Până acum am considerat cel mai simplu model funcțional, în care funcţie depinde de singurul lucru argument. Dar atunci când studiem diferite fenomene ale lumii înconjurătoare, întâlnim adesea schimbări simultane în mai mult de două cantități și multe procese pot fi oficializate în mod eficient funcţia mai multor variabile, Unde - argumente sau variabile independente. Să începem să dezvoltăm subiectul cu cel mai des întâlnit în practică. funcţiile a două variabile .

Funcția a două variabile numit lege, conform căreia fiecare pereche de valori variabile independente(argumente) din domeniul definirii corespunde valorii variabilei dependente (funcție).

Această funcție este desemnată după cum urmează:

Ori , sau altă scrisoare standard:

Deoarece perechea ordonată de valori „x” și „y” determină punct din avion, atunci funcția se scrie și prin , unde este un punct din planul cu coordonate . Această notație este utilizată pe scară largă în unele sarcini practice.

Sensul geometric al unei funcții a două variabile foarte simplu. Dacă o funcție a unei variabile corespunde unei anumite drepte pe un plan (de exemplu, parabola școlară familiară), atunci graficul unei funcții a două variabile este situat în spațiul tridimensional. În practică, cel mai adesea avem de-a face suprafaţă, dar uneori graficul unei funcții poate fi, de exemplu, o linii spațiale sau chiar un singur punct.

Suntem bine familiarizați cu exemplul elementar al unei suprafețe din curs geometrie analitică- Acest avion. Presupunând că , ecuația poate fi ușor rescrisă în formă funcțională:

Cel mai important atribut al unei funcții de 2 variabile este deja enunțat domeniu.

Domeniul unei funcții a două variabile numit set toata lumea perechile pentru care există valoarea.

Grafic, domeniul definiției este întregul avion sau o parte a acestuia. Astfel, domeniul de definire al funcției este întregul plan de coordonate – din motivul că pentru orice punct există valoare .

Dar un astfel de aranjament inactiv nu se întâmplă întotdeauna, desigur:

Ca două variabile?

Atunci când se analizează diferite concepte ale unei funcții a mai multor variabile, este util să se facă analogii cu conceptele corespunzătoare ale unei funcții a unei variabile. În special, atunci când vă dați seama domeniul definirii am acordat o atenție deosebită acelor funcții care conțin fracții, chiar rădăcini, logaritmi etc. Aici totul este exact la fel!

Sarcina de a găsi domeniul de definire a unei funcții a două variabile cu aproape 100% probabilitate va fi întâlnită în lucrarea dvs. tematică, așa că voi analiza un număr decent de exemple:

Exemplul 1

Găsiți domeniul unei funcții

Soluţie: deoarece numitorul nu poate merge la zero, atunci:

Răspuns: întregul plan de coordonate cu excepția punctelor aparținând dreptei

Da, da, este mai bine să scrieți răspunsul în acest stil. Domeniul de definire a unei funcții a două variabile este rar notat prin orice simbol este mult mai des folosit; descriere verbalăși/sau desen.

Daca prin conditie necesar faceți un desen, atunci ar fi necesar să reprezentați planul de coordonate și linie punctata face o linie dreaptă. Linia punctată indică faptul că linia Exclusîn domeniul definiţiei.

După cum vom vedea puțin mai târziu, în exemplele mai dificile nu puteți face deloc fără un desen.

Exemplul 2

Găsiți domeniul unei funcții

Soluţie: expresia radicală trebuie să fie nenegativă:

Răspuns: semiplan

Reprezentarea grafică aici este de asemenea primitivă: desenăm un sistem de coordonate carteziene, solid trageți o linie dreaptă și umbriți partea de sus semiplan. Linia continuă indică faptul că inclusîn domeniul definiţiei.

Atenţie! Dacă nu înțelegeți NIMIC din al doilea exemplu, vă rugăm să studiați/repetați lecția în detaliu Inegalități liniare– fără el va fi foarte greu!

Miniatură pentru auto-soluție:

Exemplul 3

Găsiți domeniul unei funcții

Soluție pe două rânduri și răspuns la sfârșitul lecției.

Să continuăm să ne încălzim:

Exemplul 4

Și înfățișează-l pe desen

Soluţie: este ușor de înțeles că aceasta este formularea problemei cere executarea desenului (chiar dacă domeniul de definire este foarte simplu). Dar mai întâi, analitică: radicalul expresiei trebuie să fie nenegativ: și, având în vedere că numitorul nu poate merge la zero, inegalitatea devine strictă:

Cum se determină zona pe care o definește inegalitatea? Recomand același algoritm de acțiuni ca în soluție inegalități liniare.

Mai întâi desenăm linia, care este setat egalitatea corespunzătoare. Ecuația determină cerc centrat la originea unei raze care împarte planul de coordonate în Două părți - „interiorul” și „exterior” cercului. Din moment ce avem inegalitate strict, atunci cercul în sine nu va fi inclus cu siguranță în domeniul definiției și, prin urmare, trebuie trasat linie punctata.

Acum hai să o luăm arbitrar punct plan, neaparținând cerc și înlocuiți coordonatele sale în inegalitate. Cel mai simplu mod, desigur, este să alegeți originea:

Primit falsă inegalitate, astfel, punct nu satisface inegalitate În plus, această inegalitate nu este satisfăcută de niciun punct aflat în interiorul cercului și, prin urmare, domeniul de definiție dorit este partea sa exterioară. Zona de definiție este în mod tradițional hașurată:

Oricine poate lua orice punct aparținând zonei umbrite și să se asigure că coordonatele acestuia satisfac inegalitatea. Apropo, inegalitatea opusă dă cerc centrat la origine, raza .

Răspuns: partea exterioară a cercului

Să revenim la sensul geometric al problemei: am găsit domeniul de definiție și l-am umbrit, ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că în fiecare punct al zonei umbrite există o valoare „zet” și grafic funcția este urmatoarea suprafaţă:

Desenul schematic arată clar că această suprafață este situată pe alocuri de mai sus avion (octanți aproape și departe de noi), in unele locuri - sub avion (octanții din stânga și din dreapta în raport cu noi). Suprafața trece și prin axe. Dar comportamentul funcției ca atare nu este foarte interesant pentru noi acum - ceea ce este important este că toate acestea se întâmplă exclusiv în domeniul definiţiei. Dacă luăm orice punct aparținând cercului, atunci nu va exista nicio suprafață acolo (deoarece nu există „zet”), după cum demonstrează spațiul rotund din mijlocul imaginii.

Vă rugăm să înțelegeți bine exemplul analizat, deoarece în el am explicat în detaliu însăși esența problemei.

Următoarea sarcină este pe care o puteți rezolva singur:

Exemplul 5

O scurtă soluție și desen la sfârșitul lecției. În general, în subiectul luat în considerare printre Liniile de ordinul 2 cel mai popular este cercul, dar, ca opțiune, pot „împinge” problema elipsă, hiperbolă sau parabolă.

Să mergem în sus:

Exemplul 6

Găsiți domeniul unei funcții

Soluţie: expresia radicală trebuie să fie nenegativă: iar numitorul nu poate fi egal cu zero: . Astfel, domeniul de definire este specificat de sistem.

Ne ocupăm de prima condiție folosind schema standard discutată în lecție. Inegalități liniare: trageți o dreaptă și determinați semiplanul care corespunde inegalității. Pentru că inegalitatea nestrict, atunci linia dreaptă în sine va fi și ea o soluție.

Cu a doua condiție a sistemului, totul este și simplu: ecuația specifică axa ordonatelor și, din moment ce , atunci ar trebui exclusă din domeniul definiției.

Să desenăm desenul, fără a uita că linia continuă indică intrarea sa în zona de definire, iar linia punctată indică excluderea sa din această zonă:

De remarcat că aici suntem deja forţat face un desen. Și această situație este tipică - în multe sarcini, o descriere verbală a zonei este dificilă și, chiar dacă o descrii, cel mai probabil vei fi prost înțeles și forțat să descrii zona.

