Αριθμητικά συστήματα. Το σύστημα αριθμών θέσης είναι δυαδικό. Δυαδικοί αριθμοί, ψηφία και το δυαδικό σύστημα αριθμών. Μετατροπή αριθμού σε δυαδικό από δεκαδικό

Γράψτε τον αριθμό στο δυαδικό σύστημα αριθμών και τις δυνάμεις του δύο από δεξιά προς τα αριστερά.Για παράδειγμα, θέλουμε να μετατρέψουμε τον δυαδικό αριθμό 10011011 2 σε δεκαδικό. Ας το γράψουμε πρώτα. Στη συνέχεια γράφουμε τις δυνάμεις των δύο από δεξιά προς τα αριστερά. Ας ξεκινήσουμε με το 2 0, που ισούται με "1". Αυξάνουμε το βαθμό κατά ένα για κάθε επόμενο αριθμό. Σταματάμε όταν ο αριθμός των στοιχείων στη λίστα είναι ίσος με τον αριθμό των ψηφίων του δυαδικού αριθμού. Ο αριθμός του παραδείγματός μας, 10011011, έχει οκτώ ψηφία, επομένως μια λίστα με οκτώ στοιχεία θα μοιάζει με αυτό: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Γράψτε τα ψηφία του δυαδικού αριθμού με τις αντίστοιχες δυνάμεις του δύο.Τώρα απλά γράψτε το 10011011 κάτω από τους αριθμούς 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 και 1, έτσι ώστε κάθε δυαδικό ψηφίο να αντιστοιχεί σε διαφορετική δύναμη του δύο. Το δεξιότερο "1" του δυαδικού αριθμού πρέπει να αντιστοιχεί στο δεξιότερο "1" από τις δυνάμεις του δύο, και ούτω καθεξής. Εάν προτιμάτε, μπορείτε να γράψετε τον δυαδικό αριθμό πάνω από τις δυνάμεις του δύο. Το πιο σημαντικό είναι να ταιριάζουν μεταξύ τους.

Αντιστοιχίστε τα ψηφία ενός δυαδικού αριθμού με τις αντίστοιχες δυνάμεις του δύο.Σχεδιάστε γραμμές (από τα δεξιά προς τα αριστερά) που συνδέουν κάθε διαδοχικό ψηφίο του δυαδικού αριθμού με τη δύναμη των δύο πάνω από αυτόν. Ξεκινήστε να σχεδιάζετε γραμμές συνδέοντας το πρώτο ψηφίο ενός δυαδικού αριθμού στην πρώτη δύναμη των δύο πάνω από αυτόν. Στη συνέχεια, σχεδιάστε μια γραμμή από το δεύτερο ψηφίο του δυαδικού αριθμού στη δεύτερη δύναμη του δύο. Συνεχίστε να συνδέετε κάθε αριθμό με την αντίστοιχη ισχύ των δύο. Αυτό θα σας βοηθήσει να δείτε οπτικά τη σχέση μεταξύ δύο διαφορετικών συνόλων αριθμών.

Γράψτε την τελική τιμή κάθε δύναμης δύο.Περάστε από κάθε ψηφίο ενός δυαδικού αριθμού. Αν ο αριθμός είναι 1, γράψτε την αντίστοιχη ισχύ του δύο κάτω από τον αριθμό. Εάν αυτός ο αριθμός είναι 0, γράψτε 0 κάτω από τον αριθμό.

Αφού το "1" ταιριάζει με το "1", παραμένει "1". Αφού το "2" ταιριάζει με το "1", παραμένει "2". Εφόσον το "4" αντιστοιχεί στο "0", γίνεται "0". Αφού το "8" ταιριάζει με το "1", γίνεται "8", και από το "16" ταιριάζει με το "1" γίνεται "16". Το "32" ταιριάζει με το "0" και γίνεται "0", το "64" ταιριάζει με το "0" και επομένως γίνεται "0", ενώ το "128" ταιριάζει με το "1" και επομένως γίνεται 128.

