27 Αυγούστου 2017 στις 2:20 μ.μ

Επίλυση προβλημάτων άμεσου και διπλού γραμμικού προγραμματισμού με χρήση Python

Εισαγωγή

Πρέπει να σημειωθεί ότι οι μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού περιλαμβάνουν όχι στα οικονομικά, αλλά στα μαθηματικά και την τεχνολογία των υπολογιστών.Ταυτόχρονα, ο οικονομολόγος χρειάζεται να παρέχει τις πιο άνετες συνθήκες για διάλογο με το κατάλληλο λογισμικό. Με τη σειρά τους, τέτοιες συνθήκες μπορούν να παρέχονται μόνο από δυναμικά αναπτυσσόμενα και διαδραστικά περιβάλλοντα ανάπτυξης που έχουν στο οπλοστάσιό τους ένα σύνολο βιβλιοθηκών απαραίτητων για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Ένα από τα οποία περιβάλλοντα ανάπτυξης λογισμικού είναι σίγουρα η Python.

Διατύπωση του προβλήματος

Οι δημοσιεύσεις εξέτασαν λύσεις σε προβλήματα άμεσης βελτιστοποίησης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο γραμμικού προγραμματισμού και πρότειναν μια λογική επιλογή του λύτη. βελτιστοποίηση της.

Ωστόσο, είναι γνωστό ότι κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού αντιστοιχεί σε ένα λεγόμενο διακεκριμένο (διπλό) πρόβλημα. Σε αυτό, σε σύγκριση με το άμεσο πρόβλημα, οι σειρές μετατρέπονται σε στήλες, οι ανισότητες αλλάζουν πρόσημο, αντί για μέγιστο, αναζητείται ένα ελάχιστο (ή αντίστροφα, αντί για ελάχιστο, αναζητείται μέγιστο). Η εργασία dual to the dual είναι η ίδια η αρχική εργασία.

Η επίλυση του διπλού προβλήματος είναι πολύ σημαντική για την ανάλυση της χρήσης πόρων. Σε αυτή τη δημοσίευση, θα αποδειχθεί ότι οι βέλτιστες τιμές των αντικειμενικών συναρτήσεων στο αρχικό και το διπλό πρόβλημα συμπίπτουν (δηλαδή, το μέγιστο στο αρχικό πρόβλημα συμπίπτει με το ελάχιστο στο διπλό).

Οι βέλτιστες τιμές του κόστους υλικών και εργασίας θα αξιολογηθούν από τη συμβολή τους στην αντικειμενική λειτουργία. Το αποτέλεσμα θα είναι «αντικειμενικά καθορισμένες εκτιμήσεις» των πρώτων υλών και της εργασίας που δεν συμπίπτουν με τις τιμές της αγοράς.

Επίλυση του άμεσου προβλήματος του βέλτιστου προγράμματος παραγωγής

Λαμβάνοντας υπόψη το υψηλό επίπεδο μαθηματικής εκπαίδευσης της συντριπτικής πλειοψηφίας των χρηστών αυτού του πόρου, δεν θα παρουσιάσω εξισώσεις ισορροπίας με ανώτερους και κατώτερους περιορισμούς και την εισαγωγή πρόσθετων μεταβλητών για μετάβαση στις ισότητες. Επομένως, θα δώσω αμέσως τους χαρακτηρισμούς των μεταβλητών που χρησιμοποιούνται στη λύση:
N – αριθμός τύπων προϊόντων που παράγονται.
m – αριθμός τύπων πρώτων υλών που χρησιμοποιούνται.
b_ub - διάνυσμα διαθέσιμων πόρων διάστασης m;
Το A_ub είναι ένας πίνακας διαστάσεων m×N, κάθε στοιχείο του οποίου είναι η κατανάλωση ενός πόρου τύπου i για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος του τύπου j.
c είναι το διάνυσμα του κέρδους από την παραγωγή μιας μονάδας κάθε τύπου προϊόντος.
x – οι απαιτούμενοι όγκοι παραγόμενων προϊόντων κάθε τύπου (βέλτιστο σχέδιο παραγωγής) εξασφαλίζοντας μέγιστο κέρδος.

Λειτουργία στόχου
maxF(x)=c×x

Περιορισμοί
A×x≤b

Αριθμητικές τιμές μεταβλητών:
Ν=5; m=4; b_ub = ; A_ub = [, , ,]; c = .

Καθήκοντα
1. Βρείτε το x για να εξασφαλίσετε μέγιστο κέρδος
2. Βρείτε τους πόρους που χρησιμοποιούνται κατά την εκτέλεση του βήματος 1
3. Βρείτε τους υπόλοιπους πόρους (αν υπάρχουν) κατά την εκτέλεση του βήματος 1

Για τον προσδιορισμό του μέγιστου (από προεπιλογή, καθορίζεται το ελάχιστο, οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να γράφονται με αρνητικό πρόσημο c = [-25, -35,-25,-40,-30] και να αγνοηθεί το σύμβολο μείον μπροστά στο κέρδος.

Σημειώσεις που χρησιμοποιούνται για την εμφάνιση των αποτελεσμάτων:
Χ– μια σειρά μεταβλητών τιμών που παρέχουν το ελάχιστο (μέγιστο) της συνάρτησης στόχου.
χαλαρότητα– τιμές πρόσθετων μεταβλητών. Κάθε μεταβλητή αντιστοιχεί σε έναν περιορισμό ανισότητας. Μια μεταβλητή τιμή μηδέν σημαίνει ότι ο αντίστοιχος περιορισμός είναι ενεργός.
επιτυχία– Σωστό, εάν η συνάρτηση κατάφερε να βρει τη βέλτιστη λύση.
κατάσταση– κατάσταση απόφασης:
0 – η αναζήτηση για τη βέλτιστη λύση ολοκληρώθηκε με επιτυχία.
1 – έχει επιτευχθεί το όριο στον αριθμό των επαναλήψεων.
2 – το πρόβλημα δεν έχει λύσεις.
3 – η αντικειμενική συνάρτηση δεν είναι περιορισμένη.
κόνιδα ψείρας– αριθμός επαναλήψεων που πραγματοποιήθηκαν.

Λίστα της λύσης στο πρόβλημα άμεσης βελτιστοποίησης

#!/usr/bin/python # -*- κωδικοποίηση: utf-8 -*- εισαγωγή scipy από το scipy.optimize εισαγωγή linprog # φόρτωση βιβλιοθήκης LP c = [-25, -35,-25,-40,-30] # λίστα συντελεστών της συνάρτησης στόχου b_ub = # λίστα όγκων πόρων A_ub = [, # πίνακας συγκεκριμένων τιμών πόρων, , ] d=linprog(c, A_ub, b_ub) # αναζήτηση λύσης για key,val in d.items(): print(key ,val) # solution output if key=="x": q=#used resources print("A_ub*x",q) q1= scipy.array(b_ub)-scipy.array (ιζ) #remaining resources print(" b_ub-A_ub*x", q1)

Αποτελέσματα επίλυσης του προβλήματος
κόνις 3
κατάσταση 0

επιτυχία Αλήθεια
x [ 0. 0. 18.18181818 22.72727273 150. ]
A_ub*x
b_ub-A_ub*x [ 0. 0. 0. 90.90909091]
διασκέδαση -5863.63636364
χαλαρό [0. 0. 90,90909091]

συμπεράσματα

1. Βρέθηκε το βέλτιστο σχέδιο για τους τύπους προϊόντων
2. Βρέθηκε η πραγματική χρήση πόρων
3. Το υπόλοιπο του αχρησιμοποίητου τέταρτου τύπου πόρων βρέθηκε [ 0. 0 0.0 0.0 90.909]
4. Δεν χρειάζεται να γίνουν υπολογισμοί σύμφωνα με το βήμα 3, καθώς το ίδιο αποτέλεσμα εμφανίζεται στη μεταβλητή slack

Επίλυση του διπλού προβλήματος στο βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

Ο τέταρτος τύπος πόρων στην άμεση εργασία δεν χρησιμοποιείται πλήρως. Τότε η αξία αυτού του πόρου για την επιχείρηση αποδεικνύεται χαμηλότερη σε σύγκριση με πόρους που περιορίζουν την παραγωγή και η επιχείρηση είναι πρόθυμη να πληρώσει υψηλότερη τιμή για την απόκτηση πόρων που αυξάνουν τα κέρδη.

Ας εισαγάγουμε έναν νέο σκοπό για την επιθυμητή μεταβλητή x ως μια ορισμένη «σκιώδη» τιμή που καθορίζει την αξία ενός δεδομένου πόρου σε σχέση με το κέρδος από την πώληση των κατασκευασμένων προϊόντων.

Γ – διάνυσμα διαθέσιμων πόρων.
b_ub είναι το διάνυσμα του κέρδους από την παραγωγή μιας μονάδας κάθε τύπου προϊόντος.
A_ub_T – μεταφερόμενος πίνακας A_ub.

Λειτουργία στόχου
minF(x)=c×x

Περιορισμοί
A_ub_T ×x≥ b_ub

Αριθμητικές τιμές και σχέσεις για μεταβλητές:
c = ; A_ub_T transpose(A_ub); b_ub = .

Εργο:
Βρείτε το x που υποδεικνύει την τιμή για τον παραγωγό κάθε τύπου πόρου.