Răspuns: domeniu:

Apropo, un astfel de răspuns fără desen pare cu adevărat umed.

Să repetăm ​​încă o dată sensul geometric al rezultatului obținut: în zona umbrită există un grafic al funcției , care reprezintă suprafața spațiului tridimensional. Această suprafață poate fi situată deasupra/sub plan, sau poate intersecta planul - în acest caz, toate acestea sunt paralele cu noi. Însuși faptul existenței suprafeței este important și este important să găsim corect regiunea în care aceasta există.

Exemplul 7

Găsiți domeniul unei funcții

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Un exemplu aproximativ de sarcină finală la sfârșitul lecției.

Nu este neobișnuit ca funcții aparent simple să producă o soluție pe termen lung:

Exemplul 8

Găsiți domeniul unei funcții

Soluţie: folosind formula diferenței pătrate, să factorizăm expresia radicală: .

Produsul a doi factori este nenegativ , Când ambii multiplicatorii sunt nenegativi: SAU Când ambii nepozitiv: . Aceasta este o caracteristică tipică. Astfel, trebuie să rezolvăm două sisteme de inegalități liniareȘi COMBINA zonele primite. Într-o situație similară, în locul algoritmului standard, metoda științifică, sau mai exact, practică, funcționează mult mai rapid =)

Desenăm linii drepte care împart planul de coordonate în 4 „colțuri”. Luăm un punct aparținând „colțului” superior, de exemplu, un punct și înlocuim coordonatele acestuia în ecuațiile primului sistem: . Se obțin inegalitățile corecte, ceea ce înseamnă că soluția sistemului este toate„colț” de sus. Umbrire.

Acum luăm punctul aparținând „colțului” drept. Rămâne al 2-lea sistem, în care înlocuim coordonatele acestui punct: . A doua inegalitate nu este adevărată, prin urmare, si tot„colțul” din dreapta nu este o soluție pentru sistem.

O poveste similară este cu „colțul din stânga”, care, de asemenea, nu este inclus în domeniul de aplicare al definiției.

Și, în cele din urmă, înlocuim coordonatele punctului experimental al „colțului” inferior în al doilea sistem: . Ambele inegalități sunt adevărate, ceea ce înseamnă că soluția sistemului este si tot„colțul” inferior, care ar trebui să fie și umbrit.

În realitate, desigur, nu este nevoie să o descriem atât de detaliat - toate acțiunile comentate sunt ușor de realizat oral!

Răspuns: domeniul definirii este Uniune solutii de sistem .

După cum ați putea ghici, este puțin probabil ca un astfel de răspuns să funcționeze fără un desen și această împrejurare vă obligă să luați o riglă și un creion, chiar dacă condiția nu a cerut acest lucru.

Și asta e nebunia ta:

Exemplul 9

Găsiți domeniul unei funcții

Un elev bun ratează întotdeauna logaritmii:

Exemplul 10

Găsiți domeniul unei funcții

Soluţie: argumentul logaritmului este strict pozitiv, deci domeniul de definire este dat de sistem.

Inegalitatea indică semiplanul drept și exclude axa.

Cu a doua condiție situația este mai complicată, dar și transparentă. Să ne amintim sinusoid. Argumentul este „Igrek”, dar acest lucru nu ar trebui să mă încurce – Igrek, deci Igrek, Zyu, deci Zyu. Unde este sinusul mai mare decât zero? Sinusul este mai mare decât zero, de exemplu, pe interval. Deoarece funcția este periodică, există infinit de astfel de intervale și, în formă restrânsă, soluția inegalității se va scrie după cum urmează:
, unde este un întreg arbitrar.

Un număr infinit de intervale, desigur, nu poate fi descris, așa că ne vom limita la interval și vecinii săi:

Să completăm desenul, fără a uita că, conform primei condiții, domeniul nostru de activitate se limitează strict la semiplanul drept:

hmm... s-a dovedit a fi un fel de desen fantomă... o bună reprezentare a matematicii superioare...

Răspuns:

Următorul logaritm este al tău:

Exemplul 11

Găsiți domeniul unei funcții

În timpul soluției, va trebui să construiți parabolă, care va împărți avionul în 2 părți - „interiorul” situat între ramuri și partea exterioară. Metoda de găsire a piesei necesare a apărut în mod repetat în articol Inegalități liniareși exemplele anterioare din această lecție.

Rezolvare, desen și răspuns la sfârșitul lecției.

Nucile finale ale paragrafului sunt dedicate „arcelor”:

Exemplul 12

Găsiți domeniul unei funcții

Soluţie: Argumentul arcsinus trebuie să fie în următoarele limite:

Apoi există două posibilități tehnice: cititori mai pregătiți, similare cu ultimele exemple ale lecției Domeniul unei funcții a unei variabile pot „rula” inegalitatea dublă și pot lăsa „Y” la mijloc. Pentru manechine, recomand convertirea „locomotivei” într-un echivalent sistem de inegalități:

Sistemul este rezolvat ca de obicei - construim linii drepte și găsim semiplanurile necesare. Ca urmare:

Vă rugăm să rețineți că aici limitele sunt incluse în zona de definire și liniile drepte sunt desenate ca linii continue. Acest lucru trebuie întotdeauna monitorizat cu atenție pentru a evita o greșeală gravă.

Răspuns: domeniul definiției reprezintă soluția sistemului

Exemplul 13

Găsiți domeniul unei funcții

Soluția de probă folosește o tehnică avansată - conversia inegalităților duble.

În practică, întâmpinăm uneori și probleme care implică găsirea domeniului de definire a unei funcții a trei variabile. Domeniul de definire a unei funcții de trei variabile poate fi Toate spațiu tridimensional sau o parte a acestuia. În primul caz funcția este definită pentru orice puncte din spațiu, în al doilea - numai pentru acele puncte care aparțin unui obiect spațial, cel mai adesea - corp. Poate fi un paralelipiped dreptunghiular, elipsoid, "interior" cilindru parabolic etc. Sarcina de a găsi domeniul de definire a unei funcții de trei variabile constă de obicei în găsirea acestui corp și realizarea unui desen tridimensional. Cu toate acestea, astfel de exemple sunt destul de rare. (am gasit doar cateva bucati), și, prin urmare, mă voi limita doar la acest paragraf de prezentare generală.

Linii de nivel

Pentru a înțelege mai bine acest termen, vom compara axa cu înălţime: cu cât valoarea „Z” este mai mare, cu atât înălțimea este mai mare, cu atât valoarea „Z” este mai mică, cu atât înălțimea este mai mică. Înălțimea poate fi, de asemenea, negativă.

O funcție din domeniul său de definire este un grafic spațial pentru o definiție și o mai mare claritate, vom presupune că aceasta este o suprafață trivială; Ce sunt liniile de nivel? Figurat vorbind, liniile de nivel sunt „felii” orizontale ale suprafeței la diferite înălțimi. Aceste „felii” sau, mai corect, secțiuni efectuat cu avioane, după care sunt proiectate în plan .

Definiție: o linie de nivel de funcție este o dreaptă pe plan în fiecare punct al căruia funcția menține o valoare constantă: .

Astfel, liniile de nivel ajută să ne dăm seama cum arată o anumită suprafață - și ajută fără a construi un desen tridimensional! Să luăm în considerare o sarcină specifică:

Exemplul 14

Găsiți și trasați mai multe linii de nivel ale unui grafic al funcției

Soluţie: Examinăm forma unei suprafețe date folosind linii de nivel. Pentru comoditate, să extindem intrarea „înapoi în față”:

Evident, în acest caz, „zet” (înălțimea) evident nu poate lua valori negative (deoarece suma pătratelor este nenegativă). Astfel, suprafața este situată în semi-spațiul superior (deasupra planului).

Deoarece condiția nu spune la ce înălțimi specifice trebuie să fie „tăiate” liniile de nivel, suntem liberi să alegem mai multe valori „Z” la discreția noastră.

