Γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού. Γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων

Η απλούστερη και πιο οπτική μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού (LPP) είναι η γραφική μέθοδος. Βασίζεται στη γεωμετρική ερμηνεία του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού και χρησιμοποιείται για την επίλυση του ZLP με δύο άγνωστα:

Θα εξετάσουμε τη λύση αυτού του προβλήματος σε ένα επίπεδο. Κάθε ανισότητα του συστήματος συναρτησιακών περιορισμών ορίζει γεωμετρικά ένα ημιεπίπεδο με οριακή γραμμή ένα σελ x, + + a j2 x 2 = b n i = 1, Τ.Οι συνθήκες μη αρνητικότητας ορίζουν ημιεπίπεδα με οριακές γραμμές Χ (= 0, x 2= 0 αναλόγως. Εάν το σύστημα είναι συνεπές, τότε τα ημιεπίπεδα, που τέμνονται, σχηματίζουν ένα κοινό τμήμα, το οποίο είναι ένα κυρτό σύνολο και αντιπροσωπεύει μια συλλογή σημείων. οι συντεταγμένες καθενός από αυτά τα σημεία είναι μια λύση σε αυτό το σύστημα. Το σύνολο αυτών των σημείων ονομάζεται λύση πολύγωνο.Μπορεί να είναι ένα σημείο, ένα τμήμα, μια ακτίνα, ένα οριοθετημένο ή απεριόριστο πολύγωνο.

Γεωμετρικά, το ZLP είναι βρίσκοντας ένα γωνιακό σημείο του πολυγώνου λύσης του οποίου οι συντεταγμένες παρέχουν τη μέγιστη (ελάχιστη) τιμή της γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης,Επιπλέον, όλα τα σημεία του πολυγώνου λύσης είναι αποδεκτές λύσεις.

Μια γραμμική εξίσωση περιγράφει ένα σύνολο σημείων που βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Μια γραμμική ανισότητα περιγράφει κάποια περιοχή στο επίπεδο.

Ας προσδιορίσουμε ποιο μέρος του επιπέδου περιγράφει την ανισότητα 2x ( + 3x 2 12.

Αρχικά, ας κατασκευάσουμε μια ευθεία γραμμή 2x, + Zx 2 = 12. Διέρχεται από τα σημεία (6; 0) και (0; 4). Δεύτερον, προσδιορίζουμε ποιο ημιεπίπεδο ικανοποιεί την ανισότητα. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε οποιοδήποτε σημείο του γραφήματος που δεν ανήκει στη γραμμή και αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του με την ανισότητα. Αν ισχύει η ανισότητα, τότε αυτό το σημείο είναι αποδεκτή λύση και το ημιεπίπεδο που περιέχει το σημείο ικανοποιεί την ανισότητα. Είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε την αρχή των συντεταγμένων για να αντικαταστήσετε την ανισότητα. Ας αντικαταστήσουμε x ( = x 2 = 0 στην ανισότητα 2x, + 3x 2 12. Παίρνουμε 2 0 + 3 0

Ομοίως, μπορείτε να απεικονίσετε γραφικά όλους τους περιορισμούς ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού.

Η λύση σε κάθε ανισότητα του συστήματος περιορισμού ZLP είναι ένα μισό επίπεδο που περιέχει την οριακή γραμμή και βρίσκεται στη μία πλευρά της. Η τομή ημιεπίπεδων, καθένα από τα οποία καθορίζεται από την αντίστοιχη ανισότητα του συστήματος, ονομάζεται περιοχή των εφικτών λύσεων(ODR) ή τομέα ορισμού.

Πρέπει να θυμόμαστε ότι η περιοχή των εφικτών λύσεων ικανοποιεί τις συνθήκες της μη αρνητικότητας (Xj > 0, j = 1, Π).Οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που ανήκει στο πεδίο ορισμού είναι μια έγκυρη λύση στο πρόβλημα.

Για να βρείτε την ακραία τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης κατά την επίλυση του ZLP γραφικά, χρησιμοποιήστε διάνυσμα κλίσης,των οποίων οι συντεταγμένες είναι μερικές παράγωγοι της αντικειμενικής συνάρτησης:

Αυτό το διάνυσμα δείχνει την κατεύθυνση της ταχύτερης αλλαγής στην αντικειμενική συνάρτηση. Ευθεία c [ x l + c 2 x 2 = f(x 0),κάθετη στο διάνυσμα κλίσης είναι γραμμή επιπέδουσυνάρτηση στόχου (Εικ. 2.2.2). Σε οποιοδήποτε σημείο της γραμμής επιπέδου, η αντικειμενική συνάρτηση παίρνει την ίδια τιμή. Ας εξισώσουμε τη συνάρτηση στόχο με μια σταθερή τιμή ΕΝΑ.Αλλάζοντας το νόημα ΕΝΑ,λαμβάνουμε μια οικογένεια παράλληλων ευθειών, καθεμία από τις οποίες είναι μια γραμμή επιπέδου της αντικειμενικής συνάρτησης.

