Συναρτήσεις συσχέτισης σήματος. Σήματα και Γραμμικά Συστήματα
Οι συναρτήσεις συσχέτισης σήματος χρησιμοποιούνται για ολοκληρωμένες ποσοτικές εκτιμήσεις των σχημάτων σημάτων και του βαθμού ομοιότητάς τους μεταξύ τους.
Συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης (ACF) σημάτων (συνάρτηση συσχέτισης, CF). Σε σχέση με ντετερμινιστικά σήματα με πεπερασμένη ενέργεια, το ACF είναι ένα ποσοτικό αναπόσπαστο χαρακτηριστικό του σχήματος του σήματος και αντιπροσωπεύει το ολοκλήρωμα του γινομένου δύο αντιγράφων του σήματος s(t), μετατοπισμένα μεταξύ τους κατά το χρόνο t:
B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.25)
Όπως προκύπτει από αυτήν την έκφραση, το ACF είναι το βαθμωτό γινόμενο του σήματος και το αντίγραφό του μέσα λειτουργική εξάρτησηαπό μεταβλητό μέγεθοςμετατόπιση τιμών t. Κατά συνέπεια, το ACF έχει τη φυσική διάσταση της ενέργειας και στο t = 0 η τιμή του ACF είναι άμεσα ίση με την ενέργεια του σήματος:
B s (0) =s(t) 2 dt = E s .
Η λειτουργία ACF είναι συνεχής και ομοιόμορφη. Το τελευταίο είναι εύκολο να επαληθευτεί αντικαθιστώντας τη μεταβλητή t = t-t στην έκφραση (2.25):
B s (t) = s(t-t) s(t) dt = s(t) s(t-t) dt = B s (-t). (2,25")
Λαμβάνοντας υπόψη την ισοτιμία, η γραφική αναπαράσταση του ACF παράγεται μόνο για θετικές τιμές του t. Στην πράξη, τα σήματα καθορίζονται συνήθως στο διάστημα των τιμών θετικών ορισμάτων από 0-T. Το σύμβολο +t στην έκφραση (2.25) σημαίνει ότι καθώς οι τιμές του t αυξάνονται, ένα αντίγραφο του σήματος s(t+t) μετατοπίζεται προς τα αριστερά κατά μήκος του άξονα t και υπερβαίνει το 0, κάτι που απαιτεί μια αντίστοιχη επέκταση του το σήμα στην περιοχή των αρνητικών τιμών του επιχειρήματος. Και δεδομένου ότι στους υπολογισμούς το διάστημα για τον καθορισμό t είναι, κατά κανόνα, πολύ μικρότερο από το διάστημα για τον καθορισμό του σήματος, είναι πιο πρακτικό να μετατοπιστεί το αντίγραφο του σήματος προς τα αριστερά κατά μήκος του άξονα ορίσματος, δηλ. χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση s(t-t) αντί για s(t+t) στην έκφραση (2.25).
Καθώς η τιμή της μετατόπισης t για πεπερασμένα σήματα αυξάνεται, η προσωρινή επικάλυψη του σήματος με το αντίγραφό του μειώνεται και το κλιμακωτό γινόμενο τείνει στο μηδέν.
Παράδειγμα.Στο διάστημα (0,T), δίνεται ένας ορθογώνιος παλμός με τιμή πλάτους ίση με Α. Υπολογίστε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του παλμού.
Όταν το αντίγραφο του παλμού μετατοπίζεται κατά μήκος του άξονα t προς τα δεξιά, στο 0≤t≤T τα σήματα επικαλύπτονται στο διάστημα από t στο T. Γίνεται τελεία:
B s (t) = A 2 dt = A 2 (T-t).
Κατά τη μετατόπιση ενός αντιγράφου του παλμού προς τα αριστερά, στο -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:
B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).
Στο |t| > T το σήμα και το αντίγραφό του δεν έχουν σημεία τομής και το βαθμωτό γινόμενο των σημάτων είναι μηδέν (το σήμα και το μετατοπισμένο αντίγραφό του γίνονται ορθογώνια).
Συνοψίζοντας τους υπολογισμούς, μπορούμε να γράψουμε:
B s (t) = 
.
Στην περίπτωση περιοδικών σημάτων, το ACF υπολογίζεται σε μία περίοδο T, με τον μέσο όρο του βαθμωτού προϊόντος και του μετατοπισμένου αντιγράφου του εντός της περιόδου:
B s (t) = (1/T)s(t) s(t-t) dt.
Στο t=0, η τιμή του ACF σε αυτή την περίπτωση δεν είναι ίση με την ενέργεια, αλλά με τη μέση ισχύ των σημάτων εντός του διαστήματος T. Το ACF των περιοδικών σημάτων είναι επίσης μια περιοδική συνάρτηση με την ίδια περίοδο T. Για ένα μονοτονικό αρμονικό σήμα, αυτό είναι προφανές. Η πρώτη μέγιστη τιμή ACF θα αντιστοιχεί σε t=0. Όταν το αντίγραφο του σήματος μετατοπίζεται κατά ένα τέταρτο της περιόδου σε σχέση με το πρωτότυπο, οι συναρτήσεις ολοκλήρωσης γίνονται ορθογώνιες μεταξύ τους (cos w o (t-t) = cos (w o t-p/2) º sin w o t) και δίνουν μηδενικό ACF αξία. Όταν μετατοπίζεται κατά t=T/2, το αντίγραφο του σήματος γίνεται αντίθετο προς την κατεύθυνση του ίδιου του σήματος και το βαθμωτό γινόμενο φτάνει στην ελάχιστη τιμή του. Με μια περαιτέρω αύξηση στη μετατόπιση, ξεκινά η αντίστροφη διαδικασία αύξησης των τιμών του βαθμωτού γινομένου, διασταυρώνοντας το μηδέν στο t=3T/2 και επαναλαμβάνοντας τη μέγιστη τιμή στο t=T=2p/w o (cos w o t-2p αντίγραφα σήματος º cos w o t). Μια παρόμοια διαδικασία συμβαίνει για περιοδικά σήματα. ελεύθερη μορφή(Εικ. 2.11).
Σημειώστε ότι το λαμβανόμενο αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από την αρχική φάση του αρμονικού σήματος, η οποία είναι τυπική για οποιαδήποτε περιοδικά σήματα και είναι μία από τις ιδιότητες του ACF.
Για σήματα που δίνονται σε ένα συγκεκριμένο διάστημα, το ACF υπολογίζεται με κανονικοποίηση στο μήκος του διαστήματος:
B s (t) =s(t) s(t+t) dt. (2.26)
Η αυτοσυσχέτιση ενός σήματος μπορεί επίσης να εκτιμηθεί από τη συνάρτηση των συντελεστών αυτοσυσχέτισης, οι οποίοι υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον τύπο (με βάση κεντρικά σήματα):
r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2.
Συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης (CCF) των σημάτων (συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης, CCF) δείχνει τόσο τον βαθμό ομοιότητας στο σχήμα δύο σημάτων όσο και τη σχετική θέση τους μεταξύ τους κατά μήκος της συντεταγμένης (ανεξάρτητη μεταβλητή), για την οποία ο ίδιος τύπος (2.25) είναι χρησιμοποιείται όπως για το ACF, αλλά κάτω από το ολοκλήρωμα υπάρχει ένα γινόμενο δύο διαφορετικών σημάτων, το ένα από τα οποία μετατοπίζεται κατά το χρόνο t:
B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t+t) dt. (2.27)
Κατά την αντικατάσταση της μεταβλητής t = t-t στον τύπο (2.4.3), λαμβάνουμε:
B 12 (t) =s 1 (t-t) s 2 (t) dt =s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)
Ρύζι. 2.12. Σήματα και VKF
Ως εκ τούτου, η συνθήκη ισοτιμίας δεν ικανοποιείται για το CCF και οι τιμές CCF δεν απαιτείται να έχουν μέγιστο στο t = 0. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στο Σχ. 2.12, όπου δίδονται δύο πανομοιότυπα σήματα με κέντρα στα σημεία 0.5 και 1.5. Υπολογισμός με χρήση του τύπου (2.27) με σταδιακή αύξηση των τιμών t σημαίνει διαδοχικές μετατοπίσεις του σήματος s2(t) προς τα αριστερά κατά μήκος του άξονα χρόνου (για κάθε τιμή του s1(t), οι τιμές s2(t+ t) λαμβάνονται για ολοκλήρωμα και πολλαπλασιασμό).
Στο t=0 τα σήματα είναι ορθογώνια και η τιμή του B 12 (t)=0. Το μέγιστο B 12 (t) θα παρατηρηθεί όταν το σήμα s2(t) μετατοπιστεί προς τα αριστερά κατά την τιμή t=1, στην οποία τα σήματα s1(t) και s2(t+t) συνδυάζονται πλήρως. Κατά τον υπολογισμό των τιμών του B 21 (-t), μια παρόμοια διαδικασία εκτελείται με διαδοχική μετατόπιση του σήματος s1(t) προς τα δεξιά κατά μήκος του άξονα του χρόνου με σταδιακή αύξηση των αρνητικών τιμών t, και κατά συνέπεια το Οι τιμές του B 21 (-t) είναι μια απεικόνιση (σε σχέση με τον άξονα t=0) των τιμών B 12 (t) και αντίστροφα. Στο Σχ. 2.13 αυτό φαίνεται ξεκάθαρα.
Ρύζι. 2.13. Σήματα και VKF
Έτσι, για να υπολογιστεί η πλήρης μορφή του TCF, ο αριθμητικός άξονας t πρέπει να περιλαμβάνει αρνητικές τιμές και η αλλαγή του πρόσημου του t στον τύπο (2.27) ισοδυναμεί με την αναδιάταξη των σημάτων.
