονδήποτε αριθμό εκτός από το μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα δεν θα αλλάξει.
Εάν διαγράψετε μια γραμμή (στήλη) σε έναν πίνακα, ο οποίος είναι ένας γραμμικός συνδυασμός άλλων σειρών (στήλες), τότε η κατάταξη του πίνακα δεν θα αλλάξει.
Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με τον μέγιστο αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων σειρών (στήλων) του.
Ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών είναι ίδιος με τον μέγιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων στηλών.

Παράδειγμα 2. Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα .
Λύση. Με βάση τον ορισμό της κατάταξης του πίνακα, θα αναζητήσουμε ένα δευτερεύον της υψηλότερης τάξης, διαφορετικό από το μηδέν. Αρχικά, ας μετατρέψουμε τη μήτρα σε μια απλούστερη μορφή. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την πρώτη σειρά του πίνακα με (-2) και προσθέστε τη στη δεύτερη, στη συνέχεια πολλαπλασιάστε την με (-1) και προσθέστε την στην τρίτη.

Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ένα σημαντικό αριθμητικό χαρακτηριστικό. Το πιο τυπικό πρόβλημα που απαιτεί την εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα είναι ο έλεγχος της συνέπειας ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Σε αυτό το άρθρο θα δώσουμε την έννοια της κατάταξης μήτρας και θα εξετάσουμε μεθόδους για την εύρεση της. Για να κατανοήσουμε καλύτερα το υλικό, θα αναλύσουμε λεπτομερώς τις λύσεις σε πολλά παραδείγματα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Προσδιορισμός της κατάταξης ενός πίνακα και απαραίτητες πρόσθετες έννοιες.

Πριν εκφράσετε τον ορισμό της κατάταξης ενός πίνακα, θα πρέπει να έχετε μια καλή κατανόηση της έννοιας του ανηλίκου και η εύρεση των δευτερευόντων ενός πίνακα συνεπάγεται τη δυνατότητα υπολογισμού της ορίζουσας. Επομένως, εάν είναι απαραίτητο, σας συνιστούμε να θυμηθείτε τη θεωρία του άρθρου, τις μεθόδους εύρεσης της ορίζουσας μιας μήτρας και τις ιδιότητες της ορίζουσας.

Ας πάρουμε έναν πίνακα Α τάξης. Έστω k κάποιος φυσικός αριθμός που δεν υπερβαίνει τον μικρότερο από τους αριθμούς m και n, δηλαδή, .

Ορισμός.

Μικρή kth σειράΟ πίνακας Α είναι η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα τάξης, που αποτελείται από στοιχεία του πίνακα Α, τα οποία βρίσκονται σε προεπιλεγμένες k σειρές και k στήλες και διατηρείται η διάταξη των στοιχείων του πίνακα Α.

Με άλλα λόγια, εάν στον πίνακα Α διαγράψουμε (p–k) σειρές και (n–k) στήλες και από τα υπόλοιπα στοιχεία δημιουργήσουμε έναν πίνακα, διατηρώντας τη διάταξη των στοιχείων του πίνακα Α, τότε η ορίζουσα του ο προκύπτων πίνακας είναι μια ελάσσονα τάξης k του πίνακα Α.

Ας δούμε τον ορισμό ενός δευτερεύοντος πίνακα χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Εξετάστε τη μήτρα .

Ας γράψουμε μερικά δευτερεύοντα πρώτου βαθμού αυτού του πίνακα. Για παράδειγμα, αν επιλέξουμε την τρίτη γραμμή και τη δεύτερη στήλη του πίνακα Α, τότε η επιλογή μας αντιστοιχεί σε δευτερεύον πρώτης τάξης . Με άλλα λόγια, για να λάβουμε αυτό το δευτερεύον, διαγράψαμε την πρώτη και τη δεύτερη σειρά, καθώς και την πρώτη, τρίτη και τέταρτη στήλη από τον πίνακα A, και δημιουργήσαμε μια ορίζουσα από το υπόλοιπο στοιχείο. Αν επιλέξουμε την πρώτη γραμμή και την τρίτη στήλη του πίνακα A, τότε παίρνουμε ένα δευτερεύον .

Ας παρουσιάσουμε τη διαδικασία για την απόκτηση των θεωρούμενων ανηλίκων πρώτης τάξης
Και .

Έτσι, τα δευτερεύοντα πρώτης τάξης ενός πίνακα είναι τα ίδια τα στοιχεία του πίνακα.

Ας δείξουμε αρκετούς ανηλίκους δεύτερης τάξης. Επιλέξτε δύο σειρές και δύο στήλες. Για παράδειγμα, πάρτε την πρώτη και τη δεύτερη σειρά και την τρίτη και τέταρτη στήλη. Με αυτή την επιλογή έχουμε ανήλικο δεύτερης τάξης . Αυτό το δευτερεύον θα μπορούσε επίσης να συντεθεί διαγράφοντας την τρίτη σειρά, την πρώτη και τη δεύτερη στήλη από τον πίνακα Α.

Ένα άλλο δευτερεύον δευτερεύον στοιχείο του πίνακα Α είναι το .

Ας παρουσιάσουμε την κατασκευή αυτών των ανηλίκων δεύτερης τάξης
Και .

Παρομοίως, μπορούν να βρεθούν δευτερεύοντα ανήλικα τρίτης τάξης του πίνακα Α. Δεδομένου ότι υπάρχουν μόνο τρεις σειρές στον πίνακα Α, τις επιλέγουμε όλες. Αν επιλέξουμε τις τρεις πρώτες στήλες αυτών των σειρών, παίρνουμε ένα δευτερεύον τρίτης τάξης

Μπορεί επίσης να κατασκευαστεί διαγράφοντας την τελευταία στήλη του πίνακα Α.