Χαρακτηριστικά της λύσης με τη βιβλιοθήκη scipy. βελτιστοποίηση της
Για να αντικαταστήσετε τους περιορισμούς από πάνω με περιορισμούς από κάτω, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε και τα δύο μέρη του περιορισμού με το μείον ένα – A_ub_T ×x≥ b_ub... Για να το κάνετε αυτό, γράψτε τα αρχικά δεδομένα με τη μορφή: b_ub = [-25, -35,-25,-40,-30]; A_ub_T =- scipy.transpose(A_ub).

Λίστα της λύσης στο πρόβλημα της διπλής βελτιστοποίησης

#!/usr/bin/python # -*- κωδικοποίηση: utf-8 -*- εισαγωγή scipy από scipy.optimize εισαγωγή linprog A_ub = [, , , ] c= b_ub = [-25, -35,-25,- 40,-30] A_ub_T =-scipy.transpose(A_ub) d=linprog(c, A_ub_T, b_ub) για key,val σε d.items(): print(key,val)

Αποτελέσματα επίλυσης του προβλήματος
nit 7
μήνυμα Η βελτιστοποίηση τερματίστηκε με επιτυχία.
διασκέδαση 5863.63636364
x [ 2,27272727 1,81818182 6,36363636 0. ]
χαλαρός [5,45454545 2,27272727 0. 0. 0. ]
κατάσταση 0
επιτυχία Αλήθεια

συμπεράσματα

Ο τρίτος τύπος πόρων έχει τη μεγαλύτερη αξία για τον κατασκευαστή, επομένως αυτός ο τύπος πόρου θα πρέπει να αγοραστεί πρώτα και μετά ο πρώτος και ο δεύτερος τύπος. Ο τέταρτος τύπος πόρων έχει μηδενική αξία για τον κατασκευαστή και αγοράζεται τελευταίος.

Αποτελέσματα σύγκρισης άμεσων και διπλών προβλημάτων

1. Το διπλό πρόβλημα επεκτείνει τις δυνατότητες του προγραμματισμού προϊόντων, αλλά με τη χρήση αυθαίρετων. Το optimize λύνεται σε διπλάσιο αριθμό άμεσων επαναλήψεων.
2. Η μεταβλητή slack εμφανίζει πληροφορίες σχετικά με τη δραστηριότητα των περιορισμών με τη μορφή ανισοτήτων, οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν, για παράδειγμα, για την ανάλυση των υπολοίπων πρώτων υλών.
3. Το άμεσο πρόβλημα είναι ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης, και το διπλό πρόβλημα είναι ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης, και το αντίστροφο.
4. Οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης στο άμεσο πρόβλημα είναι περιορισμοί στο διπλό πρόβλημα.
5. Οι περιορισμοί στο άμεσο πρόβλημα γίνονται συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης στο διπλό.
6. Τα σημάδια των ανισοτήτων στους περιορισμούς αντιστρέφονται.
7. Μεταφέρεται ο πίνακας του συστήματος ισοτήτων.

Συνδέσεις

Μια αντικειμενική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση με ορισμένες μεταβλητές από τις οποίες εξαρτάται άμεσα η επίτευξη της βελτιστοποίησης. Μπορεί επίσης να λειτουργήσει ως πολλές μεταβλητές που χαρακτηρίζουν ένα συγκεκριμένο αντικείμενο. Μπορούμε να πούμε ότι στην ουσία δείχνει πώς έχουμε προχωρήσει προς την επίτευξη του στόχου μας.

Ένα παράδειγμα τέτοιων λειτουργιών είναι ο υπολογισμός της αντοχής και του βάρους της κατασκευής, η ικανότητα εγκατάστασης, ο όγκος παραγωγής, το κόστος μεταφοράς και άλλα.

Η αντικειμενική συνάρτηση σάς επιτρέπει να απαντήσετε σε πολλές ερωτήσεις:

Είτε αυτό ή εκείνο το γεγονός είναι επωφελές ή όχι.

Είναι η κίνηση προς τη σωστή κατεύθυνση;

Πόσο σωστά έγινε η επιλογή κ.λπ.

Εάν δεν έχουμε την ευκαιρία να επηρεάσουμε τις παραμέτρους της συνάρτησης, τότε μπορούμε να πούμε ότι δεν μπορούμε να κάνουμε τίποτα, εκτός ίσως απλώς να αναλύσουμε τα πάντα. Αλλά για να μπορέσετε να αλλάξετε κάτι, υπάρχουν συνήθως μεταβλητές παράμετροι συνάρτησης. Το κύριο καθήκον είναι να αλλάξετε τις τιμές σε εκείνες στις οποίες η συνάρτηση γίνεται βέλτιστη.

Οι αντικειμενικές συναρτήσεις δεν μπορούν πάντα να παρουσιάζονται με τη μορφή τύπου. Αυτό θα μπορούσε να είναι ένα τραπέζι, για παράδειγμα. Επίσης, η συνθήκη μπορεί να έχει τη μορφή πολλών αντικειμενικών συναρτήσεων. Για παράδειγμα, εάν πρέπει να διασφαλίσετε τη μέγιστη αξιοπιστία, το ελάχιστο κόστος και την ελάχιστη κατανάλωση υλικού.

Τα προβλήματα βελτιστοποίησης πρέπει να έχουν την πιο σημαντική αρχική συνθήκη - μια αντικειμενική συνάρτηση. Εάν το κάνουμε, τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι η βελτιστοποίηση δεν υπάρχει. Με άλλα λόγια, αν δεν υπάρχει στόχος, τότε δεν υπάρχουν τρόποι για να τον πετύχεις, πολύ λιγότερο ευνοϊκές συνθήκες.

Οι εργασίες βελτιστοποίησης μπορεί να είναι υπό όρους ή άνευ όρων. Ο πρώτος τύπος περιλαμβάνει περιορισμούς, δηλαδή ορισμένες προϋποθέσεις κατά τη ρύθμιση του προβλήματος. Ο δεύτερος τύπος είναι να βρείτε το μέγιστο ή με τις υπάρχουσες παραμέτρους. Συχνά τέτοια προβλήματα περιλαμβάνουν αναζήτηση για ένα ελάχιστο.

Στην κλασική κατανόηση της βελτιστοποίησης, επιλέγονται τέτοιες τιμές παραμέτρων για τις οποίες η αντικειμενική συνάρτηση ικανοποιεί τα επιθυμητά αποτελέσματα. Μπορεί επίσης να οριστεί ως η διαδικασία επιλογής της καλύτερης δυνατής επιλογής. Για παράδειγμα, η επιλογή της καλύτερης κατανομής πόρων, επιλογή σχεδίασης κ.λπ.

Υπάρχει κάτι τέτοιο όπως η ατελής βελτιστοποίηση. Μπορεί να σχηματιστεί για διάφορους λόγους. Για παράδειγμα:

Ο αριθμός των συστημάτων που φθάνουν στο μέγιστο σημείο είναι περιορισμένος (έχει ήδη καθιερωθεί μονοπώλιο ή ολιγοπώλιο).

Δεν υπάρχει μονοπώλιο, αλλά δεν υπάρχουν πόροι (έλλειψη προσόντων σε οποιονδήποτε διαγωνισμό).

Η απουσία της ίδιας της γυναίκας ή μάλλον η «άγνοια» της (ένας άντρας ονειρεύεται μια συγκεκριμένη όμορφη γυναίκα, αλλά είναι άγνωστο εάν μια τέτοια γυναίκα υπάρχει στη φύση) κ.λπ.

Στις συνθήκες των σχέσεων αγοράς για τη διαχείριση των πωλήσεων και των παραγωγικών δραστηριοτήτων επιχειρήσεων και επιχειρήσεων, η βάση για τη λήψη αποφάσεων είναι οι πληροφορίες σχετικά με την αγορά και η εγκυρότητα αυτής της απόφασης ελέγχεται κατά την είσοδο στην αγορά με το αντίστοιχο προϊόν ή υπηρεσία. Σε αυτή την περίπτωση, το σημείο εκκίνησης είναι η μελέτη της καταναλωτικής ζήτησης. Για την εύρεση λύσεων, δημιουργείται μια συνάρτηση στόχου κατανάλωσης. Δείχνει την ποσότητα των αγαθών που καταναλώνονται και τον βαθμό ικανοποίησης των καταναλωτικών αναγκών, καθώς και τη μεταξύ τους σχέση.

Εάν υπάρχει μόνο ένας περιοριστικός παράγοντας (για παράδειγμα, μια σπάνια μηχανή), η λύση μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας απλούς τύπους (δείτε τον σύνδεσμο στην αρχή του άρθρου). Εάν υπάρχουν αρκετοί περιοριστικοί παράγοντες, χρησιμοποιείται η μέθοδος γραμμικού προγραμματισμού.