Για περιοδικά σήματα, η έννοια του CCF συνήθως δεν εφαρμόζεται, με εξαίρεση τα σήματα με την ίδια περίοδο, για παράδειγμα, τα σήματα εισόδου και εξόδου συστημάτων κατά τη μελέτη των χαρακτηριστικών συστημάτων.
Η συνάρτηση των συντελεστών διασυσχέτισης δύο σημάτων υπολογίζεται από τον τύπο (με βάση τα κεντρικά σήματα):
r sv (t) = cos j(t) = ás(t), v(t+t)ñ /||s(t)|| ||v(t)||. (2.28)
Η τιμή των συντελεστών διασταυρούμενης συσχέτισης μπορεί να κυμαίνεται από -1 έως 1.
ΣΗΜΑΤΑ Και ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Σήματα και γραμμικά συστήματα. Συσχέτιση σημάτων
Θέμα 6. ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ
Ο ακραίος φόβος και η υπερβολική φλόγα θάρρους αναστατώνουν το στομάχι και προκαλούν διάρροια.
Μισέλ Μονταίν. Γάλλος δικηγόρος-στοχαστής, 16ος αιώνας.
Αυτός είναι ο αριθμός! Οι δύο συναρτήσεις έχουν 100% συσχέτιση με την τρίτη και είναι ορθογώνιες μεταξύ τους. Λοιπόν, ο Παντοδύναμος είχε αστεία κατά τη δημιουργία του Κόσμου.
Anatoly Pyshmintsev. Γεωφυσικός του Νοβοσιμπίρσκ της σχολής των Ουραλίων, 20ος αιώνας.
1. Συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης σημάτων. Η έννοια των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης (ACFs). ACF χρονικά περιορισμένων σημάτων. ACF περιοδικών σημάτων. Συναρτήσεις αυτοσυνδιακύμανσης (ACF). AKF διακριτά σήματα. ACF θορυβωδών σημάτων. ACF σημάτων κωδικού.
2. Συναρτήσεις διασταυρούμενης συσχέτισης σημάτων (CCF). Συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης (CCF). Διασταυρούμενη συσχέτιση θορυβωδών σημάτων. VCF διακριτών σημάτων. Εκτίμηση περιοδικών σημάτων σε θόρυβο. Συνάρτηση συντελεστών αμοιβαίας συσχέτισης.
3. Φασματικές πυκνότητες συναρτήσεων συσχέτισης. Φασματική πυκνότητα ACF. Διάστημα συσχέτισης σήματος. Φασματική πυκνότητα VKF. Υπολογισμός συναρτήσεων συσχέτισης με χρήση FFT.
εισαγωγή
Η συσχέτιση, και η ειδική περίπτωση της για κεντρικά σήματα - συνδιακύμανση, είναι μια μέθοδος ανάλυσης σημάτων. Παρουσιάζουμε μία από τις επιλογές για τη χρήση της μεθόδου. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα σήμα s(t), το οποίο μπορεί (ή όχι) να περιέχει κάποια ακολουθία x(t) πεπερασμένου μήκους T, η χρονική θέση της οποίας μας ενδιαφέρει. Για την αναζήτηση αυτής της ακολουθίας σε ένα χρονικό παράθυρο μήκους T που ολισθαίνει κατά μήκος του σήματος s(t), υπολογίζονται τα κλιμακωτά γινόμενα των σημάτων s(t) και x(t). Έτσι, «εφαρμόζουμε» το επιθυμητό σήμα x(t) στο σήμα s(t), ολισθαίνοντας κατά μήκος του ορίσματός του, και από την τιμή του βαθμωτού γινόμενου υπολογίζουμε τον βαθμό ομοιότητας των σημάτων στα σημεία σύγκρισης.
Η ανάλυση συσχέτισης καθιστά δυνατή τη διαπίστωση σε σήματα (ή σε σειρά ψηφιακών δεδομένων σημάτων) της παρουσίας μιας ορισμένης σύνδεσης μεταξύ των αλλαγών στις τιμές του σήματος σε μια ανεξάρτητη μεταβλητή, δηλαδή όταν μεγάλες τιμές ενός σήματος (σχετική στις μέσες τιμές σήματος) σχετίζονται με μεγάλες τιμές ενός άλλου σήματος (θετική συσχέτιση) ή, αντίθετα, μικρές τιμές ενός σήματος σχετίζονται με μεγάλες τιμές ενός άλλου (αρνητική συσχέτιση) ή τα δεδομένα του δύο σήματα δεν σχετίζονται με κανέναν τρόπο (μηδενική συσχέτιση).
Στον λειτουργικό χώρο των σημάτων, αυτός ο βαθμός σύνδεσης μπορεί να εκφραστεί σε κανονικοποιημένες μονάδες του συντελεστή συσχέτισης, δηλαδή στο συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων σήματος και, κατά συνέπεια, θα λάβει τιμές από 1 (πλήρη σύμπτωση του σήματα) έως -1 (εντελώς αντίθετο) και δεν εξαρτάται από την τιμή (κλίμακα) ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ.
Στην έκδοση αυτοσυσχέτισης, μια παρόμοια τεχνική χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του βαθμωτό γινόμενο του σήματος s(t) με το δικό του αντίγραφο να ολισθαίνει κατά μήκος του ορίσματος. Η αυτόματη συσχέτιση σάς επιτρέπει να εκτιμήσετε τη μέση στατιστική εξάρτηση των δειγμάτων τρέχοντος σήματος από τις προηγούμενες και τις επόμενες τιμές τους (τη λεγόμενη ακτίνα συσχέτισης των τιμών σήματος), καθώς και να προσδιορίσετε την παρουσία περιοδικά επαναλαμβανόμενων στοιχείων στο σήμα.
Οι μέθοδοι συσχέτισης έχουν ιδιαίτερη σημασία στην ανάλυση τυχαίων διεργασιών για τον εντοπισμό μη τυχαίων στοιχείων και την αξιολόγηση των μη τυχαίων παραμέτρων αυτών των διεργασιών.
Σημειώστε ότι υπάρχει κάποια σύγχυση σχετικά με τους όρους «συσχέτιση» και «συνδιακύμανση». Στη μαθηματική βιβλιογραφία, ο όρος «συνδιακύμανση» εφαρμόζεται σε κεντραρισμένες συναρτήσεις και «συσχέτιση» σε αυθαίρετες. ΣΕ τεχνική βιβλιογραφία, και ειδικά στη βιβλιογραφία για τα σήματα και τις μεθόδους επεξεργασίας τους, χρησιμοποιείται συχνά η ακριβώς αντίθετη ορολογία. Αυτό δεν είναι θεμελιώδους σημασίας, αλλά όταν εξοικειωθείτε με λογοτεχνικές πηγές, αξίζει να δώσετε προσοχή στον αποδεκτό σκοπό αυτών των όρων.
6.1. Συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης σημάτων.
Η έννοια των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης των σημάτων . Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (CF - συνάρτηση συσχέτισης) ενός σήματος s(t), πεπερασμένου σε ενέργεια, είναι ένα ποσοτικό αναπόσπαστο χαρακτηριστικό του σχήματος του σήματος, που προσδιορίζει στο σήμα τη φύση και τις παραμέτρους της αμοιβαίας χρονικής σχέσης των δειγμάτων, η οποία εμφανίζεται πάντα για περιοδικά σήματα, καθώς και το διάστημα και ο βαθμός εξάρτησης των τιμών ανάγνωσης σε τρέχοντες χρόνους από το προηγούμενο ιστορικό της τρέχουσας στιγμής. Το ACF προσδιορίζεται από το ολοκλήρωμα του γινομένου δύο αντιγράφων του σήματος s(t), μετατοπισμένα μεταξύ τους κατά το χρόνο t:
Bs(t) =s(t) s(t+t) dt = ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)|| ||s(t+t)|| cos j(t). (6.1.1)
Όπως προκύπτει από αυτήν την έκφραση, το ACF είναι το βαθμωτό γινόμενο του σήματος και το αντίγραφό του σε συναρτησιακή εξάρτηση από τη μεταβλητή τιμή της μετατόπισης t. Αντίστοιχα, το ACF έχει τη φυσική διάσταση της ενέργειας και στο t = 0 η τιμή του ACF είναι άμεσα ίση με την ενέργεια του σήματος και είναι η μέγιστη δυνατή (το συνημίτονο της γωνίας αλληλεπίδρασης του σήματος με τον εαυτό του είναι ίσο με 1 ):
Bs(0) =s(t)2 dt = Es.
Το ACF αναφέρεται σε ζυγές συναρτήσεις, οι οποίες είναι εύκολο να επαληθευτούν αντικαθιστώντας τη μεταβλητή t = t-t στην έκφραση (6.1.1):
Bs(t) = s(t-t) s(t) dt = Bs(-t).
Το μέγιστο ACF, ίσο με την ενέργεια του σήματος στο t=0, είναι πάντα θετικό και η μονάδα ACF σε οποιαδήποτε τιμή της χρονικής μετατόπισης δεν υπερβαίνει την ενέργεια του σήματος. Το τελευταίο προκύπτει άμεσα από τις ιδιότητες του κλιμακωτού γινομένου (όπως και η ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky):
ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t),
cos j(t) = 1 στο t = 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t)|| = Es,
cos j(t)< 1 при t ¹ 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t) < Es.