Ένα άλλο δευτερεύον τρίτης τάξης είναι

που προκύπτει διαγράφοντας την τρίτη στήλη του πίνακα Α.

Εδώ είναι μια εικόνα που δείχνει την κατασκευή αυτών των ανηλίκων τρίτης τάξης
Και .

Για έναν δεδομένο πίνακα Α δεν υπάρχουν δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία μεγαλύτερης από τον τρίτο, αφού .

Πόσα ελάσσονα της kth τάξης υπάρχουν σε έναν πίνακα A τάξης;

Ο αριθμός των δευτερευόντων της τάξης k μπορεί να υπολογιστεί ως , όπου Και - τον αριθμό των συνδυασμών από p έως k και από n έως k, αντίστοιχα.

Πώς να κατασκευάσετε όλα τα ελάσσονα τάξης k του πίνακα Α τάξης p κατά n;

Θα χρειαστούμε πολλούς αριθμούς σειρών μήτρας και πολλούς αριθμούς στηλών. Γράφουμε τα πάντα συνδυασμοί στοιχείων p κατά k(θα αντιστοιχούν στις επιλεγμένες σειρές του πίνακα A κατά την κατασκευή ενός ελάσσονος τάξης k). Σε κάθε συνδυασμό αριθμών σειρών προσθέτουμε διαδοχικά όλους τους συνδυασμούς n στοιχείων των k αριθμών στηλών. Αυτά τα σύνολα συνδυασμών αριθμών σειρών και αριθμών στηλών του πίνακα Α θα βοηθήσουν στη σύνθεση όλων των δευτερευόντων της τάξης k.

Ας το δούμε με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Βρείτε όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία του πίνακα.

Λύση.

Δεδομένου ότι η σειρά της αρχικής μήτρας είναι 3 επί 3, το σύνολο των δευτερευόντων δευτερολέπτων θα είναι .

Ας γράψουμε όλους τους συνδυασμούς των αριθμών 3 έως 2 σειρών του πίνακα A: 1, 2; 1, 3 και 2, 3. Όλοι οι συνδυασμοί από 3 έως 2 αριθμούς στηλών είναι 1, 2. 1, 3 και 2, 3.

Ας πάρουμε την πρώτη και τη δεύτερη σειρά του πίνακα Α. Επιλέγοντας την πρώτη και τη δεύτερη στήλη, την πρώτη και την τρίτη στήλη, τη δεύτερη και την τρίτη στήλη για αυτές τις σειρές, λαμβάνουμε τα δευτερεύοντα, αντίστοιχα

Για την πρώτη και την τρίτη σειρά, με παρόμοια επιλογή στηλών, έχουμε

Απομένει να προσθέσετε την πρώτη και δεύτερη, πρώτη και τρίτη, δεύτερη και τρίτη στήλη στη δεύτερη και τρίτη σειρά:

Έτσι, βρέθηκαν και τα εννέα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία του πίνακα Α.

Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στον προσδιορισμό της κατάταξης του πίνακα.

Ορισμός.

Κατάταξη μήτραςείναι η υψηλότερη τάξη του μη μηδενικού ελάσσονος του πίνακα.

Η κατάταξη του πίνακα A συμβολίζεται ως Rank(A) . Μπορείτε επίσης να βρείτε τους χαρακτηρισμούς Rg(A) ή Rang(A) .

Από τους ορισμούς της κατάταξης πίνακα και του δευτερεύοντος πίνακα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η κατάταξη ενός μηδενικού πίνακα είναι ίση με το μηδέν και η κατάταξη ενός μη μηδενικού πίνακα δεν είναι μικρότερη από ένα.

Εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα εξ ορισμού.

Έτσι, η πρώτη μέθοδος για την εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα είναι μέθοδος απαρίθμησης ανηλίκων. Αυτή η μέθοδος βασίζεται στον προσδιορισμό της κατάταξης του πίνακα.

Ας πρέπει να βρούμε την κατάταξη ενός πίνακα Α τάξης.

Ας περιγράψουμε εν συντομία αλγόριθμοςεπίλυση αυτού του προβλήματος απαριθμώντας ανηλίκους.

Εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του πίνακα που είναι διαφορετικό από το μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι τουλάχιστον ίση με ένα (αφού υπάρχει ένα δευτερεύον πρώτης τάξης που δεν είναι ίσο με μηδέν).

Στη συνέχεια εξετάζουμε τους ανηλίκους δεύτερης τάξης. Εάν όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με ένα. Εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό δευτερεύον της δεύτερης τάξης, τότε προχωράμε στην απαρίθμηση των δευτερευόντων δευτερολέπτων τρίτης τάξης και η κατάταξη του πίνακα είναι τουλάχιστον ίση με δύο.

Ομοίως, εάν όλα τα ανήλικα τρίτης τάξης είναι μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι δύο. Εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα δευτερεύον τρίτης τάξης εκτός από το μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι τουλάχιστον τρεις και προχωράμε στην απαρίθμηση δευτερευόντων δευτερευόντων τετάρτων.

Σημειώστε ότι η κατάταξη του πίνακα δεν μπορεί να υπερβαίνει τον μικρότερο από τους αριθμούς p και n.

Παράδειγμα.

Βρείτε την κατάταξη του πίνακα .

Λύση.

Δεδομένου ότι ο πίνακας δεν είναι μηδενικός, η κατάταξή του δεν είναι μικρότερη από ένα.

Ανήλικο δεύτερης τάξης είναι διαφορετική από το μηδέν, επομένως, η κατάταξη του πίνακα Α είναι τουλάχιστον δύο. Ας προχωρήσουμε στην απαρίθμηση ανηλίκων τρίτης τάξης. Σύνολο αυτών πράγματα.

Όλα τα ανήλικα τρίτης τάξης είναι ίσα με μηδέν. Επομένως, η κατάταξη του πίνακα είναι δύο.

