Функции корреляции сигналов. Сигналы и линейные системы

Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом.

Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов (correlation function, CF). Применительно к детерминированным сигналам с конечной энергией АКФ является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, и представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время t:

B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.25)

Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига t. Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при t = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала:

B s (0) =s(t) 2 dt = E s .

Функция АКФ является непрерывной и четной. В последнем нетрудно убедиться заменой переменной t = t-t в выражении (2.25):

B s (t) =s(t-t) s(t) dt = s(t) s(t-t) dt = B s (-t). (2.25")

С учетом четности, графическое представление АКФ производится только для положительных значений t. На практике сигналы обычно задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т. Знак +t в выражении (2.25) означает, что при увеличении значений t копия сигнала s(t+t) сдвигается влево по оси t и уходит за 0, что требует соответствующего продления сигнала в область отрицательных значений аргумента. А так как при вычислениях интервал задания t, как правило, много меньше интервала задания сигнала, то более практичным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (2.25) функции s(t-t) вместо s(t+t).

По мере увеличения значения величины сдвига t для финитных сигналов временное перекрытие сигнала с его копией уменьшается и скалярное произведение стремятся к нулю.

Пример. На интервале (0,Т) задан прямоугольный импульс с амплитудным значением, равным А. Вычислить автокорреляционную функцию импульса.

При сдвиге копии импульса по оси t вправо, при 0≤t≤T сигналы перекрываются на интервале от t до Т. Скалярное произведение:

B s (t) =A 2 dt = A 2 (T-t).

При сдвиге копии импульса влево, при -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).

При |t| > T сигнал и его копия не имеют точек пересечения и скалярное произведение сигналов равно нулю (сигнал и его сдвинутая копия становятся ортогональными).

Обобщая вычисления, можем записать:

B s (t) = .

В случае периодических сигналов АКФ вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения и его сдвинутой копии в пределах периода:

B s (t) = (1/Т)s(t) s(t-t) dt.

При t=0 значение АКФ в этом случае равно не энергии, а средней мощности сигналов в пределах интервала Т. АКФ периодических сигналов также является периодической функцией с тем же периодом Т. Для однотонального гармонического сигнала это очевидно. Первое максимальное значение АКФ будет соответствовать t=0. При сдвиге копии сигнала на четверть периода относительно оригинала подынтегральные функции становятся ортогональными друг другу (cos w o (t-t) = cos (w o t-p/2) º sin w o t) и дают нулевое значение АКФ. При сдвиге на t=T/2 копия сигнала по направлению становится противоположной самому сигналу и скалярное произведение достигает минимального значения. При дальнейшем увеличении сдвига начинается обратный процесс увеличения значений скалярного произведения с пересечением нуля при t=3T/2 и повторением максимального значения при t=T=2p/w o (cos w o t-2p копии º cos w o t сигнала). Аналогичный процесс имеет место и для периодических сигналов произвольной формы (рис. 2.11).

Отметим, что полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств АКФ.

Для сигналов, заданных на определенном интервале , вычисление АКФ производится с нормировкой на длину интервала :

B s (t) =s(t) s(t+t) dt. (2.26)

Автокорреляция сигнала может оцениваться и функцией автокорреляционных коэффициентов, вычисление которых производится по формуле (по центрированным сигналам):

r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2 .

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) сигналов (cross-correlation function, CCF) показывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной), для чего используется та же формула (2.25), что и для АКФ, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых сдвинут на время t:

B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t+t) dt. (2.27)

При замене переменной t = t-t в формуле (2.4.3), получаем:

B 12 (t) =s 1 (t-t) s 2 (t) dt =s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)

Рис. 2.12. Сигналы и ВКФ

Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, а значения ВКФ не обязаны иметь максимум при t = 0. Это можно наглядно видеть на рис. 2.12, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (2.27) с постепенным увеличением значений t означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+t)).

При t=0 сигналы ортогональны и значение B 12 (t)=0. Максимум В 12 (t) будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение t=1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+t). При вычислении значений B 21 (-t) аналогичный процесс выполняется последовательным сдвигом сигнала s1(t) вправо по временной оси с постепенным увеличением отрицательных значений t, а соответственно значения B 21 (-t) являются зеркальным (относительно оси t=0) отображением значений B 12 (t), и наоборот. На рис. 2.13 это можно видеть наглядно.

Рис. 2.13. Сигналы и ВКФ

Таким образом, для вычисления полной формы ВКФ числовая ось t должна включать отрицательные значения, а изменение знака t в формуле (2.27) равносильно перестановке сигналов.

Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода систем при изучении характеристик систем.

Функция коэффициентов взаимной корреляции двух сигналов вычисляется по формуле (по центрированным сигналам):

r sv (t) = cos j(t) = ás(t), v(t+t)ñ /||s(t)|| ||v(t)||. (2.28)

Значение коэффициентов взаимной корреляции может изменяться от -1 до 1.

СИГНАЛЫ и ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Signals and linear systems. Correlation of signals

Тема 6. КОРРЕЛЯЦИЯ СИГНАЛОВ

Предельный страх и предельный пыл храбрости одинаково расстраивают желудок и вызывают понос.

Мишель Монтень. Французский юрист-мыслитель, XVI в.

Вот это номер! Две функции имеют стопроцентную корреляцию с третьей и ортогональны друг другу. Ну и шуточки были у Всевышнего при сотворении Мира.

Анатолий Пышминцев. Новосибирский геофизик Уральской школы, ХХ в.

1. Автокорреляционные функции сигналов. Понятие автокорреляционных функций (АКФ). АКФ сигналов, ограниченных во времени. АКФ периодических сигналов. Функции автоковариации (ФАК). АКФ дискретных сигналов. АКФ зашумленных сигналов. АКФ кодовых сигналов.

2. Взаимнокорреляционные функции сигналов (ВКФ). Взаимная корреляционная функция (ВКФ). Взаимная корреляция зашумленных сигналов. ВКФ дискретных сигналов. Оценка периодических сигналов в шуме. Функция взаимных корреляционных коэффициентов.

3. Спектральные плотности корреляционных функций. Спектральная плотность АКФ. Интервал корреляции сигнала. Спектральная плотность ВКФ. Вычисление корреляционных функций при помощи БПФ.

