Η μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο είναι ένα σημαντικό μέρος της αριθμητικής μηχανής. Ας εξετάσουμε τους βασικούς κανόνες της μετάφρασης.

1. Για να μετατρέψετε έναν δυαδικό αριθμό σε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να τον γράψετε με τη μορφή πολυωνύμου, που αποτελείται από τα γινόμενα των ψηφίων του αριθμού και την αντίστοιχη ισχύ του 2, και να τον υπολογίσετε σύμφωνα με τους κανόνες του δεκαδική αριθμητική:

Κατά τη μετάφραση, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα εξουσιών των δύο:

Πίνακας 4. Δυνάμεις του αριθμού 2

n (πτυχίο)

Παράδειγμα.

2. Για να μετατρέψετε έναν οκταδικό αριθμό σε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να τον γράψετε ως πολυώνυμο που αποτελείται από τα γινόμενα των ψηφίων του αριθμού και την αντίστοιχη ισχύ του αριθμού 8 και να τον υπολογίσετε σύμφωνα με τους κανόνες του δεκαδικού αριθμητική:

Κατά τη μετάφραση, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα δυνάμεων των οκτώ:

Πίνακας 5. Δυνάμεις του αριθμού 8

n (πτυχίο)

Παράδειγμα.Μετατρέψτε τον αριθμό στο σύστημα δεκαδικών αριθμών.

3. Για να μετατρέψετε έναν δεκαεξαδικό αριθμό σε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να τον γράψετε με τη μορφή πολυωνύμου, που αποτελείται από τα γινόμενα των ψηφίων του αριθμού και την αντίστοιχη ισχύ του αριθμού 16 και να τον υπολογίσετε σύμφωνα με το Κανόνες δεκαδικής αριθμητικής:

Κατά τη μετάφραση, είναι βολικό στη χρήση blitz των δυνάμεων του αριθμού 16:

Πίνακας 6. Δυνάμεις του αριθμού 16

n (πτυχίο)

Παράδειγμα.Μετατρέψτε τον αριθμό στο σύστημα δεκαδικών αριθμών.

4. Για να μετατρέψετε έναν δεκαδικό αριθμό στο δυαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με το 2 έως ότου παραμείνει ένα υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με 1 Ένας αριθμός στο δυαδικό σύστημα γράφεται ως ακολουθία του αποτελέσματος της τελευταίας διαίρεσης και τα υπόλοιπα από η διαίρεση με αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα.Μετατρέψτε τον αριθμό στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

5. Για να μετατρέψετε έναν δεκαδικό αριθμό στο οκταδικό σύστημα, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με το 8 έως ότου παραμείνει ένα υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο του 7 Ένας αριθμός στο οκταδικό σύστημα γράφεται ως ακολουθία ψηφίων του αποτελέσματος της τελευταίας διαίρεσης υπόλοιπο της διαίρεσης με αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα.Μετατρέψτε τον αριθμό στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

6. Για να μετατρέψετε έναν δεκαδικό αριθμό στο δεκαεξαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με το 16 έως ότου υπάρχει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο του 15. Ένας αριθμός στο δεκαεξαδικό σύστημα γράφεται ως ακολουθία ψηφίων του αποτελέσματος της τελευταίας διαίρεσης και τα υπόλοιπα από τη διαίρεση με αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα.Μετατρέψτε τον αριθμό σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

| 6η τάξη | Προγραμματισμός μαθημάτων για τη σχολική χρονιά | Μετατροπή δυαδικών αριθμών σε δεκαδικό σύστημα αριθμών

Μάθημα 5
Μετατροπή δυαδικών αριθμών σε δεκαδικό σύστημα αριθμών
Εργασία με την εφαρμογή Αριθμομηχανή

Μετατροπή ακεραίων δεκαδικών αριθμών σε δυαδικούς

Μέθοδος 1

Ας προσπαθήσουμε να αναπαραστήσουμε τον αριθμό 1409 ως το άθροισμα των όρων της δεύτερης σειράς.

Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο διαφοράς. Ας πάρουμε τον όρο της δεύτερης σειράς που βρίσκεται πιο κοντά στον αρχικό αριθμό, αλλά χωρίς να τον υπερβούμε, και να κάνουμε τη διαφορά:

1409 - 1024 = 385.