Ως παράδειγμα στο Σχ. Το 6.1.1 δείχνει δύο σήματα - έναν ορθογώνιο παλμό και έναν παλμό ραδιοφώνου ίδιας διάρκειας T, και τα σχήματα του ACF τους που αντιστοιχούν σε αυτά τα σήματα. Το πλάτος των ταλαντώσεων του ραδιοπαλμού ορίζεται ίσο με το πλάτος του ορθογώνιου παλμού, ενώ οι ενέργειες του σήματος θα είναι επίσης ίδιες, κάτι που επιβεβαιώνεται από τις ίσες τιμές των κεντρικών μεγίστων του ACF. Για πεπερασμένες διάρκειες παλμού, οι διάρκειες ACF είναι επίσης πεπερασμένες και ισούνται με το διπλάσιο της διάρκειας παλμού (όταν ένα αντίγραφο ενός πεπερασμένου παλμού μετατοπίζεται κατά ένα διάστημα της διάρκειάς του, τόσο προς τα αριστερά όσο και προς τα δεξιά, το γινόμενο του παλμός με το αντίγραφό του γίνεται ίσο με μηδέν). Η συχνότητα των ταλαντώσεων του ACF ενός ραδιοπαλμού είναι ίση με τη συχνότητα των ταλαντώσεων της πλήρωσης του ραδιοπαλμού (πλευρικά ελάχιστα και μέγιστα του ACF εμφανίζονται κάθε φορά με διαδοχικές μετατοπίσεις ενός αντιγράφου του ραδιοπαλμού κατά το ήμισυ της περιόδου των ταλαντώσεων της πλήρωσής του).
Δεδομένης της ισοτιμίας, η γραφική αναπαράσταση του ACF συνήθως εκτελείται μόνο για θετικές τιμές του t. Στην πράξη, τα σήματα καθορίζονται συνήθως στο διάστημα των τιμών θετικών ορισμάτων από 0-T. Η έκφραση του πρόσημου +t (6.1.1) σημαίνει ότι καθώς οι τιμές του t αυξάνονται, ένα αντίγραφο του σήματος s(t+t) μετατοπίζεται προς τα αριστερά κατά μήκος του άξονα t και υπερβαίνει το 0. Για ψηφιακά σήματα, Αυτό απαιτεί μια αντίστοιχη επέκταση των δεδομένων στην περιοχή των αρνητικών τιμών ορίσματος. Και δεδομένου ότι στους υπολογισμούς το διάστημα για τον καθορισμό t είναι συνήθως πολύ μικρότερο από το διάστημα για τον καθορισμό του σήματος, είναι πιο πρακτικό να μετακινήσετε το αντίγραφο του σήματος προς τα αριστερά κατά μήκος του άξονα ορίσματος, δηλαδή να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση s(t-t) αντί του s(t+t) στην έκφραση (6.1.1) ).
Bs(t) = s(t) s(t-t) dt. (6.1.1")
Για πεπερασμένα σήματα, καθώς η τιμή της μετατόπισης t αυξάνεται, η προσωρινή επικάλυψη του σήματος με το αντίγραφό του μειώνεται και, κατά συνέπεια, το συνημίτονο της γωνίας αλληλεπίδρασης και το βαθμωτό γινόμενο ως σύνολο τείνουν στο μηδέν:
Το ACF που υπολογίζεται από την κεντραρισμένη τιμή σήματος s(t) είναι αυτοδιακύμανσηλειτουργία σήματος:
Cs(t) = dt, (6.1.2)
όπου ms είναι η μέση τιμή σήματος. Οι συναρτήσεις συνδιακύμανσης σχετίζονται με τις συναρτήσεις συσχέτισης με μια αρκετά απλή σχέση:
Cs(t) = Bs(t) - ms2.
ACF χρονικά περιορισμένων σημάτων. Στην πράξη, τα σήματα που δίνονται σε ένα ορισμένο διάστημα συνήθως μελετώνται και αναλύονται. Για να συγκρίνετε το ACF των σημάτων που καθορίζονται σε διαφορετικά χρονικά διαστήματα, πρακτική χρήσηβρίσκει μια τροποποίηση του ACF κανονικοποιημένη στο μήκος του διαστήματος. Έτσι, για παράδειγμα, όταν καθορίζετε ένα σήμα στο διάστημα:
Bs(t) =s(t) s(t+t) dt. (6.1.3)
Το ACF μπορεί επίσης να υπολογιστεί για ασθενώς αποσβεσμένα σήματα με άπειρη ενέργεια, ως η μέση τιμή του βαθμωτού γινομένου του σήματος και του αντιγράφου του όταν το διάστημα ρύθμισης του σήματος τείνει στο άπειρο:
Bs(t) = 
. (6.1.4)
Το ACF σύμφωνα με αυτές τις εκφράσεις έχει μια φυσική διάσταση ισχύος και ισούται με τη μέση αμοιβαία ισχύ του σήματος και του αντιγράφου του, ανάλογα λειτουργικά με τη μετατόπιση του αντιγράφου.
ACF περιοδικών σημάτων. Η ενέργεια των περιοδικών σημάτων είναι άπειρη, επομένως το ACF των περιοδικών σημάτων υπολογίζεται σε μία περίοδο T, υπολογίζοντας τον μέσο όρο του κλιμακωτού γινόμενου του σήματος και του μετατοπισμένου αντιγράφου του εντός της περιόδου:
Bs(t) = (1/T)s(t) s(t-t) dt. (6.1.5)
Μια μαθηματικά πιο αυστηρή έκφραση:
Bs(t) = 
.
Στο t=0, η τιμή του ACF που κανονικοποιείται στην περίοδο είναι ίση με τη μέση ισχύ των σημάτων εντός της περιόδου. Στην περίπτωση αυτή, το ACF των περιοδικών σημάτων είναι μια περιοδική συνάρτηση με την ίδια περίοδο T. Έτσι, για το σήμα s(t) = A cos(w0t+j0) στο T=2p/w0 έχουμε:
Bs(t) = A cos(w0t+j0) A cos(w0(t-t)+j0) = (A2/2) cos(w0t). (6.1.6)
|
|
Το λαμβανόμενο αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από την αρχική φάση του αρμονικού σήματος, η οποία είναι τυπική για οποιαδήποτε περιοδικά σήματα και είναι μία από τις ιδιότητες του ACF. Χρησιμοποιώντας συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης, μπορείτε να ελέγξετε για περιοδικές ιδιότητες σε τυχόν αυθαίρετα σήματα. Παράδειγμα συνάρτησης αυτοσυσχέτισης περιοδικό σήμαφαίνεται στο Σχ. 6.1.2.
Συναρτήσεις αυτόματης διακύμανσης (AFF) υπολογίζονται ομοίως, χρησιμοποιώντας κεντρικές τιμές σήματος. Ένα αξιοσημείωτο χαρακτηριστικό αυτών των λειτουργιών είναι οι απλές σχέσεις τους με διασποράσήματα ss2 (το τετράγωνο του προτύπου - η τυπική απόκλιση των τιμών του σήματος από τη μέση τιμή). Όπως είναι γνωστό, η τιμή διασποράς είναι ίση με τη μέση ισχύ σήματος, η οποία ακολουθεί:
|Cs(t)| ≤ ss2, Cs(0) = ss2 º ||s(t)||2. (6.1.7)
Οι τιμές FAC που κανονικοποιούνται στην τιμή διακύμανσης είναι συνάρτηση των συντελεστών αυτοσυσχέτισης:
rs(t) = Cs(t)/Cs(0) = Cs(t)/ss2 º cos j(t). (6.1.8)
Αυτή η συνάρτηση ονομάζεται μερικές φορές η «αληθινή» συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Λόγω της κανονικοποίησης, οι τιμές του δεν εξαρτώνται από τις μονάδες (κλίμακα) αναπαράστασης των τιμών σήματος s(t) και χαρακτηρίζουν τον βαθμό γραμμικής σχέσης μεταξύ των τιμών του σήματος ανάλογα με το μέγεθος της μετατόπισης t μεταξύ του σήματος δείγματα. Οι τιμές του rs(t) º cos j(t) μπορεί να ποικίλουν από 1 (πλήρης άμεση συσχέτιση ενδείξεων) έως -1 (αντίστροφη συσχέτιση).
Στο Σχ. Το 6.1.3 δείχνει ένα παράδειγμα σημάτων s(k) και s1(k) = s(k)+θόρυβος με τους συντελεστές FAK που αντιστοιχούν σε αυτά τα σήματα - rs και rs1. Όπως φαίνεται στα γραφήματα, η FAK αποκάλυψε με σιγουριά την παρουσία περιοδικών ταλαντώσεων στα σήματα. Ο θόρυβος στο σήμα s1(k) μείωσε το πλάτος των περιοδικών ταλαντώσεων χωρίς να αλλάξει η περίοδος. Αυτό επιβεβαιώνεται από το γράφημα της καμπύλης Cs/ss1, δηλαδή το FAC του σήματος s(k) με κανονικοποίηση (για σύγκριση) στην τιμή της διασποράς σήματος s1(k), όπου μπορεί κανείς να δει καθαρά ότι παλμοί θορύβου , με πλήρη στατιστική ανεξαρτησία των μετρήσεών τους, προκάλεσαν αύξηση της τιμής Сs1(0) σε σχέση με την τιμή του Cs(0) και κάπως «θόλωσαν» τη συνάρτηση των συντελεστών αυτοσυνδιακύμανσης. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η τιμή του rs(t) των σημάτων θορύβου τείνει στο 1 στο t ® 0 και κυμαίνεται γύρω στο μηδέν στο t ≠ 0, ενώ τα πλάτη των διακυμάνσεων είναι στατιστικά ανεξάρτητα και εξαρτώνται από τον αριθμό των δειγμάτων σήματος (αυτά τείνουν στο μηδέν καθώς αυξάνεται ο αριθμός των δειγμάτων).
