Interpolare. Introducere. Prezentarea generală a problemei

La rezolvarea diferitelor probleme practice, rezultatele cercetării sunt prezentate sub formă de tabele care afișează dependența uneia sau mai multor mărimi măsurate de un parametru definitoriu (argument). Aceste tipuri de tabele sunt de obicei prezentate sub forma a două sau mai multe rânduri (coloane) și sunt folosite pentru a forma modele matematice.

Funcțiile specificate în modelele matematice sunt de obicei scrise în tabele de forma:

Informațiile limitate furnizate de astfel de tabele necesită în unele cazuri obținerea valorilor funcțiilor Y j (X) (j=1,2,…,m) la punctele X care nu coincid cu punctele nodale ale tabelului X i (i=0,1,2,… ,n) . În astfel de cazuri, este necesar să se determine o expresie analitică φ j (X) pentru a calcula valorile aproximative ale funcției studiate Y j (X) în punctele X specificate arbitrar. Funcția φ j (X) utilizată pentru a determina valorile aproximative ale funcției Y j (X) se numește funcție de aproximare (din latinescul aproximo - se apropie). Apropierea funcției de aproximare φ j (X) de funcția de aproximare Y j (X) este asigurată prin alegerea algoritmului de aproximare adecvat.

Vom face toate considerațiile și concluziile ulterioare pentru tabelele care conțin datele inițiale ale unei funcții studiate (adică pentru tabelele cu m=1).

1. Metode de interpolare

1.1 Enunțarea problemei de interpolare

Cel mai adesea, pentru a determina funcția φ(X), se folosește o formulare, numită formularea problemei de interpolare.

În această formulare clasică a problemei de interpolare, este necesară determinarea funcției analitice aproximative φ(X), ale cărei valori la punctele nodale X i se potrivesc cu valorile Y(X i) din tabelul original, i.e. conditii

Funcția de aproximare φ(X) astfel construită permite să se obțină o aproximare destul de apropiată a funcției interpolate Y(X) în intervalul de valori al argumentului [X 0 ; X n ], determinat de tabel. Când se specifică valorile argumentului X, neapartenereîn acest interval, problema de interpolare se transformă într-o problemă de extrapolare. În aceste cazuri, precizia

valorile obținute la calcularea valorilor funcției φ(X) depind de distanța dintre valoarea argumentului X de X 0, dacă X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.

În modelarea matematică, funcția de interpolare poate fi utilizată pentru a calcula valori aproximative ale funcției studiate în punctele intermediare ale subintervalelor [Х i ; X i+1]. Această procedură se numește compactarea mesei.

Algoritmul de interpolare este determinat de metoda de calcul a valorilor funcției φ(X). Cea mai simplă și mai evidentă opțiune de implementare a funcției de interpolare este înlocuirea funcției studiate Y(X) pe intervalul [X i ; X i+1 ] printr-o dreaptă care leagă punctele Y i , Y i+1 . Această metodă se numește metoda de interpolare liniară.

1.2 Interpolare liniară

Cu interpolare liniară, valoarea funcției în punctul X, situat între nodurile X i și X i+1, este determinată de formula unei linii drepte care leagă două puncte adiacente ale tabelului

În fig. Figura 1 prezintă un exemplu de tabel obținut ca rezultat al măsurătorilor unei anumite mărimi Y(X). Rândurile tabelului sursă sunt evidențiate. În dreapta tabelului este un grafic de dispersie corespunzător acestui tabel. Tabelul este compactat folosind formula

(3) valori ale funcției aproximative în punctele X corespunzătoare punctelor medii ale subintervalelor (i=0, 1, 2, …, n).

Fig.1. Tabel condensat al funcției Y(X) și diagrama ei corespunzătoare

Când luăm în considerare graficul din fig. 1 se poate observa că punctele obținute în urma compactării tabelului prin metoda interpolării liniare se află pe segmente drepte care leagă punctele tabelului inițial. Precizie liniară

interpolare, depinde semnificativ de natura funcției interpolate și de distanța dintre nodurile tabelului X i, , X i+1.