введение

Корреляция (correlation), и ее частный случай для центрированных сигналов – ковариация, является методом анализа сигналов. Приведем один из вариантов использования метода. Допустим, что имеется сигнал s(t), в котором может быть (а может и не быть) некоторая последовательность x(t) конечной длины Т, временное положение которой нас интересует. Для поиска этой последовательности в скользящем по сигналу s(t) временном окне длиной Т вычисляются скалярные произведения сигналов s(t) и x(t). Тем самым мы "прикладываем" искомый сигнал x(t) к сигналу s(t), скользя по его аргументу, и по величине скалярного произведения оцениваем степень сходства сигналов в точках сравнения.

Корреляционный анализ дает возможность установить в сигналах (или в рядах цифровых данных сигналов) наличие определенной связи изменения значений сигналов по независимой переменной, то есть, когда большие значения одного сигнала (относительно средних значений сигнала) связаны с большими значениями другого сигнала (положительная корреляция), или, наоборот, малые значения одного сигнала связаны с большими значениями другого (отрицательная корреляция), или данные двух сигналов никак не связаны (нулевая корреляция).

В функциональном пространстве сигналов эта степень связи может выражаться в нормированных единицах коэффициента корреляции, т. е. в косинусе угла между векторами сигналов, и, соответственно, будет принимать значения от 1 (полное совпадение сигналов) до -1 (полная противоположность) и не зависит от значения (масштаба) единиц измерений .

В варианте автокорреляции (autocorrelation) по аналогичной методике производится определение скалярного произведения сигнала s(t) с собственной копией, скользящей по аргументу. Автокорреляция позволяет оценить среднестатистическую зависимость текущих отсчетов сигнала от своих предыдущих и последующих значений (так называемый радиус корреляции значений сигнала), а также выявить в сигнале наличие периодически повторяющихся элементов.

Особое значение методы корреляции имеют при анализе случайных процессов для выявления неслучайных составляющих и оценки неслучайных параметров этих процессов.

Заметим, что в терминах "корреляция" и "ковариация" существует некоторая путаница. В математической литературе термин "ковариация" применяется к центрированным функциям, а "корреляция" – к произвольным. В технической литературе , и особенно в литературе по сигналам и методам их обработки, часто применяется прямо противоположная терминология. Принципиального значения это не имеет, но при знакомстве с литературными источниками стоит обращать внимание на принятое назначение данных терминов.

6.1. Автокорреляционные функции сигналов .

Понятие автокорреляционных функций сигналов . Автокорреляционная функция (АКФ, CF - correlation function) сигнала s(t), конечного по энергии, является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, выявления в сигнале характера и параметров взаимной временной связи отсчетов, что всегда имеет место для периодических сигналов, а также интервала и степени зависимости значений отсчетов в текущие моменты времени от предыстории текущего момента. АКФ определяется интегралом от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время t:

Bs(t) =s(t) s(t+t) dt = ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)|| ||s(t+t)|| cos j(t). (6.1.1)

Bs(0) =s(t)2 dt = Es.

АКФ относится к четным функциям, в чем нетрудно убедиться заменой переменной t = t-t в выражении (6.1.1):

Bs(t) = s(t-t) s(t) dt = Bs(-t).

Максимум АКФ, равный энергии сигнала при t=0, всегда положителен, а модуль АКФ при любом значении временного сдвига не превосходит энергии сигнала. Последнее прямо вытекает из свойств скалярного произведения (как и неравенство Коши-Буняковского):

ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t),

cos j(t) = 1 при t = 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t)|| = Es,

cos j(t) < 1 при t ¹ 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t) < Es.

В качестве примера на рис. 6.1.1 приведены два сигнала – прямоугольный импульс и радиоимпульс одинаковой длительности Т, и соответствующие данным сигналам формы их АКФ. Амплитуда колебаний радиоимпульса установлена равной амплитуды прямоугольного импульса, при этом энергии сигналов также будут одинаковыми, что подтверждается равными значениями центральных максимумов АКФ. При конечной длительности импульсов длительности АКФ также конечны, и равны удвоенным значениям длительности импульсов (при сдвиге копии конечного импульса на интервал его длительности как влево, так и вправо, произведение импульса со своей копией становится равным нулю). Частота колебаний АКФ радиоимпульса равна частоте колебаний заполнения радиоимпульса (боковые минимумы и максимумы АКФ возникают каждый раз при последовательных сдвигах копии радиоимпульса на половину периода колебаний его заполнения).

С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для положительных значений t. На практике сигналы обычно задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т. Знак +t в выражении (6.1.1) означает, что при увеличении значений t копия сигнала s(t+t) сдвигается влево по оси t и уходит за 0. Для цифровых сигналов это требует соответствующего продления данных в область отрицательных значений аргумента. А так как при вычислениях интервал задания t обычно много меньше интервала задания сигнала, то более практичным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т. е. применение в выражении (6.1.1) функции s(t-t) вместо s(t+t).

Bs(t) = s(t) s(t-t) dt. (6.1.1")

Для финитных сигналов по мере увеличения значения величины сдвига t временное перекрытие сигнала с его копией уменьшается, а, соответственно, косинус угла взаимодействия и скалярное произведение в целом стремятся к нулю:

АКФ, вычисленная по центрированному значению сигнала s(t), представляет собой автоковариационную функцию сигнала:

Cs(t) = dt, (6.1.2)

где ms – среднее значение сигнала. Ковариационные функции связаны с корреляционным функциями достаточно простым соотношением:

Cs(t) = Bs(t) - ms2.

АКФ сигналов, ограниченных во времени. На практике обычно исследуются и анализируются сигналы, заданные на определенном интервале. Для сравнения АКФ сигналов, заданных на различных временных интервалах, практическое применение находит модификация АКФ с нормировкой на длину интервала. Так, например, при задании сигнала на интервале :

Bs(t) =s(t) s(t+t) dt. (6.1.3)

АКФ может быть вычислена и для слабозатухающих сигналов с бесконечной энергией, как среднее значение скалярного произведения сигнала и его копии при устремлении интервала задания сигнала к бесконечности:

Bs(t) =. (6.1.4)

АКФ по данным выражениям имеет физическую размерность мощности, и равна средней взаимной мощности сигнала и его копии в функциональной зависимости от сдвига копии.