ACF διακριτών σημάτων. Όταν το διάστημα δειγματοληψίας δεδομένων είναι Dt = const, ο υπολογισμός ACF εκτελείται στα διαστήματα Dt = Dt και συνήθως γράφεται ως διακριτή λειτουργίααριθμοί n της μετατόπισης δείγματος nDt:
Bs(nDt) = Dtsk×sk-n. (6.1.9)
Τα διακριτά σήματα καθορίζονται συνήθως με τη μορφή αριθμητικών πινάκων συγκεκριμένου μήκους με αρίθμηση δειγμάτων k = 0,1,...K σε Dt = 1, και ο υπολογισμός του διακριτού ACF σε μονάδες ενέργειας εκτελείται σε μονόδρομη έκδοση, λαμβάνοντας υπόψη το μήκος των πινάκων. Εάν χρησιμοποιείται ολόκληρη η συστοιχία σήματος και ο αριθμός των δειγμάτων ACF είναι ίσος με τον αριθμό των δειγμάτων συστοιχίας, τότε ο υπολογισμός εκτελείται σύμφωνα με τον τύπο:
Bs(n) = sk×sk-n. (6.1.10)
Ο πολλαπλασιαστής K/(K-n) σε αυτή τη συνάρτηση είναι ένας συντελεστής διόρθωσης για τη σταδιακή μείωση του αριθμού των πολλαπλασιασμένων και αθροιστικών τιμών καθώς αυξάνεται η μετατόπιση n. Χωρίς αυτή τη διόρθωση για μη κεντρικά σήματα, εμφανίζεται μια τάση άθροισης των μέσων τιμών στις τιμές ACF. Κατά τη μέτρηση σε μονάδες ισχύος σήματος, ο πολλαπλασιαστής K/(K-n) αντικαθίσταται από τον πολλαπλασιαστή 1/(K-n).
Ο τύπος (6.1.10) χρησιμοποιείται αρκετά σπάνια, κυρίως για ντετερμινιστικά σήματα με μικρό αριθμό δειγμάτων. Για τυχαία και θορυβώδη σήματα, μια μείωση στον παρονομαστή (K-n) και στον αριθμό των πολλαπλασιασμένων δειγμάτων καθώς αυξάνεται η μετατόπιση οδηγεί σε αύξηση των στατιστικών διακυμάνσεων στον υπολογισμό ACF. Μεγαλύτερη αξιοπιστία υπό αυτές τις συνθήκες παρέχεται με τον υπολογισμό του ACF σε μονάδες ισχύος σήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Bs(n) = sk×sk-n, sk-n = 0 στο k-n< 0, (6.1.11)
δηλαδή με κανονικοποίηση με σταθερό συντελεστή 1/K και με επέκταση του σήματος κατά μηδενικές τιμές (στην αριστερή πλευρά όταν χρησιμοποιείτε μετατοπίσεις k-n ή στη δεξιά πλευρά όταν χρησιμοποιείτε μετατοπίσεις k+n). Αυτή η εκτίμηση είναι μεροληπτική και έχει ελαφρώς μικρότερη διασπορά από ό,τι σύμφωνα με τον τύπο (6.1.10). Η διαφορά μεταξύ κανονικοποιήσεων σύμφωνα με τους τύπους (6.1.10) και (6.1.11) φαίνεται καθαρά στο Σχ. 6.1.4.
Ο τύπος (6.1.11) μπορεί να θεωρηθεί ως μέσος όρος του αθροίσματος των προϊόντων, δηλ. ως εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας:
Bs(n) = M(sk sk-n) @. (6.1.12)
Στην πράξη, το διακριτό ACF έχει τις ίδιες ιδιότητες με το συνεχές ACF. Είναι επίσης άρτιο και η τιμή του στο n = 0 είναι ίση με την ενέργεια ή την ισχύ του διακριτού σήματος, ανάλογα με την κανονικοποίηση.
ACF θορυβωδών σημάτων . Το θορυβώδες σήμα γράφεται ως άθροισμα v(k) = s(k)+q(k). Γενικά, ο θόρυβος δεν χρειάζεται να έχει μηδενική μέση τιμή και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης κανονικοποιημένης ισχύος ψηφιακό σήμα, που περιέχει N – δείγματα, γράφεται με την ακόλουθη μορφή:
Bv(n) = (1/N) ás(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n)ñ =
= (1/N) [ás(k), s(k-n)ñ + ás(k), q(k-n)ñ + áq(k), s(k-n)ñ + áq(k), q(k-n)ñ ] =
Bs(n) + M(sk qk-n) + M(qk sk-n) + M(qk qk-n).
Bv(n) = Bs(n) + + + . (6.1.13)
Με στατιστική ανεξαρτησία του χρήσιμου σήματος s(k) και θορύβου q(k) λαμβάνοντας υπόψη την επέκταση της μαθηματικής προσδοκίας
M(sk qk-n) = M(sk) M(qk-n) =
μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο ακόλουθος τύπος:
Bv(n) = Bs(n) + 2 + . (6.1.13")
|
|
Ένα παράδειγμα ενός θορυβώδους σήματος και του ACF του σε σύγκριση με ένα μη θορυβώδες σήμα φαίνεται στην Εικ. 6.1.5.
Από τους τύπους (6.1.13) προκύπτει ότι το ACF ενός θορυβώδους σήματος αποτελείται από το ACF της συνιστώσας σήματος του χρήσιμου σήματος με μια υπερτιθέμενη συνάρτηση θορύβου που διασπάται σε τιμή 2+. Για μεγάλες τιμές του K, όταν → 0, Bv(n) » Bs(n). Αυτό καθιστά δυνατό όχι μόνο τον εντοπισμό περιοδικών σημάτων από το ACF που είναι σχεδόν εντελώς κρυμμένα στον θόρυβο (η ισχύς θορύβου είναι πολύ μεγαλύτερη από την ισχύ του σήματος), αλλά και υψηλή ακρίβειαπροσδιορίστε την περίοδο και το σχήμα τους εντός της περιόδου και για αρμονικά σήματα μονής συχνότητας - το πλάτος τους χρησιμοποιώντας την έκφραση (6.1.6).
|
Σήμα Barker |
Σήμα ACF |
|
|
1, 1, 1, -1, -1, 1, -1 |
7, 0, -1, 0, -1, 0, -1 |
|
|
1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1 |
11,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1 |
|
|
1,1,1,1,1,-1,-1,1,1-1,1,-1,1 |
13,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1 |
Σήματα κωδικών είναι ένας τύπος διακριτών σημάτων. Σε ένα συγκεκριμένο διάστημα κωδικών λέξεων M×Dt, μπορούν να έχουν μόνο δύο τιμές πλάτους: 0 και 1 ή 1 και –1. Κατά την αναγνώριση κωδικών σε σημαντικό επίπεδο θορύβου, το σχήμα ACF της κωδικής λέξης έχει ιδιαίτερο νόημα. Από αυτή την άποψη, οι καλύτεροι κωδικοί είναι εκείνοι των οποίων οι τιμές πλευρικού λοβού ACF είναι ελάχιστες σε όλο το μήκος του διαστήματος της κωδικής λέξης με τη μέγιστη τιμή της κεντρικής κορυφής. Τέτοιοι κωδικοί περιλαμβάνουν τον κωδικό Barker που φαίνεται στον Πίνακα 6.1. Όπως φαίνεται από τον πίνακα, το πλάτος της κεντρικής κορυφής του κώδικα είναι αριθμητικά ίσο με την τιμή του M, ενώ το πλάτος των πλευρικών ταλαντώσεων στο n ¹ 0 δεν υπερβαίνει το 1.
6.2. Συναρτήσεις διασταυρούμενης συσχέτισης σημάτων.
Συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης (CCF) διαφορετικών σημάτων (συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης, CCF) περιγράφει τόσο τον βαθμό ομοιότητας στο σχήμα δύο σημάτων όσο και τη σχετική θέση τους μεταξύ τους κατά μήκος της συντεταγμένης (ανεξάρτητη μεταβλητή). Γενικεύοντας τον τύπο (6.1.1) της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης σε δύο διαφορετικά σήματα s(t) και u(t), λαμβάνουμε το ακόλουθο βαθμωτό γινόμενο των σημάτων:
Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. (6.2.1)
Η διασταυρούμενη συσχέτιση σημάτων χαρακτηρίζει μια ορισμένη συσχέτιση φαινομένων και φυσικών διεργασιών που αντανακλώνται από αυτά τα σήματα και μπορεί να χρησιμεύσει ως μέτρο της «σταθερότητας» αυτής της σχέσης κατά την ξεχωριστή επεξεργασία σημάτων σε διάφορες συσκευές. Για σήματα με πεπερασμένη ενέργεια, το VCF είναι επίσης πεπερασμένο και:
|Bsu(t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,
που προκύπτει από την ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky και την ανεξαρτησία των κανόνων σήματος από τη μετατόπιση συντεταγμένων.
Κατά την αντικατάσταση της μεταβλητής t = t-t στον τύπο (6.2.1), λαμβάνουμε:
Bsu(t) =s(t-t) u(t) dt = u(t) s(t-t) dt = Bus(-t).
Συνεπάγεται ότι η συνθήκη ισοτιμίας, Bsu(t) ¹ Bsu(-t), δεν ικανοποιείται για το TCF και οι τιμές του TCF δεν απαιτείται να έχουν μέγιστο στο t = 0.
Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στο Σχ. 6.2.1, όπου δίδονται δύο πανομοιότυπα σήματα με κέντρα στα σημεία 0.5 και 1.5. Υπολογισμός με χρήση του τύπου (6.2.1) με σταδιακή αύξηση των τιμών t σημαίνει διαδοχικές μετατοπίσεις του σήματος s2(t) προς τα αριστερά κατά μήκος του άξονα χρόνου (για κάθε τιμή του s1(t), οι τιμές s2( t+t) λαμβάνονται για ολοκλήρωμα πολλαπλασιασμού). Στο t=0 τα σήματα είναι ορθογώνια και η τιμή του B12(t)=0. Το μέγιστο B12(t) θα παρατηρηθεί όταν το σήμα s2(t) μετατοπιστεί προς τα αριστερά κατά την τιμή t=1, στην οποία τα σήματα s1(t) και s2(t+t) συνδυάζονται πλήρως.