Evident, dacă funcția este netedă, atunci, chiar și cu o distanță relativ mare între noduri, un grafic construit prin conectarea punctelor cu segmente de linie dreaptă permite estimarea destul de precisă a naturii funcției Y(X). Dacă funcția se schimbă destul de repede, iar distanțele dintre noduri sunt mari, atunci funcția de interpolare liniară nu permite obținerea unei aproximări suficient de precise față de funcția reală.

Funcția de interpolare liniară poate fi utilizată pentru analiza preliminară generală și evaluarea corectitudinii rezultatelor interpolării, care sunt apoi obținute prin alte metode mai precise. Această evaluare devine deosebit de relevantă în cazurile în care calculele sunt efectuate manual.

1.3 Interpolare prin polinom canonic

Metoda de interpolare a unei funcții printr-un polinom canonic se bazează pe construirea funcției de interpolare ca polinom sub forma [1]

Coeficienții c i ai polinomului (4) sunt parametri de interpolare liberă, care sunt determinați din condițiile Lagrange:

Pn (xi )= Yi , (i= 0 , 1 , ... , n)

Folosind (4) și (5) scriem sistemul de ecuații

Vectorul soluție cu i (i = 0, 1, 2, …, n) al sistemului de ecuații algebrice liniare (6) există și poate fi găsit dacă nu există noduri potrivite între i. Determinantul sistemului (6) se numește determinant Vandermonde1 și are o expresie analitică [2].

1 Vandermonde determinant numit determinant

Este egal cu zero dacă și numai dacă xi = xj pentru unii. (Material de pe Wikipedia - enciclopedia liberă)

Pentru a determina valorile coeficienților cu i (i = 0, 1, 2, … , n)

ecuațiile (5) pot fi scrise sub formă de vector-matrice

A* C= Y,

unde A, matricea coeficienților determinată de tabelul de grade al vectorului de argumente X = (x i 0, x i, x i 2, …, x i n) T (i = 0, 1, 2, …, n)

C este vectorul coloană al coeficienților i (i = 0, 1, 2, … , n), iar Y este vectorul coloanei valorilor Y i (i = 0, 1, 2, … , n) ale interpolatului funcţia la nodurile de interpolare.

Rezolvarea acestui sistem de ecuații algebrice liniare poate fi obținută folosind una dintre metodele descrise în [3]. De exemplu, conform formulei

unde A -1 este matricea inversă a matricei A. Pentru a obține matricea inversă A -1, puteți utiliza funcția MOBR(), care este inclusă în setul de funcții standard ale programului Microsoft Excel.

După ce valorile coeficienților cu i sunt determinate folosind funcția (4), valorile funcției interpolate pot fi calculate pentru orice valoare a argumentelor.

Să scriem matricea A pentru tabelul prezentat în Fig. 1, fără a ține cont de rândurile care compactează tabelul.

Fig.2 Matricea sistemului de ecuații pentru calcularea coeficienților polinomului canonic

Folosind funcția MOBR(), obținem matricea A -1 inversă cu matricea A (Fig. 3). După care, conform formulei (9) obținem vectorul coeficienților C = (c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T prezentat în Fig. 4.

Pentru a calcula valorile polinomului canonic în celula coloanei canonice Y corespunzătoare valorilor x 0, introducem o formulă convertită în următoarea formă, corespunzătoare rândului zero al sistemului (6)

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

În loc să scrieți „c i” în formula introdusă într-o celulă de tabel Excel, ar trebui să existe o legătură absolută către celula corespunzătoare care conține acest coeficient (vezi Fig. 4). În loc de „x 0” - o referință relativă la o celulă din coloana X (vezi Fig. 5).

Y canonical(0) al valorii care se potrivește cu valoarea din celula Ylin(0) . La întinderea formulei scrise în celula Y canonică (0), valorile lui Y canonic (i) corespunzătoare punctelor nodale ale originalului trebuie să coincidă și ele

tabele (vezi Fig. 5).

Orez. 5. Diagrame construite folosind tabele de interpolare liniare și canonice

Comparând graficele funcțiilor construite din tabele calculate folosind formule de interpolare liniară și canonică, vedem într-un număr de noduri intermediare o abatere semnificativă a valorilor obținute cu ajutorul formulelor de interpolare liniară și canonică. O judecată mai rezonabilă cu privire la acuratețea interpolării poate fi obținută pe baza obținerii de informații suplimentare despre natura procesului modelat.