Προσθέστε τις προκύπτουσες τιμές.Τώρα προσθέστε τους αριθμούς που προκύπτουν κάτω από τη γραμμή. Να τι πρέπει να κάνετε: 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 155. Αυτό είναι το δεκαδικό ισοδύναμο του δυαδικού αριθμού 10011011.

Γράψτε την απάντηση μαζί με δείκτη ίσο με το σύστημα αριθμών.Τώρα το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να γράψετε 155 10 για να δείξετε ότι εργάζεστε με μια δεκαδική απάντηση, η οποία αναφέρεται σε δυνάμεις του δέκα. Όσο περισσότερο μετατρέπετε δυαδικούς αριθμούς σε δεκαδικούς, τόσο πιο εύκολο θα είναι για σας να θυμάστε τις δυνάμεις του δύο και τόσο πιο γρήγορα θα μπορείτε να ολοκληρώσετε την εργασία.

Χρησιμοποιήστε αυτή τη μέθοδο για να μετατρέψετε έναν δυαδικό αριθμό με δεκαδικό ψηφίο σε δεκαδική μορφή.Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο ακόμη και αν θέλετε να μετατρέψετε έναν δυαδικό αριθμό όπως το 1,1 2 σε δεκαδικό. Το μόνο που χρειάζεται να γνωρίζετε είναι ότι ο αριθμός στην αριστερή πλευρά του δεκαδικού είναι ένας κανονικός αριθμός και ο αριθμός στη δεξιά πλευρά του δεκαδικού είναι ο "μισός" αριθμός, ή 1 x (1/2).

Το "1" στα αριστερά του δεκαδικού αριθμού αντιστοιχεί στο 2 0, ή στο 1. Το 1 στα δεξιά του δεκαδικού αριθμού αντιστοιχεί στο 2 -1, ή.5. Προσθέστε 1 και 0,5 και παίρνετε 1,5, που είναι το δεκαδικό ισοδύναμο του 1,1 2.

Για να μετατρέψετε γρήγορα τους αριθμούς από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δυαδικό σύστημα, πρέπει να έχετε καλή γνώση των αριθμών "2 στην ισχύ". Για παράδειγμα, 2 10 =1024, κ.λπ. Αυτό θα σας επιτρέψει να λύσετε μερικά παραδείγματα μετάφρασης κυριολεκτικά μέσα σε δευτερόλεπτα. Ένα από αυτά τα καθήκοντα είναι Πρόβλημα A1 από την επίδειξη USE 2012. Μπορείτε, φυσικά, να αφιερώσετε πολύ και κουραστικό χρόνο για να διαιρέσετε έναν αριθμό με το "2". Αλλά είναι καλύτερα να αποφασίσετε διαφορετικά, εξοικονομώντας πολύτιμο χρόνο στις εξετάσεις.

Η μέθοδος είναι πολύ απλή. Η ουσία του είναι η εξής: Εάν ο αριθμός που πρέπει να μετατραπεί από το δεκαδικό σύστημα είναι ίσος με τον αριθμό "2 στην ισχύ", τότε αυτός ο αριθμός στο δυαδικό σύστημα περιέχει έναν αριθμό μηδενικών ίσο με την ισχύ. Προσθέτουμε ένα «1» μπροστά από αυτά τα μηδενικά.

Ας μετατρέψουμε τον αριθμό 2 από το δεκαδικό σύστημα. 2=2 1 . Επομένως, στο δυαδικό σύστημα, ένας αριθμός περιέχει 1 μηδέν. Βάζουμε «1» μπροστά και παίρνουμε 10 2.
Ας μετατρέψουμε το 4 από το δεκαδικό σύστημα. 4=2 2 . Επομένως, στο δυαδικό σύστημα, ένας αριθμός περιέχει 2 μηδενικά. Βάζουμε «1» μπροστά και παίρνουμε 100 2.
Ας μετατρέψουμε το 8 από το δεκαδικό σύστημα. 8=2 3 . Επομένως, στο δυαδικό σύστημα, ένας αριθμός περιέχει 3 μηδενικά. Βάζουμε «1» μπροστά και παίρνουμε 1000 2.

Ομοίως για άλλους αριθμούς "2 στη δύναμη".