АКФ периодических сигналов. Энергия периодических сигналов бесконечна, поэтому АКФ периодических сигналов вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения сигнала и его сдвинутой копии в пределах периода:

Bs(t) = (1/Т)s(t) s(t-t) dt. (6.1.5)

Математически более строгое выражение:

Bs(t) =.

При t=0 значение нормированной на период АКФ равно средней мощности сигналов в пределах периода. При этом АКФ периодических сигналов является периодической функцией с тем же периодом Т. Так, для сигнала s(t) = A cos(w0t+j0) при T=2p/w0 имеем:

Bs(t) = A cos(w0t+j0) A cos(w0(t-t)+j0) = (A2/2) cos(w0t). (6.1.6)

Полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств АКФ. С помощью функций автокорреляции можно проверять наличие периодических свойств в любых произвольных сигналах. Пример автокорреляционной функции периодического сигнала приведен на рис. 6.1.2.

Функции автоковариации (ФАК) вычисляются аналогично, по центрированным значениям сигнала. Замечательной особенностью этих функций являются их простые соотношения с дисперсией ss2 сигналов (квадратом стандарта - среднего квадратического отклонения значений сигнала от среднего значения). Как известно, значение дисперсии равно средней мощности сигналов, откуда следует:

|Cs(t)| ≤ ss2, Cs(0) = ss2 º ||s(t)||2. (6.1.7)

Значения ФАК, нормированные на значение дисперсии, представляют собой функцию автокорреляционных коэффициентов:

rs(t) = Cs(t)/Cs(0) = Cs(t)/ss2 º cos j(t). (6.1.8)

Иногда эту функцию называют "истинной" автокорреляционной функцией. В силу нормировки ее значения не зависят от единиц (масштаба) представления значений сигнала s(t) и характеризуют степень линейной связи между значениями сигнала в зависимости от величины сдвига t между отсчетами сигнала. Значения rs(t) º cos j(t) могут изменяться от 1 (полная прямая корреляция отсчетов) до -1 (обратная корреляция).

На рис. 6.1.3 приведен пример сигналов s(k) и s1(k) = s(k)+шум с соответствующими этим сигналам коэффициентами ФАК - rs и rs1. Как видно на графиках, ФАК уверенно выявила наличие периодических колебаний в сигналах. Шум в сигнале s1(k) понизил амплитуду периодических колебаний без изменения периода. Это подтверждает график кривой Cs/ss1, т. е. ФАК сигнала s(k) с нормировкой (для сопоставления) на значение дисперсии сигнала s1(k), где наглядно можно видеть, что шумовые импульсы при полной статистической независимости своих отсчетов вызвали увеличение значения Сs1(0) по отношению к значению Cs(0) и несколько "размыли" функцию коэффициентов автоковариации. Это вызвано тем, что значение rs(t) шумовых сигналов стремится к 1 при t ® 0 и флюктуирует относительно нуля при t ≠ 0, при этом амплитуды флюктуаций статистически независимы и зависят от количества выборок сигнала (стремятся к нулю при увеличении количества отсчетов).

АКФ дискретных сигналов. При интервале дискретизации данных Dt = const вычисление АКФ выполняется по интервалам Dt = Dt и обычно записывается, как дискретная функция номеров n сдвига отсчетов nDt:

Bs(nDt) = Dtsk×sk-n. (6.1.9)

Дискретные сигналы обычно задаются в виде числовых массивов определенной длины с нумерацией отсчетов к = 0,1,…К при Dt=1, а вычисление дискретной АКФ в единицах энергии выполняется в одностороннем варианте с учетом длины массивов. Если используется весь массив сигнала и число отсчетов АКФ равно числу отсчетов массива, то вычисление выполняется по формуле:

Bs(n) = sk×sk-n. (6.1.10)

Множитель K/(K-n) в данной функции является поправочным коэффициентом на постепенное уменьшение числа перемножаемых и суммируемых значений по мере увеличения сдвига n. Без этой поправки для нецентрированных сигналов в значениях АКФ появляется тренд суммирования средних значений. При измерениях в единицах мощности сигнала множитель К/(K-n) заменяется на множитель 1/(K-n).

Формула (6.1.10) применяется довольно редко, в основном для детерминированных сигналов с небольшим числом отсчетов. Для случайных и зашумленных сигналов уменьшение знаменателя (K-n) и числа перемножаемых отсчетов по мере увеличения сдвига приводит к нарастанию статистических флюктуаций вычисления АКФ. Большую достоверность в этих условиях обеспечивает вычисление АКФ в единицах мощности сигнала по формуле:

Bs(n) = sk×sk-n, sk-n = 0 при k-n < 0, (6.1.11)

т. е. с нормированием на постоянный множитель 1/K и с продлением сигнала нулевыми значениями (в левую сторону при сдвигах k-n или в правую сторону при использовании сдвигов k+n). Эта оценка является смещенной и имеет несколько меньшую дисперсию, чем по формуле (6.1.10). Разницу между нормировками по формулам (6.1.10) и (6.1.11) можно наглядно видеть на рис. 6.1.4.

Формулу (6.1.11) можно рассматривать, как усреднение суммы произведений, т. е. как оценку математического ожидания:

Bs(n) = M{sk sk-n} @ . (6.1.12)

Практически, дискретная АКФ имеет такие же свойства, как и непрерывная АКФ. Она также является четной, а ее значение при n = 0 равно энергии или мощности дискретного сигнала в зависимости от нормировки.

АКФ зашумленных сигналов . Зашумленный сигнал записывается в виде суммы v(k) = s(k)+q(k). В общем случае, шум не обязательно должен иметь нулевое среднее значение, и нормированная по мощности автокорреляционная функция цифрового сигнала, содержащая N – отсчетов, записывается в следующем виде:

Bv(n) = (1/N) ás(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n)ñ =

= (1/N) [ás(k), s(k-n)ñ + ás(k), q(k-n)ñ + áq(k), s(k-n)ñ + áq(k), q(k-n)ñ] =

Bs(n) + M{sk qk-n} + M{qk sk-n} + M{qk qk-n}.