Ας πάρουμε τον όρο της δεύτερης σειράς που είναι πιο κοντά στη διαφορά που προκύπτει, αλλά δεν την υπερβαίνει, και συνθέτουμε τη διαφορά:

385 - 256 = 129.

Ας κάνουμε τη διαφορά με τον ίδιο τρόπο: 129 - 128 = 1.

Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:

1409 = 1024 + 256 + 128 + 1 = 1 1024 + 0 512 + 1 256 + + 1 128 + 0 64 + 0 32 + 0 16 + 0 8 + 0 4 + 0 2 + 1 1.

Βλέπουμε ότι κάθε μέλος της δεύτερης σειράς μπορεί είτε να μην συμπεριληφθεί στο άθροισμα είτε να συμπεριληφθεί σε αυτό μόνο μία φορά.

Οι αριθμοί 1 και 0, με τους οποίους πολλαπλασιάζονται οι όροι της δεύτερης σειράς, αποτελούν επίσης τον αρχικό αριθμό 1409, αλλά στη διαφορετική, δυαδική συμβολή του: 10110000001.

Το αποτέλεσμα γράφεται ως εξής:

1409 10 = 10110000001 2 .

Γράψαμε τον αρχικό αριθμό χρησιμοποιώντας το 0 και το 1, με άλλα λόγια, λάβαμε τον δυαδικό κωδικό αυτού του αριθμού ή αντιπροσωπεύαμε τον αριθμό στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Μέθοδος 2

Αυτή η μέθοδος απόκτησης του δυαδικού κωδικού ενός δεκαδικού αριθμού βασίζεται στην εγγραφή των υπολοίπων από τη διαίρεση του αρχικού αριθμού και των πηγών που προκύπτουν με το 2, συνεχίζοντας μέχρι το επόμενο πηλίκο να είναι ίσο με 0.

Παράδειγμα:

Το πρώτο κελί της επάνω γραμμής περιέχει τον αρχικό αριθμό και κάθε επόμενο κελί περιέχει το αποτέλεσμα ακέραιης διαίρεσης του προηγούμενου αριθμού με το 2.

Τα κελιά στην κάτω σειρά περιέχουν τα υπόλοιπα από τη διαίρεση των αριθμών στην επάνω σειρά με το 2.

Το τελευταίο κελί της κάτω σειράς παραμένει κενό. Ο δυαδικός κωδικός του αρχικού δεκαδικού αριθμού λαμβάνεται καταγράφοντας διαδοχικά όλα τα υπόλοιπα, ξεκινώντας από το τελευταίο: 1409 10 = 10110000001 2.

Οι πρώτοι 20 όροι της φυσικής σειράς στο δυαδικό σύστημα αριθμών γράφονται ως εξής: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011,1100, 1101,1110,110. 10001. 10010. 1. 10100.

Μετατροπή ακεραίων από δυαδικούς σε δεκαδικούς

Μέθοδος 1

Έστω ένας αριθμός 111101 2. Μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

Μέθοδος 2

Ας πάρουμε τον ίδιο αριθμό 111101 2. Ας μετατρέψουμε τη μονάδα του 6ου ψηφίου (το πρώτο στα αριστερά στην εγγραφή αριθμών) σε μονάδες του 5ου ψηφίου, για τις οποίες πολλαπλασιάζουμε το 1 επί 2, επειδή η μονάδα του 6ου ψηφίου στο δυαδικό σύστημα περιέχει 2 μονάδες το 5ο ψηφίο.

Στις λαμβανόμενες 2 μονάδες της 5ης κατηγορίας προσθέτουμε την υπάρχουσα μονάδα της 5ης κατηγορίας. Ας μετατρέψουμε αυτές τις 3 μονάδες του 5ου ψηφίου στο 4ο ψηφίο και ας προσθέσουμε την υπάρχουσα μονάδα του 4ου ψηφίου: 3 2 + 1 = 7.

Ας μετατρέψουμε 7 μονάδες της 4ης κατηγορίας στην 3η κατηγορία και ας προσθέσουμε την υπάρχουσα μονάδα της 3ης κατηγορίας: 7 2 + 1 = 15.

Ας μετατρέψουμε 15 μονάδες του 3ου ψηφίου στο 2ο ψηφίο: 15 2 = 30. Δεν υπάρχουν μονάδες στο 2ο ψηφίο στον αρχικό αριθμό.