Εάν ο αριθμός που πρέπει να μετατραπεί είναι μικρότερος από τον αριθμό "2 στην ισχύ" κατά 1, τότε στο δυαδικό σύστημα αυτός ο αριθμός αποτελείται μόνο από μονάδες, ο αριθμός των οποίων είναι ίσος με την ισχύ.

Ας μετατρέψουμε το 3 από το δεκαδικό σύστημα. 3=2 2 -1. Επομένως, στο δυαδικό σύστημα, ένας αριθμός περιέχει 2 μονάδες. Παίρνουμε 11 2.
Ας μετατρέψουμε το 7 από το δεκαδικό σύστημα. 7=2 3 -1. Επομένως, στο δυαδικό σύστημα, ένας αριθμός περιέχει 3 μονάδες. Παίρνουμε 111 2.

Στο σχήμα, τα τετράγωνα υποδεικνύουν τη δυαδική αναπαράσταση του αριθμού και το ροζ χρώμα στα αριστερά δείχνει τη δεκαδική αναπαράσταση.

Η μετάφραση είναι παρόμοια για άλλους αριθμούς "2 στην ισχύ-1".

Είναι σαφές ότι η μετάφραση των αριθμών από το 0 στο 8 μπορεί να γίνει γρήγορα ή με διαίρεση ή απλά να γνωρίζουμε από καρδιάς την αναπαράστασή τους στο δυαδικό σύστημα. Έδωσα αυτά τα παραδείγματα για να κατανοήσετε την αρχή αυτής της μεθόδου και να τη χρησιμοποιήσετε για να μεταφράσετε πιο «εντυπωσιακούς αριθμούς», για παράδειγμα, για να μεταφράσετε τους αριθμούς 127,128, 255, 256, 511, 512 κ.λπ.

Μπορείτε να συναντήσετε τέτοια προβλήματα όταν πρέπει να μετατρέψετε έναν αριθμό που δεν είναι ίσος με τον αριθμό "2 στην ισχύ", αλλά κοντά σε αυτόν. Μπορεί να είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από 2 στην ισχύ. Η διαφορά μεταξύ του μεταφρασμένου αριθμού και του αριθμού "2 στην ισχύ" πρέπει να είναι μικρή. Για παράδειγμα, μέχρι 3. Η αναπαράσταση των αριθμών από το 0 έως το 3 στο δυαδικό σύστημα πρέπει απλώς να είναι γνωστή χωρίς μετάφραση.

Αν ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από , τότε τον λύνουμε ως εξής:

Πρώτα μετατρέπουμε τον αριθμό «2 στην ισχύ» στο δυαδικό σύστημα. Και μετά προσθέτουμε σε αυτό τη διαφορά μεταξύ του αριθμού «2 στην ισχύ» και του αριθμού που μεταφράζεται.

Για παράδειγμα, ας μετατρέψουμε το 19 από το δεκαδικό σύστημα. Είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό "2 στην ισχύ" κατά 3.

16=2 4 . 16 10 =10000 2 .

3 10 =11 2 .

19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .

Εάν ο αριθμός είναι μικρότερος από τον αριθμό "2 στην ισχύ", τότε είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τον αριθμό "2 στην ισχύ-1". Το λύνουμε ως εξής:

Πρώτα μετατρέπουμε τον αριθμό "2 στην ισχύ-1" στο δυαδικό σύστημα. Και στη συνέχεια αφαιρούμε από αυτό τη διαφορά μεταξύ του αριθμού "2 στη δύναμη του 1" και του αριθμού που μετατρέπεται.

Για παράδειγμα, ας μετατρέψουμε το 29 από το δεκαδικό σύστημα. Είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό «2 στη δύναμη-1» κατά 2. 29=31-2.

31 10 =11111 2 .

2 10 =10 2 .

29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2

Εάν η διαφορά μεταξύ του αριθμού που μεταφράζεται και του αριθμού "2 στην ισχύ" είναι μεγαλύτερη από τρεις, τότε μπορείτε να χωρίσετε τον αριθμό στα συστατικά του, να μετατρέψετε κάθε μέρος στο δυαδικό σύστημα και να προσθέσετε.