Bv(n) = Bs(n) + + + . (6.1.13)

При статистической независимости полезного сигнала s(k) и шума q(k) с учетом разложения математического ожидания

M{sk qk-n} = M{sk} M{qk-n} =

может использоваться следующая формула:

Bv(n) = Bs(n) + 2 + . (6.1.13")

Пример зашумленного сигнала и его АКФ в сопоставлении с незашумленным сигналом приведен на рис. 6.1.5.

Из формул (6.1.13) следует, что АКФ зашумленного сигнала состоит из АКФ сигнальной компоненты полезного сигнала с наложенной затухающей до значения 2+шумовой функцией. При больших значениях K, когда → 0, имеет место Bv(n) » Bs(n). Это дает возможность не только выделять по АКФ периодические сигналы, практически полностью скрытые в шуме (мощность шумов много больше мощности сигнала), но и с высокой точностью определять их период и форму в пределах периода, а для одночастотных гармонических сигналов – и их амплитуду с использованием выражения (6.1.6).

	Сигнал Баркера	АКФ сигнала





	1, 1, 1, -1, -1, 1, -1	7, 0, -1, 0, -1, 0, -1
	1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1	11,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1
	1,1,1,1,1,-1,-1,1,1-1,1,-1,1	13,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1

Кодовые сигналы являются разновидностью дискретных сигналов. На определенном интервале кодового слова М×Dt они могут иметь только два амплитудных значения: 0 и 1 или 1 и –1. При выделении кодов на существенном уровне шумов форма АКФ кодового слова имеет особое значение. С этой позиции наилучшими считаются такие коды, значения боковых лепестков АКФ которых минимальны по всей длине интервала кодового слова при максимальном значении центрального пика. К числу таких кодов относится код Баркера, приведенный в таблице 6.1. Как видно из таблицы, амплитуда центрального пика кода численно равна значению М, при этом амплитуда боковых осцилляций при n ¹ 0 не превышает 1.

6.2. Взаимные корреляционные функции сигналов .

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) разных сигналов (cross-correlation function, CCF) описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной). Обобщая формулу (6.1.1) автокорреляционной функции на два различных сигнала s(t) и u(t), получаем следующее скалярное произведение сигналов:

Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. (6.2.1)

Взаимная корреляция сигналов характеризует определенную корреляцию явлений и физических процессов, отображаемых данными сигналами, и может служить мерой “устойчивости” данной взаимосвязи при раздельной обработке сигналов в различных устройствах. Для конечных по энергии сигналов ВКФ также конечна, при этом:

|Bsu(t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,

что следует из неравенства Коши-Буняковского и независимости норм сигналов от сдвига по координатам.

При замене переменной t = t-t в формуле (6.2.1), получаем:

Bsu(t) =s(t-t) u(t) dt = u(t) s(t-t) dt = Bus(-t).

Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, Bsu(t) ¹ Bsu(-t), и значения ВКФ не обязаны иметь максимум при t = 0.

Это можно наглядно видеть на рис. 6.2.1, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (6.2.1) с постепенным увеличением значений t означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+t)). При t=0 сигналы ортогональны и значение B12(t)=0. Максимум В12(t) будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение t=1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+t).

Одни и те же значения ВКФ по формулам (6.2.1) и (6.2.1") наблюдаются при одном и том же взаимном положении сигналов: при сдвиге на интервал t сигнала u(t) относительно s(t) вправо по оси ординат и сигнала s(t) относительно сигнала u(t) влево, т. е. Bsu(t) = Bus(-t).

На рис. 6.2.2 приведены примеры ВКФ для прямоугольного сигнала s(t) и двух одинаковых треугольных сигналов u(t) и v(t). Все сигналы имеют одинаковую длительность Т, при этом сигнал v(t) сдвинут вперед на интервал Т/2.

Сигналы s(t) и u(t) одинаковы по временному расположению и площадь "перекрытия" сигналов максимальна при t=0, что и фиксируется функцией Bsu. Вместе с тем функция Bsu резко асимметрична, так как при асимметричной форме сигнала u(t) для симметричной формы s(t) (относительно центра сигналов) площадь "перекрытия" сигналов изменяется по разному в зависимости от направления сдвига (знака t при увеличения значения t от нуля). При смещении исходного положения сигнала u(t) влево по оси ординат (на опережение сигнала s(t) - сигнал v(t)) форма ВКФ остается без изменения и сдвигается вправо на такое же значение величины сдвига – функция Bsv на рис. 6.2.2. Если поменять местами выражения функций в (6.2.1), то новая функция Bvs будет зеркально повернутой относительно t=0 функцией Bsv.

С учетом этих особенностей полное ВКФ вычисляется, как правило, отдельно для положительных и отрицательных запаздываний:

Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. Bus(t) =u(t) s(t+t) dt. (6.2.1")

Взаимная корреляция зашумленных сигналов . Для двух зашумленных сигналов u(t) = s1(t)+q1(t) и v(t) = s2(t)+q2(t), применяя методику вывода формул (6.1.13) с заменой копии сигнала s(t) на сигнал s2(t), нетрудно вывести формулу взаимной корреляции в следующем виде:

Buv(t) = Bs1s2(t) + Bs1q2(t) + Bq1s2(t) + Bq1q2(t). (6.2.2)

Последние три члена в правой части (6.2.2) затухают до нуля при увеличении t. При больших интервалах задания сигналов выражение может быть записано в следующей форме:

Buv(t) = Bs1s2(t) + + + . (6.2.3)

При нулевых средних значениях шумов и статистической независимости от сигналов имеет место:

Buv(t) → Bs1s2(t).

ВКФ дискретных сигналов. Все свойства ВКФ аналоговых сигналов действительны и для ВКФ дискретных сигналов, при этом для них действительны и особенности дискретных сигналов, изложенные выше для дискретных АКФ (формулы 6.1.9-6.1.12). В частности, при Dt = const =1 для сигналов x(k) и y(k) с числом отсчетов К:

Bxy(n) = xk yk-n. (6.2.4)

При нормировании в единицах мощности:

Bxy(n) = xk yk-n @ . (6.2.5)

Оценка периодических сигналов в шуме . Зашумленный сигнал можно оценить по взаимной корреляции с "эталонным" сигналом методом проб и ошибок с настройкой функции взаимной корреляции до максимального значения.