Ας μετατρέψουμε 30 μονάδες του 2ου ψηφίου στο 1ο ψηφίο και ας προσθέσουμε τη μονάδα που υπάρχει εκεί: 30 2 + 1 = 61. Βρήκαμε ότι ο αρχικός αριθμός περιέχει 61 μονάδες του 1ου ψηφίου.

Είναι βολικό να οργανώνετε γραπτούς υπολογισμούς ως εξής:

Μπορείτε να μετατρέψετε ακέραιους αριθμούς από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δυαδικό σύστημα αριθμών και αντίστροφα χρησιμοποιώντας την εφαρμογή Αριθμομηχανή.

Ας κάνουμε ένα μικρό πείραμα .

1. Εκκινήστε την εφαρμογή Αριθμομηχανή και εκτελέστε την εντολή [Προβολή-Μηχανική]. δώσε προσοχή στο μια ομάδα διακοπτών που ορίζουν το σύστημα αριθμών:

2. Βεβαιωθείτε ότι η Αριθμομηχανή είναι ρυθμισμένη να λειτουργεί δεκαδικόςαριθμητικό σύστημα. Χρησιμοποιώντας το πληκτρολόγιο ή το ποντίκι, εισαγάγετε έναν αυθαίρετο διψήφιο αριθμό στο πεδίο εισαγωγής. Ενεργοποιήστε το διακόπτη Αποθήκηκαι παρακολουθήστε τις αλλαγές στο παράθυρο εισαγωγής. Επιστροφή στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Διαγράψτε το πεδίο εισαγωγής.

3. Επαναλάβετε το βήμα 2 αρκετές φορές για άλλους δεκαδικούς αριθμούς.

4. Ρυθμίστε την Αριθμομηχανή ώστε να λειτουργεί στο δυαδικό σύστημα αριθμών. Προσοχή σε ποια κουμπιά Αριθμομηχανήκαι τα αριθμητικά πλήκτρα του πληκτρολογίου είναι διαθέσιμα σε εσάς. Εισαγάγετε έναν προς έναν τους δυαδικούς κωδικούς του 5ου, 10ου και 15ου όρου της φυσικής σειράς και χρησιμοποιήστε το διακόπτη Δεκμετατρέψτε τα στο σύστημα δεκαδικών αριθμών.

Για να μετατρέψετε γρήγορα τους αριθμούς από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δυαδικό σύστημα, πρέπει να έχετε καλή γνώση των αριθμών "2 στην ισχύ". Για παράδειγμα, 2 10 =1024, κ.λπ. Αυτό θα σας επιτρέψει να λύσετε μερικά παραδείγματα μετάφρασης κυριολεκτικά μέσα σε δευτερόλεπτα. Ένα από αυτά τα καθήκοντα είναι Πρόβλημα A1 από την επίδειξη USE 2012. Μπορείτε, φυσικά, να χρειαστείτε πολύ και κουραστικό χρόνο για να διαιρέσετε έναν αριθμό με το "2". Αλλά είναι καλύτερα να αποφασίσετε διαφορετικά, εξοικονομώντας πολύτιμο χρόνο στις εξετάσεις.

Η μέθοδος είναι πολύ απλή. Η ουσία του είναι η εξής: Εάν ο αριθμός που πρέπει να μετατραπεί από το δεκαδικό σύστημα είναι ίσος με τον αριθμό "2 στην ισχύ", τότε αυτός ο αριθμός στο δυαδικό σύστημα περιέχει έναν αριθμό μηδενικών ίσο με την ισχύ. Προσθέτουμε ένα «1» μπροστά από αυτά τα μηδενικά.

• Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 2 από το δεκαδικό σύστημα. 2=2 1 . Επομένως, στο δυαδικό σύστημα, ένας αριθμός περιέχει 1 μηδέν. Βάζουμε «1» μπροστά και παίρνουμε 10 2.
• Ας μετατρέψουμε το 4 από το δεκαδικό σύστημα. 4=2 2 . Επομένως, στο δυαδικό σύστημα, ένας αριθμός περιέχει 2 μηδενικά. Βάζουμε «1» μπροστά και παίρνουμε 100 2.
• Ας μετατρέψουμε το 8 από το δεκαδικό σύστημα. 8=2 3 . Επομένως, στο δυαδικό σύστημα, ένας αριθμός περιέχει 3 μηδενικά. Βάζουμε «1» μπροστά και παίρνουμε 1000 2.