Γραμμικός προγραμματισμόςείναι το όνομα που δίνεται σε έναν συνδυασμό εργαλείων που χρησιμοποιούνται στην επιστήμη της διαχείρισης. Αυτή η μέθοδος επιλύει το πρόβλημα της κατανομής σπάνιων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων προκειμένου να μεγιστοποιηθούν ή να ελαχιστοποιηθούν ορισμένες αριθμητικές τιμές, όπως το περιθώριο συνεισφοράς ή τα έξοδα. Στις επιχειρήσεις, μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε τομείς όπως ο σχεδιασμός της παραγωγής για τη μεγιστοποίηση των κερδών, η επιλογή εξαρτημάτων για την ελαχιστοποίηση του κόστους, η επιλογή ενός χαρτοφυλακίου επενδύσεων για τη μεγιστοποίηση των αποδόσεων, η βελτιστοποίηση της μεταφοράς αγαθών για τη μείωση των αποστάσεων, η ανάθεση προσωπικού για τη μεγιστοποίηση της αποδοτικότητας της εργασίας και ο προγραμματισμός εργαστείτε για να εξοικονομήσετε χρόνο.

Κατεβάστε τη σημείωση σε μορφή, εικόνες σε μορφή

Ο γραμμικός προγραμματισμός περιλαμβάνει την κατασκευή ενός μαθηματικού μοντέλου του υπό εξέταση προβλήματος. Στη συνέχεια, η λύση μπορεί να βρεθεί γραφικά (συζητείται παρακάτω), χρησιμοποιώντας Excel (θα συζητηθεί ξεχωριστά) ή εξειδικευμένα προγράμματα υπολογιστή.

Ίσως η κατασκευή ενός μαθηματικού μοντέλου είναι το πιο δύσκολο μέρος του γραμμικού προγραμματισμού, που απαιτεί τη μετάφραση του υπό εξέταση προβλήματος σε ένα σύστημα μεταβλητών, εξισώσεων και ανισοτήτων - μια διαδικασία που τελικά εξαρτάται από τις δεξιότητες, την εμπειρία, τις ικανότητες και τη διαίσθηση του σχεδιαστής.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα κατασκευής ενός μαθηματικού μοντέλου γραμμικού προγραμματισμού

Ο Νικολάι Κουζνέτσοφ διατηρεί ένα μικρό μηχανολογικό εργοστάσιο. Τον επόμενο μήνα σχεδιάζει να παράγει δύο προϊόντα (Α και Β), για τα οποία το συγκεκριμένο οριακό κέρδος υπολογίζεται σε 2.500 και 3.500 ρούβλια, αντίστοιχα.

Και τα δύο προϊόντα απαιτούν μηχανική κατεργασία, πρώτες ύλες και κόστος εργασίας για να κατασκευαστούν (Εικόνα 1). Κάθε μονάδα προϊόντος Α απαιτεί 3 ώρες κατεργασίας, 16 μονάδες πρώτων υλών και 6 μονάδες εργασίας για να παραχθεί. Οι αντίστοιχες απαιτήσεις μονάδας για το Προϊόν Β είναι 10, 4 και 6. Ο Νίκολας προβλέπει ότι τον επόμενο μήνα μπορεί να προμηθεύσει 330 ώρες κατεργασίας, 400 μονάδες πρώτων υλών και 240 μονάδες εργασίας. Η τεχνολογία της παραγωγικής διαδικασίας είναι τέτοια που πρέπει να παράγονται τουλάχιστον 12 μονάδες προϊόντος Β σε κάθε δεδομένο μήνα.

Ρύζι. 1. Χρήση και παροχή πόρων

Ο Νικολάι θέλει να δημιουργήσει ένα μοντέλο για να προσδιορίσει τον αριθμό των μονάδων των προϊόντων Α και Β που πρέπει να παράγει τον επόμενο μήνα για να μεγιστοποιήσει το περιθώριο συνεισφοράς του.

Το γραμμικό μοντέλο μπορεί να κατασκευαστεί σε τέσσερα στάδια.

Βήμα 1: Ορισμός μεταβλητών

Υπάρχει μια μεταβλητή στόχος (ας την ονομάσουμε Z) που πρέπει να βελτιστοποιηθεί, δηλαδή να μεγιστοποιηθεί ή να ελαχιστοποιηθεί (για παράδειγμα, κέρδος, έσοδα ή έξοδα). Ο Nikolay επιδιώκει να μεγιστοποιήσει το περιθώριο συνεισφοράς, εξ ου και η μεταβλητή στόχος:

Z = συνολικό οριακό κέρδος (σε ρούβλια) που ελήφθη τον επόμενο μήνα ως αποτέλεσμα της παραγωγής των προϊόντων Α και Β.

Υπάρχει ένας αριθμός άγνωστων άγνωστων μεταβλητών (ας τις χαρακτηρίσουμε x 1, x 2, x 3, κ.λπ.), οι τιμές των οποίων πρέπει να καθοριστούν για να ληφθεί η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, η οποία, στην περίπτωσή μας, είναι η συνολικό οριακό κέρδος. Αυτό το περιθώριο συνεισφοράς εξαρτάται από τις ποσότητες των προϊόντων Α και Β που παράγονται. Οι τιμές αυτών των ποσοτήτων πρέπει να υπολογιστούν και επομένως αντιπροσωπεύουν τις επιθυμητές μεταβλητές στο μοντέλο. Ας υποδηλώσουμε λοιπόν:

x 1 = αριθμός μονάδων του προϊόντος Α που παράγονται τον επόμενο μήνα.

x 2 = αριθμός μονάδων του προϊόντος Β που παράγονται τον επόμενο μήνα.

Είναι πολύ σημαντικό να ορίζονται με σαφήνεια όλες οι μεταβλητές. Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στις μονάδες μέτρησης και τη χρονική περίοδο στην οποία αναφέρονται οι μεταβλητές.

Στάδιο. 2. Κατασκευή της αντικειμενικής συνάρτησης

Μια αντικειμενική συνάρτηση είναι μια γραμμική εξίσωση που πρέπει είτε να μεγιστοποιηθεί είτε να ελαχιστοποιηθεί. Περιέχει τη μεταβλητή στόχο που εκφράζεται με τη χρήση των μεταβλητών στόχου, δηλαδή το Z εκφρασμένο σε όρους x 1, x 2 ... με τη μορφή γραμμικής εξίσωσης.

Στο παράδειγμά μας, κάθε κατασκευασμένο προϊόν Α φέρνει 2.500 ρούβλια. οριακό κέρδος και κατά την παραγωγή x 1 μονάδων του προϊόντος Α, το οριακό κέρδος θα είναι 2500 * x 1. Ομοίως, το οριακό κέρδος από την παραγωγή x 2 μονάδων του προϊόντος Β θα είναι 3500 * x 2. Έτσι, το συνολικό οριακό κέρδος που λαμβάνεται τον επόμενο μήνα παράγοντας x 1 μονάδες του προϊόντος Α και x 2 μονάδες του προϊόντος Β, δηλαδή η μεταβλητή στόχος Ζ θα είναι:

Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2

Ο Νικολάι προσπαθεί να μεγιστοποιήσει αυτόν τον δείκτη. Έτσι, η αντικειμενική συνάρτηση στο μοντέλο μας είναι:

Μεγιστοποίηση Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2

Στάδιο. 3. Ορίστε περιορισμούς

Οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ή/και ανισοτήτων που περιορίζουν τις τιμές των επιθυμητών μεταβλητών. Αντικατοπτρίζουν μαθηματικά τη διαθεσιμότητα των πόρων, τους τεχνολογικούς παράγοντες, τις συνθήκες μάρκετινγκ και άλλες απαιτήσεις. Οι περιορισμοί μπορεί να είναι τριών τύπων: «λιγότερο από ή ίσο», «μεγαλύτερο ή ίσο», «αυστηρά ίσο».

Στο παράδειγμά μας, η παραγωγή προϊόντων Α και Β απαιτεί χρόνο κατεργασίας, πρώτες ύλες και εργασία και η διαθεσιμότητα αυτών των πόρων είναι περιορισμένη. Οι όγκοι παραγωγής αυτών των δύο προϊόντων (δηλαδή οι τιμές των x 1 x 2) θα περιοριστούν επομένως από το γεγονός ότι η ποσότητα των πόρων που απαιτούνται στη διαδικασία παραγωγής δεν μπορεί να υπερβαίνει τα διαθέσιμα. Ας εξετάσουμε την κατάσταση με τον χρόνο επεξεργασίας της μηχανής. Η παραγωγή κάθε μονάδας προϊόντος Α απαιτεί τρεις ώρες κατεργασίας και εάν παράγονται x 1 μονάδες, τότε θα δαπανηθούν 3 * x 1 ώρες αυτού του πόρου. Κάθε μονάδα προϊόντος Β απαιτεί 10 ώρες για να παραχθεί και επομένως εάν παράγονται x 2 προϊόντα, τότε θα απαιτηθούν 10 * x 2 ώρες. Έτσι, η συνολική ποσότητα χρόνου μηχανής που απαιτείται για την παραγωγή x 1 μονάδων του προϊόντος Α και x 2 μονάδων του προϊόντος Β είναι 3 * x 1 + 10 * x 2 . Αυτός ο συνολικός χρόνος μηχανής δεν μπορεί να υπερβαίνει τις 330 ώρες. Μαθηματικά αυτό γράφεται ως εξής:

3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330

Παρόμοιες σκέψεις ισχύουν για τις πρώτες ύλες και την εργασία, γεγονός που μας επιτρέπει να καταγράψουμε δύο ακόμη περιορισμούς:

16 * x 1 + 4 * x 2 ≤ 400

6 * x 1 + 6 * x 2 ≤ 240

Τέλος, πρέπει να σημειωθεί ότι υπάρχει μια προϋπόθεση σύμφωνα με την οποία πρέπει να παράγονται τουλάχιστον 12 μονάδες του προϊόντος Β:

Στάδιο 4. Σύνταξη μη αρνητικών συνθηκών

Οι απαιτούμενες μεταβλητές δεν μπορούν να είναι αρνητικοί αριθμοί, οι οποίοι πρέπει να γράφονται με τη μορφή ανισώσεων x 1 ≥ 0 και x 2 ≥ 0. Στο παράδειγμά μας, η δεύτερη συνθήκη είναι περιττή, καθώς καθορίστηκε παραπάνω ότι το x 2 δεν μπορεί να είναι μικρότερο από 12 .