Για παράδειγμα, μετατρέψτε τον αριθμό 528 από το δεκαδικό σύστημα. 528=512+16. Μεταφράζουμε το 512 και το 16 χωριστά.
512=2 9 . 512 10 =1000000000 2 .
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
Τώρα ας το προσθέσουμε σε μια στήλη:

Σε ένα από τα υλικά μας εξετάσαμε τον ορισμό. Έχει το συντομότερο αλφάβητο. Μόνο δύο ψηφία: 0 και 1. Παραδείγματα αλφαβήτων συστημάτων αριθμών θέσης δίνονται στον πίνακα.

Συστήματα θέσεων αριθμών

Όνομα συστήματος	Βάση	Αλφάβητο
Δυάδικος
Τριάδα
Τετραδικός
Πενταπλό
Οκτάεδρος
Δεκαδικός		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
δωδεκάδικο		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,Α,Β
Δεκαεξαδικό		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
Τριανταέξι		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G, H,I,J,K,L,M,N,O, P,R,S,T,U,V,X,Y,Z

Για να μετατρέψετε έναν μικρό αριθμό από δεκαδικό σε δυαδικό και αντίστροφα, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσετε τον παρακάτω πίνακα.

Πίνακας μετατροπής δεκαδικών αριθμών από το 0 στο 20 στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

δεκαδικός αριθμός	δυάδικος αριθμός	δεκαδικός αριθμός	δυάδικος αριθμός

Ωστόσο, ο πίνακας θα αποδειχθεί τεράστιος εάν γράψετε όλους τους αριθμούς εκεί. Η εύρεση του σωστού αριθμού μεταξύ τους θα είναι πιο δύσκολη. Είναι πολύ πιο εύκολο να θυμάστε πολλούς αλγόριθμους για τη μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών θέσης σε ένα άλλο.

Πώς να μετατρέψετε από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο; Στην επιστήμη των υπολογιστών, υπάρχουν αρκετοί απλοί τρόποι μετατροπής δεκαδικών αριθμών σε δυαδικούς αριθμούς. Ας δούμε δύο από αυτά.

Μέθοδος Νο. 1.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να μετατρέψετε έναν αριθμό 637 δεκαδικό σύστημα σε δυαδικό σύστημα.

Αυτό γίνεται ως εξής: η μέγιστη ισχύς των δύο βρίσκεται έτσι ώστε δύο σε αυτή την ισχύ να είναι μικρότερη ή ίση με τον αρχικό αριθμό.

Στην περίπτωσή μας είναι 9, γιατί 2 9 =512 , ΕΝΑ 2 10 =1024 , που είναι μεγαλύτερος από τον αρχικό μας αριθμό. Έτσι, λάβαμε τον αριθμό των ψηφίων του αποτελέσματος. Ισούται με 9+1=10. Αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα μοιάζει με 1хххххххх, όπου το x μπορεί να αντικατασταθεί από 1 ή 0.

Ας βρούμε το δεύτερο ψηφίο του αποτελέσματος. Ας υψώσουμε δύο στη δύναμη του 9 και ας αφαιρέσουμε από τον αρχικό αριθμό: 637-2 9 =125. Στη συνέχεια συγκρίνετε με τον αριθμό 2 8 =256 . Εφόσον το 125 είναι μικρότερο από το 256, το ένατο ψηφίο θα είναι 0, δηλ. το αποτέλεσμα θα έχει ήδη τη μορφή 10ххххххх.

2 7 =128 > 125 , που σημαίνει ότι το όγδοο ψηφίο θα είναι επίσης μηδέν.

2 6 =64 , τότε το έβδομο ψηφίο ισούται με 1. 125-64=61 Έτσι, λάβαμε τέσσερα ανώτερα ψηφία και ο αριθμός θα πάρει τη μορφή 10011ххххх.

2 5 =32 και βλέπουμε ότι 32< 61, значит шестой разряд равен 1 (результат 100111хххх), остаток 61-32=29.