Examinăm suprafața la înălțime zero, pentru a face acest lucru punem valoarea în egalitate :

Soluția acestei ecuații este punctul. Adică când linia de nivel reprezintă un punct.

Ne ridicăm la o unitate de înălțime și ne „tăiem” suprafața avion (se înlocuiește în ecuația de suprafață):

Prin urmare, pentru înălțime, linia de nivel este un cerc centrat într-un punct cu raza unitară.

iti amintesc ca toate „feliile” sunt proiectate pe plan, și de aceea notez două, nu trei, coordonate pentru puncte!

Acum luăm, de exemplu, un avion și „tăiem” suprafața studiată cu el (substituiîn ecuația de suprafață):

Prin urmare, pentru inaltimelinia de nivel este un cerc centrat în punctul de rază.

Și, să construim o altă linie de nivel, să zicem :

–cerc centrat într-un punct cu raza 3.

Liniile de nivel, așa cum am subliniat deja, sunt situate pe plan, dar fiecare linie este semnată - la ce înălțime corespunde:

Nu este greu de înțeles că alte linii de nivel ale suprafeței luate în considerare sunt, de asemenea, cercuri, iar cu cât urcăm mai sus (creștem valoarea „Z”), cu atât raza devine mai mare. Prin urmare, suprafața în sine Este un castron nesfârșit cu fundul ovoid, al cărui vârf se află pe un plan. Acest „castron”, împreună cu axa, „ie direct la tine” de pe ecranul monitorului, adică te uiți în fundul lui =) Și asta nu este fără motiv! Numai eu îl turnez pe drum atât de letal =) =)

Răspuns: liniile de nivel ale unei suprafețe date sunt cercuri concentrice ale formei

Notă : când se obţine un cerc degenerat de rază (punct) zero

Însuși conceptul de linie de nivel provine din cartografie. Pentru a parafraza expresia matematică stabilită, putem spune că linia de nivel este o locație geografică a punctelor de aceeași înălțime. Luați în considerare un anumit munte cu linii de nivel de 1000, 3000 și 5000 de metri:

Figura arată clar că versantul din stânga sus al muntelui este mult mai abrupt decât versantul din dreapta jos. Astfel, liniile de nivel vă permit să reflectați terenul pe o hartă „plată”. Apropo, aici valorile negative de altitudine dobândesc, de asemenea, o semnificație foarte specifică - la urma urmei, unele zone ale suprafeței Pământului sunt situate sub nivelul zero al oceanelor lumii.

Lăsa Z= F(M) – o funcție definită într-o vecinătate a unui punct M(y; x);L={ Cos; Cos} – vector unitar (în Fig. 33 1=  , 2= ); L– o dreaptă direcționată care trece printr-un punct M; M1(x1; y1), unde x1=x+x și y1=y+y– punct pe o linie L;  L– lungimea segmentului MM1;  Z= F(x+х, y+у)-F(X, Y) – creșterea funcției F(M) la punct M(x; y).

Definiție. Limita raportului, dacă există, se numește Derivata unei functii Z = F ( M ) la un moment dat M ( X ; Y ) în direcția vectorului L .

Desemnare.

Dacă funcţia F(M) diferentiabil la punct M(x;y), apoi la punct M(x;y) există o derivată în orice direcție L emanând din M; se calculează folosind următoarea formulă:

(8)

Unde Cos ȘI Cos- cosinusurile de direcție ale vectorului L.

Exemplul 46. Calculați derivata unei funcții Z= X2 + Y2 X la punct M(1; 2)în direcția vectorului MM1, Unde M1– punct cu coordonate (3; 0).

. Să găsim vectorul unitar L, având această direcție:

Unde Cos= ; Cos=- .

Să calculăm derivatele parțiale ale funcției în punct M(1; 2):

Folosind formula (8) obținem

Exemplul 47. Aflați derivata unei funcții U = X y2 Z3 la punct M(3; 2; 1)În direcția vectorului MN, Unde N(5; 4; 2) .

. Să găsim vectorul și cosinusurile de direcție:

Să calculăm valorile derivatelor parțiale în acest punct M:

Prin urmare,

Definiție. Gradient FuncțiiZ= F(M) în punctul M(x; y) este un vector ale cărui coordonate sunt egale cu derivatele parțiale corespunzătoare și luate în punctul M(x; y).

Desemnare.

Exemplul 48. Găsiți gradientul unei funcții Z= X2 +2 Y2 -5 la punct M(2; -1).

Soluţie. Găsirea derivatelor parțiale: și valorile lor la punct M(2; -1):

Exemplul 49. Găsiți mărimea și direcția gradientului funcției într-un punct

Soluţie. Să găsim derivatele parțiale și să le calculăm valorile în punctul M:

Prin urmare,

Derivata direcțională pentru o funcție de trei variabile este determinată în mod similar U= F(X, Y, Z) , sunt afișate formule

Este introdus conceptul de gradient

Să subliniem asta Proprietățile de bază ale funcției de gradient mai important pentru analiza optimizării economice: în direcţia gradientului funcţia creşte. Următoarele proprietăți de gradient sunt utilizate în problemele economice:

1) Să fie dată funcția Z= F(X, Y) , având derivate parțiale în domeniul definiției. Să luăm în considerare un punct M0(x0, y0) din domeniul definirii. Fie valoarea funcției în acest punct să fie egală cu F(X0 , Y0 ) . Să ne uităm la graficul funcției. Prin punct (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) spațiu tridimensional desenăm un plan tangent la suprafața graficului funcției. Apoi gradientul funcției calculat la punct (x0, y0), considerat geometric ca un vector aplicat la un punct (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) , va fi perpendicular pe planul tangent. O ilustrație geometrică este prezentată în fig. 34.

2) Funcția gradient F(X, Y) la punct M0(x0, y0) indică direcția celei mai rapide creșteri a funcției în punctul respectiv M0. În plus, orice direcție care formează un unghi ascuțit cu gradientul este direcția de creștere a funcției în punct M0. Cu alte cuvinte, o mică mișcare dintr-un punct (x0, y0)în direcția gradientului funcției în acest punct duce la o creștere a funcției și în cea mai mare măsură.

Luați în considerare vectorul opus gradientului. Se numeste Anti-gradient . Coordonatele acestui vector sunt:

Funcție anti-gradient F(X, Y) la punct M0(x0, y0) indică direcția celei mai rapide scăderi a funcției în punct M0. Orice direcție care formează un unghi ascuțit cu antigradientul este direcția în care funcția scade în acel punct.

3) Când se studiază o funcție, este adesea nevoie să se găsească astfel de perechi (X y) din domeniul de definire al funcției, în care funcția ia aceleași valori. Luați în considerare un set de puncte (X, Y) din domeniul funcției F(X, Y) , astfel încât F(X, Y)= Const, unde este intrarea “ Const” înseamnă că valoarea funcției este fixă ​​și egală cu un număr din intervalul funcției.

Definiție. Linie de nivel de funcție U = F ( X , Y ) numită linieF(X, Y)=C în avionXOy, în punctele în care funcția menține o valoare constantăU= C.

Liniile de nivel sunt reprezentate geometric pe planul de schimbare al variabilelor independente sub formă de linii curbe. Obținerea liniilor de nivel poate fi imaginată după cum urmează. Luați în considerare setul CU, care constă din puncte ale spațiului tridimensional cu coordonate (X, Y, F(X, Y)= Const), care, pe de o parte, aparțin graficului funcției Z= F(X, Y), pe de altă parte, ele se află într-un plan paralel cu planul de coordonate HOU, și distanțat de acesta cu o cantitate egală cu o constantă dată. Apoi, pentru a construi o linie de nivel, este suficient să intersectezi suprafața graficului funcției cu un plan Z= Constși proiectați linia de intersecție pe plan HOU. Raționamentul de mai sus justifică posibilitatea de a construi direct linii de nivel pe un plan HOU.