Для сигнала u(k)=s(k)+q(k) при статистической независимости шума и → 0 функция взаимной корреляции (6.2.2) с шаблоном сигнала p(k) при q2(k)=0 принимает вид:

Bup(k) = Bsp(k) + Bqp(k) = Bsp(k) + .

А поскольку → 0 при увеличении N, то Bup(k) → Bsp(k). Очевидно, что функция Bup(k) будет иметь максимум, когда p(k) = s(k). Меняя форму шаблона p(k) и добиваясь максимизации функции Bup(k), можно получить оценку s(k) в виде оптимальной формы p(k).

Функция взаимных корреляционных коэффициентов (ВКФ) является количественным показателем степени сходства сигналов s(t) и u(t). Аналогично функции автокорреляционных коэффициентов, она вычисляется через центрированные значения функций (для вычисления взаимной ковариации достаточно центрировать только одну из функций), и нормируется на произведение значений стандартов функций s(t) и v(t):

rsu(t) = Csu(t)/sssv. (6.2.6)

Интервал изменения значений корреляционных коэффициентов при сдвигах t может изменяться от –1 (полная обратная корреляция) до 1 (полное сходство или стопроцентная корреляция). При сдвигах t, на которых наблюдаются нулевые значения rsu(t), сигналы независимы друг от друга (некоррелированны). Коэффициент взаимной корреляции позволяет устанавливать наличие связи между сигналами вне зависимости от физических свойств сигналов и их величины.

При вычислении ВКФ зашумленных дискретных сигналов ограниченной длины с использованием формулы (6.2.4) имеется вероятность появления значений |rsu(n)| > 1.

Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода при изучении характеристик систем.

6.3. Спектральные плотности корреляционных функций .

Спектральная плотность АКФ может быть определена из следующих простых соображений.

В соответствии с выражением (6.1.1) АКФ представляет собой функцию скалярного произведения сигнала и его копии, сдвинутой на интервал t, при -¥ < t < ¥:

Bs(t) = ás(t), s(t-t)ñ.

Скалярное произведение может быть определено через спектральные плотности сигнала и его копии, произведение которых представляет собой спектральную плотность взаимной мощности:

ás(t), s(t-t)ñ = (1/2p)S(w) St*(w) dw.

Смещение сигнала по оси абсцисс на интервал t отображается в спектральном представлении умножением спектра сигнала на exp(-jwt), а для сопряженного спектра на множитель exp(jwt):

St*(w) = S*(w) exp(jwt).

С учетом этого получаем:

Bs(t) = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw =

= (1/2p)|S(w)|2 exp(jwt) dw. (6.3.1)

Но последнее выражение представляет собой обратное преобразование Фурье энергетического спектра сигнала (спектральной плотности энергии). Следовательно, энергетический спектр сигнала и его автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье:

Bs(t) Û |S(w)|2 = Ws(w). (6.3.2)

Таким образом, спектральная плотность АКФ есть не что иное, как спектральная плотность мощности сигнала, которая, в свою очередь, может определяться прямым преобразованием Фурье через АКФ:

|S(w)|2 = Bs(t) exp(-jwt) dt. (6.3.3)

Последние выражение накладывает определенные ограничения на форму АКФ и методику их ограничения по длительности.

Рис. 6.3.1. Спектр несуществующей АКФ

Энергетический спектр сигналов всегда положителен, мощность сигналов не может быть отрицательной. Следовательно, АКФ не может иметь формы прямоугольного импульса, т. к. преобразование Фурье прямоугольного импульса – знакопеременный интегральный синус. На АКФ не должно быть и разрывов первого рода (скачков), т. к. с учетом четности АКФ любой симметричный скачек по координате ±t порождает “разделение” АКФ на сумму определенной непрерывной функции и прямоугольного импульса длительностью 2t с соответствующим появлением отрицательных значений в энергетическом спектре. Пример последнего приведен на рис. 6.3.1 (графики функций приведены, как принято для четных функций, только своей правой частью).

АКФ достаточно протяженных сигналов обычно ограничиваются по размерам (исследуются ограниченные интервалы корреляции данных от –Т/2 до Т/2). Однако усечение АКФ, это умножение АКФ на прямоугольный селектирующий импульс длительностью Т, что в частотной области отображается сверткой фактического спектра мощности со знакопеременной функцией интегрального синуса sinc(wT/2). С одной стороны, это вызывает определенное сглаживание спектра мощности, что зачастую бывает полезным, например, при исследовании сигналов на значительном уровне шумов. Но, с другой стороны, может происходить и существенное занижение величины энергетических пиков, если в сигнале имеются какие-либо гармонические составляющие, а также появление отрицательных значений мощности на краевых частях пиков и скачков. Пример проявления данных факторов приведен на рис. 6.3.2.

Рис. 6.3.2. Вычисление энергетического спектра сигнала по АКФ разной длины.

Как известно, спектры мощности сигналов не имеют фазовой характеристики и по ним невозможно восстановление сигналов. Следовательно, АКФ сигналов, как временное представление спектров мощности, также не имеет информации о фазовых характеристиках сигналов и восстановление сигналов по АКФ невозможно. Сигналы одной формы, сдвинутые во времени, имеют одинаковые АКФ. Больше того, сигналы разной формы могут иметь сходные АКФ, если имеют близкие спектры мощности.

Перепишем уравнение (6.3.1) в следующей форме

s(t) s(t-t) dt = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw,

и подставим в это выражение значение t=0. Полученное равенство хорошо известно и называется равенством Парсеваля

s2(t) dt = (1/2p)|S(w)|2 dw.

Оно позволяет вычислять энергию сигнала, как по временной, так и по частотной области описания сигналов.

Интервал корреляции сигнала является числовым параметром оценки ширины АКФ и степени значимой корреляции значений сигнала по аргументу.