Οι ίδιες τιμές του CCF σύμφωνα με τους τύπους (6.2.1) και (6.2.1") παρατηρούνται στην ίδια σχετική θέση των σημάτων: όταν το σήμα u(t) μετατοπίζεται κατά ένα διάστημα t σε σχέση με το s (t) προς τα δεξιά κατά μήκος του άξονα τεταγμένων και το σήμα s(t) σε σχέση με το σήμα u(t) προς τα αριστερά, δηλ. Bsu(t) = Bus(-t).
Στο Σχ. Το 6.2.2 δείχνει παραδείγματα CCF για ένα ορθογώνιο σήμα s(t) και δύο πανομοιότυπα τριγωνικά σήματα u(t) και v(t). Όλα τα σήματα έχουν ίδια διάρκεια T, ενώ το σήμα v(t) μετατοπίζεται προς τα εμπρός κατά το διάστημα T/2.
Τα σήματα s(t) και u(t) είναι πανομοιότυπα στη χρονική θέση και η περιοχή "επικάλυψης" των σημάτων είναι μέγιστη στο t=0, το οποίο καθορίζεται από τη συνάρτηση Bsu. Ταυτόχρονα, η συνάρτηση Bsu είναι έντονα ασύμμετρη, αφού με ένα ασύμμετρο σχήμα σήματος u(t) για ένα συμμετρικό σχήμα s(t) ( σε σχέση με το κέντροσήματα) η περιοχή της "επικάλυψης" των σημάτων αλλάζει διαφορετικά ανάλογα με την κατεύθυνση της μετατόπισης (το πρόσημο του t καθώς η τιμή του t αυξάνεται από το μηδέν). Όταν μετατοπίζεται θέση εκκίνησηςσήμα u(t) προς τα αριστερά κατά μήκος του άξονα τεταγμένων (πριν από το σήμα s(t) - σήμα v(t)), το σχήμα του CCF παραμένει αμετάβλητο και μετατοπίζεται προς τα δεξιά με την ίδια τιμή μετατόπισης - συνάρτηση Bsv στο Σχ. 6.2.2. Αν ανταλλάξουμε τις εκφράσεις των συναρτήσεων στην (6.2.1), τότε η νέα συνάρτηση Bvs θα είναι μια συνάρτηση Bsv που αντικατοπτρίζεται σε σχέση με t=0.
Λαμβάνοντας υπόψη αυτά τα χαρακτηριστικά, το συνολικό CCF υπολογίζεται, κατά κανόνα, ξεχωριστά για θετικές και αρνητικές καθυστερήσεις:
Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. Bus(t) =u(t) s(t+t) dt. (6.2.1")
Διασταυρούμενη συσχέτιση θορυβωδών σημάτων . Για δύο θορυβώδη σήματα u(t) = s1(t)+q1(t) και v(t) = s2(t)+q2(t), χρησιμοποιώντας την τεχνική εξαγωγής τύπων (6.1.13) με αντικατάσταση του αντιγράφου του το σήμα s(t ) στο σήμα s2(t), είναι εύκολο να εξαχθεί ο τύπος διασταυρούμενης συσχέτισης με την ακόλουθη μορφή:
Buv(t) = Bs1s2(t) + Bs1q2(t) + Bq1s2(t) + Bq1q2(t). (6.2.2)
Οι τρεις τελευταίοι όροι στη δεξιά πλευρά του (6.2.2) μηδενίζονται όσο αυξάνεται το t. Για μεγάλα διαστήματα ρύθμισης σήματος, η έκφραση μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:
Buv(t) = Bs1s2(t) + + + . (6.2.3)
Με μηδενικές μέσες τιμές θορύβου και στατιστική ανεξαρτησία από σήματα, συμβαίνουν τα εξής:
Buv(t) → Bs1s2(t).
VCF διακριτών σημάτων. Όλες οι ιδιότητες του VKF αναλογικά σήματαισχύουν επίσης για το CCF διακριτών σημάτων, ενώ τα χαρακτηριστικά των διακριτών σημάτων που περιγράφονται παραπάνω για διακριτά ACF ισχύουν επίσης για αυτά (τύποι 6.1.9-6.1.12). Συγκεκριμένα, με Dt = const =1 για σήματα x(k) και y(k) με τον αριθμό των δειγμάτων K:
Bxy(n) = xk yk-n. (6.2.4)
Όταν κανονικοποιείται σε μονάδες ισχύος:
Bxy(n) = xk yk-n @ . (6.2.5)
Εκτίμηση περιοδικών σημάτων σε θόρυβο . Το θορυβώδες σήμα μπορεί να εκτιμηθεί με διασταυρούμενη συσχέτιση με το σήμα «αναφοράς» χρησιμοποιώντας δοκιμή και σφάλμα, προσαρμόζοντας τη συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης στη μέγιστη τιμή.
Για ένα σήμα u(k)=s(k)+q(k) με στατιστική ανεξαρτησία του θορύβου και → 0, η συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης (6.2.2) με το μοτίβο σήματος p(k) με q2(k)= 0 παίρνει τη μορφή:
Bup(k) = Bsp(k) + Bqp(k) = Bsp(k) + .
Και αφού → 0 καθώς αυξάνεται το N, τότε Bup(k) → Bsp(k). Προφανώς, η συνάρτηση Bup(k) θα έχει μέγιστο όταν p(k) = s(k). Αλλάζοντας το σχήμα του προτύπου p(k) και μεγιστοποιώντας τη συνάρτηση Bup(k), μπορούμε να λάβουμε μια εκτίμηση του s(k) με τη μορφή του βέλτιστου σχήματος p(k).
Συνάρτηση συντελεστή διασταυρούμενης συσχέτισης Το (VKF) είναι ένας ποσοτικός δείκτης του βαθμού ομοιότητας των σημάτων s(t) και u(t). Παρόμοια με τη συνάρτηση των συντελεστών αυτοσυσχέτισης, υπολογίζεται μέσω των κεντρικών τιμών των συναρτήσεων (για τον υπολογισμό της διασταυρούμενης συνδιακύμανσης αρκεί να κεντράρετε μόνο μία από τις συναρτήσεις) και κανονικοποιείται στο γινόμενο των τιμών των τυπικών συναρτήσεων s(t) και v(t):
rsu(t) = Csu(t)/sssv. (6.2.6)
Το διάστημα για την αλλαγή των τιμών των συντελεστών συσχέτισης με τις μετατοπίσεις t μπορεί να ποικίλλει από –1 (πλήρης αντίστροφη συσχέτιση) έως 1 (πλήρης ομοιότητα ή εκατό τοις εκατό συσχέτιση). Στις μετατοπίσεις t στις οποίες παρατηρούνται μηδενικές τιμές του rsu(t), τα σήματα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους (μη συσχετισμένα). Ο συντελεστής διασταυρούμενης συσχέτισης σάς επιτρέπει να καθορίσετε την παρουσία μιας σύνδεσης μεταξύ των σημάτων, ανεξάρτητα από τις φυσικές ιδιότητες των σημάτων και το μέγεθός τους.
Κατά τον υπολογισμό του CCF των θορυβωδών διακριτών σημάτων περιορισμένου μήκους χρησιμοποιώντας τον τύπο (6.2.4), υπάρχει πιθανότητα εμφάνισης τιμών |rsu(n)| > 1.
Για περιοδικά σήματα, η έννοια του CCF συνήθως δεν εφαρμόζεται, εκτός από σήματα με την ίδια περίοδο, για παράδειγμα, σήματα εισόδου και εξόδου κατά τη μελέτη των χαρακτηριστικών συστημάτων.
6.3. Φασματικές πυκνότητες συναρτήσεων συσχέτισης.
Φασματική πυκνότητα ACF μπορεί να προσδιοριστεί από τις ακόλουθες απλές σκέψεις.
Σύμφωνα με την έκφραση (6.1.1), το ACF είναι συνάρτηση του βαθμωτού γινόμενου του σήματος και του αντιγράφου του, μετατοπισμένο κατά το διάστημα t, στο -¥< t < ¥:
Bs(t) = ás(t), s(t-t)ñ.
Το γινόμενο κουκίδων μπορεί να οριστεί ως προς τις φασματικές πυκνότητες του σήματος και των αντιγράφων του, το γινόμενο των οποίων είναι η φασματική πυκνότητα αμοιβαίας ισχύος:
ás(t), s(t-t)ñ = (1/2p)S(w) St*(w) dw.
Η μετατόπιση του σήματος κατά μήκος του άξονα της τετμημένης κατά το διάστημα t εμφανίζεται στη φασματική αναπαράσταση πολλαπλασιάζοντας το φάσμα σήματος επί exp(-jwt) και για το συζυγές φάσμα με τον παράγοντα exp(jwt):
St*(w) = S*(w) exp(jwt).
Λαμβάνοντας αυτό υπόψη παίρνουμε:
Bs(t) = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw =
= (1/2p)|S(w)|2 exp(jwt) dw. (6.3.1)
Αλλά η τελευταία έκφραση είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier του ενεργειακού φάσματος του σήματος (φασματική ενεργειακή πυκνότητα). Ως εκ τούτου, ενεργειακό φάσμαΤο σήμα και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης σχετίζονται με τον μετασχηματισμό Fourier:
Bs(t) Û |S(w)|2 = Ws(w). (6.3.2)
Έτσι, η φασματική πυκνότητα του ACF δεν είναι τίποτα άλλο από την πυκνότητα φασματικής ισχύος του σήματος, η οποία, με τη σειρά της, μπορεί να προσδιοριστεί από τον άμεσο μετασχηματισμό Fourier μέσω του ACF:
|S(w)|2 = Bs(t) exp(-jwt) dt. (6.3.3)
Η τελευταία έκφραση επιβάλλει ορισμένους περιορισμούς στη μορφή του ACF και στη μέθοδο περιορισμού της διάρκειάς τους.
|
Ρύζι. 6.3.1. Φάσμα ανύπαρκτου ACF |
Το ενεργειακό φάσμα των σημάτων είναι πάντα θετικό. Κατά συνέπεια, το ACF δεν μπορεί να έχει το σχήμα ενός ορθογώνιου παλμού, αφού ο μετασχηματισμός Fourier ενός ορθογώνιου παλμού είναι ένα εναλλασσόμενο ακέραιο ημίτονο. Δεν πρέπει να υπάρχουν ασυνέχειες του πρώτου είδους (άλματα) στο ACF, αφού λαμβάνοντας υπόψη την ισοτιμία του ACF, οποιοδήποτε συμμετρικό άλμα κατά μήκος της συντεταγμένης ±t δημιουργεί μια «διαίρεση» του ACF στο άθροισμα μιας ορισμένης συνεχούς συνάρτησης και έναν ορθογώνιο παλμό διάρκειας 2t με την αντίστοιχη εμφάνιση αρνητικών τιμών στο ενεργειακό φάσμα Ένα παράδειγμα του τελευταίου φαίνεται στο Σχ. 6.3.1 (τα γραφήματα των συναρτήσεων εμφανίζονται, όπως συνηθίζεται για ζυγές συναρτήσεις, μόνο με τη δεξιά τους πλευρά).