Definiție. Sunt numite multe linii de nivel Harta cu linii de nivel.

Exemple binecunoscute de linii de nivel sunt niveluri de înălțimi egale pe o hartă topografică și linii de presiune barometrică egală pe o hartă meteorologică.

Definiție. Se numește direcția în care rata de creștere a unei funcții este maximă direcția „preferată”., sau Direcția de creștere cea mai rapidă.

Direcția „preferată” este dată de vectorul gradient al funcției. În fig. 35 prezintă punctul maxim, minim și șa în problema optimizării unei funcții a două variabile în absența restricțiilor. Partea de jos a figurii arată liniile nivelului și direcției celei mai rapide creșteri.

Exemplul 50. Găsiți linii de nivel de funcție U= X2 + Y2 .

Soluţie. Ecuația unei familii de linii de nivel are forma X2 + Y2 = C (C>0) . Dăruind CU diferite valori reale, obținem cercuri concentrice cu centrul la origine.

Construirea liniilor de nivel. Analiza lor este utilizată pe scară largă în problemele economice la nivel micro și macro, teoria echilibrului și soluțiile eficiente. Izocosturi, izocuante, curbe de indiferență - toate acestea sunt linii de nivel construite pentru diferite funcții economice.

Exemplul 51. Luați în considerare următoarea situație economică. Să fie descrisă producția de produse Funcția Cobb-Douglas F(X, Y)=10x1/3y2/3, Unde X- cantitatea de muncă, U– suma de capital. Pentru achiziționarea de resurse au fost alocați 30 USD. unități, prețul forței de muncă este de 5 USD. unități, capital – 10 USD. unitati Să ne întrebăm: care este cea mai mare producție care poate fi obținută în aceste condiții? Aici, „condiții date” înseamnă tehnologii date, prețuri pentru resurse și tipul funcției de producție. După cum sa menționat deja, funcția Cobb-Douglas este în creștere monoton pentru fiecare variabilă, adică o creștere a fiecărui tip de resursă duce la o creștere a producției. În aceste condiții, este clar că se poate crește achiziția de resurse atâta timp cât sunt suficienți bani. Seturi de resurse, al căror cost este de 30 USD. unități, îndeplinesc condiția:

5x + 10y = 30,

Adică determină linia nivelului funcției:

G(X, Y) = 5x + 10y.

Pe de altă parte, folosind linii de nivel Funcții Cobb-Douglas (Fig. 36) puteți arăta creșterea funcției: în orice punct al liniei de nivel, direcția gradientului este direcția celei mai mari creșteri, iar pentru a construi un gradient într-un punct este suficient să desenați o tangentă față de linia de nivel în acest punct, construiți o perpendiculară pe tangentă și indicați direcția gradientului. Din fig. 36 se poate observa că linia de nivel a funcției Cobb-Douglas trebuie deplasată de-a lungul gradientului până când devine tangentă la linia de nivel. 5x + 10y = 30. Astfel, folosind conceptele de linie de nivel, gradient și proprietăți de gradient, este posibil să se dezvolte abordări pentru cea mai bună utilizare a resurselor în ceea ce privește creșterea volumului de ieșire.

Definiție. Funcția nivel de suprafață U = F ( X , Y , Z ) numita suprafataF(X, Y, Z)=С, în punctele cărora funcția menține o valoare constantăU= C.

Exemplul 52. Găsiți suprafețe la nivel de funcție U= X2 + Z2 - Y2 .

Soluţie. Ecuația pentru o familie de suprafețe plane are forma X2 + Z2 - Y2 =C. Dacă С=0, apoi primim X2 + Z2 - Y2 =0 – con; Dacă C<0 , Acea X2 + Z2 - Y2 =C – Familia de hiperboloizi cu două foi.

NOTE PRIVIND MATANALISĂ

Funcțiile mai multor variabile. Reprezentarea geometrică a unei funcții a două variabile. Linii și suprafețe de nivel. Limita și continuitatea funcțiilor mai multor variabile, proprietățile acestora. Derivate parțiale, proprietățile lor și semnificația geometrică.

Definiție 1.1. Variabil z (cu zona de schimbare Z) numit funcţia a două variabile independente X y in abundenta M, dacă fiecare pereche ( X y) din multe M z din Z.

Definiție 1.2. O multime de M, în care sunt specificate variabilele X y, numit domeniul functiei, și ei înșiși X y- a ei argumente.

Denumiri: z = f(X, y), z = z(X, y).

Exemple.

Cometariu. Din moment ce câteva numere ( X y) pot fi considerate coordonatele unui anumit punct din plan, vom folosi ulterior termenul „punct” pentru o pereche de argumente la o funcție de două variabile, precum și pentru o mulțime ordonată de numere
, care sunt argumente pentru o funcție a mai multor variabile.

Definiție 1.3. . Variabil z (cu zona de schimbare Z) numit funcţia mai multor variabile independente
in abundenta M, dacă fiecare set de numere
din multi M conform unei reguli sau legi, se atribuie o anumită valoare z din Z. Conceptele de argumente și domeniu sunt introduse în același mod ca pentru o funcție a două variabile.

Denumiri: z = f
,z = z
.

Reprezentarea geometrică a unei funcții a două variabile.

Luați în considerare funcția

z = f(X, y) , (1.1)

definite într-o anumită zonă M pe planul O X y. Apoi setul de puncte din spațiul tridimensional cu coordonatele ( X, y, z) , unde , este graficul unei funcții a două variabile. Deoarece ecuația (1.1) definește o anumită suprafață în spațiul tridimensional, aceasta va fi imaginea geometrică a funcției luate în considerare.

z = f(x,y)

M y

cometariu. Pentru o funcție de trei sau mai multe variabile vom folosi termenul „suprafață în n-spațiu dimensional”, deși este imposibil să descrii o astfel de suprafață.

Linii și suprafețe de nivel.

Pentru o funcție a două variabile date de ecuația (1.1), putem considera o mulțime de puncte ( X y) O avion X y, pentru care z ia aceeași valoare constantă, adică z= const. Aceste puncte formează o dreaptă pe planul numit linie de nivel.

Exemplu.

Găsiți liniile de nivel pentru suprafață z = 4 – X² - y². Ecuațiile lor arată ca X² + y² = 4 – c (c=const) – ecuații ale cercurilor concentrice cu centru la origine și cu raze
. De exemplu, când Cu=0 obținem un cerc X² + y² = 4 .

Pentru o funcție de trei variabile u = u (X, y, z) ecuația u (X, y, z) = c definește o suprafață în spațiul tridimensional, care se numește suprafata plana.

Exemplu.

Pentru funcție u = 3X + 5y – 7z–12 suprafețe de nivel vor fi o familie de plane paralele date de ecuații

3X + 5y – 7z –12 + Cu = 0.

Limita și continuitatea unei funcții a mai multor variabile.

Să introducem conceptul δ-cartiere puncte M 0 (X 0 , y 0 ) pe planul O X y ca un cerc cu raza δ cu centru într-un punct dat. În mod similar, putem defini o vecinătate δ în spațiul tridimensional ca o minge cu raza δ cu centru în punctul M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) . Pentru n-spațiul dimensional vom numi δ-vecinătatea unui punct M 0 set de puncte M cu coordonate
, îndeplinind condiția

Unde
- coordonatele punctului M 0 . Uneori, acest set se numește „minge” în interior n-spațiul dimensional.

Definiție 1.4. Se numește numărul A limită funcţiile mai multor variabile f
la punct M 0 dacă

astfel încât | f(M) – A| < ε для любой точки M din δ-cartier M 0 .

Denumiri:
.

Trebuie avut în vedere că în acest caz punctul M se poate apropia M 0, relativ vorbind, de-a lungul oricărei traiectorii în interiorul vecinătății δ a punctului M 0 . Prin urmare, ar trebui să distingem limita unei funcții a mai multor variabile în sens general de așa-numita limite repetate obţinute prin treceri succesive la limită pentru fiecare argument separat.