Instrucțiuni

Adesea, atunci când se efectuează cercetări empirice, trebuie să se ocupe de un set de valori obținute prin eșantionare aleatorie. Din această serie de valori, este necesar să construiți un grafic al unei funcții în care celelalte valori obținute să se potrivească cu acuratețe maximă. Această metodă, sau mai degrabă soluția acestei probleme, este aproximarea unei curbe, adică. înlocuirea unor obiecte sau fenomene cu altele apropiate de parametrul original. Interpolarea, la rândul său, este un tip de aproximare. Interpolarea curbei este procesul prin care curba unei funcții construite trece prin punctele de date disponibile.

Există o problemă foarte apropiată de interpolare, a cărei esență va fi aproximarea funcției complexe originale cu o altă funcție, mult mai simplă. Dacă o funcție separată este foarte dificil de calculat, atunci puteți încerca să calculați valoarea acesteia în mai multe puncte și să utilizați rezultatele pentru a construi (interpola) o funcție mai simplă. Cu toate acestea, funcția simplificată nu va furniza date la fel de precise și de fiabile ca funcția originală.

Interpolare prin binom algebric sau interpolare liniară
În formă generală: are loc interpolarea unei funcții date f(x), luând o valoare în punctele x0 și x1 ale segmentului prin binomul algebric P1(x) = ax + b. Dacă sunt specificate mai mult de două valori ale funcției, atunci funcția liniară dorită este înlocuită cu o funcție liniară pe bucăți, fiecare parte a funcției se află între două valori ale funcției specificate în aceste puncte ale segmentului interpolat.

Interpolare cu diferențe finite
Această metodă este una dintre cele mai simple și mai răspândite metode de interpolare. Esența sa este de a înlocui coeficienții diferențiali ai ecuației cu coeficienți de diferență. Această acțiune ne va permite să trecem la rezolvarea ecuației diferențiale folosind analogul său de diferență, cu alte cuvinte, să construim schema ei de diferențe finite

Construirea unei funcții spline
În modelarea matematică, o spline este o funcție dată pe bucăți care, cu funcții care au una mai simplă pe fiecare element al partiției, are domeniul său de definiție. O spline a unei variabile este construită prin împărțirea domeniului de definiție într-un număr finit de segmente și pe fiecare dintre acestea spline-ul va coincide cu un anumit polinom algebric. Gradul maxim utilizat este spline.
Funcții spline pentru specificarea și descrierea suprafețelor în diferite sisteme de modelare computerizată.

Cel mai simplu și cel mai frecvent utilizat tip de interpolare locală este interpolare liniară. Constă în faptul că punctele date ( X i , y i) la ( i = 0. 1, ..., n) sunt conectate prin segmente drepte, iar funcția f(X) se apropie o polilinie cu vârfuri în aceste puncte.

Ecuațiile fiecărui segment al liniei întrerupte sunt în general diferite. Deoarece există n intervale ( X i - 1, X i), atunci pentru fiecare dintre ele se folosește ecuația unei drepte care trece prin două puncte ca ecuație a polinomului de interpolare. În special, pentru intervalul i-lea putem scrie ecuația unei drepte care trece prin punctele ( X i -1, y i -1 ) Și ( X i , y i), la fel de

a i =

Prin urmare, atunci când utilizați interpolarea liniară, trebuie mai întâi să determinați intervalul în care se încadrează valoarea argumentului x, apoi să o înlocuiți în formula (*) și să găsiți valoarea aproximativă a funcției în acest moment.

Figura 3-3-Grafic de interpolare liniară.

1. Rezolvarea unei probleme profesionale

Menținem datele experimentale

ORIGIN:=0 Începutul matricei de date - numărare de la zero

i:=1..6 Numărul de elemente din matrice

Datele experimentale sunt organizate în doi vectori

Să efectuăm interpolarea folosind funcțiile MathCad încorporate

Interpolare liniară

Lf(x i):=linterp(x,y,x)

Interpolarea pin cubic

CS:=cspline(x,y)

Construirea unei spline cubice folosind date experimentale

Lf(x i):=linterp(x,y,x i)

Interpolare B-spline

Setați ordinea de interpolare. Vectorul u trebuie să aibă (n-1) mai puține elemente decât vectorul X, iar primul element trebuie să fie mai mic sau egal cu primul element X, iar ultimul este mai mare sau egal cu ultimul element al lui x.