Απάντηση:

Κατάταξη(Α) = 2 .

Εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα με τη μέθοδο της οριοθέτησης ανηλίκων.

Υπάρχουν άλλες μέθοδοι για την εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα που σας επιτρέπουν να αποκτήσετε το αποτέλεσμα με λιγότερη υπολογιστική εργασία.

Μια τέτοια μέθοδος είναι μέθοδος δευτερεύουσας ακμής.

Ας ασχοληθούμε έννοια του ελάσσονος άκρου.

Λέγεται ότι ένα δευτερεύον M ok της (k+1) ης τάξης του πίνακα A συνορεύει με ένα μικρότερο M της τάξης k του πίνακα A εάν ο πίνακας που αντιστοιχεί στον δευτερεύοντα M ok «περιέχει» τον πίνακα που αντιστοιχεί στον ελάσσονα Μ .

Με άλλα λόγια, ο πίνακας που αντιστοιχεί στο συνοριακό δευτερεύον M λαμβάνεται από τον πίνακα που αντιστοιχεί στο συνοριακό δευτερεύον M ok διαγράφοντας τα στοιχεία μιας γραμμής και μιας στήλης.

Για παράδειγμα, εξετάστε τη μήτρα και πάρτε μια δεύτερη παραγγελία ανήλικο. Ας γράψουμε όλα τα συνοριακά ανήλικα:

Η μέθοδος οριοθέτησης ανηλίκων δικαιολογείται από το ακόλουθο θεώρημα (παρουσιάζουμε τη διατύπωσή του χωρίς απόδειξη).

Θεώρημα.

Αν όλα τα ελάσσονα που συνορεύουν με την kth τάξης ελάσσονα ενός πίνακα Α τάξης p επί n είναι ίσα με μηδέν, τότε όλα τα ελάσσονα της τάξης (k+1) του πίνακα A είναι ίσα με μηδέν.

Έτσι, για να βρείτε την κατάταξη μιας μήτρας δεν είναι απαραίτητο να περάσετε από όλα τα ανήλικα που είναι επαρκώς οριοθετημένα. Ο αριθμός των δευτερευόντων που συνορεύουν με το δευτερεύον της kth τάξης ενός πίνακα Α τάξης , βρίσκεται από τον τύπο . Σημειώστε ότι δεν υπάρχουν περισσότερα δευτερεύοντα δευτερεύοντα που συνορεύουν με τον ελάσσονα τάξης k του πίνακα Α από ό,τι υπάρχουν (k + 1) ελάσσονα τάξης του πίνακα Α. Ως εκ τούτου, στις περισσότερες περιπτώσεις, η χρήση της μεθόδου της οριοθέτησης ανηλίκων είναι πιο επικερδής από την απλή απαρίθμηση όλων των ανηλίκων.

Ας προχωρήσουμε στην εύρεση της κατάταξης του πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της οριοθέτησης ανηλίκων. Ας περιγράψουμε εν συντομία αλγόριθμοςαυτή τη μέθοδο.

Εάν ο πίνακας Α είναι μη μηδενικός, τότε ως δευτερεύον πρώτης τάξης λαμβάνουμε οποιοδήποτε στοιχείο του πίνακα Α που είναι διαφορετικό από το μηδέν. Ας δούμε τα συνοριακά ανήλικα του. Εάν είναι όλα ίσα με μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με ένα. Εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό συνοριακό δευτερεύον (η σειρά του είναι δύο), τότε προχωράμε στην εξέταση των συνοριακών του δευτερευόντων. Αν είναι όλα μηδέν, τότε Rank(A) = 2. Εάν τουλάχιστον ένα συνοριακό δευτερεύον είναι μη μηδενικό (η σειρά του είναι τρία), τότε θεωρούμε τα συνοριακά ελάσσονά του. Και ούτω καθεξής. Ως αποτέλεσμα, Rank(A) = k εάν όλα τα συνοριακά δευτερεύοντα της (k + 1) th τάξης του πίνακα A είναι ίσα με μηδέν, ή Rank(A) = min(p, n) εάν υπάρχει μη- μηδέν ελάσσονα που συνορεύει με ελάσσονα τάξης (min( p, n) – 1) .

Ας δούμε τη μέθοδο οριοθέτησης ανηλίκων για να βρούμε την κατάταξη ενός πίνακα χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Βρείτε την κατάταξη του πίνακα με τη μέθοδο της οριοθέτησης ανηλίκων.

Λύση.

Εφόσον το στοιχείο a 1 1 του πίνακα Α είναι μη μηδενικό, το λαμβάνουμε ως δευτερεύον πρώτης τάξης. Ας ξεκινήσουμε την αναζήτηση για ένα δευτερεύον όριο που είναι διαφορετικό από το μηδέν:

Βρίσκεται μια ελάσσονα ακμής δεύτερης τάξης, διαφορετική από το μηδέν. Ας δούμε τα συνοριακά ανήλικα του (τους πράγματα):

Όλοι οι ανήλικοι που συνορεύουν με το δευτερεύον δευτερεύον στοιχείο είναι ίσοι με μηδέν, επομένως, η κατάταξη του πίνακα Α είναι ίση με δύο.

Απάντηση:

Κατάταξη(Α) = 2 .

Παράδειγμα.

Βρείτε την κατάταξη του πίνακα χρησιμοποιώντας συνοριακούς ανηλίκους.

Λύση.

Ως μη μηδενικό δευτερεύον της πρώτης τάξης, παίρνουμε το στοιχείο a 1 1 = 1 του πίνακα A. Ο περιβάλλων ανήλικος δεύτερης τάξης όχι ίσο με μηδέν. Αυτό το ανήλικο συνορεύει με ένα ανήλικο τρίτης τάξης
. Δεδομένου ότι δεν είναι ίσο με το μηδέν και δεν υπάρχει συνοριακό δευτερεύον για αυτό, η κατάταξη του πίνακα Α είναι ίση με τρία.