Ομοίως για άλλους αριθμούς "2 στη δύναμη".

Εάν ο αριθμός που πρέπει να μετατραπεί είναι μικρότερος από τον αριθμό "2 στην ισχύ" κατά 1, τότε στο δυαδικό σύστημα αυτός ο αριθμός αποτελείται μόνο από μονάδες, ο αριθμός των οποίων είναι ίσος με την ισχύ.

• Ας μετατρέψουμε το 3 από το δεκαδικό σύστημα. 3=2 2 -1. Επομένως, στο δυαδικό σύστημα, ένας αριθμός περιέχει 2 μονάδες. Παίρνουμε 11 2.
• Ας μετατρέψουμε το 7 από το δεκαδικό σύστημα. 7=2 3 -1. Επομένως, στο δυαδικό σύστημα, ένας αριθμός περιέχει 3 μονάδες. Παίρνουμε 111 2.

Στο σχήμα, τα τετράγωνα δείχνουν τη δυαδική παράσταση του αριθμού και η δεκαδική αναπαράσταση με ροζ στα αριστερά.

Η μετάφραση είναι παρόμοια για άλλους αριθμούς "2 στην ισχύ-1".

Είναι σαφές ότι η μετάφραση των αριθμών από το 0 στο 8 μπορεί να γίνει γρήγορα ή με διαίρεση ή απλά να γνωρίζουμε από καρδιάς την αναπαράστασή τους στο δυαδικό σύστημα. Έδωσα αυτά τα παραδείγματα για να κατανοήσετε την αρχή αυτής της μεθόδου και να τη χρησιμοποιήσετε για να μεταφράσετε πιο «εντυπωσιακούς αριθμούς», για παράδειγμα, για να μεταφράσετε τους αριθμούς 127,128, 255, 256, 511, 512 κ.λπ.

Μπορείτε να συναντήσετε τέτοια προβλήματα όταν πρέπει να μετατρέψετε έναν αριθμό που δεν είναι ίσος με τον αριθμό "2 στην ισχύ", αλλά κοντά σε αυτόν. Μπορεί να είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από 2 στην ισχύ. Η διαφορά μεταξύ του μεταφρασμένου αριθμού και του αριθμού "2 στην ισχύ" πρέπει να είναι μικρή. Για παράδειγμα, μέχρι 3. Η αναπαράσταση των αριθμών από το 0 έως το 3 στο δυαδικό σύστημα πρέπει απλώς να είναι γνωστή χωρίς μετάφραση.

Αν ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από , τότε τον λύνουμε ως εξής:

Πρώτα μετατρέπουμε τον αριθμό «2 στην ισχύ» στο δυαδικό σύστημα. Και μετά προσθέτουμε σε αυτό τη διαφορά μεταξύ του αριθμού «2 στην ισχύ» και του αριθμού που μεταφράζεται.

Για παράδειγμα, ας μετατρέψουμε το 19 από το δεκαδικό σύστημα. Είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό "2 στην ισχύ" κατά 3.

16=2 4 . 16 10 =10000 2 .

3 10 =11 2 .

19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .

Εάν ο αριθμός είναι μικρότερος από τον αριθμό "2 στην ισχύ", τότε είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τον αριθμό "2 στην ισχύ-1". Το λύνουμε ως εξής:

Πρώτα μετατρέπουμε τον αριθμό "2 στην ισχύ-1" στο δυαδικό σύστημα. Και στη συνέχεια αφαιρούμε από αυτό τη διαφορά μεταξύ του αριθμού "2 στη δύναμη του 1" και του αριθμού που μετατρέπεται.

Για παράδειγμα, ας μετατρέψουμε το 29 από το δεκαδικό σύστημα. Είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό «2 στη δύναμη-1» κατά 2. 29=31-2.

31 10 =11111 2 .

2 10 =10 2 .

29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2

Εάν η διαφορά μεταξύ του αριθμού που μεταφράζεται και του αριθμού "2 στην ισχύ" είναι μεγαλύτερη από τρεις, τότε μπορείτε να χωρίσετε τον αριθμό στα συστατικά του, να μετατρέψετε κάθε μέρος στο δυαδικό σύστημα και να προσθέσετε.