Exemple.

cometariu. Se poate dovedi că din existența unei limite într-un punct dat în sensul obișnuit și existența în acest punct a limitelor pe argumentele individuale, rezultă existența și egalitatea limitelor repetate. Afirmația inversă nu este adevărată.

Definiția 1.5. Funcţie f
numit continuu la punct M 0
, Dacă
(1.2)

Dacă introducem notaţia

Acea condiție (1.2) poate fi rescrisă sub forma

(1.3)

Definiția 1.6. Punctul interior M 0 domeniul functional z = f (M) numit punct de rupere funcția dacă condițiile (1.2), (1.3) nu sunt îndeplinite în acest moment.

Cometariu. Multe puncte de discontinuitate se pot forma pe un plan sau în spațiu linii sau suprafata de fractura.

Instrucțiuni

Când construiți linii de nivel, porniți de la faptul că sunt proiecții pe un plan cu o aplicație zero a liniilor de intersecție a graficului unei anumite funcții cu un plan orizontal. Aplicata acestui plan de sectiune este constanta la care trebuie egalata ecuatia functiei pentru a obtine coordonatele punctelor dreptei. Se poate schimba cu pasul specificat în condițiile sarcinii dacă este necesar să fie construit un set de linii. Și dacă trebuie să construiți o singură linie de nivel, condițiile pot da coordonatele punctului care se află pe ea. Graficele din această pagină pot fi salvate sau editate interactiv.

Reduceți funcția specificată în condițiile problemei la forma f(x,y) = const. De exemplu, dacă este dat z = x² + y² - 4*y, poate fi scris într-o formă alternativă pentru a reprezenta mai bine forma graficului funcției și echivalat cu constanta c: c+4 = x²+(y -2)². Graficul de volum al unei astfel de funcții este un infinit și toate secțiunile sale printr-un plan orizontal ridicat la diferite , (adică, liniile de nivel dorite) vor fi cercuri concentrice cu o rază determinată de formula √(c+4).

Înlocuiți valoarea pentru linia de nivel specificată în condițiile pentru constanta c. Dacă nu este dat, alegeți-l singur pe baza intervalului de valori al funcției. De exemplu, pentru exemplul de mai sus, valoarea minimă a constantei ar putea fi numărul -4. Constanta poate fi egalată cu 5, iar în acest caz graficul funcției va fi un cerc cu raza √(5+4) = 3 și centru într-un punct cu abscisă egală cu 0 și ordonată egală cu 2.

Dacă trebuie să construiți mai multe linii de nivel, repetați pasul anterior de câte ori este necesar.

Pe Internet puteți găsi servicii care vă vor ajuta la construirea liniilor de nivel. De exemplu, mai jos este un link către serviciul WolframAlpha. În câmpul de introducere de pe pagina sa, introduceți formula funcției și faceți clic pe butonul cu semnul egal. Funcția z = x² + y² - 4*y folosită în exemplu trebuie introdusă în următoarea formă: x^2+y^2-4*y. În câteva secunde, pe pagină vor apărea grafice color bidimensionale și tridimensionale cu linii de nivel, precum și figura descrisă de formulă, forme alternative de scriere a acesteia și alte funcții care pot fi utilizate la construirea liniilor de nivel.

Surse:

• Serviciul WolframAlpha

Nu toată lumea își dorește să fie un despot de familie, dar chiar și cei mai timizi și autosuficienți au nevoie de părerea lor pentru a fi măcar ascultați. Cum să te aliniezi corect linii influență? Poți influența doar pe cineva care are nevoie de ceva, așa că hai să ne uităm la cum să folosești nevoile partenerului tău pentru a obține ceea ce vrei de la el, folosind piramida lui Maslow.

Instrucțiuni

Sfera nevoilor umane se bazează pe nevoi, în primul rând sete, foame și dorință sexuală. Partenerii sunt dresați ca câinele lui Pavlov folosind toate metodele, dar această metodă este cea mai puțin subtilă. Astfel, unele soții în tinerețe își privează soții de relații apropiate pentru cea mai mică ofensă, iar soții fac același lucru în raport cu cei cărora nu le-a plăcut. Cu toate acestea, este mult mai eficient să utilizați această metodă în mod pozitiv, adică, ca răspuns la concesii, oferiți persoanei iubite o intimitate îmbătătoare, încântătoare.

Mai sus în ierarhie este nevoia de securitate. Fiecare persoană își dorește să trăiască confortabil, cu un stil de viață stabil, fără să se teamă de nimic. Când o soție ofensată refuză brusc să gătească pentru soțul ei, ea își rupe obiceiurile din gospodărie, fără să știe, provocând durere. Aceasta nu este întotdeauna o politică rezonabilă, în situații negative, este mai bine să te comporți neutru și să răsplătești cele mai mici schimbări pozitive cu felul de mâncare preferat al soțului tău sau cu unul cu care ai relații romantice.

Vom lua în considerare următoarele două niveluri împreună, pentru că sunt apropiate ca semnificație - acestea sunt nevoile de respect și iubire. Insultele dor și celebra întrebare „Ești eu?” cu încercările ulterioare de a manipula aproape strica sângele atât al bărbaților, cât și al femeilor. Dar la acest nivel, mulți oameni sunt foarte dependenți și vulnerabili. Încurajarea comportamentului corect se realizează prin laude sincere, mai ales cu străini, atingeri blânde și priviri iubitoare.

Piramida este încununată de nevoia de auto-realizare. Comportamentul greșit aici ridiculizează gusturile, nevoile spirituale și aspirațiile unei persoane dragi. După fiecare decizie de care aveți nevoie, nu vă zgâriți cu semnele de atenție la creativitatea partenerului dvs. Acest lucru se poate manifesta în lucruri mărunte, de exemplu, râzi de glumele lui bune și le povestiți altor persoane cu referire la autor. De asemenea, este bine să creezi condiții pentru ca persoana iubită să fie creativ în zona în care este cu adevărat talentat.

Desigur, îți poți atinge obiectivele privându-ți partenerul de ceea ce are nevoie. Dar poți întări și îmbogăți cu adevărat relațiile doar încercând să satisfaci nevoile unei persoane dragi din clasa cea mai înaltă. Dragostea altruistă și altruistă vă va ajuta să ghiciți într-o anumită situație.

Video pe tema

Notă

Folosind proprietatea de liniaritate a problemei, conectăm aceste puncte cu așa-numita linie dreaptă de tranziție. Linia de influență, compusă din două ramuri construite ale graficului S3−4 (x) și linia dreaptă de tranziție, formează linia de influență a forței S3−4, adică dependența acestei forțe de locația sarcinii unitare. (Fig. 97). Construim o linie de influență a forței în rack 3-8 când o singură sarcină se deplasează mai jos.

Surse:

• Metoda cinematică pentru construirea liniilor de influență într-o grindă în 2019

Lumea care ne înconjoară pe toți are trei dimensiuni, dar foaia de hârtie sau pânza pe care încercăm să înfățișăm realitatea înconjurătoare este, din păcate, doar bidimensională. Pentru ca obiectele pe care le înfățișăm să pară cât mai voluminoase și realiste, trebuie să respectăm anumite reguli și să le aranjam corect. perspectivă.

Vei avea nevoie

• coală de hârtie, creion, riglă

Instrucțiuni

În continuare, determinăm unde va fi localizat obiectul în raport cu linia orizontului. Dacă este la nivelul ochilor (adică la orizont), atunci ne uităm direct la obiect. Dacă un obiect se află deasupra liniei orizontului, îl privim de jos, respectiv, în acest caz partea inferioară devine vizibilă. Dacă un obiect este plasat sub linia orizontului, atunci partea superioară va fi vizibilă. Construim un obiect, verificăm cu o riglă că toate liniile paralele converg într-un punct.