Το πλήρες μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού για το πρόβλημα παραγωγής του Νικολάι μπορεί να γραφτεί ως:

Μεγιστοποίηση: Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2

Υπό την προϋπόθεση ότι: 3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330

16 * x 1 + 4 * x 2 ≤ 400

6 * x 1 + 6 * x 2 ≤ 240

Ας εξετάσουμε μια γραφική μέθοδο για την επίλυση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού.

Αυτή η μέθοδος είναι κατάλληλη μόνο για προβλήματα με δύο άγνωστες μεταβλητές. Το μοντέλο που κατασκευάστηκε παραπάνω θα χρησιμοποιηθεί για την επίδειξη της μεθόδου.

Οι άξονες στο γράφημα αντιπροσωπεύουν τις δύο μεταβλητές που μας ενδιαφέρουν (Εικόνα 2). Δεν έχει σημασία ποια μεταβλητή σχεδιάζεται κατά μήκος ποιου άξονα. Είναι σημαντικό να επιλέξετε μια κλίμακα που θα σας επιτρέψει τελικά να δημιουργήσετε ένα σαφές διάγραμμα. Εφόσον και οι δύο μεταβλητές πρέπει να είναι μη αρνητικές, σχεδιάζεται μόνο το 1ο τεταρτημόριο.

Ρύζι. 2. Άξονες γραφήματος γραμμικού προγραμματισμού

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τον πρώτο περιορισμό: 3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330. Αυτή η ανισότητα περιγράφει την περιοχή κάτω από τη γραμμή: 3 * x 1 + 10 * x 2 = 330. Αυτή η ευθεία τέμνει τον άξονα x 1 στο x 2 = 0, δηλαδή, η εξίσωση μοιάζει με αυτό: 3 * x 1 + 10 * 0 = 330 και η λύση της: x 1 = 330 / 3 = 110

Ομοίως, υπολογίζουμε τα σημεία τομής με τους άξονες x1 και x2 για όλες τις συνθήκες περιορισμού:

Εύρος αποδεκτών τιμών	Όριο αποδεκτών τιμών	Τομή με τον άξονα x 1	Τομή με τον άξονα x 2
3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330	3 * x 1 + 10 * x 2 = 330	x 1 = 110; x 2 = 0	x 1 = 0; x 2 = 33
16 * x 1 + 4 * x 2 ≤ 400	16 * x 1 + 4 * x 2 = 400	x 1 = 25; x 2 = 0	x 1 = 0; x 2 = 100
6 * x 1 + 6 * x 2 ≤ 240	6 * x 1 + 6 * x 2 = 240	x 1 = 40; x 2 = 0	x 1 = 0; x 2 = 40
x 2 ≥ 12	x 2 = 12	δεν σταυρώνει? τρέχει παράλληλα με τον άξονα x 1	x 1 = 0; x 2 = 12

Γραφικά, ο πρώτος περιορισμός φαίνεται στο Σχ. 3.

Ρύζι. 3. Κατασκευή της περιοχής των εφικτών λύσεων για τον πρώτο περιορισμό

Οποιοδήποτε σημείο εντός του επιλεγμένου τριγώνου ή στα όριά του θα πληροί αυτόν τον περιορισμό. Τέτοια σημεία ονομάζονται έγκυρα και τα σημεία εκτός του τριγώνου ονομάζονται άκυρα.

Παρομοίως εμφανίζουμε τους υπόλοιπους περιορισμούς στο γράφημα (Εικ. 4). Οι τιμές των x 1 και x 2 πάνω ή μέσα στη σκιασμένη περιοχή ABCDE θα ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς του μοντέλου. Αυτή η περιοχή ονομάζεται περιοχή των εφικτών λύσεων.

Ρύζι. 4. Περιοχή εφικτών λύσεων για το μοντέλο συνολικά

Τώρα, στην περιοχή των εφικτών λύσεων, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι τιμές x 1 και x 2 που μεγιστοποιούν το Z. Για να γίνει αυτό, στην εξίσωση της αντικειμενικής συνάρτησης:

Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2

διαιρέστε (ή πολλαπλασιάστε) τους συντελεστές πριν από τα x 1 και x 2 με τον ίδιο αριθμό, έτσι ώστε οι προκύπτουσες τιμές να εμπίπτουν στο εύρος που αντικατοπτρίζεται στο γράφημα. στην περίπτωσή μας, αυτό το εύρος είναι από 0 έως 120. οπότε οι πιθανότητες μπορούν να διαιρεθούν με το 100 (ή το 50):

Z = 25x 1 + 35x 2

στη συνέχεια αντιστοιχίστε στο Z μια τιμή ίση με το γινόμενο των συντελεστών πριν από x 1 και x 2 (25 * 35 = 875):

875 = 25x 1 + 35x 2

και τέλος, βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες x 1 και x 2:

Ας σχεδιάσουμε αυτή την εξίσωση στόχο σε ένα γράφημα παρόμοιο με τους περιορισμούς (Εικ. 5):

Ρύζι. 5. Εφαρμογή της αντικειμενικής συνάρτησης (μαύρη διακεκομμένη γραμμή) στην περιοχή των εφικτών λύσεων

Η τιμή Z είναι σταθερή σε όλη τη γραμμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Για να βρείτε τις τιμές x 1 και x 2 που μεγιστοποιούν το Z, πρέπει να μετακινήσετε παράλληλα τη γραμμή της αντικειμενικής συνάρτησης σε ένα σημείο εντός των ορίων της περιοχής των εφικτών λύσεων, το οποίο βρίσκεται στη μέγιστη απόσταση από την αρχική γραμμή της αντικειμενικής συνάρτησης πάνω και δεξιά, δηλαδή στο σημείο Γ (Εικ. 6).

Ρύζι. 6. Η γραμμή της αντικειμενικής συνάρτησης έχει φτάσει στο μέγιστο εντός της περιοχής των εφικτών λύσεων (στο σημείο Γ)

Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η βέλτιστη λύση θα βρίσκεται σε ένα από τα ακραία σημεία της περιοχής απόφασης. Ποια θα εξαρτηθεί από την κλίση της αντικειμενικής συνάρτησης και από το πρόβλημα που λύνουμε: μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση. Έτσι, δεν είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε την αντικειμενική συνάρτηση - το μόνο που χρειάζεται είναι να προσδιορίσετε τις τιμές των x 1 και x 2 σε κάθε ακραίο σημείο διαβάζοντας από ένα διάγραμμα ή λύνοντας το κατάλληλο ζεύγος εξισώσεων. Οι τιμές που βρέθηκαν των x 1 και x 2 αντικαθίστανται στη συνέχεια στην αντικειμενική συνάρτηση για τον υπολογισμό της αντίστοιχης τιμής του Z. Η βέλτιστη λύση είναι αυτή που λαμβάνει τη μέγιστη τιμή του Z κατά την επίλυση του προβλήματος μεγιστοποίησης και την ελάχιστη κατά την επίλυση το πρόβλημα ελαχιστοποίησης.

Ας προσδιορίσουμε, για παράδειγμα, τις τιμές των x 1 και x 2 στο σημείο C. Σημειώστε ότι το σημείο C βρίσκεται στη διασταύρωση των γραμμών: 3x 1 + 10x 2 = 330 και 6x 1 + 6x 2 = 240. Η επίλυση αυτού του συστήματος εξισώσεων δίνει: x 1 = 10, x 2 = 30. Τα αποτελέσματα του υπολογισμού για όλες τις κορυφές της περιοχής των εφικτών λύσεων δίνονται στον πίνακα:

Τελεία	Τιμή x 1	Τιμή x 2	Z = 2500x 1 + 3500x 2
ΕΝΑ	22	12	97 000
ΣΕ	20	20	120 000
ΜΕ	10	30	130 000
ρε	0	33	115 500
μι	0	12	42 000

Έτσι, ο Nikolai Kuznets πρέπει να σχεδιάσει για τον επόμενο μήνα την παραγωγή 10 προϊόντων Α και 30 προϊόντων Β, κάτι που θα του επιτρέψει να λάβει οριακό κέρδος 130 χιλιάδων ρούβλια.