Για παράδειγμα, μετατρέψτε τον αριθμό 528 από το δεκαδικό σύστημα. 528=512+16. Μεταφράζουμε το 512 και το 16 χωριστά.
512=2 9 . 512 10 =1000000000 2 .
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
Τώρα ας το προσθέσουμε σε μια στήλη:

Το αποτέλεσμα έχει ήδη ληφθεί!

Αριθμητικά συστήματα

Υπάρχουν συστήματα αριθμών θέσης και μη. Το αραβικό σύστημα αριθμών, το οποίο χρησιμοποιούμε στην καθημερινή ζωή, είναι θέσιο, αλλά το ρωμαϊκό σύστημα αριθμών δεν είναι. Στα συστήματα αριθμών θέσης, η θέση ενός αριθμού καθορίζει μοναδικά το μέγεθος του αριθμού. Ας το εξετάσουμε χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του αριθμού 6372 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Ας αριθμήσουμε αυτόν τον αριθμό από δεξιά προς τα αριστερά ξεκινώντας από το μηδέν:

Τότε ο αριθμός 6372 μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Ο αριθμός 10 καθορίζει το σύστημα αριθμών (στην περίπτωση αυτή είναι το 10). Οι τιμές της θέσης ενός δεδομένου αριθμού λαμβάνονται ως δυνάμεις.

Θεωρήστε τον πραγματικό δεκαδικό αριθμό 1287.923. Ας τον αριθμήσουμε ξεκινώντας από τη μηδενική θέση του αριθμού από την υποδιαστολή προς τα αριστερά και προς τα δεξιά:

Τότε ο αριθμός 1287.923 μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

Γενικά, ο τύπος μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

C n μικρό n +C n-1 · μικρό n-1 +...+C 1 · μικρό 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

όπου C n είναι ένας ακέραιος στη θέση του n, D -k - κλασματικός αριθμός στη θέση (-k), μικρό- σύστημα αριθμών.

Λίγα λόγια για τα συστήματα αριθμών Ένας αριθμός στο δεκαδικό σύστημα αριθμών αποτελείται από πολλά ψηφία (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), στο οκταδικό σύστημα αριθμών αποτελείται από πολλά ψηφία. (0,1, 2,3,4,5,6,7), στο δυαδικό σύστημα αριθμών - από ένα σύνολο ψηφίων (0,1), στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών - από ένα σύνολο ψηφίων (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), όπου τα A,B,C,D,E,F αντιστοιχούν στους αριθμούς 10,11, 12,13,14,15 Στον πίνακα Πίνακας 1 παρουσιάζονται αριθμοί σε διαφορετικά συστήματα αριθμών.

Τραπέζι 1
Σημειογραφία
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	ΕΝΑ
11	1011	13	σι
12	1100	14	ντο
13	1101	15	ρε
14	1110	16	μι
15	1111	17	φά

Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο

Για να μετατρέψετε αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο, ο ευκολότερος τρόπος είναι πρώτα να μετατρέψετε τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και, στη συνέχεια, να μετατρέψετε από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο απαιτούμενο σύστημα αριθμών.

Μετατροπή αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1), μπορείτε να μετατρέψετε αριθμούς από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 1011101.001 από δυαδικό σύστημα αριθμών (SS) σε δεκαδικό SS. Λύση:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Παράδειγμα2. Μετατρέψτε τον αριθμό 1011101.001 από οκταδικό σύστημα αριθμών (SS) σε δεκαδικό SS. Λύση:

Παράδειγμα 3 . Μετατρέψτε τον αριθμό AB572.CDF από δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαδικό SS. Λύση:

Εδώ ΕΝΑ-αντικαταστάθηκε από 10, σι- στις 11, ντο- στα 12, φά- έως 15.

Μετατροπή αριθμών από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών

Για να μετατρέψετε αριθμούς από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών, πρέπει να μετατρέψετε το ακέραιο μέρος του αριθμού και το κλασματικό μέρος του αριθμού ξεχωριστά.

Το ακέραιο μέρος ενός αριθμού μετατρέπεται από δεκαδικό SS σε άλλο σύστημα αριθμών διαιρώντας διαδοχικά το ακέραιο μέρος του αριθμού με τη βάση του συστήματος αριθμών (για δυαδικό SS - με 2, για 8-ary SS - με 8, για 16 -ary SS - κατά 16, κ.λπ. ) έως ότου ληφθεί ένα ολόκληρο υπόλειμμα, μικρότερο από το βασικό CC.