Τα ACF επαρκώς εκτεταμένων σημάτων είναι συνήθως περιορισμένα σε μέγεθος (μελετούνται περιορισμένα διαστήματα συσχέτισης δεδομένων από –T/2 έως T/2). Ωστόσο, η περικοπή του ACF είναι ο πολλαπλασιασμός του ACF με έναν ορθογώνιο παλμό επιλογής διάρκειας T, ο οποίος στον τομέα συχνότητας αντανακλάται από τη συνέλιξη του πραγματικού φάσματος ισχύος με μια εναλλασσόμενη ολοκληρωμένη ημιτονοειδή συνάρτηση sinc(wT/2). Από τη μία πλευρά, αυτό προκαλεί μια ορισμένη εξομάλυνση του φάσματος ισχύος, η οποία είναι συχνά χρήσιμη, για παράδειγμα, κατά τη μελέτη σημάτων σε σημαντικό επίπεδο θορύβου. Αλλά, από την άλλη πλευρά, μια σημαντική υποεκτίμηση του μεγέθους των ενεργειακών κορυφών μπορεί να συμβεί εάν το σήμα περιέχει τυχόν αρμονικές συνιστώσες, καθώς και την εμφάνιση αρνητικών τιμών ισχύος στα άκρα των κορυφών και των αλμάτων. Ένα παράδειγμα της εκδήλωσης αυτών των παραγόντων φαίνεται στο Σχ. 6.3.2.
Ρύζι. 6.3.2. Υπολογισμός του ενεργειακού φάσματος ενός σήματος με χρήση ACF διαφορετικών μηκών.
Όπως είναι γνωστό, τα φάσματα ισχύος σήματος δεν έχουν χαρακτηριστικό φάσης και είναι αδύνατο να αναδημιουργηθούν τα σήματα από αυτά. Κατά συνέπεια, το ACF των σημάτων, ως προσωρινή αναπαράσταση των φασμάτων ισχύος, δεν έχει επίσης πληροφορίες για τα χαρακτηριστικά φάσης των σημάτων και η ανακατασκευή των σημάτων με χρήση του ACF είναι αδύνατη. Τα σήματα του ίδιου σχήματος, μετατοπισμένα στο χρόνο, έχουν το ίδιο ACF. Επιπλέον, τα σήματα διαφορετικά σχήματαμπορεί να έχουν παρόμοια ACF εάν έχουν παρόμοια φάσματα ισχύος.
Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση (6.3.1) με την ακόλουθη μορφή
s(t) s(t-t) dt = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw,
και αντικαταστήστε την τιμή t=0 σε αυτήν την παράσταση. Η ισότητα που προκύπτει είναι γνωστή και λέγεται Η ισότητα του Πάρσεβαλ
s2(t) dt = (1/2p)|S(w)|2 dw.
Σας επιτρέπει να υπολογίσετε την ενέργεια του σήματος, τόσο στον τομέα του χρόνου όσο και στη συχνότητα της περιγραφής του σήματος.
Διάστημα συσχέτισης σήματος είναι μια αριθμητική παράμετρος για την αξιολόγηση του πλάτους του ACF και του βαθμού σημαντικής συσχέτισης των τιμών του σήματος ανά όρισμα.
|
|
Αν υποθέσουμε ότι το σήμα s(t) έχει ένα περίπου ομοιόμορφο ενεργειακό φάσμα με τιμή W0 και με ανώτερη οριακή συχνότητα έως wв (το σχήμα ενός κεντρικού ορθογώνιου παλμού, όπως το σήμα 1 στο Σχ. 6.3.3 με fв = 50 Hz σε μονόπλευρη αναπαράσταση ), τότε το ACF του σήματος προσδιορίζεται από την έκφραση:
Bs(t) = (Wo/p)cos(wt) dw = (Wowв/p) sin(wвt)/(wвt).
Το διάστημα συσχέτισης σήματος tk θεωρείται ότι είναι το πλάτος της κεντρικής κορυφής του ACF από το μέγιστο έως την πρώτη τομή της γραμμής μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, για ένα ορθογώνιο φάσμα με ανώτατη οριακή συχνότητα wв, η πρώτη διέλευση από το μηδέν αντιστοιχεί σε sinc(wвt) = 0 στο wвt = p, από το οποίο:
tк = p/wв =1/2fв. (6.3.4)
Όσο μεγαλύτερη είναι η ανώτερη οριακή συχνότητα του φάσματος σήματος, τόσο μικρότερο είναι το διάστημα συσχέτισης. Για σήματα με ομαλή αποκοπή στην ανώτερη οριακή συχνότητα, ο ρόλος της παραμέτρου wв παίζει το μέσο πλάτος φάσματος (σήμα 2 στο Σχ. 6.3.3).
Η φασματική πυκνότητα ισχύος του στατιστικού θορύβου σε μία μόνο μέτρηση είναι τυχαία συνάρτηση Wq(w) με μέση τιμή Wq(w) Þ sq2, όπου sq2 είναι η διακύμανση του θορύβου. Στο όριο, με ομοιόμορφη φασματική κατανομή θορύβου από 0 έως ¥, ο θόρυβος ACF τείνει στην τιμή Bq(t) Þ sq2 σε t Þ 0, Bq(t) Þ 0 σε t ¹ 0, δηλ. ο στατιστικός θόρυβος δεν είναι συσχετίζονται (tk Þ 0).
Οι πρακτικοί υπολογισμοί του ACF των πεπερασμένων σημάτων περιορίζονται συνήθως στο διάστημα μετατόπισης t = (0, (3-5)tk), στο οποίο, κατά κανόνα, συγκεντρώνονται οι κύριες πληροφορίες για την αυτοσυσχέτιση των σημάτων.
Φασματική πυκνότητα VKF μπορεί να ληφθεί με βάση τις ίδιες εκτιμήσεις όπως για το AFC ή απευθείας από τον τύπο (6.3.1) αντικαθιστώντας τη φασματική πυκνότητα του σήματος S(w) με τη φασματική πυκνότητα του δεύτερου σήματος U(w):
Bsu(t) = (1/2p)S*(w) U(w) exp(jwt) dw. (6.3.5)
Ή, όταν αλλάζετε τη σειρά των σημάτων:
Bus(t) = (1/2p)U*(w) S(w) exp(jwt) dw. (6.3.5")
Το γινόμενο S*(w)U(w) αντιπροσωπεύει το φάσμα αμοιβαίας ενέργειας Wsu(w) των σημάτων s(t) και u(t). Αντίστοιχα, U*(w)S(w) = Wus(w). Επομένως, όπως το ACF, η συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης και η φασματική πυκνότητα της αμοιβαίας ισχύος των σημάτων σχετίζονται μεταξύ τους με μετασχηματισμούς Fourier:
Bsu(t) Û Wsu(w) º W*us(w). (6.3.6)
Λεωφορείο(t) Û Wus(w) º W*su(w). (6.3.6")
Στη γενική περίπτωση, με εξαίρεση τα φάσματα των άρτιων συναρτήσεων, από την προϋπόθεση της μη συμμόρφωσης με ισοτιμία για τις συναρτήσεις CCF προκύπτει ότι τα φάσματα αμοιβαίας ενέργειας είναι σύνθετες συναρτήσεις:
U(w) = Au(w) + j Bu(w), V(w) = Av(w) + j Bv(w).
Wuv = AuAv+BuBv+j(BuAv - AuBv) = Re Wuv(w) + j Im Wuv(w),
Στο Σχ. 6.3.4 μπορείτε να δείτε καθαρά τα χαρακτηριστικά του σχηματισμού του CCF χρησιμοποιώντας το παράδειγμα δύο σημάτων του ίδιου σχήματος, μετατοπισμένα μεταξύ τους.
Ρύζι. 6.3.4. Σχηματισμός του VKF.