Если допустить, что сигнал s(t) имеет примерно равномерный энергетический спектр со значением W0 и с верхней граничной частотой до wв (форма центрированного прямоугольного импульса, как, например, сигнал 1 на рис. 6.3.3 с fв=50 Гц в одностороннем представлении), то АКФ сигнала определится выражением:

Bs(t) = (Wo/p)cos(wt) dw = (Wowв/p) sin(wвt)/(wвt).

Интервалом корреляции сигнала tк считается величина ширины центрального пика АКФ от максимума до первого пересечения нулевой линии. В данном случае для прямоугольного спектра с верхней граничной частотой wв первое пересечение нуля соответствует sinc(wвt) = 0 при wвt = p, откуда:

tк = p/wв =1/2fв. (6.3.4)

Интервал корреляции тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала. Для сигналов с плавным срезом по верхней граничной частоте роль параметра wв играет средняя ширина спектра (сигнал 2 на рис. 6.3.3).

Спектральная плотность мощности статистических шумов при единичном измерении представляет собой случайную функцию Wq(w) со средним значением Wq(w) Þ sq2, где sq2 – дисперсия шумов. В пределе, при равномерном спектральном распределении шумов от 0 до ¥, АКФ шумов стремится к значению Bq(t) Þ sq2 при t Þ 0, Bq(t) Þ 0 при t ¹ 0, т. е. статистические шумы не коррелированны (tк Þ 0).

Практические вычисления АКФ финитных сигналов обычно ограничиваются интервалом сдвигов t = {0, (3-5)tk}, в котором, как правило, сосредоточена основная информация по автокорреляции сигналов.

Спектральная плотность ВКФ может быть получена на основании тех же соображений, что и для АФК, или непосредственно из формулы (6.3.1) заменой спектральной плотности сигнала S(w) на спектральную плотность второго сигнала U(w):

Bsu(t) = (1/2p)S*(w) U(w) exp(jwt) dw. (6.3.5)

Или, при смене порядка сигналов:

Bus(t) = (1/2p)U*(w) S(w) exp(jwt) dw. (6.3.5")

Произведение S*(w)U(w) представляет собой взаимный энергетический спектр Wsu(w) сигналов s(t) и u(t). Соответственно, U*(w)S(w) = Wus(w). Следовательно, как и АКФ, взаимнокорреляционная функция и спектральная плотность взаимной мощности сигналов связаны между собой преобразованиями Фурье:

Bsu(t) Û Wsu(w) º W*us(w). (6.3.6)

Bus(t) Û Wus(w) º W*su(w). (6.3.6")

В общем случае, за исключением спектров четных функций, из условия несоблюдения четности для функций ВКФ следует, что взаимные энергетические спектры являются комплексными функциями:

U(w) = Au(w) + j Bu(w), V(w) = Av(w) + j Bv(w).

Wuv = AuAv+BuBv+j(BuAv - AuBv) = Re Wuv(w) + j Im Wuv(w),

На рис. 6.3.4 можно наглядно видеть особенности формирования ВКФ на примере двух одинаковых по форме сигналов, сдвинутых относительно друг друга.

Рис. 6.3.4. Формирование ВКФ.

Форма сигналов и их взаимное расположение приведены на виде А. Модуль и аргумент спектра сигнала s(t) приведены на виде В. Модуль спектра u(t) тождественен модулю S(w). На этом же виде приведен модуль спектра взаимной мощности сигналов S(w)U*(w). Как известно, при перемножении комплексных спектров модули спектров перемножаются, а фазовые углы складываются, при этом для сопряженного спектра U*(w) фазовый угол меняет знак. Если первым в формуле вычисления ВКФ (6.2.1) стоит сигнал s(t), а сигнал u(t-t) на оси ординат стоить впереди s(t), то фазовые углы S(w) по мере увеличения частоты нарастают в сторону отрицательных значений углов (без учета периодического сброса значений на 2p), а фазовые углы U*(w) по абсолютным значениям меньше фазовых углов s(t) и нарастают (за счет сопряжения) в сторону положительных значений. Результатом умножения спектров (как это видно на рис. 6.3.4, вид С) является вычитание из фазовых углов S(w) значений углов U*(w), при этом фазовые углы спектра S(w)U*(w) остаются в области отрицательных значений, что обеспечивает сдвиг всей функции ВКФ (и ее пиковых значений) вправо от нуля по оси t на определенную величину (для одинаковых сигналов – на величину разности между сигналами по оси ординат). При смещении начального положения сигнала u(t) в сторону сигнала s(t) фазовые углы S(w)U*(w) уменьшаются, в пределе до нулевых значений при полном совмещении сигналов, при этом функция Bsu(t) смещается к нулевым значениям t, в пределе до обращения в АКФ (для одинаковых сигналах s(t) и u(t)).

Как известно для детерминированных сигналов, если спектры двух сигналов не перекрываются и, соответственно, взаимная энергия сигналов равна нулю, такие сигналы ортогональны друг другу. Связь энергетических спектров и корреляционных функций сигналов показывает еще одну сторону взаимодействия сигналов. Если спектры сигналов не перекрываются и их взаимный энергетический спектр равен нулю на всех частотах, то при любых временных сдвигах t друг относительно друга их ВКФ также равна нулю. А это означает, что такие сигналы являются некоррелированными. Это действительно как для детерминированных, так и для случайных сигналов и процессов.

Вычисление корреляционных функций при помощи БПФ является, особенно для длинных числовых рядов, в десятки и сотни раз более быстрым методом, чем последовательными сдвигами во временной области при больших интервалах корреляции. Суть метода вытекает из формул (6.3.2) для АКФ и (6.3.6) для ВКФ. Учитывая, что АКФ можно рассматривать как частный случай ВКФ при одном и том же сигнале, процесс вычисления рассмотрим на примере ВКФ для сигналов x(k) и y(k) с числом отсчетов К. Он включает:

1. Вычисление БПФ спектров сигналов x(k) → X(k) и y(k) → Y(k). При разном количестве отсчетов более короткий ряд дополняется нулями до размера большего ряда.

2. Вычисление спектров плотности мощности Wxy(k) = X*(k) Y(k).

3. Обратное БПФ Wxy(k) → Bxy(k).

Отметим некоторые особенности метода.