Παράδειγμα 4 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 159 από δεκαδικό SS σε δυαδικό SS:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Όπως φαίνεται από το Σχ. 1, ο αριθμός 159 όταν διαιρείται με το 2 δίνει το πηλίκο 79 και το υπόλοιπο 1. Επιπλέον, ο αριθμός 79 όταν διαιρείται με το 2 δίνει το πηλίκο 39 και το υπόλοιπο 1, κ.λπ. Ως αποτέλεσμα, κατασκευάζοντας έναν αριθμό από υπολείμματα διαίρεσης (από δεξιά προς τα αριστερά), λαμβάνουμε έναν αριθμό σε δυαδικό SS: 10011111 . Επομένως μπορούμε να γράψουμε:

159 10 =10011111 2 .

Παράδειγμα 5 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 615 από δεκαδικό SS σε οκταδικό SS.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Όταν μετατρέπετε έναν αριθμό από δεκαδικό SS σε οκταδικό SS, πρέπει να διαιρέσετε διαδοχικά τον αριθμό με το 8 έως ότου λάβετε ένα ακέραιο υπόλοιπο μικρότερο από 8. Ως αποτέλεσμα, κατασκευάζοντας έναν αριθμό από υπολείμματα διαίρεσης (από τα δεξιά προς τα αριστερά) παίρνουμε ένας αριθμός σε οκταδικό SS: 1147 (Βλέπε Εικ. 2). Επομένως μπορούμε να γράψουμε:

615 10 =1147 8 .

Παράδειγμα 6 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 19673 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Όπως φαίνεται από το σχήμα 3, διαιρώντας διαδοχικά τον αριθμό 19673 με το 16, τα υπόλοιπα είναι 4, 12, 13, 9. Στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών, ο αριθμός 12 αντιστοιχεί στο C, ο αριθμός 13 στο D. Επομένως, ο δεκαεξαδικός αριθμός είναι 4CD9.

Για να μετατρέψετε κανονικά δεκαδικά κλάσματα (πραγματικός αριθμός με μηδενικό ακέραιο μέρος) σε σύστημα αριθμών με βάση s, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε διαδοχικά αυτόν τον αριθμό με το s έως ότου το κλασματικό μέρος περιέχει ένα καθαρό μηδέν ή να λάβουμε τον απαιτούμενο αριθμό ψηφίων . Εάν κατά τον πολλαπλασιασμό προκύπτει αριθμός με ακέραιο μέρος εκτός του μηδενός, τότε αυτό το ακέραιο μέρος δεν λαμβάνεται υπόψη (περιλαμβάνονται διαδοχικά στο αποτέλεσμα).

Ας δούμε τα παραπάνω με παραδείγματα.

Παράδειγμα 7 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS.

		0.214
	Χ	2
0		0.428
	Χ	2
0		0.856
	Χ	2
1		0.712
	Χ	2
1		0.424
	Χ	2
0		0.848
	Χ	2
1		0.696
	Χ	2
1		0.392

Όπως φαίνεται από το Σχ. 4, ο αριθμός 0,214 πολλαπλασιάζεται διαδοχικά με το 2. Εάν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι ένας αριθμός με ακέραιο μέρος διαφορετικό από το μηδέν, τότε το ακέραιο μέρος γράφεται χωριστά (στα αριστερά του αριθμού). και ο αριθμός γράφεται με μηδενικό ακέραιο μέρος. Αν από τον πολλαπλασιασμό προκύπτει ένας αριθμός με μηδενικό ακέραιο μέρος, τότε γράφεται ένα μηδέν στα αριστερά του. Η διαδικασία πολλαπλασιασμού συνεχίζεται έως ότου το κλασματικό μέρος φτάσει σε ένα καθαρό μηδέν ή λάβουμε τον απαιτούμενο αριθμό ψηφίων. Γράφοντας έντονους αριθμούς (Εικ. 4) από πάνω προς τα κάτω, παίρνουμε τον απαιτούμενο αριθμό στο δυαδικό σύστημα αριθμών: 0. 0011011 .

Επομένως μπορούμε να γράψουμε:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Παράδειγμα 8 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,125 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS.