Video pe tema

Notă

De asemenea, atunci când construiți o perspectivă, trebuie să vă amintiți nu numai că toate liniile paralele converg într-un punct, ci și că, pe măsură ce vă îndepărtați, toate obiectele reprezentate devin mai mici. Obiectele foarte îndepărtate se transformă chiar în puncte.

Recent, materialele de acoperiș cu un strat transparent sunt din ce în ce mai folosite în construcția garajelor. Avantajul unui acoperiș transparent este că permite trecerea unei cantități mari de lumină naturală, iar nivelul de iluminare vă permite să lucrați fără iluminare artificială suplimentară.

Vei avea nevoie

• - ruleta;
• - pix cu pâslă;
• - burghiu;
• - suruburi;
• - șurubelniță;
• - plastic transparent;
• - inele de etanșare;
• - etanșant;
• - spuma profilata.

Instrucțiuni

Măsurați acoperișurile folosind o bandă de măsurare. Marcați acoperișul astfel încât foile sale să se suprapună. Lățimea de suprapunere este de un centimetru și jumătate. Marcați linia tăiată cu un marker colorat. Vă rugăm să rețineți că capătul trebuie să fie adiacent marginii la un unghi de 90 de grade.

Găuriți găuri pentru șuruburi în foile de plastic. Diametrul găurii trebuie să fie cu 4 mm mai mare decât diametrul feroneriei. Fixați cu șuruburi. Elementele de fixare ar trebui să fie amplasate pe fiecare a doua creastă a foii de relief. Plasticul este un material destul de fragil, așa că atunci când îl atașați, limitați stresul mecanic. Se recomandă utilizarea unei șurubelnițe.

La instalarea acoperișului, este necesar să instalați inele O și capace de plastic între pereți. Ca o etanșare suplimentară, puteți utiliza una profilată, care este atașată cu șuruburi în găuri traversante.

Video pe tema

Notă

Acoperișul garajului va arăta corect și frumos numai dacă cadrele de căpriori au aceeași formă și sunt aliniate corect. Prin urmare, atunci când se efectuează lucrări pregătitoare și de acoperiș, ar trebui să se utilizeze șabloane. Primul cadru prefabricat este folosit ca un astfel de șablon.

Sfaturi utile

Pentru a preveni mișcarea stratului transparent în timpul procesului de tăiere, acesta trebuie strâns cu o unealtă, folosind scânduri de lemn ca distanțiere. Cel mai bine este să tăiați acoperișul din plastic cu un ferăstrău cu dinți fini. Unealta trebuie să fie ușor înclinată și utilizată fără presiune. În caz contrar, lama ferăstrăului se va bloca.

Surse:

• Montarea diferitelor tipuri de acoperișuri de garaj în 2019

Odată cu debutul verii, vreau să-mi schimb garderoba, să-i adaug culori și stiluri noi. Nu trebuie să mergeți la magazin pentru asta - puteți coase singur unele modele de îmbrăcăminte. O rochie de soare este considerată pe bună dreptate unul dintre cele mai ușor de făcut articole de îmbrăcăminte. Tot ce trebuie să faceți este să alegeți o țesătură ușoară bună, să faceți un model și să coaseți toate piesele împreună.

Vei avea nevoie

• - hartie;
• - creion;
• - ruletă;
• - rigla;
• - foarfece.

Instrucțiuni

Luați o bandă de măsurat și măsurați următoarele distanțe: DSP - lungimea spatelui până la talie, DSB - lungimea spatelui până la șolduri, PG - distanța de la umăr până la vârful pieptului, OT - circumferința taliei, OB - volumul șoldurilor, OG - volumul pieptului, VT - distanța dintre punctele superioare ale pieptului, DI - lungimea produsului (de la umăr la tiv).

Luați o foaie mare de hârtie (de preferință hârtie specială pentru modele cu marcaje milimetrice) și desenați un dreptunghi, a cărui lungime este egală cu DI și lățimea este egală cu un sfert de OG. Dacă șoldurile sunt mai mari decât pieptul, lățimea dreptunghiului ar trebui să fie egală cu un sfert din OB. Aceasta va fi jumătate din față. Marcați imediat una dintre laturile verticale ca mijloc.

Găsește-ți talia, pieptul și șoldurile. Pentru a face acest lucru, măsurați distanțe egale cu PG, DST și DSB de la marginea superioară a dreptunghiului și trageți linii orizontale la acest nivel.

Găsește punctul de sus al pieptului tău. Pentru a face acest lucru, măsurați jumătate din VT de-a lungul liniei pieptului de la mijlocul față. Desenați o linie verticală din acest punct pe întregul dreptunghi.

La intersecția acestei linii cu linia taliei, faceți o săgetă, lăsați deoparte 2 - 4 cm la dreapta și la stânga punctului de intersecție cu punctul superior al pieptului și al șoldului . Ar trebui să ajungeți cu o formă de diamant verticală lungă. Faceți un al doilea dart de-a lungul cusăturii laterale (veți obține o jumătate de romb).

Decorați partea superioară a rochiei după cum doriți, sub forma literei „L”. Puteți face o tăietură rotundă, triunghiulară sau dreaptă. Fă armhole jos sau înalt, în funcție de silueta ta. În partea de sus a „L” (la intersecția dintre armhole și decolteul), prindeți curelele.

Construiți modelul spatelui în același mod. Diferența dintre spate și față este că partea superioară va fi pur și simplu tăiată orizontal, la înălțimea intersecției liniei armhole cu linia laterală.

Decupați detaliile modelului rochiei de soare și începeți să coaseți.

Etapele sunt platforme în apropierea coastei, ca și cum ar pluti deasupra apei.

Ele sunt de obicei din lemn și reprezintă o prelungire a căii grădinii. Poți pune pe scenă un foișor sau o bancă din lemn, stând pe care te poți bucura de pescuit sau doar admirând iazul. Și dacă poți înota într-un rezervor, atunci nu vei găsi un loc mai convenabil pentru scufundări.

Proiectarea și instalarea schelelor este o sarcină interesantă și creativă:

1. Mai întâi, piloții sunt instalați, pot fi fabricați dintr-o țeavă metalică (100x100 mm);

2. Apoi li se atașează un cadru din lemn sau metal, de care sunt deja atașate scândurile de podea. Se lasă goluri între ele pentru a ventila lemnul.

3. Pe mal, la fiecare trei metri, se construiesc stalpi de fundatie pe care se sprijina puntea. Acestea ar trebui să se ridice cu 20-30 cm deasupra apei, având în vedere că în perioadele ploioase nivelul apei crește. Potrivit experților, scena este formată din cel mult 25% din suprafața apei.

FUNCȚIILE MAI MULTOR VARIABILE

1. CONCEPTE DE BAZĂ

Fie: z - o valoare variabilă cu un interval de modificări R; R - linia numerică; D - zona pe planul de coordonate R2.

Orice mapare D->R se numește funcție a două variabile cu domeniul D și scris z = f(x;y).

Cu alte cuvinte:

Dacă fiecare pereche (x; y) de două variabile independente din domeniul D, conform unei reguli, este asociată cu o anumită valoare z din R, atunci variabila z se numește o funcție a două variabile independente x și y cu domeniul de definiţia D şi se scrie

http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" height="32 src=">

Exemplul 1.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" height="29 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg" align="left" width="110" height="89">

Domeniul de definiție este o parte a planului situată în interiorul unui cerc cu raza r = 3, cu centrul la origine, vezi figura.

Exemplul 3. Găsiți și desenați domeniul unei funcții

http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" height="32 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" height="30 src=">

2. INTERPRETAREA GEOMETRICĂ A FUNCȚIEI A DOI

VARIABILE

2.1.Graficul unei funcţii a două variabile

Să considerăm un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu și o regiune D pe planul xOy. În fiecare punct M(x;y) din această zonă restabilim o perpendiculară pe planul xOy și trasăm pe ea valoarea z = f(x;y). Amplasarea geometrică a punctelor obținute

http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" height="23 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" height="23 src=">

Acestea sunt cercuri centrate la origine, raza R = C1/2 și ecuația

x2 + y2 = R2, vezi figura.