2 4 =16 < 29 - πέμπτο ψηφίο 1 => 1001111xxx. Υπόλοιπο 29-16=13.

2 3 =8 < 13 => 10011111хх. 13-8=5

2 2 =4 < 5 => 10011111хх, υπόλοιπο 5-4=1.

2 1 =2 > 1 => 100111110x, υπόλοιπο 2-1=1.

2 0 =1 => 1001111101.

Αυτό θα είναι το τελικό αποτέλεσμα.

Μέθοδος Νο. 2.

Ο κανόνας για τη μετατροπή ακεραίων δεκαδικών αριθμών στο δυαδικό σύστημα αριθμών αναφέρει:

Ας χωρίσουμε a n−1 a n−2 ...a 1 a 0 =a n−1⋅2 n−1 +a n−2⋅2 n−2 +...+a 0⋅2 0 επί 2.
Το πηλίκο θα είναι ίσο με an−1⋅2n−2+...+a1, και το υπόλοιπο θα είναι ίσο
Ας διαιρέσουμε ξανά το πηλίκο που προκύπτει με το 2, το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ίσο με a1.
Εάν συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία διαίρεσης, τότε στο nο βήμα παίρνουμε ένα σύνολο αριθμών: a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a n−1, τα οποία περιλαμβάνονται στη δυαδική αναπαράσταση του αρχικού αριθμού και συμπίπτουν με τα υπόλοιπα όταν αυτός διαιρείται διαδοχικά με το 2.
Έτσι, για να μετατρέψετε έναν ακέραιο δεκαδικό αριθμό στο δυαδικό σύστημα αριθμών, πρέπει να διαιρέσετε διαδοχικά τον δεδομένο αριθμό και τα προκύπτοντα ακέραια πηλίκα με 2 μέχρι να λάβουμε ένα πηλίκο ίσο με μηδέν.

Ο αρχικός αριθμός στο δυαδικό σύστημα αριθμών μεταγλωττίζεται καταγράφοντας διαδοχικά τα υπολείμματα που προκύπτουν. Ξεκινάμε την ηχογράφηση με το τελευταίο που βρέθηκε.

Ας μετατρέψουμε τον δεκαδικό αριθμό 11 στο δυαδικό σύστημα αριθμών. Η ακολουθία των ενεργειών που συζητήθηκαν παραπάνω (αλγόριθμος μετάφρασης) μπορεί να απεικονιστεί ως εξής:

Πήρε 11 10 =1011 2 .

Παράδειγμα:

Εάν ο δεκαδικός αριθμός είναι αρκετά μεγάλος, τότε ο παρακάτω τρόπος γραφής του αλγόριθμου που συζητήθηκε παραπάνω είναι πιο βολικός:

363 10 =101101011 2

Σημείωση 1

Εάν θέλετε να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο, τότε είναι πιο βολικό να τον μετατρέψετε πρώτα στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και μόνο στη συνέχεια να τον μετατρέψετε από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών.

Κανόνες μετατροπής αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε δεκαδικό

Στην υπολογιστική τεχνολογία που χρησιμοποιεί αριθμητική μηχανή, η μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο παίζει σημαντικό ρόλο. Παρακάτω δίνουμε τους βασικούς κανόνες για τέτοιους μετασχηματισμούς (μεταφράσεις).

Όταν μετατρέπετε έναν δυαδικό αριθμό σε δεκαδικό, πρέπει να αναπαραστήσετε τον δυαδικό αριθμό ως πολυώνυμο, κάθε στοιχείο του οποίου αντιπροσωπεύεται ως το γινόμενο ενός ψηφίου του αριθμού και της αντίστοιχης ισχύος του βασικού αριθμού, σε αυτήν την περίπτωση $2$, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο χρησιμοποιώντας τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Εικόνα 1. Πίνακας 1

Παράδειγμα 1

Μετατρέψτε τον αριθμό $11110101_2$ στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Λύση.Χρησιμοποιώντας τον δεδομένο πίνακα με τις δυνάμεις $1$ της βάσης $2$, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό ως πολυώνυμο:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 616 + 128 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το οκταδικό σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών, πρέπει να τον αναπαραστήσετε ως πολυώνυμο, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως το γινόμενο ενός ψηφίου του αριθμού και της αντίστοιχης ισχύος του βασικού αριθμού, σε αυτό περίπτωση $8$ και, στη συνέχεια, πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Εικόνα 2. Πίνακας 2

Παράδειγμα 2

Μετατρέψτε τον αριθμό $75013_8$ στο σύστημα δεκαδικών αριθμών.