		0.125
	Χ	2
0		0.25
	Χ	2
0		0.5
	Χ	2
1		0.0

Για να μετατρέψετε τον αριθμό 0,125 από δεκαδικό SS σε δυαδικό, αυτός ο αριθμός πολλαπλασιάζεται διαδοχικά με το 2. Στο τρίτο στάδιο, το αποτέλεσμα είναι 0. Κατά συνέπεια, προκύπτει το ακόλουθο αποτέλεσμα:

0.125 10 =0.001 2 .

Παράδειγμα 9 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS.

		0.214
	Χ	16
3		0.424
	Χ	16
6		0.784
	Χ	16
12		0.544
	Χ	16
8		0.704
	Χ	16
11		0.264
	Χ	16
4		0.224

Ακολουθώντας τα παραδείγματα 4 και 5, παίρνουμε τους αριθμούς 3, 6, 12, 8, 11, 4. Αλλά στο δεκαεξαδικό SS, οι αριθμοί 12 και 11 αντιστοιχούν στους αριθμούς C και B. Επομένως, έχουμε:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

Παράδειγμα 10 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 0,512 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε οκταδικό SS.

		0.512
	Χ	8
4		0.096
	Χ	8
0		0.768
	Χ	8
6		0.144
	Χ	8
1		0.152
	Χ	8
1		0.216
	Χ	8
1		0.728

Πήρα:

0.512 10 =0.406111 8 .

Παράδειγμα 11 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 159.125 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό SS. Για να γίνει αυτό, μεταφράζουμε χωριστά το ακέραιο μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 4) και το κλασματικό μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 8). Συνδυάζοντας περαιτέρω αυτά τα αποτελέσματα έχουμε:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Παράδειγμα 12 . Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 19673.214 από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό SS. Για να γίνει αυτό, μεταφράζουμε ξεχωριστά το ακέραιο μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 6) και το κλασματικό μέρος του αριθμού (Παράδειγμα 9). Περαιτέρω, συνδυάζοντας αυτά τα αποτελέσματα παίρνουμε.

Η αριθμομηχανή σάς επιτρέπει να μετατρέπετε ακέραιους και κλασματικούς αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο. Η βάση του αριθμητικού συστήματος δεν μπορεί να είναι μικρότερη από 2 και μεγαλύτερη από 36 (10 ψηφία και 26 λατινικά γράμματα τελικά). Το μήκος των αριθμών δεν πρέπει να υπερβαίνει τους 30 χαρακτήρες. Για να εισαγάγετε κλασματικούς αριθμούς, χρησιμοποιήστε το σύμβολο. ή, . Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα σύστημα σε άλλο, εισαγάγετε τον αρχικό αριθμό στο πρώτο πεδίο, τη βάση του αρχικού συστήματος αριθμών στο δεύτερο και τη βάση του συστήματος αριθμών στο οποίο θέλετε να μετατρέψετε τον αριθμό στο τρίτο πεδίο, στη συνέχεια κάντε κλικ στο κουμπί "Λήψη εγγραφής".

Αρχικός αριθμός γραμμένο σε 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -ο αριθμητικό σύστημα.

Θέλω να γράψω έναν αριθμό 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ο αριθμητικό σύστημα.

Λάβετε είσοδο

Ολοκληρωμένες μεταφράσεις: 1237182

Αριθμητικά συστήματα

Τα συστήματα αριθμών χωρίζονται σε δύο τύπους: θέσεωςΚαι όχι θέσεις. Χρησιμοποιούμε το αραβικό σύστημα, είναι θέσιο, αλλά υπάρχει και το ρωμαϊκό σύστημα - δεν είναι θέσιο. Στα συστήματα θέσεων, η θέση ενός ψηφίου σε έναν αριθμό καθορίζει μοναδικά την τιμή αυτού του αριθμού. Αυτό είναι εύκολο να γίνει κατανοητό κοιτάζοντας κάποιο αριθμό ως παράδειγμα.

Παράδειγμα 1. Ας πάρουμε τον αριθμό 5921 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Ας αριθμήσουμε τον αριθμό από τα δεξιά προς τα αριστερά ξεκινώντας από το μηδέν:

Ο αριθμός 5921 μπορεί να γραφτεί με την εξής μορφή: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Ο αριθμός 10 είναι ένα χαρακτηριστικό που καθορίζει το σύστημα αριθμών. Οι τιμές της θέσης ενός δεδομένου αριθμού λαμβάνονται ως δυνάμεις.