BS:=bspline(x,y,u,n)

Construim un B-spline pe baza datelor experimentale

BSf(x i):=(BS, x,y,x i)

Construim un grafic al tuturor funcțiilor de aproximare pe un plan de coordonate.

Figura 4.1-Grafic al tuturor funcțiilor de aproximare pe un plan de coordonate.

Concluzie

În matematica computațională, interpolarea funcțiilor joacă un rol semnificativ, adică. Folosind o funcție dată, construiți o altă funcție (de obicei mai simplă) ale cărei valori coincid cu valorile funcției date la un anumit număr de puncte. În plus, interpolarea are atât o semnificație practică, cât și teoretică. În practică, se pune adesea problema reconstrucției unei funcții continue din valorile ei tabulate, de exemplu, obținute în cursul unui experiment. Pentru a evalua multe funcții, se dovedește că este eficient să le aproximați prin polinoame sau funcții raționale fracționale. Teoria interpolării este utilizată în construirea și studiul formulelor de cuadratura pentru integrarea numerică, pentru a obține metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale și integrale. Principalul dezavantaj al interpolării polinomiale este că este instabilă pe una dintre cele mai convenabile și mai frecvent utilizate grile - grila cu noduri echidistante. Dacă sarcina permite, această problemă poate fi rezolvată prin alegerea unei rețele cu noduri Chebyshev. Dacă nu putem alege liber nodurile de interpolare sau pur și simplu avem nevoie de un algoritm care nu este prea solicitant în alegerea nodurilor, atunci interpolarea rațională poate fi o alternativă potrivită la interpolarea polinomială.

Avantajele interpolării spline includ viteza mare de procesare a algoritmului de calcul, deoarece un spline este o funcție polinomială pe bucăți și în timpul interpolării, datele pentru un număr mic de puncte de măsurare aparținând fragmentului care este în prezent luat în considerare sunt procesate simultan. Suprafața interpolată descrie variabilitatea spațială a diferitelor scări și, în același timp, este netedă. Această din urmă împrejurare face posibilă analiza directă a geometriei și topologiei suprafeței folosind proceduri analitice

Acesta este un capitol din cartea lui Bill Jelen.

Provocare: Unele probleme de proiectare inginerească necesită utilizarea de tabele pentru a calcula valorile parametrilor. Deoarece tabelele sunt discrete, proiectantul folosește interpolarea liniară pentru a obține o valoare intermediară a parametrului. Tabelul (Fig. 1) include înălțimea deasupra solului (parametru de control) și viteza vântului (parametru calculat). De exemplu, dacă trebuie să găsiți viteza vântului corespunzătoare unei înălțimi de 47 de metri, atunci ar trebui să aplicați formula: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 m/sec.

Descărcați nota în sau format, exemple în format

Ce se întâmplă dacă există doi parametri de control? Este posibil să se efectueze calcule folosind o singură formulă? Tabelul (Fig. 2) arată valorile presiunii vântului pentru diferite înălțimi și deschideri ale structurilor. Este necesar să se calculeze presiunea vântului la o înălțime de 25 de metri și o deschidere de 300 de metri.

Soluție: Rezolvăm problema extinzând metoda utilizată pentru caz cu un singur parametru de control. Urmați acești pași:

Începeți cu tabelul prezentat în fig. 2. Adăugați celule sursă pentru înălțime și întindere în J1 și, respectiv, J2 (Figura 3).

Orez. 3. Formulele din celulele J3:J17 explică funcționarea megaformulei

Pentru ușurința utilizării formulelor, definiți nume (Fig. 4).

Urmăriți cum funcționează formula trecându-se secvenţial de la celula J3 la celula J17.