При обратном БПФ, как известно, вычисляется циклическая свертка функций x(k) ③ y(k). Если число отсчетов функций равно К, число комплексных отсчетов спектров функций также равно К, равно как и число отсчетов их произведения Wxy(k). Соответственно, число отсчетов Bxy(k) при обратном БПФ также равно К и циклически повторяется с периодом, равным К. Между тем, при линейной свертке полных массивов сигналов по формуле (6.2.5) размер только одной половины ВКФ составляет К точек, а полный двусторонний размер составляет 2К точек. Следовательно, при обратном БПФ с учетом цикличности свертки произойдет наложение на главный период ВКФ ее боковых периодов, как и при обычной циклической свертке двух функций.

На рис. 6.3.5 приведен пример двух сигналов и значения ВКФ, вычисленные линейной сверткой (В1ху) и циклической сверткой через БПФ (В2ху). Для исключения эффекта наложения боковых периодов необходимо дополнить сигналы нулями, в пределе, до удвоения количества отсчетов, при этом результат БПФ (график В3ху на рисунке 6.3.5) полностью повторяет результат линейной свертки (с учетом нормировки на увеличение количества отсчетов).

На практике число нулей продления сигналов зависит от характера корреляционной функции. Минимальное количество нулей обычно принимается равным значимой информационной части функций, т. е. порядка (3-5) интервалов корреляции.

литература

1. Баскаков цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1988.

19. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов . – М.: Мир, 1982. – 428 с.

25. Сергиенко обработка сигналов. / Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 203. – 608 с.

33. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов. Практический подход. / М., "Вильямс", 2004, 992 с.

О замеченных опечатках, ошибках и предложениях по дополнению: *****@***ru.

Понятие “корреляция” отражает степень сходства некоторых объектов или явлений. Применительно к сигналам корреляционная функция есть количественная мера сходства двух копий сигнала сдвинутых друг относительно друга по времени на некоторую величину t - чем больше значение корреляционной функции, тем больше похожи сигналы друг на друга.

Корреляционная функция задается следующим выражением:

∞

R ss (t) = ∫ s(t) s(t - t)dt (1.24)

- ∞

Здесь индекс R ss означает, что вычисляется автокорреляционная функция (АКФ) корреляция сигнала s(t) с его сдвинутой копией.

Корреляционная функция (АКФ) сигнала обладает следующими свойствами:

1. Значение АКФ при t = 0 равно энергии сигнала:

∞

R ss (0) = ∫ s(t) 2 dt. (1.25)

2. АКФ является четной и невозрастающей функцией

R ss (t) = R ss (-t), R ss (t) ≤ R ss (0). (1.26)

3. АКФ сигнала с конечной энергией при t → ∞ стримится к нулю.

4. АКФ периодического сигнала периодична с периодом, равным периоду самого сигнала.

Если АКФ показывает степень сходства между сдвинутыми копиями одного и того же сигнала, то аналогичная ей взаимная корреляционная функция (ВКФ) позволяет оценить степень подобия двух различных сигналов

R 12 (t) = ∫ s 1 (t) s 2 (t - t)dt (1.27)

Вычисление АКФ и ВКФ сигналов является одними из основных алгоритмов обработки сигналов при их приеме на фоне помех. В связи с этим понимание физического смысла “корреляции ” и знание свойств корреляционных функций различных сигналов является важным элементом образования специалиста в области передачи информации и связи.

Целью данной работы является изучение простейших радиотехнических сигналов, разложение их в ряд Фурье, создание в среде программирования Matlab соответствующих программ.

Ход работы:

1 . Создать программу построения следующих простейших радиотехнических сигналов и представить их графики:

1.1. прямоугольный импульс;

1.2. сумма синусов;

1.3. радиоимпульс с прямоугольной огибающей;

1.5. радиоимпульс с гауссовской огибающей;

1.6. последовательность импульсов типа «меандр»;

1.7. фазоманипулированная последовательность;

1.8. радиоимпульс с экспоненциальной огибающей.

2 . Создать подпрограмму разложения сигнала в ряд Фурье.

3. Определить автокорреляционную функцию Rxx(k) для сформированных моделей сигналов.

5. Оценить коэффициент корреляции исходного сигнала и его разложения в ряд Фурье.

Отчет о выполненной работе должен содержать:

Краткое описание цели работы;

Тексты *.mat программ моделирования;

Графическое представление сформированных полезных сигналов;

Выводы о проделанной работе.

Контрольные вопросы :

1. Что такое “детерминированный сигнал”? Приведите примеры.

2. Что такое “система ортогональных функций”. Как определяются коэффициенты ряда Фурье.

3. Что такое “спектр сигнала”?

4. Запишите выражения для ряда Фурье на основе тригонометрических и комплексных экспоненциальных функций.

5. Что такое “преобразование Фурье”?

6. Запишите выражения для прямого и обратного преобразований Фурье.

7. Как выглядит спектр одиночного прямоугольного импульса?

8. Как выглядит спектр функции вида sin(x)/x?

9. Как изменится форма спектра прямоугольного (гауссовского) импульса при изменении (увеличении, уменьшении) его длительности?

5 Спектральный анализ периодических сигналов. Условия Дирихле. Ряд Фурье.

6 Спектральный анализ непериодических сигналов. Преобразование Фурье. Равенство Парсеваля.

7 Представление непрерывных сигналов выборками. Теорема Котельникова. Влияние частоты дискретизации на возможность восстановления сигнала с помощью фильтра.

8 Процесс интерполяции непрерывного сообщения. Простейшие виды интерполяции алгебраическими полиномами.

9 Корреляционный анализ. Корреляционная функция, ее свойства. Вычисление корреляционной функции одиночного импульса и периодического сигнала

10 Взаимная корреляционная функция, ее свойства. Вычисление взаимной корреляционной функции сигналов

11 Случайные процессы. Реализация случайного процесса. Законы распределения случайных процессов

13 Помехоустойчивое кодирование. Повышение верности в одностороннем и двустороннем каналах передачи

14 Блочные систематические коды, свойства и способы представления

15 Коды Хэмминга, свойства. Структурная схема кодера и декодера, принцип работы

16 Общие свойства и способы представления циклических кодов.