Συνοπτικά, η ουσία της γραφικής μεθόδου για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να δηλωθεί ως εξής:

1. Σχεδιάστε δύο άξονες στο γράφημα, που αντιπροσωπεύουν τις δύο παραμέτρους της λύσης. σχεδιάστε μόνο το 1ο τεταρτημόριο.
2. Προσδιορίστε τις συντεταγμένες των σημείων τομής όλων των συνοριακών συνθηκών με τους άξονες, αντικαθιστώντας εναλλάξ τις τιμές x 1 = 0 και x 2 = 0 στις εξισώσεις των οριακών συνθηκών.
3. Σχεδιάστε τις γραμμές περιορισμού του μοντέλου στο γράφημα.
4. Προσδιορίστε την περιοχή στο γράφημα (που ονομάζεται περιοχή εφικτής απόφασης) που πληροί όλους τους περιορισμούς. Εάν δεν υπάρχει τέτοια περιοχή, τότε το μοντέλο δεν έχει λύση.
5. Προσδιορίστε τις τιμές των μεταβλητών στόχου στα ακραία σημεία της περιοχής απόφασης και σε κάθε περίπτωση υπολογίστε την αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής στόχου Z.
6. Για προβλήματα μεγιστοποίησης, η λύση είναι το σημείο στο οποίο το Z είναι μέγιστο για τα προβλήματα ελαχιστοποίησης, η λύση είναι το σημείο στο οποίο το Z είναι ελάχιστο.

όπου είναι πάγια κόστη που δεν εξαρτώνται από τον τρόπο επεξεργασίας, ελάχ.

Εδώ - προπαρασκευαστική - τελική ώρα για την επιχείρηση, min;

Μέγεθος παρτίδας επεξεργασμένων εξαρτημάτων.

Χρόνος βοηθητικής λειτουργίας, min;

Χρόνος συντήρησης εξαιρουμένου του χρόνου αντικατάστασης εργαλείου, min;

Χρόνος ανάπαυσης εργαζομένου, min;

Χρονικό κόστος που σχετίζεται με την αντικατάσταση ενός θαμπού εργαλείου και την αντίστοιχη προσαρμογή του τεχνολογικού συστήματος.

πού είναι ο χρόνος αντικατάστασης του εργαλείου και η αντίστοιχη ρύθμιση διαστάσεων;

Διάμετρος και μήκος του επεξεργασμένου άξονα.

Συντελεστής για τον υπολογισμό της ταχύτητας κοπής.

Ταχύτητα κοπής;

Βάθος κοπής?

Εδώ είναι οι εκθέτες στους τύπους για τον υπολογισμό των συνθηκών κοπής.

Η ανάλυση της συνάρτησης αντικειμενικού χρόνου καθιστά δυνατή την αποκάλυψη αποθεμάτων για πρόσθετες αυξήσεις παραγωγικότητας και τον προσδιορισμό των βέλτιστων συνθηκών κοπής που εξασφαλίζουν ελάχιστο κόστος για την εκτέλεση της λειτουργίας.

Συνάρτηση αντικειμενικού κόστουςχρησιμοποιώντας το παράδειγμα επεξεργασίας άξονα, μοιάζει με:

Εδώ είναι το κόστος του υλικού.

Έξοδα ανά μονάδα χρόνου, αντίστοιχα, για τη λειτουργία εξοπλισμού, συσκευών, μισθών, λαμβάνοντας υπόψη τα γενικά έξοδα.

Χρόνος για αντικατάσταση εργαλείου και κατάλληλη ρύθμιση διαστάσεων.

Το κόστος του εργαλείου κατά την περίοδο λειτουργίας του.

Το πρώτο μέλος της έκφρασης καθορίζει το πάγιο κόστος του υλικού, το κόστος που σχετίζεται με την προετοιμασία και τον τελικό χρόνο και τον χρόνο εξυπηρέτησης. Ο δεύτερος όρος της έκφρασης καθορίζει το κόστος του κοπτικού εργαλείου και το χρόνο διακοπής λειτουργίας κατά την αντικατάστασή του. Ο τρίτος όρος της έκφρασης καθορίζει το κόστος που σχετίζεται άμεσα με τη διαδικασία κοπής.

Σχεδιασμός όγκου τεχνολογικών μηχανημάτων

Αυτή και όλες οι επόμενες διαλέξεις είναι αφιερωμένες στα ζητήματα της μαθηματικής μοντελοποίησης και βελτιστοποίησης των τεχνολογικών εργαλειομηχανών.

Ογκομετρικός σχεδιασμός της εργασίας του μηχανολογικού τμήματος όταν επιτευχθεί το μέγιστο φορτίο τεχνολογικού εξοπλισμού

Διατύπωση του προβλήματος. Διαθέσιμος Μ- μηχανές ( Μ– ομάδες μηχανών) στις οποίες μπορούν να κατασκευαστούν n– τύποι ανταλλακτικών. Πολυπλοκότητα επεξεργασίας ι- Ω λεπτομέρειες για Εγώ– m μηχανή είναι , ώρα. Τα κεφάλαια του χρόνου λειτουργίας κάθε μηχανής (ομάδα μηχανών) είναι γνωστά - σιΕγώ. Τα αρχικά δεδομένα για την επίλυση του προβλήματος παρουσιάζονται στον Πίνακα 14.1.

Πίνακας 14.1. Αρχικά στοιχεία για την επίλυση του προβλήματος, που παρουσιάζονται σε γενική μορφή

Ανάγκη προσδιορισμούτον αριθμό των εξαρτημάτων κάθε τύπου, κατά την επεξεργασία των οποίων επιτυγχάνεται το μέγιστο φορτίο του εξοπλισμού του εργοταξίου.

Μαθηματικό μοντέλογια να λύσουμε το πρόβλημα θα γράψουμε:

Περιορισμοί:

Το πρόβλημα επιλύεται με τη μέθοδο του γραμμικού προγραμματισμού. Θα πρέπει να έχετε υπόψη σας τα ακόλουθα. Ο αριθμός των περιορισμών της φόρμας (14.1) - (14.3) στο μαθηματικό μοντέλο πρέπει να είναι αυστηρά ίσος με τον αριθμό των μηχανών (ομάδων μηχανών) της τοποθεσίας. Κατά την επίλυση ενός προβλήματος με χρήση υπολογιστή, ο αριθμός των μηχανών (ομάδες μηχανών), καθώς και οι τύποι εξαρτημάτων, είναι πρακτικά απεριόριστος και καθορίζεται μόνο από τις δυνατότητες του υπολογιστή και του αντίστοιχου προγράμματος. Όταν επιλύετε ένα πρόβλημα με μη αυτόματο τρόπο χρησιμοποιώντας τη γραφική-αναλυτική μέθοδο, ο αριθμός των τύπων μηχανών (ομάδες μηχανών) δεν είναι επίσης περιορισμένος, αλλά η αύξηση τους θα οδηγήσει φυσικά σε αύξηση του χρόνου υπολογισμού. Ο αριθμός των τύπων εξαρτημάτων δεν πρέπει να υπερβαίνει τα δύο, γιατί Διαφορετικά, θα είναι αδύνατη η εκτέλεση των απαραίτητων γραφικών κατασκευών στο αεροπλάνο.

Παράδειγμα.Τα δεδομένα πηγής για το παράδειγμα δίνονται στον Πίνακα 14.2.

Πίνακας 14.2. Αρχικά δεδομένα για την επίλυση του προβλήματος

Ας υποδηλώσουμε με τον αριθμό των τμημάτων του τύπου D 1, με τον αριθμό των τμημάτων του τύπου D 2.

Μαθηματικό μοντέλογια την επίλυση αυτού του προβλήματος θα γραφτεί ως εξής:

Περιορισμοί(ανάλογα με το χρόνο λειτουργίας του εξοπλισμού):

Απαιτείται η εύρεση τιμών και που ικανοποιούν τους δεδομένους περιορισμούς (14.6) – (14.10) και διασφαλίζουν το μέγιστο της αντικειμενικής συνάρτησης (14.11). Οι παράμετροι είναι ελεγχόμενες παραμέτρουςσε ένα μαθηματικό μοντέλο.

Ας λύσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη γραφοαναλυτική μέθοδο (βλ. διάλεξη 6). Μια γραφική απεικόνιση της λύσης του προβλήματος φαίνεται στο Σχ. 14.1.

Εικ. 14.1. Γραφική απεικόνιση της λύσης του προβλήματος

Υπολογισμοί για την κατασκευή περιορισμών (14.6) – (14.8):

Χ 1
x 2

Χ 1
x 2

Έχοντας σχεδιάσει μια ευθεία γραμμή παράλληλη με αυτήν, βρίσκουμε το σημείο επαφής με το όριο ODR του - αυτό είναι το σημείο Α. Για να βρούμε τις συντεταγμένες του (τα σημεία τομής των περιορισμών 14.7 και 14.8), λύνουμε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:

Εκείνοι. τελικά

Η μέγιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (μέγιστο φορτίο του εξοπλισμού του χώρου) με τις βέλτιστες τιμές των απαιτούμενων παραμέτρων θα είναι:

Πρόβλημα ελάχιστου φορτίου εξοπλισμού

Αυτό και τα επόμενα προβλήματα σε αυτή τη διάλεξη παρουσιάζονται στο επίπεδο της τοποθέτησης του προβλήματος και της διαμόρφωσης ενός μαθηματικού μοντέλου για την επίλυσή του. Όλα αυτά επιλύονται χρησιμοποιώντας μεθόδους γραμμικού προγραμματισμού.