Utilizați substituția secvenţială inversă pentru a construi megaformula. Copiați textul formulei din celula J17 în J19. Înlocuiți referința la J15 din formulă cu valoarea din celula J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. Și așa mai departe. Rezultatul este o formulă formată din 984 de caractere, care nu poate fi percepută în această formă. Îl puteți vedea în fișierul Excel atașat. Nu sunt sigur că acest tip de megaformulă este util de utilizat.

Rezumat: Interpolarea liniară este utilizată pentru a obține o valoare intermediară a parametrului dacă valorile din tabel sunt specificate numai pentru limitele intervalului; Se propune o metodă de calcul folosind doi parametri de control.

Există cazuri când trebuie să cunoașteți rezultatele unui calcul al funcției în afara zonei cunoscute. Această problemă este relevantă în special pentru procedura de prognoză. În Excel există mai multe moduri prin care puteți efectua această operație. Să le privim cu exemple specifice.

Metoda 2: Extrapolare pentru grafic

Puteți efectua o procedură de extrapolare pentru un grafic prin trasarea unei linii de tendință.

1. În primul rând, construim diagrama în sine. Pentru a face acest lucru, utilizați cursorul în timp ce țineți apăsat butonul stâng al mouse-ului pentru a selecta întreaga zonă a tabelului, inclusiv argumentele și valorile funcției corespunzătoare. Apoi, trecând la filă "Introduce", faceți clic pe butonul "Programa". Această pictogramă este situată în bloc "Diagrame" pe centura de scule. Apare o listă de opțiuni de diagramă disponibile. O alegem pe cea mai potrivită la discreția noastră.



2. După ce graficul este construit, eliminați linia de argument suplimentar din acesta selectând-o și făcând clic pe butonul Șterge pe tastatura computerului.



3. În continuare, trebuie să schimbăm diviziunile scării orizontale, deoarece nu afișează valorile argumentelor așa cum avem nevoie. Pentru a face acest lucru, faceți clic dreapta pe diagramă și în lista care apare, selectați valoarea „Selectați datele”.



4. În fereastra de selecție a sursei de date care se deschide, faceți clic pe butonul "Schimbare"în blocul de editare a etichetelor pe axa orizontală.



5. Se deschide fereastra pentru setarea semnăturii axei. Plasați cursorul în câmpul acestei ferestre, apoi selectați toate datele din coloană "X" fără numele său. Apoi faceți clic pe butonul "BINE".



6. După ce ne întoarcem la fereastra de selecție a sursei de date, repetăm ​​aceeași procedură, adică facem clic pe butonul "BINE".



7. Acum graficul nostru este pregătit și putem începe direct să construim o linie de tendințe. Faceți clic pe diagramă, după care un set suplimentar de file va fi activat pe panglică - „Lucrul cu diagrame”. Trecerea la fila "Aspect"și apăsați butonul "Linie de tendință"în bloc "Analiză". Faceți clic pe articol „Aproximație liniară” sau „Aproximație exponențială”.



8. Linia de tendință a fost adăugată, dar este complet sub linia graficului în sine, deoarece nu am specificat valoarea argumentului către care ar trebui să tindă. Pentru a face acest lucru, faceți clic din nou pe buton. "Linie de tendință", dar acum selectați elementul „Opțiuni avansate pentru liniile de tendințe”.



9. Se deschide fereastra de format de linie de tendință. În capitolul „Opțiuni pentru liniile de tendință” există un bloc de setări "Prognoza". Ca și în metoda anterioară, să luăm argumentul pentru extrapolare 55 . După cum putem vedea, până acum graficul are o lungime până la argument 50 inclusiv. Se pare că va trebui să-l prelungim pentru altul 5 unitati. Pe axa orizontală puteți vedea că 5 unități sunt egale cu o diviziune. Deci aceasta este o perioadă. În câmp „Înainte mai departe” introduceți valoarea "1". Faceți clic pe butonul "Închide"în colțul din dreapta jos al ferestrei.



10. După cum puteți vedea, graficul a fost extins cu lungimea specificată folosind linia de tendință.

Deci, ne-am uitat la cele mai simple exemple de extrapolare pentru tabele și grafice. În primul caz, se utilizează funcția PREDICȚIE, iar în al doilea - linia de tendință. Însă, pe baza acestor exemple, pot fi rezolvate probleme de prognoză mult mai complexe.