Απάντηση:

Κατάταξη (Α) = 3 .

Εύρεση της κατάταξης χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς στοιχειώδους πίνακα (μέθοδος Gauss).

Ας εξετάσουμε έναν άλλο τρόπο εύρεσης της κατάταξης ενός πίνακα.

Οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί πίνακα ονομάζονται στοιχειώδεις:

αναδιάταξη σειρών (ή στηλών) ενός πίνακα.
πολλαπλασιάζοντας όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς (στήλης) ενός πίνακα με έναν αυθαίρετο αριθμό k, διαφορετικό από το μηδέν.
προσθέτοντας στα στοιχεία μιας σειράς (στήλης) τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς (στήλης) του πίνακα, πολλαπλασιαζόμενα με έναν αυθαίρετο αριθμό k.

Ο πίνακας Β ονομάζεται ισοδύναμος με τον πίνακα Α, αν το Β λαμβάνεται από το Α χρησιμοποιώντας πεπερασμένο αριθμό στοιχειωδών μετασχηματισμών. Η ισοδυναμία των πινάκων συμβολίζεται με το σύμβολο "~", δηλαδή γράφεται A ~ B.

Η εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς στοιχειώδους πίνακα βασίζεται στη δήλωση: εάν ο πίνακας Β λαμβάνεται από τον πίνακα Α χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχειωδών μετασχηματισμών, τότε Rank(A) = Rank(B) .

Η εγκυρότητα αυτής της δήλωσης προκύπτει από τις ιδιότητες της ορίζουσας του πίνακα:

Κατά την αναδιάταξη των γραμμών (ή στηλών) ενός πίνακα, η ορίζοντή του αλλάζει πρόσημο. Αν είναι ίσο με μηδέν, τότε όταν οι σειρές (στήλες) αναδιατάσσονται, παραμένει ίσο με μηδέν.
Όταν πολλαπλασιάζονται όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς (στήλης) ενός πίνακα με έναν αυθαίρετο αριθμό k εκτός από το μηδέν, η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει είναι ίση με την ορίζουσα του αρχικού πίνακα πολλαπλασιαζόμενη επί k. Εάν η ορίζουσα του αρχικού πίνακα είναι ίση με μηδέν, τότε αφού πολλαπλασιαστούν όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε γραμμής ή στήλης με τον αριθμό k, η ορίζουσα του προκύπτοντος πίνακα θα είναι επίσης ίση με μηδέν.
Προσθέτοντας στα στοιχεία μιας ορισμένης σειράς (στήλης) ενός πίνακα τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς (στήλης) του πίνακα, πολλαπλασιαζόμενα με έναν ορισμένο αριθμό k, δεν αλλάζουν την ορίζουσα του.

Η ουσία της μεθόδου των στοιχειωδών μετασχηματισμώνσυνίσταται στη μείωση του πίνακα του οποίου η κατάταξη πρέπει να βρούμε σε τραπεζοειδή (σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, σε ανώτερο τριγωνικό) χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς.

Γιατί γίνεται αυτό; Η κατάταξη των πινάκων αυτού του τύπου είναι πολύ εύκολο να βρεθεί. Είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών που περιέχουν τουλάχιστον ένα μη μηδενικό στοιχείο. Και επειδή η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει κατά την εκτέλεση στοιχειωδών μετασχηματισμών, η τιμή που προκύπτει θα είναι η κατάταξη του αρχικού πίνακα.

Δίνουμε απεικονίσεις πινάκων, μία από τις οποίες θα πρέπει να ληφθεί μετά από μετασχηματισμούς. Η εμφάνισή τους εξαρτάται από τη σειρά της μήτρας.

Αυτές οι εικόνες είναι πρότυπα στα οποία θα μετασχηματίσουμε τον πίνακα Α.

Ας περιγράψουμε αλγόριθμος μεθόδου.

Ας χρειαστεί να βρούμε την κατάταξη ενός μη μηδενικού πίνακα Α τάξης (το p μπορεί να είναι ίσο με n).

Ετσι, . Ας πολλαπλασιάσουμε όλα τα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα Α με . Σε αυτή την περίπτωση, λαμβάνουμε έναν ισοδύναμο πίνακα, που τον δηλώνουμε A (1):

Στα στοιχεία της δεύτερης σειράς του προκύπτοντος πίνακα A (1) προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της πρώτης σειράς, πολλαπλασιαζόμενα επί . Στα στοιχεία της τρίτης γραμμής προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της πρώτης γραμμής, πολλαπλασιαζόμενα επί . Και ούτω καθεξής μέχρι τη γραμμή p-th. Ας πάρουμε έναν ισοδύναμο πίνακα, τον συμβολίζουμε με Α (2):

Εάν όλα τα στοιχεία του προκύπτοντος πίνακα που βρίσκονται σε σειρές από το δεύτερο έως το p-th είναι ίσα με μηδέν, τότε η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι ίση με ένα και, κατά συνέπεια, η κατάταξη του αρχικού πίνακα είναι ίση σε ένα.

Εάν στις γραμμές από το δεύτερο έως το p-th υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό στοιχείο, τότε συνεχίζουμε να πραγματοποιούμε μετασχηματισμούς. Επιπλέον, ενεργούμε ακριβώς με τον ίδιο τρόπο, αλλά μόνο με το τμήμα του πίνακα Α (2) που σημειώνεται στο σχήμα.

Αν , τότε αναδιατάσσουμε τις σειρές και (ή) τις στήλες του πίνακα A (2) έτσι ώστε το «νέο» στοιχείο να γίνει μη μηδενικό.