Διαθέσιμος Μμηχανές στις οποίες μπορούν να κατασκευαστούν nείδη εξαρτημάτων. Εκτέλεση Εγώ- η μηχανή κατά την κατασκευή ενός ανταλλακτικού ι- ο τύπος είναι C ij. Αξίες προγραμματισμένων εργασιών A jγια παραγωγή ι- λεπτομέρειες και πόρος χρόνου B iδουλειά Εγώ- η μηχανή δίνεται στον Πίνακα 14.3.

Πίνακας 14.3 Αρχικά δεδομένα για την επίλυση του προβλήματος

Απαιτείται, λαμβάνοντας υπόψη τους πόρους χρόνου λειτουργίας κάθε μηχανής, να κατανέμονται οι εργασίες μεταξύ των μηχανών με τέτοιο τρόπο ώστε ο συνολικός χρόνος λειτουργίας όλων των μηχανών να είναι ελάχιστος.

Αφήνω t ij- ώρα προετοιμασίας ι- Ω λεπτομέρειες Εγώ- m μηχανή. Ας καταρτίσουμε περιορισμούς χρόνου για κάθε μηχάνημα:

Η λύση στο πρόβλημα είναι η ελαχιστοποίηση της γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης (συνολικός χρόνος)

(14.14)

υπό τους περιορισμούς (14.12), (14.13) και την προϋπόθεση ότι όλες οι μεταβλητές .

Το πρόβλημα της βέλτιστης κατανομής των εξαρτημάτων μεταξύ των εργαλειομηχανών

Αφήστε κάποια μηχανή να αποτελείται από διαφορετικούς τύπους εξαρτημάτων, τα οποία αριθμούμε με αριθμούς. Υπάρχουν διάφοροι τύποι μηχανών και ο αριθμός των μηχανών του τύπου είναι ίσος με . Τα ανταλλακτικά μπορούν να παραχθούν σε διαφορετικούς τύπους μηχανών. Η παραγωγικότητα του ου τύπου μηχανής στην παραγωγή του ου ανταλλακτικού είναι . Μετά την παραγωγή, τα εξαρτήματα αποστέλλονται για συναρμολόγηση. Απαιτείται η προσάρτηση των μηχανών σε μέρη με τέτοιο τρόπο ώστε να επιτυγχάνεται ο μέγιστος αριθμός μηχανών ανά μονάδα χρόνου.

Έστω ο αριθμός των μηχανών του ου τύπου στις οποίες μπορεί να παραχθεί το ου μέρος. Προφανώς, ο αριθμός των μηχανών του τύπου που παράγει μέρη αυτών των τύπων δεν πρέπει να υπερβαίνει έναν δεδομένο αριθμό:

Ο συνολικός αριθμός των σετ εξαρτημάτων που απαιτούνται για τη συναρμολόγηση μιας μηχανής είναι ίσος με τον συνολικό αριθμό ενός εξαρτήματος, που έχει, για παράδειγμα, τον αριθμό 1. Επομένως, η λύση στο πρόβλημα είναι να μεγιστοποιήσετε τη γραμμική συνάρτηση

(14.17)

υπό περιορισμούς (14.15), (14.16) με την πρόσθετη προϋπόθεση ότι όλες οι μεταβλητές .

Οι βέλτιστες τιμές που βρέθηκαν για αυτό το πρόβλημα δεν είναι απαραίτητα ακέραιοι. Για παράδειγμα, σημαίνει ότι δύο μηχανές του πρώτου τύπου θα παράγουν τον αριθμό εξαρτήματος 1 μέσα σε μια μονάδα χρόνου, ενώ μια τρίτη μηχανή του ίδιου τύπου θα λειτουργήσει μόνο το ήμισυ του καθορισμένου χρόνου.

Το πρόβλημα της παραγωγής προϊόντων με περιορισμένες προμήθειες πρώτων υλών

Διάφοροι τύποι προϊόντων παράγονται από είδη πρώτων υλών. Το κόστος πώλησης των βιομηχανοποιημένων προϊόντων του ου τύπου είναι . Το απόθεμα πρώτων υλών ου τύπου για την προγραμματική περίοδο είναι ίσο με . Η ανάγκη για πρώτες ύλες αυτού του τύπου είναι . Τα αρχικά δεδομένα για την επίλυση του προβλήματος δίνονται στον Πίνακα 14.4.

Πίνακας 14.4 Αρχικά δεδομένα για την επίλυση του προβλήματος

Απαιτείται για κάθε τύπο προϊόντος να προσδιορίζεται ένας τέτοιος όγκος παραγωγής ώστε να διασφαλίζεται το μέγιστο κόστος πωλήσεων των βιομηχανοποιημένων προϊόντων, υπό την προϋπόθεση ότι δεν γίνεται υπέρβαση των αποθεμάτων των διαθέσιμων πρώτων υλών.

Οι περιορισμοί στα αποθέματα πρώτων υλών είναι οι εξής:

(14.18)

Το καθήκον είναι να καθοριστούν οι βέλτιστες τιμές των παραμέτρων (μεταβλητών) που μεγιστοποιούν το κόστος παραγωγής, δηλ. λειτουργία στόχου

υπό περιορισμούς (14.18) και πρόσθετους όρους.

Βασικά στοιχεία της θεωρίας της ουράς

Η θεωρία της ουράς είναι ένας από τους κλάδους της θεωρίας πιθανοτήτων. Αυτή η θεωρία θεωρεί πιθανολογικόςπροβλήματα και μαθηματικά μοντέλα (πριν από αυτό θεωρούσαμε ντετερμινιστικά μαθηματικά μοντέλα). Να σας υπενθυμίσουμε ότι:

Ντετερμινιστικό μαθηματικό μοντέλοαντανακλά τη συμπεριφορά ενός αντικειμένου (συστήματος, διαδικασίας) από την προοπτική απόλυτη βεβαιότηταστο παρόν και στο μέλλον.

Πιθανολογικό μαθηματικό μοντέλολαμβάνει υπόψη την επίδραση τυχαίων παραγόντων στη συμπεριφορά ενός αντικειμένου (σύστημα, διαδικασία) και, ως εκ τούτου, αξιολογεί το μέλλον από την άποψη της πιθανότητας ορισμένων γεγονότων.

Εκείνοι. Εδώ, όπως, για παράδειγμα, στη θεωρία παιγνίων εξετάζονται προβλήματα σε συνθήκες αβεβαιότητας.

Ας εξετάσουμε πρώτα μερικές έννοιες που χαρακτηρίζουν τη «στοχαστική αβεβαιότητα», όταν οι αβέβαιοι παράγοντες που περιλαμβάνονται στο πρόβλημα είναι τυχαίες μεταβλητές (ή τυχαίες συναρτήσεις), τα πιθανοτικά χαρακτηριστικά των οποίων είτε είναι γνωστά είτε μπορούν να ληφθούν από την εμπειρία. Μια τέτοια αβεβαιότητα ονομάζεται επίσης «ευνοϊκή», «καλοήθης».

Η έννοια της τυχαίας διαδικασίας

Αυστηρά μιλώντας, οι τυχαίες διαταραχές είναι εγγενείς σε οποιαδήποτε διαδικασία. Είναι ευκολότερο να δώσουμε παραδείγματα τυχαίας διαδικασίας παρά «μη τυχαίας» διαδικασίας. Ακόμη, για παράδειγμα, η διαδικασία εκτέλεσης ενός ρολογιού (φαίνεται να είναι μια αυστηρά βαθμονομημένη εργασία - «λειτουργεί σαν ρολόι») υπόκειται σε τυχαίες αλλαγές (προχωρώντας προς τα εμπρός, υστέρηση, διακοπή). Αλλά όσο αυτές οι διαταραχές είναι ασήμαντες και έχουν μικρή επίδραση στις παραμέτρους που μας ενδιαφέρουν, μπορούμε να τις παραμελήσουμε και να θεωρήσουμε τη διαδικασία ως ντετερμινιστική, μη τυχαία.

Ας υπάρχει κάποιο σύστημα μικρό(τεχνική συσκευή, ομάδα τέτοιων συσκευών, τεχνολογικό σύστημα - μηχανή, τοποθεσία, εργαστήριο, επιχείρηση, βιομηχανία κ.λπ.). Στο σύστημα μικρόδιαρροές τυχαία διαδικασία, εάν αλλάζει την κατάστασή του με την πάροδο του χρόνου (μεταβαίνει από τη μια κατάσταση στην άλλη), επιπλέον, με τυχαίο τρόπο προηγουμένως άγνωστο.

Παραδείγματα: 1. Σύστημα μικρό– τεχνολογικό σύστημα (τμήμα μηχανής). Τα μηχανήματα χαλάνε κατά καιρούς και επισκευάζονται. Η διαδικασία που λαμβάνει χώρα σε αυτό το σύστημα είναι τυχαία.

2. Σύστημα μικρό- ένα αεροσκάφος που πετά σε δεδομένο ύψος κατά μήκος μιας συγκεκριμένης διαδρομής. Ενοχλητικοί παράγοντες - καιρικές συνθήκες, λάθη πληρώματος κ.λπ., συνέπειες - ανωμαλίες, παραβίαση του προγράμματος πτήσεων κ.λπ.