Παράδειγμα 2. Θεωρήστε τον πραγματικό δεκαδικό αριθμό 1234.567. Ας τον αριθμήσουμε ξεκινώντας από τη μηδενική θέση του αριθμού από την υποδιαστολή προς τα αριστερά και προς τα δεξιά:

Ο αριθμός 1234.567 μπορεί να γραφτεί με την εξής μορφή: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο

Ο απλούστερος τρόπος για να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο είναι να μετατρέψετε πρώτα τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και, στη συνέχεια, το αποτέλεσμα που προκύπτει στο απαιτούμενο σύστημα αριθμών.

Μετατροπή αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε δεκαδικό, αρκεί να αριθμήσετε τα ψηφία του, ξεκινώντας από το μηδέν (το ψηφίο στα αριστερά της υποδιαστολής) παρόμοια με τα παραδείγματα 1 ή 2. Ας βρούμε το άθροισμα των γινομένων των ψηφίων του αριθμού από τη βάση του συστήματος αριθμών στη δύναμη της θέσης αυτού του ψηφίου:

1. Μετατρέψτε τον αριθμό 1001101.1101 2 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Απάντηση: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Μετατρέψτε τον αριθμό E8F.2D 16 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Απάντηση: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Μετατροπή αριθμών από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών

Για να μετατρέψετε αριθμούς από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών, τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη του αριθμού πρέπει να μετατραπούν χωριστά.

Μετατροπή ακέραιου μέρους ενός αριθμού από δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών

Ένα ακέραιο μέρος μετατρέπεται από ένα δεκαδικό σύστημα αριθμών σε ένα άλλο σύστημα αριθμών διαιρώντας διαδοχικά το ακέραιο μέρος ενός αριθμού με τη βάση του συστήματος αριθμών έως ότου ληφθεί ένα ακέραιο υπόλοιπο που είναι μικρότερο από τη βάση του συστήματος αριθμών. Το αποτέλεσμα της μετάφρασης θα είναι μια καταγραφή των υπολοίπων, ξεκινώντας από την τελευταία.

3. Μετατρέψτε τον αριθμό 273 10 στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Λύση: 273 / 8 = 34 και υπόλοιπο 1. 34 / 8 = 4 και υπόλοιπο 2. 4 είναι μικρότερο από 8, οπότε ο υπολογισμός έχει ολοκληρωθεί. Το ρεκόρ από τα υπόλοιπα θα μοιάζει με αυτό: 421
Εξέταση: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο. Αυτό σημαίνει ότι η μετάφραση έγινε σωστά.
Απάντηση: 273 10 = 421 8

Ας εξετάσουμε τη μετάφραση κανονικών δεκαδικών κλασμάτων σε διάφορα συστήματα αριθμών.

Μετατροπή του κλασματικού μέρους ενός αριθμού από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών

Θυμηθείτε ότι ένα σωστό δεκαδικό κλάσμα ονομάζεται πραγματικός αριθμός με μηδενικό ακέραιο μέρος. Για να μετατρέψετε έναν τέτοιο αριθμό σε ένα σύστημα αριθμών με βάση Ν, πρέπει να πολλαπλασιάσετε διαδοχικά τον αριθμό με το Ν μέχρι το κλασματικό μέρος να μηδενιστεί ή να ληφθεί ο απαιτούμενος αριθμός ψηφίων. Εάν κατά τον πολλαπλασιασμό προκύψει αριθμός με ακέραιο μέρος εκτός του μηδενός, τότε το ακέραιο μέρος δεν λαμβάνεται περαιτέρω υπόψη, αφού εισάγεται διαδοχικά στο αποτέλεσμα.

4. Μετατρέψτε τον αριθμό 0,125 10 στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση: 0,125·2 = 0,25 (0 είναι το ακέραιο μέρος, που θα γίνει το πρώτο ψηφίο του αποτελέσματος), 0,25·2 = 0,5 (0 είναι το δεύτερο ψηφίο του αποτελέσματος), 0,5·2 = 1,0 (1 είναι το τρίτο ψηφίο του αποτελέσματος, και εφόσον το κλασματικό μέρος είναι μηδέν, τότε η μετάφραση ολοκληρώνεται).
Απάντηση: 0.125 10 = 0.001 2