Έστω A ένας πίνακας μεγεθών m\ φορές n και k ένας φυσικός αριθμός που δεν υπερβαίνει τα m και n: k\leqslant\min$m;n$. Μικρή kth σειράΟ πίνακας A είναι ο προσδιοριστής ενός πίνακα k-ης τάξης που σχηματίζεται από τα στοιχεία στη τομή αυθαίρετα επιλεγμένων k σειρών και k στηλών του πίνακα A. Όταν δηλώνουμε δευτερεύοντες δείκτες, θα υποδεικνύουμε τους αριθμούς των επιλεγμένων σειρών ως ανώτερους δείκτες και τους αριθμούς των επιλεγμένων στηλών ως κατώτερους δείκτες, ταξινομώντας τους σε αύξουσα σειρά.

Παράδειγμα 3.4.Γράψτε ανηλίκους διαφορετικών τάξεων του πίνακα

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Λύση.Ο πίνακας Α έχει διαστάσεις 3\times4 . Έχει: 12 ανηλίκους 1ης τάξης, για παράδειγμα, ανήλικα M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 ανήλικοι 2ης τάξης, για παράδειγμα, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 ανήλικοι τρίτης τάξης, για παράδειγμα,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

Σε έναν πίνακα Α με διαστάσεις m\ φορές n, καλείται η ελάσσονα r-ης τάξης βασικός, αν είναι μη μηδενικό και όλα τα δευτερεύοντα της τάξης (r+1)-ro είναι ίσα με μηδέν ή δεν υπάρχουν καθόλου.

Κατάταξη μήτραςονομάζεται η τάξη του βασικού ελάσσονος. Δεν υπάρχει ελάσσονος βάσης σε μηδενικό πίνακα. Επομένως, η κατάταξη ενός μηδενικού πίνακα είναι, εξ ορισμού, ίση με μηδέν. Η κατάταξη του πίνακα Α συμβολίζεται με \όνομα χειριστή(rg)A.

Παράδειγμα 3.5.Βρείτε όλα τα βασικά ανήλικα και την κατάταξη μήτρας

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Λύση.Όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία τρίτης τάξης αυτού του πίνακα είναι ίσα με μηδέν, καθώς αυτοί οι ορίζοντες έχουν μηδενική τρίτη σειρά. Επομένως, μόνο ένα δευτερεύον δευτερεύον στοιχείο που βρίσκεται στις δύο πρώτες σειρές του πίνακα μπορεί να είναι βασικό. Περνώντας από 6 πιθανά ανήλικα, επιλέγουμε μη μηδενικά

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Καθένα από αυτά τα πέντε ανήλικα είναι ένα βασικό. Επομένως, η κατάταξη του πίνακα είναι 2.

Σημειώσεις 3.2

1. Αν σε έναν πίνακα όλα τα ελάσσονα της kth τάξης είναι ίσα με μηδέν, τότε τα δευτερεύοντα ανώτατης τάξης είναι επίσης ίσα με μηδέν. Πράγματι, επεκτείνοντας την ελάσσονα της τάξης (k+1)-ro σε οποιαδήποτε σειρά, λαμβάνουμε το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων αυτής της σειράς από τα δευτερεύοντα της kth τάξης, και είναι ίσα με μηδέν.

2. Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με την υψηλότερη τάξη του μη μηδενικού δευτερεύοντος αυτού του πίνακα.

3. Εάν ένας τετράγωνος πίνακας είναι μη ενικός, τότε η κατάταξή του είναι ίση με τη σειρά του. Εάν ένας τετραγωνικός πίνακας είναι ενικός, τότε η κατάταξή του είναι μικρότερη από τη σειρά του.

4. Οι ονομασίες χρησιμοποιούνται και για την κατάταξη \όνομα χειριστή(Rg)A,~ \όνομα χειριστή(rang)A,~ \όνομα χειριστή(κατάταξη)A.

5. Κατάταξη μήτρας μπλοκορίζεται ως η κατάταξη ενός κανονικού (αριθμητικού) πίνακα, δηλ. ανεξάρτητα από τη δομή του μπλοκ του. Σε αυτήν την περίπτωση, η κατάταξη ενός πίνακα μπλοκ δεν είναι μικρότερη από τις τάξεις των μπλοκ του: \όνομα χειριστή(rg)(A\mid B)\geqslant\όνομα χειριστή(rg)AΚαι \όνομα χειριστή(rg)(A\mid B)\geqslant\όνομα χειριστή(rg)B, αφού όλα τα δευτερεύοντα του πίνακα A (ή B ) είναι επίσης ελάσσονα του πίνακα μπλοκ (A\mid B) .

Θεωρήματα με βάση το ελάσσονα και την κατάταξη του πίνακα

Ας εξετάσουμε τα κύρια θεωρήματα που εκφράζουν τις ιδιότητες της γραμμικής εξάρτησης και της γραμμικής ανεξαρτησίας των στηλών (γραμμών) ενός πίνακα.

Θεώρημα 3.1 με βάση το δευτερεύον.Σε έναν αυθαίρετο πίνακα Α, κάθε στήλη (σειρά) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών (γραμμών) στις οποίες βρίσκεται το βασικό ελάσσονα.