18 Аналоговые виды модуляции. Амплитудная модуляция. Амплитудно-модулированное колебание, временная и спектральная характеристики

19 Аналоговые виды модуляции. Амплитудный модулятор.

20 Аналоговые виды модуляции. Демодулятор ам-сигналов.

21. Аналоговые виды модуляции. Балансная модуляция. Балансно-модулированное колебание, временная и спектральная характеристики. Модулятор и демодулятор бмк.

22 Аналоговые виды модуляции. Однополосная модуляция. Методы формирования одной боковой полосы частот ам-колебания.

24 Спектры фазо-модулированных и частотно-модулированных колебаний.

25 Аналого-импульсные виды модуляции. Амплитудно-импульсная модуляция: аим-1 и аим-2. Модуляторы и демодуляторы аим сигналов.

26 Широтно-импульсная модуляция: шим-1 и шим-2. Спектральное представление шим-сигнала. Модуляторы шим-сигналов.

27 Фазо-импульсная модуляция. Модуляторы фим-сигналов.

28 Частотно-импульсная модуляция. Детекторы чим-сигналов.

29 Цифровые виды модуляции. Импульсно-кодовая модуляция. Дискретизация, квантование и кодирование.

30 Дифференциальная икм. Структурная схема системы передачи с предсказанием. Структурная схема линейного предсказателя, принцип работы. Адаптивная дифференциальная икм.

31 Дельта-модуляция. Принцип формирования сигнала дельта-модуляции. Адаптивная дельта-модуляция.

32 Дискретные виды модуляции. Способы двухпозиционной (однократной) модуляции. Позиционность сигнала, кратность модуляции.

33 Однократная абсолютная фазовая манипуляция. Фазовый манипулятор.

34 Детектор фмн-сигналов.

35 Манипулятор однократной относительной фазовой манипуляции.

36 Демодулятор сигналов с однократной офмн.

38 Принципы построения многоканальных систем передачи. Теоретические предпосылки разделения каналов. Частотное разделение каналов.

39 Фазовое разделение каналов. Модулятор и демодулятор сигналов дофмн.

40 Временное разделение каналов. Структурная схема многоканальной системы передачи с временным разделением каналов.

41 Оптимальный прием сигналов. Задачи и критерии оптимального приема.

42 Структурная схема приемника при полностью известных сигналах, принцип работы.

9 Корреляционный анализ. Корреляционная функция, ее свойства. Вычисление корреляционной функции одиночного импульса и периодического сигнала

Наряду со спектральным анализом корреляционный анализ играет большую роль в теории сигналов. Его смысл состоит в измерении степени сходства (различия) сигналов. Для этого служит корреляционная ф-ция.

КФ представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала, сдвинутых друг отн. друга на время .

Чем больше значение КФ, тем сильнее сходство. КФ обладает следующими свойствами:

1. Значение КФ при
равно энергии сигнала (интегралу от его квадрата)

2. Является четной функцией

3. Значение КФ при

4. С ростом абс. значения КФ сигнала с конечной энергией затухает

5. Если сигнал является ф-цией напряжения от времени, то размерность его КФ [
]

В случае периодического сигнала (с периодом Т) КФ вычисляют, усредняя произведение сдвинутых копий в пределах одного периода:

Набор свойств такой КФ изменяется:

1. Значение КФ при
равно средней мощности сигнала

2. Свойство четности сохраняется.

3. Значение КФ при
является максимально возможным.

4. КФ является периодической ф-цией (с тем же периодом, что и сигнал)

5. Если сигнал не содержит дельта-функций, то его КФ непрерывна.

6. Если сигнал является зависимостью U(t), то размерность КФ [
]

КФ гармонического сигнала является гармонической ф-цией, которая не зависит от начальной фазы сигнала.

10 Взаимная корреляционная функция, ее свойства. Вычисление взаимной корреляционной функции сигналов

Взаимная корреляционная функция (ВКФ)- функция, показывающая степень сходства для сдвинутых во времени 2-ух различных сигналов.

Общий вид:

Для примера вычислим ВКФ 2-ух функций:

При

Объединяя результаты, можно записать:

Свойства ВКФ:

4) Если функции S 1 (t ) и S 2 (t ) не содержат дельта-функций, то их ВКФ не может иметь разрывов.

5) Если в качестве сигнала выступает функция U (t ) , то размерность ВКФ

11 Случайные процессы. Реализация случайного процесса. Законы распределения случайных процессов

Иногда на практике приходится иметь дело с явлениями, протекание которых во времени непредсказуемо и в каждый момент времени описывается случайной величиной. Такие явления называются случайными процессами. Случайным процессом называется функция ζ(t ) неслучайного аргумента t (как правило, времени), которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Например, температура в течение суток, регистрируемая самописцем. Значения, принимаемые процессом ζ(t ) в определенные моменты времени называются состояниями , а множество всех состояний – фазовым пространством случайного процесса. В зависимости от количества возможных состояний случайного процесса его фазовое пространство может быть дискретным или непрерывным. Если случайный процесс может изменять свое состояние лишь в определенные моменты времени, то такой процесс называется случайным процессом с дискретным временем ; а если в произвольные, то – процессом с непрерывным временем .

Случайный процесс ζ(t ) называется стационарным , если распределение вероятностей его возможных состояний не изменяется во времени. Например, при ежесекундном подбрасывании игральной кости распределение вероятностей состояний соответствующего случайного процесса (рис.44, б ) не зависит (не изменяется) от времени (при этом все состояния ζ(t ) равновозможны). В противоположность этому, случайный процесс, характеризующий температуру окружающей среды, не является стационарным, т.к. для лета характерны более высокие температуры, чем для зимы.

Распределение вероятностей состояний стационарного случайного процесса называется стационарным распределением .

Существуют различные законы распределения среди них Равномерное, Гаусовское (нормальное)

Равномерное : пусть некторая случ величина х может принимать значения х 1 <=x<=x 2 тогда плотность вероятности

P(x)=система(0 при xх 2)

Функцию распределения найдем путем интегрирования

F(x)= система(0 при xx 2)

Гауссово (нормальное) распределение . В теории случайных сигналов фундаментальное значение имеет гауссова плотность вероятности