Λύση.Χρησιμοποιώντας τον δεδομένο πίνακα με τις δυνάμεις $2$ της βάσης $8$, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό ως πολυώνυμο:

75013_8 $ = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό, πρέπει να τον αναπαραστήσετε ως πολυώνυμο, κάθε στοιχείο του οποίου αντιπροσωπεύεται ως το γινόμενο ενός ψηφίου του αριθμού και της αντίστοιχης ισχύος του βασικού αριθμού, σε αυτήν την περίπτωση $16$, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Εικόνα 3. Πίνακας 3

Παράδειγμα 3

Μετατρέψτε τον αριθμό $FFA2_(16)$ στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Λύση.Χρησιμοποιώντας τον δεδομένο πίνακα με τις δυνάμεις $3$ της βάσης $8$, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό ως πολυώνυμο:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Κανόνες μετατροπής αριθμών από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δυαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με $2$ έως ότου υπάρχει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $1$. Ένας αριθμός στο δυαδικό σύστημα αναπαρίσταται ως ακολουθία του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και των υπολοίπων από τη διαίρεση με αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα 4

Μετατρέψτε τον αριθμό $22_(10)$ στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Λύση:

Εικόνα 4.

$22_{10} = 10110_2$

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το σύστημα δεκαδικών αριθμών σε οκταδικό, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με $8$ μέχρι να υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $7$. Ένας αριθμός στο οκταδικό σύστημα αριθμών αναπαρίσταται ως μια ακολουθία ψηφίων του αποτελέσματος της τελευταίας διαίρεσης και των υπολοίπων από τη διαίρεση με αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα 5

Μετατρέψτε τον αριθμό $571_(10)$ στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Λύση:

Εικόνα 5.

$571_{10} = 1073_8$

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δεκαεξαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με $16$ έως ότου υπάρξει ένα υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $15$. Ένας αριθμός στο δεκαεξαδικό σύστημα αναπαρίσταται ως μια ακολουθία ψηφίων του αποτελέσματος της τελευταίας διαίρεσης και του υπόλοιπου της διαίρεσης με αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα 6

Μετατρέψτε τον αριθμό $7467_(10)$ σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Λύση:

Εικόνα 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Για να μετατραπεί ένα σωστό κλάσμα από ένα σύστημα δεκαδικών αριθμών σε ένα μη δεκαδικό σύστημα αριθμών, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστεί διαδοχικά το κλασματικό μέρος του αριθμού που μετατρέπεται με τη βάση του συστήματος στο οποίο πρέπει να μετατραπεί. Τα κλάσματα στο νέο σύστημα θα αντιπροσωπεύονται ως ολόκληρα μέρη προϊόντων, ξεκινώντας από το πρώτο.

Για παράδειγμα: $0,3125_((10))$ στο σύστημα οκταδικών αριθμών θα μοιάζει με $0,24_((8))$.

Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να αντιμετωπίσετε πρόβλημα όταν ένα πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα μπορεί να αντιστοιχεί σε ένα άπειρο (περιοδικό) κλάσμα στο μη δεκαδικό σύστημα αριθμών. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των ψηφίων στο κλάσμα που αντιπροσωπεύεται στο νέο σύστημα θα εξαρτηθεί από την απαιτούμενη ακρίβεια. Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι οι ακέραιοι παραμένουν ακέραιοι και τα σωστά κλάσματα παραμένουν κλάσματα σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών.