Ρύζι. 2.2.2.

Μια σημαντική ιδιότητα της γραμμής επιπέδου μιας γραμμικής συνάρτησης είναι ότι όταν η γραμμή μετατοπίζεται παράλληλα προς τη μία πλευρά, το επίπεδο μόνο αυξάνεικαι όταν μετατοπίζεται στην άλλη πλευρά - μόνο μειώνεται.

Η γραφική μέθοδος για την επίλυση του PLP αποτελείται από τέσσερα στάδια:

1. Κατασκευάζεται η περιοχή αποδεκτών λύσεων (ΑΔΑ) του ΠΛΠ.
2. Το διάνυσμα κλίσης της αντικειμενικής συνάρτησης (TF) κατασκευάζεται με την αρχή στο σημείο x 0(0; 0): V = (s, από 2).
3. Γραμμή επιπέδου CjXj + c 2 x 2 = a (a -σταθερή τιμή) - μια ευθεία γραμμή κάθετη στο διάνυσμα κλίσης V, - κινείται προς την κατεύθυνση του διανύσματος κλίσης στην περίπτωση μεγιστοποίησης της αντικειμενικής συνάρτησης f(x v x 2)μέχρι να φύγει από το ODR. Κατά την ελαχιστοποίηση /(*, x 2)η γραμμή στάθμης κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση από το διάνυσμα κλίσης. Το ακραίο σημείο (ή σημεία) του ODR κατά τη διάρκεια αυτής της κίνησης είναι το μέγιστο (ελάχιστο) σημείο f(x p jc 2).

Εάν η ευθεία γραμμή που αντιστοιχεί στη γραμμή στάθμης δεν φεύγει από το ODR κατά την κίνησή της, τότε το ελάχιστο (μέγιστο) της συνάρτησης f(x p x 2) δεν υπάρχει.

Εάν η γραμμή επιπέδου της αντικειμενικής συνάρτησης είναι παράλληλη με τον λειτουργικό περιορισμό του προβλήματος στο οποίο επιτυγχάνεται η βέλτιστη τιμή του CF, τότε η βέλτιστη τιμή του CF θα επιτευχθεί σε οποιοδήποτε σημείο αυτού του περιορισμού που βρίσκεται μεταξύ δύο βέλτιστων γωνιακών σημείων , και, κατά συνέπεια, οποιοδήποτε από αυτά τα σημεία είναι η βέλτιστη λύση του ZLP.

4. Καθορίζονται οι συντεταγμένες του μέγιστου (ελάχιστου) σημείου. Για να γίνει αυτό, αρκεί να λύσουμε ένα σύστημα εξισώσεων ευθειών που δίνουν ένα μέγιστο (ελάχιστο) σημείο στη διασταύρωση. Εννοια f(x ( , x 2),που βρίσκεται στο σημείο που προκύπτει είναι η μέγιστη (ελάχιστη) τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης.

Πιθανές καταστάσεις μιας γραφικής λύσης του ZLP παρουσιάζονται στον Πίνακα. 2.2.1.

Πίνακας 2.2.1

Τύπος ODR	Τύπος βέλτιστης λύσης
Περιορισμένος	Μόνο απόφαση
Περιορισμένος	Ατελείωτες λύσεις
Απεριόριστος	Η ΚΙ δεν περιορίζεται από κάτω
	Η ΚΙ δεν περιορίζεται από πάνω
	Μόνο απόφαση
	Ατελείωτες λύσεις
	Μόνο απόφαση
	Ατελείωτες λύσεις

Παράδειγμα 2.2.1. Σχεδιασμός παραγωγής μιας επιχείρησης ραπτικής (πρόβλημα με κοστούμια).

Σχεδιάζεται να κυκλοφορήσει δύο είδη κοστουμιών - ανδρικά και γυναικεία. Το γυναικείο κοστούμι απαιτεί 1 m μαλλί, 2 m lavsan και 1 ανθρωποημέρα εργασίας. για άνδρες - 3,5 m μαλλί, 0,5 m lavsan και 1 ανθρωποημέρα εργασίας. Συνολικά υπάρχουν 350 m μαλλί, 240 m lavsan και 150 ανθρωποημέρες εργασίας.