Markov τυχαία διαδικασία

Μια τυχαία διαδικασία που συμβαίνει σε ένα σύστημα ονομάζεται Μαρκόφσκι, εάν για οποιαδήποτε στιγμή του χρόνου t 0 πιθανοτικά χαρακτηριστικά μιας διεργασίας στο μέλλον εξαρτώνται μόνο από την κατάστασή της αυτή τη στιγμή t 0 και δεν εξαρτώνται από το πότε και πώς το σύστημα έφτασε σε αυτήν την κατάσταση.

Έστω το σύστημα σε μια συγκεκριμένη κατάσταση τη στιγμή t 0 μικρό 0 . Γνωρίζουμε τα χαρακτηριστικά της κατάστασης του συστήματος στο παρόν και όλα όσα συνέβησαν κατά τη διάρκεια t < t 0 (ιστορικό διαδικασίας). Μπορούμε να προβλέψουμε (να προβλέψουμε) το μέλλον, δηλ. τι θα γίνει πότε t > t 0 ? Όχι ακριβώς, αλλά κάποια πιθανολογικά χαρακτηριστικά της διαδικασίας μπορούν να βρεθούν στο μέλλον. Για παράδειγμα, η πιθανότητα ότι μετά από κάποιο χρονικό διάστημα το σύστημα μικρόθα είναι σε θέση μικρό 1 ή θα παραμείνει σε κατάσταση μικρό 0, κ.λπ.

Παράδειγμα. Σύστημα μικρό- ομάδα αεροσκαφών που συμμετέχουν σε εναέριες μάχες. Αφήνω Χ– αριθμός «κόκκινων» αεροπλάνων, y– τον ​​αριθμό των «μπλε» αεροσκαφών. Ωσπου t 0 αριθμός επιζώντων (δεν καταρρίφθηκαν) αεροσκάφη, αντίστοιχα – Χ 0 , y 0 . Μας ενδιαφέρει η πιθανότητα κάποια στιγμή η αριθμητική υπεροχή να είναι με το μέρος των «κόκκινων». Αυτή η πιθανότητα εξαρτάται από την κατάσταση στην οποία βρισκόταν το σύστημα εκείνη τη στιγμή t 0, και όχι για το πότε και σε ποια σειρά οι καταρριφθέντες πέθαναν μέχρι εκείνη τη στιγμή t 0 αεροπλάνα.

Στην πράξη, οι διαδικασίες Markov στην καθαρή τους μορφή συνήθως δεν συναντώνται. Αλλά υπάρχουν διαδικασίες για τις οποίες η επιρροή της «προϊστορίας» μπορεί να παραμεληθεί. Και κατά τη μελέτη τέτοιων διαδικασιών, μπορούν να χρησιμοποιηθούν μοντέλα Markov (η θεωρία ουρών δεν εξετάζει τα συστήματα ουράς Markov, αλλά η μαθηματική συσκευή που τα περιγράφει είναι πολύ πιο περίπλοκη).

Στην επιχειρησιακή έρευνα, οι τυχαίες διεργασίες Markov με διακριτές καταστάσεις και συνεχή χρόνο έχουν μεγάλη σημασία.

Η διαδικασία ονομάζεται διαδικασία διακριτής κατάστασης, εάν είναι δυνατόν να δηλώνει μικρό 1 , μικρό 2, ... μπορεί να καθοριστεί εκ των προτέρων και η μετάβαση του συστήματος από κατάσταση σε κατάσταση πραγματοποιείται "σε ένα άλμα", σχεδόν αμέσως.

Η διαδικασία ονομάζεται συνεχής χρονική διαδικασία, εάν οι στιγμές των πιθανών μεταβάσεων από κατάσταση σε κατάσταση δεν έχουν καθοριστεί εκ των προτέρων, αλλά είναι αβέβαιες, τυχαίες και μπορούν να συμβούν ανά πάσα στιγμή.

Παράδειγμα. Τεχνολογικό σύστημα (τμήμα) μικρόαποτελείται από δύο μηχανήματα, καθένα από τα οποία μπορεί να αποτύχει (αποτυχία) σε μια τυχαία χρονική στιγμή, μετά την οποία αρχίζει αμέσως η επισκευή της μονάδας, η οποία επίσης συνεχίζεται για έναν άγνωστο, τυχαίο χρόνο. Είναι δυνατές οι ακόλουθες καταστάσεις συστήματος:

μικρό 0 - και τα δύο μηχανήματα λειτουργούν.

μικρό 1 - το πρώτο μηχάνημα επισκευάζεται, το δεύτερο λειτουργεί.

μικρό 2 - το δεύτερο μηχάνημα επισκευάζεται, το πρώτο λειτουργεί.

μικρό 3 - και τα δύο μηχανήματα επισκευάζονται.

Μεταβάσεις συστήματος μικρόαπό κατάσταση σε κατάσταση συμβαίνουν σχεδόν αμέσως, σε τυχαίες στιγμές που ένα συγκεκριμένο μηχάνημα αστοχεί ή ολοκληρώνεται μια επισκευή.

Κατά την ανάλυση τυχαίων διεργασιών με διακριτές καταστάσεις, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε ένα γεωμετρικό σχήμα - γράφημα κατάστασης. Οι κορυφές του γραφήματος είναι οι καταστάσεις του συστήματος. Γραφικά τόξα – πιθανές μεταβάσεις από κατάσταση σε

Εικ. 15.1. Γράφημα κατάστασης συστήματος

κατάσταση. Για το παράδειγμά μας, το γράφημα κατάστασης φαίνεται στο Σχ. 15.1.

Σημείωση. Μετάβαση από το κράτος μικρό 0 ίντσες μικρό 3 δεν υποδεικνύεται στο σχήμα, επειδή Υποτίθεται ότι τα μηχανήματα αποτυγχάνουν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Παραμελούμε την πιθανότητα ταυτόχρονης βλάβης και των δύο μηχανών.

Ροές συμβάντων

Ροή εκδήλωσης– μια ακολουθία ομοιογενών γεγονότων που ακολουθούν το ένα μετά το άλλο σε κάποιες τυχαίες χρονικές στιγμές.

Στο προηγούμενο παράδειγμα, πρόκειται για μια ροή αστοχιών και μια ροή αποκαταστάσεων. Άλλα παραδείγματα: η ροή των κλήσεων σε ένα τηλεφωνικό κέντρο, η ροή των πελατών σε ένα κατάστημα κ.λπ.

Η ροή των γεγονότων μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά από μια σειρά σημείων στον άξονα του χρόνου O t- ρύζι. 15.2.

Εικ. 15.2. Αναπαράσταση της ροής των γεγονότων στον άξονα του χρόνου

Η θέση κάθε σημείου είναι τυχαία και εδώ απεικονίζεται μόνο μία υλοποίηση της ροής.

Ένταση ροής συμβάντος ()είναι ο μέσος αριθμός γεγονότων ανά μονάδα χρόνου.

Ας δούμε μερικές ιδιότητες (τύπους) ροών συμβάντων.

Η ροή των γεγονότων ονομάζεται ακίνητος, αν τα πιθανοτικά χαρακτηριστικά του δεν εξαρτώνται από το χρόνο.

Συγκεκριμένα, η ένταση της ακίνητης ροής είναι σταθερή. Η ροή των γεγονότων έχει αναπόφευκτα συμπυκνώσεις ή σπάνιες, αλλά δεν είναι κανονικής φύσης και ο μέσος αριθμός γεγονότων ανά μονάδα χρόνου είναι σταθερός και δεν εξαρτάται από το χρόνο.

Η ροή των γεγονότων ονομάζεται ροή χωρίς συνέπειες, εάν για οποιεσδήποτε δύο μη επικαλυπτόμενες χρονικές ενότητες και (βλ. Εικ. 15.2) ο αριθμός των γεγονότων που εμπίπτουν σε ένα από αυτά δεν εξαρτάται από το πόσα γεγονότα συμβαίνουν στο άλλο. Με άλλα λόγια, αυτό σημαίνει ότι τα γεγονότα που σχηματίζουν τη ροή εμφανίζονται σε ορισμένα χρονικά σημεία ανεξάρτητα το ένα από το άλλοκαι ο καθένας προκαλείται από τις δικές του αιτίες.

Η ροή των γεγονότων ονομάζεται συνήθης, εάν τα γεγονότα εμφανίζονται σε αυτό ένα προς ένα και όχι σε ομάδες πολλών ταυτόχρονα.

Η ροή των γεγονότων ονομάζεται απλούστερο (ή σταθερό Poisson),αν έχει τρεις ιδιότητες ταυτόχρονα: 1) ακίνητο, 2) συνηθισμένο, 3) δεν έχει συνέπειες.

Η απλούστερη ροή έχει την απλούστερη μαθηματική περιγραφή. Παίζει τον ίδιο ειδικό ρόλο μεταξύ των ροών όπως ο νόμος της κανονικής κατανομής μεταξύ άλλων νόμων κατανομής. Δηλαδή, κατά την υπέρθεση ενός αρκετά μεγάλου αριθμού ανεξάρτητων, σταθερών και συνηθισμένων ροών (συγκρίσιμα μεταξύ τους σε ένταση), προκύπτει μια ροή κοντά στην απλούστερη.

Για την απλούστερη ροή με διάστημα έντασης Τμεταξύ γειτονικών γεγονότων έχει ένα λεγόμενο εκθετική κατανομήμε πυκνότητα

Ορισμός. Οποιαδήποτε λύση στο σύστημα περιορισμών ονομάζεται αποδεκτή λύση στο PLP.
Ορισμός. Μια εφικτή λύση στην οποία η αντικειμενική συνάρτηση φτάνει μια μέγιστη ή ελάχιστη τιμή ονομάζεται βέλτιστη λύση.