Πράγματι, χωρίς απώλεια γενικότητας, υποθέτουμε ότι σε έναν πίνακα Α μεγέθους m\ φορές n το βασικό ελάσσονα βρίσκεται στις πρώτες r σειρές και στις πρώτες r στήλες. Εξετάστε την ορίζουσα

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

που προκύπτει με την αντιστοίχιση των αντίστοιχων στοιχείων της ης σειράς και της kης στήλης στο βασικό μινόρε του πίνακα Α. Σημειώστε ότι για οποιαδήποτε 1\leqslant s\leqslant mκαι αυτή η ορίζουσα ισούται με μηδέν. Αν s\leqslant r ή k\leqslant r , τότε η ορίζουσα D περιέχει δύο ίδιες γραμμές ή δύο ίδιες στήλες. Αν s>r και k>r, τότε η ορίζουσα D είναι ίση με μηδέν, αφού είναι δευτερεύουσα τάξης (r+l)-ro. Επεκτείνοντας την ορίζουσα κατά μήκος της τελευταίας γραμμής, παίρνουμε

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

όπου D_(r+1\,j) είναι τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων της τελευταίας σειράς. Σημειώστε ότι D_(r+1\,r+1)\ne0 αφού πρόκειται για δευτερεύουσα βάση. Να γιατί

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Οπου \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

Γράφοντας την τελευταία ισότητα για s=1,2,\ldots,m, παίρνουμε

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

εκείνοι. kth στήλη (για οποιαδήποτε 1\leqslant k\leqslant n) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών του βασικού ελάσσονος, το οποίο έπρεπε να αποδείξουμε.

Το θεώρημα ελάσσονος βάσης χρησιμεύει για να αποδείξει τα ακόλουθα σημαντικά θεωρήματα.

Προϋπόθεση για την ορίζουσα να είναι μηδέν

Θεώρημα 3.2 (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για να είναι η ορίζουσα μηδέν).Για να είναι μια ορίζουσα ίση με το μηδέν, είναι απαραίτητο και αρκετό μια από τις στήλες της (μία από τις σειρές της) να είναι γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων στηλών (γραμμών).

Πράγματι, η αναγκαιότητα προκύπτει από το θεώρημα ελάσσονος βάσης. Αν η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα τάξης n είναι ίση με μηδέν, τότε η κατάταξή του είναι μικρότερη από n, δηλ. τουλάχιστον μία στήλη δεν περιλαμβάνεται στη βασική ελάσσονα. Τότε αυτή η επιλεγμένη στήλη, από το Θεώρημα 3.1, είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών στις οποίες βρίσκεται το βασικό ελάσσονα. Προσθέτοντας, εάν χρειάζεται, σε αυτόν τον συνδυασμό και άλλες στήλες με μηδενικούς συντελεστές, προκύπτει ότι η επιλεγμένη στήλη είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων στηλών του πίνακα. Η επάρκεια προκύπτει από τις ιδιότητες της ορίζουσας. Αν, για παράδειγμα, η τελευταία στήλη A_n της ορίζουσας \det(A_1~A_2~\cdots~A_n)εκφράζεται γραμμικά μέσα από τα υπόλοιπα

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

στη συνέχεια προσθέτοντας στη στήλη A_n A_1 πολλαπλασιασμένη με (-\lambda_1), στη συνέχεια στη στήλη A_2 πολλαπλασιασμένη με (-\lambda_2) κ.λπ. στήλη A_(n-1) πολλαπλασιαζόμενη επί (-\λάμδα_(n-1)) παίρνουμε την ορίζουσα \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o)με μηδενική στήλη ίση με μηδέν (ιδιότητα 2 της ορίζουσας).

Αμετάβλητη κατάταξη πίνακα κάτω από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς

Θεώρημα 3.3 (για την αναλλοίωτη κατάταξη κάτω από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς). Κατά τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των στηλών (γραμμών) ενός πίνακα, η κατάταξή του δεν αλλάζει.

Πράγματι, ας είναι. Ας υποθέσουμε ότι ως αποτέλεσμα ενός στοιχειώδους μετασχηματισμού των στηλών του πίνακα Α λάβαμε τον πίνακα Α". Εάν πραγματοποιήθηκε μετασχηματισμός τύπου Ι (μετάθεση δύο στηλών), τότε οποιοδήποτε δευτερεύον (r+l)-ro της τάξης του πίνακα Α" είναι είτε ίσο με το αντίστοιχο δευτερεύον (r+l )-ro της τάξης του πίνακα Α, είτε διαφέρει από αυτόν ως προς το πρόσημο (ιδιότητα 3 της ορίζουσας). Εάν πραγματοποιήθηκε μετασχηματισμός τύπου II (πολλαπλασιάζοντας τη στήλη με τον αριθμό \λάμδα\ne0 ), τότε οποιαδήποτε δευτερεύουσα (r+l)-ro της τάξης του πίνακα A" είναι είτε ίση με την αντίστοιχη ελάσσονα (r+l) -ro της τάξης του πίνακα A ή διαφορετικός από αυτόν παράγοντας \λάμδα\ne0 (ιδιότητα 6 της ορίζουσας εάν πραγματοποιήθηκε μετασχηματισμός τύπου III (προσθήκη σε μια στήλη άλλη στήλη πολλαπλασιαζόμενη με τον αριθμό \Λάμδα). ελάσσονα της (r+1) ης τάξης του πίνακα Α" είναι είτε ίση με την αντίστοιχη δευτερεύουσα. (r+1)-η τάξη του πίνακα Α (ιδιότητα 9 της ορίζουσας), είτε είναι ίση με το άθροισμα των δύο δευτερεύουσες (r+l)-ro της τάξης του πίνακα Α (ιδιότητα 8 της ορίζουσας). Επομένως, κάτω από έναν στοιχειώδη μετασχηματισμό οποιουδήποτε τύπου, όλα τα δευτερεύοντα (r+l)-ro της τάξης του πίνακα A" είναι ίσα με μηδέν, αφού όλα τα δευτερεύοντα (r+l)-ro της τάξης του πίνακα A είναι ίση με μηδέν, έχει αποδειχθεί ότι κάτω από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς στηλών ο πίνακας κατάταξης δεν μπορεί να αυξηθεί, δεδομένου ότι οι μετασχηματισμοί αντίστροφοι προς τους στοιχειώδεις είναι στοιχειώδεις, η κατάταξη του πίνακα δεν μπορεί να μειωθεί κάτω από τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των στηλών, δηλ. απέδειξε ότι η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει υπό στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των σειρών.