Liniile de nivel ne permit să reprezentăm suprafața luată în considerare, ceea ce dă cercuri concentrice atunci când sunt secționate de planuri z = C.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" height="29"> și găsiți .

Soluţie. Să folosim metoda secțiunii.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 height=60" height="60">– în plan – o parabolă.

– în plan – parabolă.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" height="24 src="> – cerc.

Suprafața necesară este un paraboloid de revoluție.

Distanţă între două puncte arbitrare iar spațiul (euclidian) se numește număr

http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 height=24" height="24"> se numește cerc deschis raza centrată în punctul r.

Se numește un cerc deschis cu raza ε cu centrul în punctul A - ε - împrejurimi punctul A.

3 sarcină

Găsiți și descrieți grafic domeniul de definiție al funcției:

Desenați linii de nivel de funcție:

3. LIMITA UNEI FUNCȚII DE DOUĂ VARIABILE

Conceptele de bază ale analizei matematice introduse pentru o funcție a unei variabile se extind la funcțiile mai multor variabile.

Definiție:

Un număr constant A se numește limita unei funcții a două variabile z = f(x;y) pentru x -> x0, y -> y0, dacă pentru oricare

ε >0 există δ >0 astfel încât |f(x; y) - A|< ε , как только

|x - x0|< δ и |у – у0| < δ.

Acest fapt este indicat după cum urmează:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" height="39 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" height="25 src=">. Pentru o funcție a două variabile, urmărirea unui punct limită pe un plan poate apărea într-un număr infinit de direcții (și nu neapărat în linie dreaptă), și de aceea cerința existenței unei limite pentru o funcție de două (sau mai multe) variabile este „mai strânsă” în comparație cu o funcție a unei variabile.

Exemplul 1. Găsi .

Soluţie. Lasă dorința de a ajunge la punctul de limitare http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 height=24" height="24">. Apoi

http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 height=48" height="48"> depinde de.

Exemplul 2. Găsi .

Soluţie. Pentru orice linie dreaptă limita este aceeași:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" height="29">. Apoi

http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" height="21">, (restul este prin analogie).

Definiție. Numărul este sunat limită funcții pentru și , dacă pentru astfel încât inegalitățile și implică inegalitatea . Acest fapt este scris pe scurt după cum urmează:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width="124" height="48">.gif" width="236" height="48 src=">;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" height="60 src=">,

unde este punctul limită http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" height="24 src="> cu domeniul definiției și lăsați – punctul limită al mulțimii, adică punctul către care tind argumentele XȘi la.

Definiția 1. Ei spun că funcția este continuă într-un punct dacă:

1) ;

2) , adică .

Să formulăm definiția continuității într-o formă echivalentă..gif" width="89" height="25 src=">.gif" width="85 height=24" height="24"> este continuă într-un punct dacă egalitatea este valabilă

http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" width="16" height="20 src=">.gif" width="15 height=16" height="16"> să dăm un increment arbitrar. Funcția va primi o creștere parțială cu X

http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" height="25 src="> este o funcție a unei variabile. În mod similar,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" height="24"> se numește continuă într-un punct peste o variabilă (peste o variabilă) dacă

http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" height="36">).

Teorema.Dacă funcţiaeste definită într-o anumită vecinătate a unui punct și este continuă în acest punct, apoi este continuă în acest punct în fiecare dintre variabile.

Afirmația inversă nu este adevărată.

EXEMPLU Să demonstrăm că funcția

continuu la punctul http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 height=16" height="16">.gif" width="57" height="24 " > în punctul corespunzător incrementului http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" height="16 src=">:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" height="36 src=">, ceea ce înseamnă că este continuă într-un punct al variabilei.

În mod similar, se poate dovedi continuitatea într-un punct în raport cu o variabilă.

Să arătăm că nu există limită. Fie ca un punct să se apropie de un punct de-a lungul unei drepte care trece prin punct. Apoi primim

.

Astfel, apropiindu-ne de punctul http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" height="20">, obtinem valori limita diferite. Rezulta ca limita acestui funcția nu există la punct, ceea ce înseamnă funcția http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" height="48 src=">

Alte denumiri

http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" height="55 src=">

Alte denumiri

http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" height="28 src=">.

Soluţie. Avem:

,

Exemplul 2.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" height="51 src=">

Exemplul 3. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții

http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" height="58 src=">

Exemplul 4. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții

http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" height="54 src=">

5.2. Diferențiale de ordinul întâi ale unei funcții a două variabile

Diferențiale parțiale ale funcției z = f(x, y) față de variabilele x și y sunt determinate, respectiv, de formulele x(x;y) și f"y(x;y) există în punctul ( x0;y0) și în unele din vecinătatea sa și sunt continue în acest punct, apoi, prin analogie cu o funcție a unei variabile, se stabilește o formulă pentru creșterea completă a unei funcții a două variabile

http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" height="57 src=">

unde http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" height="39 src=">

Cu alte cuvinte, funcția z = f(x, y) este diferențiabilă în punctul (x, y) dacă incrementul său Δz este echivalent cu funcția:

Expresie

http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" height="57 src=">

Ținând cont de faptul că Δх = dx, Δy=dy:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" height="24 src="> este diferențiabilă la punct, apoi este continuă în acest punct.

Afirmația inversă este falsă, adică continuitatea este doar o condiție necesară, dar nu suficientă pentru diferențiabilitatea unei funcții. Să o arătăm.

EXEMPLU Să găsim derivatele parțiale ale funcției http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" height="57 src=">.

Formulele rezultate își pierd sensul în punctul http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" height="33 src="> nu are derivate parțiale la punctul. De fapt, . Această funcție a unei variabile, după cum se știe, nu are o derivată în punctul http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" height="48"> nu nu există în acest punct. În mod similar, nu există o derivată parțială. , este evident continuu in punctul .

Deci, am arătat că o funcție continuă poate să nu aibă derivate parțiale. Rămâne de stabilit legătura dintre diferențiabilitate și existența derivatelor parțiale.

5.4. Relația dintre diferențiabilitate și existența derivatelor parțiale.

Teorema 1. O condiție necesară pentru diferențiere.

Dacă funcția z = f(x, y) este diferențiabilă în punctul M(x, y), atunci are derivate parțiale față de fiecare variabilă și în punctul M.

Teorema inversă nu este adevărată, adică existența derivatelor parțiale este necesară, dar nu este o condiție suficientă pentru diferențiabilitatea unei funcții.

Teorema 2. Condiție suficientă pentru diferențiere. Dacă funcția z = f(x, y) are derivate parțiale continue în punctul , atunci este diferențiabilă în punctul (și diferența sa totală în acest punct este exprimată prin formula http://pandia.ru/text/78 /481/images/image130 .gif" width="101 height=29" height="29">

Exemplul 2. Calculați 3.021,97

3 sarcină

Calculați aproximativ folosind diferența:

5.6. Reguli de diferențiere a funcțiilor complexe și implicite. Derivată completă.

Cazul 1.

z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)

Funcțiile u și v sunt funcții continue ale argumentelor x, y.

Astfel, funcția z este o funcție complexă a argumentelor x și y: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))

Să presupunem că funcțiile f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) au derivate parțiale continue în raport cu toate argumentele lor.

Să setăm sarcina să calculeze http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" height="44 src=">.

Să dăm argumentului x un increment Δx, fixând valoarea argumentului y. Atunci funcții a două variabile u= φ(x, y) și

v= φ(x, y) va primi incremente parțiale Δxu și Δxv. În consecință, z=f(u, v) va primi incrementul complet definit în paragraful 5.2 (diferențiale de ordinul întâi ale unei funcții a două variabile):

http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" height="43 src=">

Dacă xu→ 0, atunci Δxu → 0 și Δxv → 0 (datorită continuității funcțiilor u și v). Trecând la limita la Δx→ 0, obținem:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" height="44 src="> (*)

EXEMPLU

Z=ln(u2+v), u=ex+y² , v=x2 + y;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" height="41 src=">.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" height="44 src=">.gif" width="45" height="44 src=">.