Λόγω αυτών των ορισμών, το πρόβλημα LP μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: μεταξύ όλων των σημείων μιας κυρτής περιοχής, που είναι λύση σε ένα σύστημα περιορισμών, επιλέξτε ένα του οποίου οι συντεταγμένες ελαχιστοποιούν (μεγιστοποιούν) τη γραμμική συνάρτηση φά = Με 1 Χ + Με 2 y.
Σημειώστε ότι οι μεταβλητές Χ, yστο ZLP, κατά κανόνα, λαμβάνουν μη αρνητικές τιμές ( Χ≥ 0, y≥ 0), επομένως η περιοχή βρίσκεται στο πρώτο τέταρτο του επιπέδου συντεταγμένων.

Θεωρήστε τη γραμμική συνάρτηση φά = Με 1 Χ + Με 2 yκαι να διορθώσετε μέρος της αξίας του φά. Ας, για παράδειγμα, φά= 0, δηλ. Με 1 Χ + Με 2 y= 0. Η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης θα είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων (0;0) (Εικ.).
Σχέδιο
Κατά την αλλαγή αυτής της σταθερής τιμής φά = ρε, ευθεία Με 1 Χ+ Με 2 y = dθα μετατοπιστεί παράλληλα και θα «περιγράψει» ολόκληρο το επίπεδο. Αφήνω ρε– πολύγωνο – πεδίο επίλυσης του συστήματος των περιορισμών. Όταν αλλάζει ρεευθεία Με 1 Χ + Με 2 y = ρε, σε κάποια τιμή ρε = ρε 1 θα φτάσει στο πολύγωνο ρε, ας ονομάσουμε αυτό το σημείο ΕΝΑ"σημείο εισόδου", και μετά, έχοντας περάσει το πολύγωνο, σε κάποια τιμή ρε = ρε 2 θα έχουμε το τελευταίο κοινό σημείο μαζί του ΣΕ, ας καλέσουμε ΣΕ«σημείο εξόδου».
Είναι προφανές ότι η αντικειμενική συνάρτηση έχει τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές της φά=Με 1 Χ + Με 2 yθα φτάσει στα σημεία εισόδου ΕΝΑκαι "έξοδος" ΣΕ.
Λαμβάνοντας υπόψη ότι η βέλτιστη τιμή στο σύνολο των εφικτών λύσεων, η αντικειμενική συνάρτηση παίρνει τις κορυφές της περιοχής ρε, μπορούμε να προτείνουμε το ακόλουθο σχέδιο για την επίλυση του προβλήματος:

1. Κατασκευάστε το πεδίο λύσης του συστήματος περιορισμών.
2. Κατασκευάστε μια ευθεία γραμμή που αντιστοιχεί στην αντικειμενική συνάρτηση και με παράλληλη μετάφραση αυτής της ευθείας γραμμής βρείτε το σημείο «εισόδου» ή «εξόδου» (ανάλογα με την απαίτηση ελαχιστοποίησης ή μεγιστοποίησης της αντικειμενικής συνάρτησης).
3. να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες αυτού του σημείου και να υπολογίσετε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης σε αυτές.

Σημειώστε ότι το διάνυσμα ( Με 1 , Με 2), κάθετα στην ευθεία, δείχνει την κατεύθυνση ανάπτυξης της αντικειμενικής συνάρτησης.

Κατά την επίλυση του ZLP γραφικά, είναι δυνατές δύο περιπτώσεις που απαιτούν ειδική συζήτηση.

Περίπτωση 1
Εικόνα 6
Όταν κινείται μια ευθεία γραμμή Με 1 Χ + Με 2 y= ρεΗ «είσοδος» ή η «έξοδος» (όπως στο σχήμα) θα εμφανιστούν κατά μήκος της πλευράς του πολυγώνου. Αυτό θα συμβεί εάν το πολύγωνο έχει πλευρές παράλληλες με την ευθεία Με 1 Χ+ Με 2 στο = ρε .
Σε αυτήν την περίπτωση, υπάρχει ένας άπειρος αριθμός σημείων "εξόδου" ("είσοδος"), συγκεκριμένα, οποιοδήποτε σημείο στο τμήμα ΑΒ. Αυτό σημαίνει ότι η αντικειμενική συνάρτηση παίρνει τη μέγιστη (ελάχιστη) τιμή όχι σε ένα σημείο, αλλά σε όλα τα σημεία που βρίσκονται στην αντίστοιχη πλευρά του πολυγώνου ρε.

Περίπτωση 2
Ας εξετάσουμε την περίπτωση όταν το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών είναι απεριόριστο.
Στην περίπτωση ενός απεριόριστου τομέα, η αντικειμενική συνάρτηση μπορεί να καθοριστεί με τέτοιο τρόπο ώστε η αντίστοιχη ευθεία γραμμή να μην έχει σημείο «εξόδου» (ή «εισόδου»). Τότε η μέγιστη τιμή της συνάρτησης (ελάχιστη) δεν επιτυγχάνεται ποτέ - λένε ότι η συνάρτηση είναι απεριόριστη.
Σχέδιο
Είναι απαραίτητο να βρεθεί η μέγιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης φά = 4Χ + 6y→ max , με σύστημα περιορισμών
Ας κατασκευάσουμε μια περιοχή με εφικτές λύσεις, π.χ. Ας λύσουμε το σύστημα των ανισώσεων γραφικά. Για να γίνει αυτό, κατασκευάζουμε κάθε ευθεία γραμμή και προσδιορίζουμε τα ημιεπίπεδα που ορίζονται από τις ανισότητες.
Χ + y = 18

Χ	12	9
y	6	9

0,5Χ + y = 12

Χ	12	18
y	6	3

Χ= 12 – παράλληλη προς τον άξονα OY ;
y= 9 – παράλληλη προς τον άξονα ΒΟΔΙ ;
Χ= 0 – άξονας OY ;
y = 0 – άξονας ΒΟΔΙ;
Χ≥ 0 – ημιεπίπεδο στα δεξιά του άξονα OY;
y≥ 0 – ημιεπίπεδο πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙ;
y≤ 9 – μισό επίπεδο κάτω y = 9;
Χ ≤ 12 – μισό επίπεδο προς τα αριστερά Χ = 12;
0,5Χ + y≤ 12 – ημιεπίπεδο κάτω από την ευθεία 0,5 Χ + y = 12;
Χ + y≤ 18 – μισό επίπεδο κάτω από την ευθεία Χ + y = 18.
Σχέδιο
Η τομή όλων αυτών των ημιεπιπέδων είναι προφανώς ένα πεντάγωνο OAVSD, με κορυφές στα σημεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ(0; 0), ΕΝΑ(0; 9), ΣΕ(6; 9), ΜΕ(12; 6), ρε(12; 0). Αυτό το πεντάγωνο αποτελεί την περιοχή των εφικτών λύσεων στο πρόβλημα.

Εξετάστε την αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος φά = 4Χ + 6y→ μέγ.

Χ	3	0
y	–2	0

Ας κατασκευάσουμε μια ευθεία γραμμή που αντιστοιχεί στην τιμή της συνάρτησης φά = 0: 4Χ + 6y= 0. Θα μετακινήσουμε αυτή τη γραμμή με παράλληλο τρόπο. Από όλη την οικογένεια των γραμμών 4 Χ+ 6y= συνιστούν την τελευταία κορυφή από την οποία θα περάσει η ευθεία όταν φύγουμε από το όριο του πολυγώνου θα είναι η κορυφή ΜΕ(12; 6). Είναι μέσα σε αυτό φά = 4Χ + 6yθα φτάσει στη μέγιστη τιμή του.
Οπότε πότε Χ = 12, y= 6 συνάρτηση φάφτάνει στη μέγιστη τιμή του φά= 4 ∙ 12 + 6 ∙ 6 = 84, ίσο με 84. Το σημείο με συντεταγμένες (12; 6) ικανοποιεί όλες τις ανισότητες του συστήματος περιορισμών και σε αυτό η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι βέλτιστη φά* = 84 (θα υποδηλώσουμε τη βέλτιστη τιμή ως "*").
Το πρόβλημα λύθηκε. Έτσι, είναι απαραίτητο να παραχθούν 12 προϊόντα τύπου Ι και 6 προϊόντα τύπου ΙΙ, με κέρδος 84 χιλιάδες ρούβλια.

Η γραφική μέθοδος χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων που είχαν μόνο δύο μεταβλητές στο σύστημα περιορισμών. Αυτή η μέθοδος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για συστήματα ανισοτήτων με τρεις μεταβλητές. Γεωμετρικά, η κατάσταση θα είναι διαφορετική, τον ρόλο των ευθειών θα παίζουν τα επίπεδα στον τρισδιάστατο χώρο και η λύση στην ανισότητα σε τρεις μεταβλητές θα είναι ένα μισό διάστημα που βρίσκεται στη μία πλευρά του επιπέδου. Το ρόλο των περιοχών θα παίζουν τα πολύεδρα, τα οποία αποτελούν τη διασταύρωση ημιχώρων.