Κανόνες μετατροπής αριθμών από δυαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών σε οκταδικό, πρέπει να διαιρεθεί σε τριάδες (τριπλάσια ψηφία), ξεκινώντας από το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, εάν χρειάζεται, προσθέτοντας μηδενικά στην πρώτη τριάδα και, στη συνέχεια, αντικαταστήστε κάθε τριάδα με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον Πίνακα 4.

Εικόνα 7. Πίνακας 4

Παράδειγμα 7

Μετατρέψτε τον αριθμό $1001011_2$ στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Λύση. Χρησιμοποιώντας τον Πίνακα 4, μετατρέπουμε τον αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών σε οκταδικό:

$001 001 011_2 = 113_8$

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό, θα πρέπει να διαιρεθεί σε τετράδια (τέσσερα ψηφία), ξεκινώντας από το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, εάν χρειάζεται, προσθέτοντας μηδενικά στο πιο σημαντικό τετράδιο και, στη συνέχεια, αντικαταστήστε κάθε τετράδιο με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον Πίνακα 4.

Σημείωση 1

Κανόνες μετατροπής αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε δεκαδικό

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Εικόνα 1. Πίνακας 1

Παράδειγμα 1

Μετατρέψτε τον αριθμό $11110101_2$ στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 616 + 128 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Εικόνα 2. Πίνακας 2

Παράδειγμα 2

Μετατρέψτε τον αριθμό $75013_8$ στο σύστημα δεκαδικών αριθμών.

75013_8 $ = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Εικόνα 3. Πίνακας 3

Παράδειγμα 3

Μετατρέψτε τον αριθμό $FFA2_(16)$ στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Κανόνες μετατροπής αριθμών από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δυαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με $2$ έως ότου υπάρχει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $1$. Ένας αριθμός στο δυαδικό σύστημα αναπαρίσταται ως ακολουθία του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και των υπολοίπων από τη διαίρεση με αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα 4

Μετατρέψτε τον αριθμό $22_(10)$ στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Λύση:

Εικόνα 4.

$22_{10} = 10110_2$

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το σύστημα δεκαδικών αριθμών σε οκταδικό, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με $8$ μέχρι να υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $7$. Ένας αριθμός στο οκταδικό σύστημα αριθμών αναπαρίσταται ως μια ακολουθία ψηφίων του αποτελέσματος της τελευταίας διαίρεσης και των υπολοίπων από τη διαίρεση με αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα 5

Μετατρέψτε τον αριθμό $571_(10)$ στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Λύση:

Εικόνα 5.

$571_{10} = 1073_8$

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δεκαεξαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με $16$ έως ότου υπάρξει ένα υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $15$. Ένας αριθμός στο δεκαεξαδικό σύστημα αναπαρίσταται ως μια ακολουθία ψηφίων του αποτελέσματος της τελευταίας διαίρεσης και του υπόλοιπου της διαίρεσης με αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα 6

Μετατρέψτε τον αριθμό $7467_(10)$ σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Λύση:

Εικόνα 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Για παράδειγμα: $0,3125_((10))$ στο σύστημα οκταδικών αριθμών θα μοιάζει με $0,24_((8))$.

Κανόνες μετατροπής αριθμών από δυαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών σε οκταδικό, πρέπει να διαιρεθεί σε τριάδες (τριπλάσια ψηφία), ξεκινώντας από το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, εάν χρειάζεται, προσθέτοντας μηδενικά στην πρώτη τριάδα και, στη συνέχεια, αντικαταστήστε κάθε τριάδα με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον Πίνακα 4.

Εικόνα 7. Πίνακας 4

Παράδειγμα 7

Μετατρέψτε τον αριθμό $1001011_2$ στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Λύση. Χρησιμοποιώντας τον Πίνακα 4, μετατρέπουμε τον αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών σε οκταδικό:

$001 001 011_2 = 113_8$

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό, θα πρέπει να διαιρεθεί σε τετράδια (τέσσερα ψηφία), ξεκινώντας από το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, εάν χρειάζεται, προσθέτοντας μηδενικά στο πιο σημαντικό τετράδιο και, στη συνέχεια, αντικαταστήστε κάθε τετράδιο με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον Πίνακα 4.