Apoi folosind formula (*) obținem:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" height="44 src=">.

Pentru a obține rezultatul final, în ultimele două formule, în loc de u și v, este necesar să se înlocuiască еx+y² și, respectiv, x2+y.

Cazul 2.

Funcțiile x și y sunt funcții continue.

Astfel, funcția z=f(x, y) depinde prin x și y de o variabilă independentă t, adică să presupunem că x și y nu sunt variabile independente, ci funcții ale variabilei independente t și definim derivata http: / /pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width="235" height="44 src=">

Să împărțim ambele părți ale acestei egalități cu Δt:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" height="44 src="> (**)

Cazul 3.

Să presupunem acum că rolul variabilei independente t este jucat de variabila x, adică că funcția z = f(x, y) depinde de variabila independentă x atât direct, cât și prin variabila y, care este o funcția continuă a lui x.

Ținând cont de faptul că http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" height="44 src="> (***)

Derivată x(x, y)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" height="27 src=">, y=sin x.

Găsirea derivatelor parțiale

http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" width="72" height="48 src=">.gif" width="383" height="48 src=">

Regula dovedită pentru diferențierea funcțiilor complexe se aplică pentru a găsi derivata unei funcții implicite.

Derivată a unei funcții specificată implicit.

Să presupunem că ecuația

definește y ca o funcție implicită a lui x având derivată

y' = φ'(x)_

Substituind y = φ(x) în ecuația F(x, y) = 0, ar trebui să obținem identitatea 0 = 0, deoarece y = φ(x) este o soluție a acestei ecuații. Vedem, așadar, că constanta zero poate fi considerată ca o funcție complexă a lui x, care depinde de x atât direct, cât și prin y =φ(x).

Derivata fata de x a acestei constante trebuie sa fie zero; aplicând regula (***), obținem

F’x(x, y) + F’y(x, y) y’ = 0,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" height="41 src=">

Prin urmare,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" height="24"> este valabil atât pentru una, cât și pentru cealaltă funcție.

5.7. Diferenţial total de ordinul întâi. Invarianța formei unei diferențiale de ordinul întâi

Să înlocuim expresiile pentru http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" height="41 src="> definite prin egalități (*) (vezi cazul 1 din clauza 5.6 „Reguli de diferențiere a funcțiilor complexe și implicite. Derivată totală”) în formula diferențială totală.

Gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="140" height="44 src=">

Atunci formula pentru diferența totală de ordinul întâi a unei funcții a două variabile are forma

http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" height="41 src=">

Comparând ultima egalitate cu formula pentru prima diferenţială a unei funcţii de două variabile independente, putem spune că expresia pentru diferenţialul complet de ordinul întâi a unei funcţii de mai multe variabile are aceeaşi formă pe care ar avea-o dacă u şi v au fost variabile independente.

Cu alte cuvinte, forma primei diferenţiale este invariantă, adică nu depinde dacă variabilele u şi v sunt variabile independente sau depind de alte variabile.

EXEMPLU

Găsiți diferența completă de ordinul întâi a unei funcții complexe

z=u2v3, u=x2 sin y, v=x3·ey.

Rezolvare Folosind formula pentru diferența totală de ordinul întâi, avem

dz = 2uv3 du+3u2v2 dv =

2uv3 (2x sin y·dx+x2·cos y·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).

Această expresie poate fi rescrisă astfel

dz=(2uv3 2x siny+3u2v2 3x2 ey) dx+(2uv3x2 cozy+3u2v2x3 ey) dy=

Proprietatea de invarianță a unui diferențial ne permite să extindem regula pentru găsirea diferențială a unei sume, a unui produs și a unui coeficient la cazul unei funcții a mai multor variabile:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" height="46 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" height="41 src=">. Aceasta

funcția va fi omogenă de gradul trei pentru toate x, y și t reale. Aceeași funcție va fi orice polinom omogen în x și y de gradul al treilea, adică un astfel de polinom în fiecare termen a cărui suma exponenților xn este egală cu trei:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" height="47 src=">

sunt funcții omogene de gradele 1, 0 și respectiv (- 1)..jpg" width="36" height="15">. Într-adevăr,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" height="29 src=">

Presupunând t=1, găsim

http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" height="22 src=">

Derivate parțiale http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" height="30 src=">), în general

Cu alte cuvinte, sunt funcții ale variabilelor x și y. Prin urmare, derivate parțiale pot fi găsite din nou din ele. În consecință, există patru derivate parțiale de ordinul doi ale unei funcții a două variabile, deoarece fiecare dintre funcțiile și poate fi diferențiată atât în ​​raport cu x, cât și pe y.

Derivatele a doua parțiale se notează după cum urmează:

este derivata de ordinul al n-lea; aici funcția z a fost mai întâi diferențiată de p ori față de x, și apoi de n - p ori față de y.

Pentru o funcție a oricărui număr de variabile, derivatele parțiale de ordin superior sunt determinate în mod similar.

P R Și m e r 1. Calculați derivate parțiale de ordinul doi ale unei funcții

http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" height="87 src=">

Exemplul 2. Calculați și http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" height="97 src=">

Exemplul 3. Calculați dacă

http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" height="36 src=">

x, f"y, f"xy și f"yx sunt definite și continue în punctul M(x, y) și în unele din vecinătatea acestuia, apoi în acest punct

http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" width="50 height=28" height="28">.jpg" width="523" height="128 src=">

Prin urmare,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" height="30 src=">

Soluţie.

Derivatele mixte sunt egale.

5.10. Diferențiale de ordine superioare ale unei funcțiinvariabile.

Diferenţial total d u funcțiile mai multor variabile sunt la rândul lor o funcție a acelorași variabile și putem determina diferența totală a acestei ultime funcții. Astfel, vom obține o diferențială de ordinul doi d2u a funcției originale și, care va fi și o funcție a acelorași variabile, iar diferența sa completă ne va conduce la o diferențială de ordinul trei d3u a funcției originale etc.

Să considerăm mai detaliat cazul funcției u=f(x, y) a două variabile x și y și să presupunem că variabilele x și y sunt variabile independente. A-prioriu

http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" height="186 src=">

Calculând d3u exact în același mod, obținem

http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" height="61 src="> (*)-

Mai mult, această formulă trebuie înțeleasă astfel: suma dintre paranteze trebuie ridicată la puterea n, folosind Formula Binomială a lui Newton, după care exponenții y și http://pandia.ru/text/78/481/images/image235 .jpg " width="22" height="21 src=">.gif" width="22" height="27"> cu cosinus de direcție cos α, cos β (α + β = 90°). Pe vector, se consideră punctul M1(x + Δx; y + Δy). La trecerea de la punctul M la punctul M1, funcția z = f(x; y) va primi un increment complet

http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 height=27" height="27"> tinzând spre zero (vezi figura).

http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" height="54 src=">

unde http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" height="41 src="> și, prin urmare, obținem:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" height="41 src="> pentru Δs->0 se numește produs

funcția apă z = f(x; y) în punctul (x; y) în direcția vectorului și se notează

http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" height="51 src="> (*)

Astfel, cunoscând derivatele parțiale ale funcției

z = f(x; y) puteți găsi derivata acestei funcții în orice direcție, iar fiecare derivată parțială este un caz special al derivatei direcționale.

EXEMPLU Aflați derivata unei funcții

http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" height="56 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" height="59 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" width="253 height=62" height="62">

În consecință, funcția z = f(x;y) crește într-o direcție dată.

5. 12 . Gradient

Gradientul unei funcții z = f(x; y) este un vector ale cărui coordonate sunt derivatele parțiale corespunzătoare ale acestei funcții

http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" height="56 src=">

adică..jpg" width="89" height="33 src=">

în punctul M(3;4).

Soluţie.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" height="56 src=">