Το σχήμα των σημάτων και η σχετική τους θέση παρουσιάζονται στη μορφή Α. Η μονάδα και το όρισμα του φάσματος του σήματος s(t) φαίνονται στη μορφή Β. Η μονάδα φάσματος u(t) είναι πανομοιότυπη με τη μονάδα S(w ). Η ίδια όψη δείχνει το συντελεστή του φάσματος αμοιβαίας ισχύος σήματος S(w)U*(w). Όπως είναι γνωστό, κατά τον πολλαπλασιασμό μιγαδικών φασμάτων πολλαπλασιάζονται οι συντελεστές των φασμάτων και προστίθενται οι γωνίες φάσης, ενώ για το συζυγές φάσμα U*(w) η γωνία φάσης αλλάζει πρόσημο. Εάν το πρώτο σήμα στον τύπο για τον υπολογισμό του CCF (6.2.1) είναι το σήμα s(t) και το σήμα u(t-t) στον άξονα τεταγμένων είναι μπροστά από το s(t), τότε οι γωνίες φάσης S(w ) αυξάνεται προς τις αρνητικές τιμές καθώς η συχνότητα αυξάνει τις γωνίες (χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η περιοδική επαναφορά των τιμών κατά 2p), και οι γωνίες φάσης U*(w) σε απόλυτες τιμές είναι μικρότερες από τις γωνίες φάσης s( t) και αύξηση (λόγω σύζευξης) προς θετικές τιμές. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των φασμάτων (όπως φαίνεται στο Σχ. 6.3.4, άποψη Γ) είναι η αφαίρεση των τιμών της γωνίας U*(w) από τις γωνίες φάσης S(w), ενώ οι γωνίες φάσης του Το φάσμα S(w)U*(w) παραμένει στην περιοχή αρνητικών τιμών, γεγονός που εξασφαλίζει μια μετατόπιση ολόκληρης της συνάρτησης CCF (και των τιμών κορυφής της) προς τα δεξιά από το μηδέν κατά μήκος του άξονα t κατά ένα ορισμένο ποσό (για πανομοιότυπα σήματα - κατά το ποσό της διαφοράς μεταξύ των σημάτων κατά μήκος του άξονα τεταγμένων). Όταν μετατοπίζεται Αρχική θέσησήμα u(t) προς το σήμα s(t), οι γωνίες φάσης S(w)U*(w) μειώνονται, στο όριο σε μηδενικές τιμές με πλήρη ευθυγράμμιση των σημάτων, ενώ η συνάρτηση Bsu(t) μετατοπίζεται σε μηδενικές τιμές t, στο όριο πριν την εφαρμογή στο ACF (για πανομοιότυπα σήματα s(t) και u(t)).
Όπως είναι γνωστό για τα ντετερμινιστικά σήματα, εάν τα φάσματα δύο σημάτων δεν επικαλύπτονται και, κατά συνέπεια, η αμοιβαία ενέργεια των σημάτων είναι μηδέν, τέτοια σήματα είναι ορθογώνια μεταξύ τους. Η σύνδεση μεταξύ των ενεργειακών φασμάτων και των συναρτήσεων συσχέτισης των σημάτων δείχνει μια άλλη πλευρά της αλληλεπίδρασης των σημάτων. Εάν τα φάσματα των σημάτων δεν επικαλύπτονται και το φάσμα της αμοιβαίας ενέργειας τους είναι μηδέν σε όλες τις συχνότητες, τότε για οποιεσδήποτε χρονικές μετατοπίσεις t μεταξύ τους το CCF τους είναι επίσης μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι τέτοια σήματα δεν είναι συσχετισμένα. Αυτό ισχύει τόσο για ντετερμινιστικά όσο και για τυχαία σήματα και διεργασίες.
Υπολογισμός συναρτήσεων συσχέτισης με χρήση FFT είναι, ειδικά για μεγάλες σειρές αριθμών, δεκάδες και εκατοντάδες φορές περισσότερο γρήγορη μέθοδοςπαρά με διαδοχικές μετατοπίσεις στο πεδίο του χρόνου σε μεγάλα διαστήματα συσχέτισης. Η ουσία της μεθόδου προκύπτει από τους τύπους (6.3.2) για το ACF και (6.3.6) για το VCF. Λαμβάνοντας υπόψη ότι το ACF μπορεί να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωση του CCF για το ίδιο σήμα, θα εξετάσουμε τη διαδικασία υπολογισμού χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του CCF για τα σήματα x(k) και y(k) με τον αριθμό των δειγμάτων K. περιλαμβάνει:
1. Υπολογισμός των φασμάτων FFT των σημάτων x(k) → X(k) και y(k) → Y(k). Με διαφορετικούς αριθμούς δειγμάτων, η μικρότερη σειρά συμπληρώνεται με μηδενικά στο μέγεθος της μεγαλύτερης σειράς.
2. Υπολογισμός φασμάτων πυκνότητας ισχύος Wxy(k) = X*(k) Y(k).
3. Αντίστροφη FFT Wxy(k) → Bxy(k).
Ας σημειώσουμε ορισμένα χαρακτηριστικά της μεθόδου.
Το αντίστροφο FFT, όπως είναι γνωστό, υπολογίζει την κυκλική συνέλιξη των συναρτήσεων x(k) ③ y(k). Αν ο αριθμός των δειγμάτων συνάρτησης είναι ίσος με K, ο αριθμός των μιγαδικών δειγμάτων των φασμάτων συνάρτησης είναι επίσης ίσος με K, καθώς και ο αριθμός των δειγμάτων του γινομένου τους Wxy(k). Συνεπώς, ο αριθμός των δειγμάτων Bxy(k) κατά την αντίστροφη FFT είναι επίσης ίσος με K και επαναλαμβάνεται κυκλικά με περίοδο ίση με K. Εν τω μεταξύ, με γραμμική συνέλιξη πλήρων σειρών σημάτων σύμφωνα με τον τύπο (6.2.5), η Το μέγεθος μόνο του μισού του ICF είναι K σημεία και το πλήρες αμφίπλευρο μέγεθος είναι 2K κουκκίδες. Κατά συνέπεια, με το αντίστροφο FFT, λαμβάνοντας υπόψη την κυκλικότητα της συνέλιξης, οι πλευρικές του περίοδοι θα υπερτίθενται στην κύρια περίοδο του CCF, όπως συμβαίνει με τη συνήθη κυκλική συνέλιξη δύο συναρτήσεων.
Στο Σχ. Το 6.3.5 δείχνει ένα παράδειγμα δύο σημάτων και τις τιμές VCF που υπολογίζονται με γραμμική συνέλιξη (B1xy) και κυκλική συνέλιξη μέσω FFT (B2xy). Για την εξάλειψη της επίδρασης των επικαλυπτόμενων πλευρικών περιόδων, είναι απαραίτητο να συμπληρωθούν τα σήματα με μηδενικά, στο όριο, έως τον διπλασιασμό του αριθμού των δειγμάτων, ενώ το αποτέλεσμα FFT (γραφική παράσταση B3xy στο Σχήμα 6.3.5) επαναλαμβάνει πλήρως το αποτέλεσμα της γραμμικής συνέλιξη (λαμβάνοντας υπόψη την κανονικοποίηση για αύξηση του αριθμού των δειγμάτων).
Στην πράξη, ο αριθμός των μηδενικών επέκτασης σήματος εξαρτάται από τη φύση της συνάρτησης συσχέτισης. Ο ελάχιστος αριθμός μηδενικών συνήθως θεωρείται ότι είναι ίσος με το σημαντικό τμήμα πληροφοριών των συναρτήσεων, δηλαδή, περίπου (3-5) διαστήματα συσχέτισης.
βιβλιογραφία
1. Κυκλώματα και σήματα Baskakov: Εγχειρίδιο για πανεπιστήμια. - Μ.: μεταπτυχιακό σχολείο, 1988.
19. Otnes R., Enokson L. Εφαρμοσμένη ανάλυση χρονική σειρά. – Μ.: Μιρ, 1982. – 428 σελ.
25. Επεξεργασία σήματος Sergienko. / Εγχειρίδιο για τα πανεπιστήμια. – Αγία Πετρούπολη: Peter, 203. – 608 p.
33. Ayficher E., Jervis B. Ψηφιακή επεξεργασίασήματα. Πρακτική προσέγγιση. / M., "Williams", 2004, 992 p.
Σχετικά με τα τυπογραφικά λάθη που παρατηρήθηκαν, τα λάθη και τις προτάσεις για προσθήκες: *****@***ru.
Πνευματική ιδιοκτησία©2008ΝταβίντοφΕΝΑ.V.
Εννοια "συσχέτιση"αντανακλά τον βαθμό ομοιότητας κάποιων αντικειμένων ή φαινομένων. Σε σχέση με τα σήματα Η συνάρτηση συσχέτισης είναι ένα ποσοτικό μέτρο της ομοιότητας δύο αντιγράφων ενός σήματος που μετατοπίζονται μεταξύ τουςμε την πάροδο του χρόνου κατά ένα ορισμένο ποσό t- όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της συνάρτησης συσχέτισης, τόσο πιο παρόμοια είναι τα σήματα μεταξύ τους.
Η συνάρτηση συσχέτισης δίνεται από την ακόλουθη έκφραση:
∞
R ss (t) =∫ s(t) s(t - t)dt(1.24)
- ∞
Εδώ είναι το ευρετήριο R ssσημαίνει ότι υπολογίζεται η συσχέτιση σήματος της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (ACF). s(t)με το μετατοπισμένο αντίγραφό του.
Η συνάρτηση συσχέτισης (ACF) του σήματος έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
1. Τιμή ACF στο t = 0ίση με την ενέργεια του σήματος:
∞
R ss (0) =∫ s(t) 2 dt.(1.25)
2. Το ACF είναι μια ομοιόμορφη και μη αυξανόμενη συνάρτηση
R ss (t) = R ss (-t), R ss (t) ≤ R ss (0). (1.26)
3. ACF σήματος με πεπερασμένη ενέργεια στο t →∞ τείνει στο μηδέν.
4. Το ACF ενός περιοδικού σήματος είναι περιοδικό με περίοδο ίση με την περίοδο του ίδιου του σήματος.
Εάν το ACF δείχνει τον βαθμό ομοιότητας μεταξύ μετατοπισμένων αντιγράφων του ίδιου σήματος, τότε ένα παρόμοιο συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης(VKF) σας επιτρέπει να αξιολογήσετε τον βαθμό ομοιότητας των δύο διάφορα σήματα
R12(t)=∫ s 1 (t) s 2 (t - t)dt(1.27)
Ο υπολογισμός του ACF και του VCF των σημάτων είναι ένας από τους κύριους αλγόριθμους για την επεξεργασία των σημάτων όταν λαμβάνονται σε φόντο παρεμβολών. Από αυτή την άποψη, η κατανόηση της φυσικής σημασίας του « συσχετίσεις» και η γνώση των ιδιοτήτων των συναρτήσεων συσχέτισης διαφόρων σημάτων είναι ένα σημαντικό στοιχείο της εκπαίδευσης ενός ειδικού στον τομέα της μετάδοσης πληροφοριών και των επικοινωνιών.