Συμπέρασμα 1. Εάν μια σειρά (στήλη) ενός πίνακα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων σειρών του (στήλες), τότε αυτή η σειρά (στήλη) μπορεί να διαγραφεί από τον πίνακα χωρίς να αλλάξει η κατάταξή του.

Πράγματι, μια τέτοια συμβολοσειρά μπορεί να μηδενιστεί χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς και μια μηδενική συμβολοσειρά δεν μπορεί να συμπεριληφθεί στη βασική ελάσσονα.

Συμπέρασμα 2. Εάν ο πίνακας μειωθεί στην απλούστερη μορφή (1.7), τότε

\όνομα χειριστή(rg)A=\όνομα χειριστή(rg)\Λάμδα=r\,.

Πράγματι, ο πίνακας της απλούστερης μορφής (1.7) έχει ελάσσονα βάσης της τάξης r.

Συμπέρασμα 3. Κάθε μη ενικός τετραγωνικός πίνακας είναι στοιχειώδης, με άλλα λόγια, οποιοσδήποτε μη ενικός τετραγωνικός πίνακας είναι ισοδύναμος με έναν πίνακα ταυτότητας της ίδιας τάξης.

Πράγματι, αν το Α είναι ένας μη ενικός τετραγωνικός πίνακας νης τάξης, τότε \όνομα χειριστή(rg)A=n(βλ. παράγραφο 3 των σχολίων 3.2). Επομένως, φέρνοντας τον πίνακα A στην απλούστερη μορφή (1.7) με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, λαμβάνουμε τον πίνακα ταυτότητας \Lambda=E_n , αφού \όνομα χειριστή(rg)A=\όνομα χειριστή(rg)\Λάμδα=n(βλ. Συμπέρασμα 2). Επομένως, ο πίνακας Α είναι ισοδύναμος με τον πίνακα ταυτότητας E_n και μπορεί να ληφθεί από αυτόν ως αποτέλεσμα ενός πεπερασμένου αριθμού στοιχειωδών μετασχηματισμών. Αυτό σημαίνει ότι ο πίνακας Α είναι στοιχειώδης.

Θεώρημα 3.4 (σχετικά με την κατάταξη του πίνακα). Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με τον μέγιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων σειρών αυτού του πίνακα.

Στην πραγματικότητα, ας \όνομα χειριστή(rg)A=r. Τότε ο πίνακας Α έχει r γραμμικά ανεξάρτητες σειρές. Αυτές είναι οι γραμμές στις οποίες βρίσκεται η βασική ελάσσονα. Εάν ήταν γραμμικά εξαρτώμενα, τότε αυτό το δευτερεύον θα ήταν ίσο με μηδέν από το Θεώρημα 3.2, και η κατάταξη του πίνακα A δεν θα ήταν ίση με r. Ας δείξουμε ότι το r είναι ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών, δηλ. οποιεσδήποτε σειρές p εξαρτώνται γραμμικά για p>r. Πράγματι, σχηματίζουμε τον πίνακα B από αυτές τις σειρές p. Εφόσον ο πίνακας Β είναι μέρος του πίνακα Α, τότε \όνομα χειριστή(rg)B\leqslant \όνομα χειριστή(rg)A=r

Αυτό σημαίνει ότι τουλάχιστον μία σειρά του πίνακα Β δεν περιλαμβάνεται στη βασική ελάσσονα αυτού του πίνακα. Τότε, με το θεώρημα ελάσσονος βάσης, ισούται με έναν γραμμικό συνδυασμό των σειρών στις οποίες βρίσκεται το ελάσσονα βάσης. Επομένως, οι σειρές του πίνακα Β εξαρτώνται γραμμικά. Έτσι, ο πίνακας Α έχει το πολύ r γραμμικά ανεξάρτητες σειρές.

Συμπέρασμα 1. Ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών σε έναν πίνακα είναι ίσος με τον μέγιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων στηλών:

\όνομα χειριστή(rg)A=\όνομα χειριστή(rg)A^T.

Αυτή η δήλωση προκύπτει από το Θεώρημα 3.4 εάν την εφαρμόσουμε στις σειρές ενός μετατιθέμενου πίνακα και λάβουμε υπόψη ότι οι δευτερεύουσες δεν αλλάζουν κατά τη μεταφορά (ιδιότητα 1 της ορίζουσας).

Συμπέρασμα 2. Κατά τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των σειρών ενός πίνακα, διατηρείται η γραμμική εξάρτηση (ή γραμμική ανεξαρτησία) οποιουδήποτε συστήματος στηλών αυτού του πίνακα.

Στην πραγματικότητα, ας επιλέξουμε οποιεσδήποτε k στήλες ενός δεδομένου πίνακα A και ας συνθέσουμε τον πίνακα B από αυτές. Ας υποθέσουμε ότι ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών των σειρών του πίνακα Α, προέκυψε ο πίνακας Α" και ως αποτέλεσμα των ίδιων μετασχηματισμών των σειρών του πίνακα Β, προέκυψε ο πίνακας Β". Με το Θεώρημα 3.3 \όνομα χειριστή(rg)B"=\όνομα χειριστή(rg)B. Επομένως, εάν οι στήλες του πίνακα Β ήταν γραμμικά ανεξάρτητες, π.χ. k=\όνομα χειριστή(rg)B(βλ. Συμπέρασμα 1), τότε οι στήλες του πίνακα Β" είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητες, αφού k=\όνομα χειριστή(rg)B". Αν οι στήλες του πίνακα Β ήταν γραμμικά εξαρτημένες (k>\όνομα χειριστή(rg)B), τότε οι στήλες του πίνακα Β" εξαρτώνται επίσης γραμμικά (k>\όνομα χειριστή(rg)B"). Συνεπώς, για οποιεσδήποτε στήλες του πίνακα Α, η γραμμική εξάρτηση ή η γραμμική ανεξαρτησία διατηρείται κάτω από μετασχηματισμούς στοιχειωδών σειρών.