ΣκοπόςΑυτή η εργασία είναι να μελετήσει τα απλούστερα ραδιοσήματα, να τα αποσυνθέσει σε μια σειρά Fourier, να δημιουργήσει Προγραμματισμός Matlabσχετικά προγράμματα.
Πρόοδος:
1 . Δημιουργήστε ένα πρόγραμμα για την κατασκευή των παρακάτω απλών ραδιοφωνικών σημάτων και παρουσιάστε τα γραφήματα τους:
1.1. τετράγωνος παλμός?
1.2. άθροισμα ημιτόνων?
1.3. ραδιοπαλμός με ορθογώνιο φάκελο.
1.5. ραδιοπαλμός με φάκελο Gaussian.
1.6. ακολουθία παλμών τύπου "μαίανδρος".
1.7. ακολουθία με πλήκτρα φάσης.
1.8. ραδιοπαλμός με εκθετικό φάκελο.
2 . Δημιουργήστε μια υπορουτίνα για την αποσύνθεση ενός σήματος σε μια σειρά Fourier.
3. Προσδιορίστε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης Rxx(k) για τα παραγόμενα μοντέλα σήματος.
5. Υπολογίστε τον συντελεστή συσχέτισης του αρχικού σήματος και την επέκταση της σειράς Fourier.
Η έκθεση για τις εργασίες που έχουν εκτελεστεί πρέπει να περιέχει:
Σύντομη περιγραφή του σκοπού της εργασίας.
Κείμενα *.ματ προγραμμάτων μοντελοποίησης;
Γραφική αναπαράσταση χρήσιμων σημάτων που παράγονται.
Συμπεράσματα για το έργο που έγινε.
Ερωτήσεις ελέγχου:
1. Τι είναι " ντετερμινιστικό σήμα"; Δώσε παραδείγματα.
2. Τι είναι ένα «σύστημα ορθογώνιων συναρτήσεων». Πώς καθορίζονται οι συντελεστές της σειράς Fourier;
3. Τι είναι το «φάσμα σήματος»;
4. Καταγράψτε παραστάσεις για τη σειρά Fourier που βασίζονται σε τριγωνομετρικές και μιγαδικές εκθετικές συναρτήσεις.
5. Τι είναι ο «μετασχηματισμός Fourier»;
6. Γράψτε τις εκφράσεις για τους μπροστινούς και αντίστροφους μετασχηματισμούς Fourier.
7. Πώς μοιάζει το φάσμα ενός μόνο ορθογώνιου παλμού;
8. Πώς μοιάζει το φάσμα μιας συνάρτησης της μορφής sin(x)/x;
9. Πώς θα αλλάξει το σχήμα του φάσματος ενός ορθογώνιου (Gaussian) παλμού όταν αλλάζει (αυξάνεται, μειώνεται) η διάρκειά του;
9 Ανάλυση συσχέτισης. Συνάρτηση συσχέτισης, οι ιδιότητές της. Υπολογισμός της συνάρτησης συσχέτισης ενός μόνο παλμού και ενός περιοδικού σήματος
Μαζί με φασματική ανάλυση ανάλυση συσχέτισηςπαίζει σημαντικό ρόλο στη θεωρία του σήματος. Η σημασία του είναι να μετρήσει τον βαθμό ομοιότητας (διαφοράς) μεταξύ των σημάτων. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιείται η συνάρτηση συσχέτισης.
Το CF είναι το ολοκλήρωμα του γινομένου δύο αντιγράφων του σήματος, μετατοπισμένα μεταξύ τους. φίλος για λίγο.
Όσο υψηλότερη είναι η τιμή CF, τόσο ισχυρότερη είναι η ομοιότητα. Το CF έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
1. Τιμή CF σε 
ίση με την ενέργεια του σήματος (ολοκλήρωμα του τετραγώνου του)
2. Είναι μια άρτια συνάρτηση
3. Τιμή CF σε 
4. Με αυξανόμενους κοιλιακούς. αξίες 
Το CF ενός σήματος με πεπερασμένη ενέργεια εξασθενεί
5. Εάν το σήμα είναι συνάρτηση της τάσης σε σχέση με το χρόνο, τότε η διάσταση του CF του [ 
]
Στην περίπτωση ενός περιοδικού σήματος (με περίοδο T), το CF υπολογίζεται με τον μέσο όρο του γινομένου των μετατοπισμένων αντιγράφων εντός μιας περιόδου:
Το σύνολο των ιδιοτήτων ενός τέτοιου CF αλλάζει:
1. Τιμή CF σε 
ίση με τη μέση ισχύ σήματος
2. Η ιδιοκτησία ισοτιμίας διατηρείται.
3. Τιμή CF σε 
είναι το μέγιστο δυνατό.
4. Το CF είναι μια περιοδική συνάρτηση (με την ίδια περίοδο με το σήμα)
5. Εάν το σήμα δεν περιέχει συναρτήσεις δέλτα, τότε το CF του είναι συνεχές.
6. Εάν το σήμα είναι εξάρτηση του U(t), τότε η διάσταση του CF [ 
]
Το CF ενός αρμονικού σήματος είναι μια αρμονική συνάρτηση που δεν εξαρτάται από την αρχική φάση του σήματος.
10 Συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης, οι ιδιότητές της. Υπολογισμός της συνάρτησης διασταυρούμενης συσχέτισης σημάτων
Η συνάρτηση διασταυρούμενης συσχέτισης (CCF) είναι μια συνάρτηση που δείχνει τον βαθμό ομοιότητας για δύο διαφορετικά σήματα μετατοπισμένα στο χρόνο.
Γενική μορφή:
Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το CCF 2 συναρτήσεων:
Στο 
Στο 
Στο 
Συνδυάζοντας τα αποτελέσματα, μπορούμε να γράψουμε:
Ιδιότητες VKF:
1)
2)
3)
4) Εάν οι συναρτήσεις μικρό 1 (t) Και μικρό 2 (t) δεν περιέχουν συναρτήσεις δέλτα, τότε το ICF τους δεν μπορεί να έχει ασυνέχειες.
5) Εάν το σήμα είναι συνάρτηση U(t)
, τότε η διάσταση του VKF 
11 Τυχαίες διαδικασίες. Υλοποίηση τυχαίας διαδικασίας. Νόμοι κατανομής τυχαίων διεργασιών
Μερικές φορές στην πράξη έχουμε να αντιμετωπίσουμε φαινόμενα, η πορεία των οποίων στο χρόνο είναι απρόβλεπτη και σε κάθε χρονική στιγμή περιγράφεται από μια τυχαία μεταβλητή. Τέτοια φαινόμενα ονομάζονται τυχαίες διεργασίες. Με μια τυχαία διαδικασίαονομάζεται η συνάρτηση ζ( t) μη τυχαίο όρισμα t (συνήθως χρόνος), που για κάθε σταθερή τιμή του ορίσματος είναι μια τυχαία μεταβλητή. Για παράδειγμα, η θερμοκρασία κατά τη διάρκεια της ημέρας, που καταγράφεται από συσκευή εγγραφής. Οι τιμές που λαμβάνονται από τη διαδικασία ζ( t) σε ορισμένους χρόνους καλούνται πολιτείες, και το σύνολο όλων των καταστάσεων είναι χώρο φάσηςτυχαία διαδικασία. Ανάλογα με τον αριθμό των πιθανών καταστάσεων μιας τυχαίας διεργασίας, ο χώρος φάσης της μπορεί να είναι διακεκριμένοςή συνεχής.Εάν μια τυχαία διαδικασία μπορεί να αλλάξει την κατάστασή της μόνο σε ορισμένα χρονικά σημεία, τότε μια τέτοια διαδικασία ονομάζεται τυχαία διαδικασία με διακριτό χρόνο; και αν σε αυθαίρετα, τότε - συνεχής χρονική διαδικασία .
Τυχαία διαδικασία ζ( t) λέγεται ακίνητος, εάν η κατανομή πιθανοτήτων των πιθανών καταστάσεων του δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου. Για παράδειγμα, όταν ρίχνουμε ένα ζάρι κάθε δευτερόλεπτο, η κατανομή πιθανοτήτων των καταστάσεων της αντίστοιχης τυχαίας διαδικασίας (Εικ. 44, σι) δεν εξαρτάται (δεν αλλάζει) από την ώρα (στην περίπτωση αυτή, όλες οι καταστάσεις ζ( t) είναι εξίσου δυνατά). Αντίθετα, η τυχαία διαδικασία που χαρακτηρίζει τη θερμοκρασία περιβάλλοντος δεν είναι ακίνητη, γιατί πιο τυπικό για το καλοκαίρι υψηλές θερμοκρασίεςπαρά για χειμώνα.
Η κατανομή πιθανοτήτων των καταστάσεων μιας στατικής τυχαίας διεργασίας ονομάζεται σταθερή κατανομή.
Υπάρχουν διάφοροι νόμοι κατανομής μεταξύ αυτών Ομοιόμορφος, Γκαουσιανός (κανονικός)
Στολή: αφήστε κάποια τιμή x να πάρει τις τιμές x 1<=x<=x 2 тогда плотность вероятности
P(x)=system(0 στο x
Βρίσκουμε τη συνάρτηση διανομής με ολοκλήρωση
F(x)= system(0 στο x
Gaussian (κανονική) κατανομή. Στη θεωρία των τυχαίων σημάτων, η πυκνότητα πιθανότητας Gauss έχει θεμελιώδη σημασία