Σημειώσεις 3.3

1. Σύμφωνα με το Συμπέρασμα 1 του Θεωρήματος 3.4, η ιδιότητα των στηλών που υποδεικνύεται στο Συμπέρασμα 2 ισχύει επίσης για οποιοδήποτε σύστημα σειρών πινάκων εάν εκτελούνται στοιχειώδεις μετασχηματισμοί μόνο στις στήλες του.

2. Το συμπέρασμα 3 του Θεωρήματος 3.3 μπορεί να βελτιωθεί ως εξής: οποιοσδήποτε μη ενικός τετραγωνικός πίνακας, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς μόνο των γραμμών του (ή μόνο των στηλών του), μπορεί να αναχθεί σε έναν πίνακα ταυτότητας της ίδιας τάξης.

Στην πραγματικότητα, χρησιμοποιώντας μόνο στοιχειώδεις μετασχηματισμούς σειρών, οποιοσδήποτε πίνακας Α μπορεί να αναχθεί στην απλοποιημένη μορφή \Λάμδα (Εικ. 1.5) (βλ. Θεώρημα 1.1). Δεδομένου ότι ο πίνακας A είναι μη ενικός (\det(A)\ne0), οι στήλες του είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Αυτό σημαίνει ότι οι στήλες του πίνακα \Λάμδα είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητες (Συνέπεια 2 του Θεωρήματος 3.4). Επομένως, η απλοποιημένη μορφή \Λάμδα ενός μη ενικού πίνακα Α συμπίπτει με την απλούστερη μορφή του (Εικ. 1.6) και είναι ο πίνακας ταυτότητας \Λάμδα=Ε (βλ. Συμπέρασμα 3 του Θεωρήματος 3.3). Έτσι, μετασχηματίζοντας μόνο τις σειρές ενός μη μοναδικού πίνακα, μπορεί να αναχθεί στον πίνακα ταυτότητας. Παρόμοιος συλλογισμός ισχύει για στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των στηλών ενός μη ενικού πίνακα.

Κατάταξη προϊόντος και άθροισμα πινάκων

Θεώρημα 3.5 (για την κατάταξη του γινομένου των πινάκων). Η κατάταξη του γινομένου των πινάκων δεν υπερβαίνει την κατάταξη των παραγόντων:

\όνομα χειριστή(rg)(A\cdot B)\leqslant \min$\όνομα χειριστή(rg)A,\όνομα χειριστή(rg)B$.

Πράγματι, έστω ότι οι πίνακες Α και Β έχουν μεγέθη m\ φορές p και p\ φορές n . Ας αντιστοιχίσουμε στον πίνακα Α τον πίνακα C=AB\colon\,(A\mid C). Φυσικά αυτό \όνομα χειριστή(rg)C\leqslant\όνομα χειριστή(rg)(A\mid C), αφού το C είναι μέρος του πίνακα (A\mid C) (βλ. παράγραφο 5 των παρατηρήσεων 3.2). Σημειώστε ότι κάθε στήλη C_j, σύμφωνα με την πράξη πολλαπλασιασμού του πίνακα, είναι ένας γραμμικός συνδυασμός στηλών A_1,A_2,\ldots,A_pμήτρες A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Μια τέτοια στήλη μπορεί να διαγραφεί από τον πίνακα (A\mid C) χωρίς να αλλάξει η κατάταξή της (Συνέπεια 1 του Θεωρήματος 3.3). Διασχίζοντας όλες τις στήλες του πίνακα C, παίρνουμε: \όνομα χειριστή(rg)(A\mid C)=\όνομα χειριστή(rg)A. Από εδώ, \όνομα χειριστή(rg)C\leqslant\όνομα χειριστή(rg)(A\mid C)=\όνομα χειριστή(rg)A. Ομοίως, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η προϋπόθεση ικανοποιείται ταυτόχρονα \όνομα χειριστή(rg)C\leqslant\όνομα χειριστή(rg)B, και βγάλτε ένα συμπέρασμα σχετικά με την εγκυρότητα του θεωρήματος.

Συνέπεια. Αν Ο Α είναι λοιπόν ένας μη ενικός τετραγωνικός πίνακαςΚαι \όνομα χειριστή(rg)(AB)= \όνομα χειριστή(rg)B, δηλ. η κατάταξη ενός πίνακα δεν αλλάζει όταν πολλαπλασιάζεται από αριστερά ή δεξιά με έναν μη ενικό τετράγωνο πίνακα.

Θεώρημα 3.6 για την κατάταξη των αθροισμάτων πινάκων. Η κατάταξη του αθροίσματος των πινάκων δεν υπερβαίνει το άθροισμα των βαθμών των όρων:

\όνομα χειριστή(rg)(A+B)\leqslant \όνομα χειριστή(rg)A+\όνομα χειριστή(rg)B.

Πράγματι, ας δημιουργήσουμε μια μήτρα (A+B\mid A\mid B). Σημειώστε ότι κάθε στήλη του πίνακα A+B είναι ένας γραμμικός συνδυασμός στηλών των πινάκων Α και Β. Να γιατί \όνομα χειριστή(rg)(A+B\mid A\mid B)= \όνομα χειριστή(rg)(A\mid B). Λαμβάνοντας υπόψη ότι ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών στον πίνακα (A\mid B) δεν υπερβαίνει \όνομα χειριστή(rg)A+\όνομα χειριστή(rg)B,ένα \όνομα χειριστή(rg)(A+B)\leqslant \όνομα χειριστή(rg)(A+B\mid A\mid B)(βλ. ενότητα 5 των Παρατηρήσεων 3.2), λαμβάνουμε την ανισότητα που αποδεικνύεται.