Απαιτείται να καθοριστεί πόσα κοστούμια κάθε τύπου πρέπει να κατασκευαστούν για να εξασφαλιστεί το μέγιστο κέρδος εάν το κέρδος από την πώληση ενός γυναικείου κοστουμιού είναι 10 den. μονάδες, και από τους άνδρες - 20 den. μονάδες Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι είναι απαραίτητο να ράψετε τουλάχιστον 60 ανδρικά κοστούμια.

Οικονομικό και μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος

Μεταβλητές: Χ, - αριθμός γυναικείων κοστουμιών. x 2 -αριθμός ανδρικών κοστουμιών.

Αντικειμενική λειτουργία:

Περιορισμοί:

Ο πρώτος περιορισμός (στο μαλλί) έχει τη μορφή x (+ 3,5x 2 x ( + 3,5x 2 = 350 διέρχεται από τα σημεία (350; 0) και (0; 100). Ο δεύτερος περιορισμός (σύμφωνα με τον lavsan) έχει τη μορφή 2x (+ 0,5x 2 2x x + 0,5x 2 = 240 διέρχεται από τα σημεία (120; 0) και (0; 480). Ο τρίτος περιορισμός (για την εργασία) έχει τη μορφή x y + x 2 150. Απευθείας x ( + x 2 = 150 διέρχεται από τα σημεία (150; 0) και (0; 150). Ο τέταρτος περιορισμός (στον αριθμό των ανδρικών κοστουμιών) έχει τη μορφή x 2> 60. Η λύση αυτής της ανισότητας είναι το ημιεπίπεδο που βρίσκεται πάνω από την ευθεία x 2 = 60.

Ως αποτέλεσμα της τομής των κατασκευασμένων τεσσάρων ημιεπιπέδων, παίρνουμε ένα πολύγωνο, το οποίο είναι η περιοχή των εφικτών λύσεων στο πρόβλημά μας. Οποιοδήποτε σημείο σε αυτό το πολύγωνο ικανοποιεί και τις τέσσερις συναρτησιακές ανισότητες και για οποιοδήποτε σημείο εκτός αυτού του πολυγώνου τουλάχιστον μία ανισότητα θα παραβιαστεί.

Στο Σχ. 2.2.3 η περιοχή των εφικτών λύσεων (ADA) είναι σκιασμένη. Για να προσδιορίσουμε την κατεύθυνση της κίνησης προς το βέλτιστο, κατασκευάζουμε ένα διάνυσμα διαβάθμισης V, οι συντεταγμένες του οποίου είναι μερικές παράγωγοι της αντικειμενικής συνάρτησης:

Για να δημιουργήσετε ένα τέτοιο διάνυσμα, πρέπει να συνδέσετε το σημείο (10; 20) στην αρχή. Για ευκολία, μπορείτε να κατασκευάσετε ένα διάνυσμα ανάλογο με το διάνυσμα V. Έτσι, στο Σχ. Το 2.2.3 δείχνει το διάνυσμα (30; 60).

Στη συνέχεια θα φτιάξουμε μια γραμμή επιπέδου 10xj + 20x 2 = ΕΝΑ.Ας εξισώσουμε τη συνάρτηση στόχου με μια σταθερή τιμή ΕΝΑ.Αλλάζοντας το νόημα ΕΝΑ, λαμβάνουμε μια οικογένεια παράλληλων ευθειών, καθεμία από τις οποίες είναι μια γραμμή επιπέδου της αντικειμενικής συνάρτησης.

Η γραφική μέθοδος για την επίλυση του ZLP βασίζεται στις δηλώσεις που δίνονται στην παράγραφο 2.1. Σύμφωνα με το Θεώρημα 2, η βέλτιστη λύση βρίσκεται στην κορυφή του πεδίου των εφικτών λύσεων και επομένως η επίλυση του ZLP είναι να βρεθεί η κορυφή του πεδίου των εφικτών λύσεων, οι συντεταγμένες του οποίου δίνουν τη βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης.

Η γραφική μέθοδος χρησιμοποιείται για την επίλυση μιας περιορισμένης κατηγορίας προβλημάτων με δύο μεταβλητές, μερικές φορές με τρεις μεταβλητές. Πρέπει να σημειωθεί ότι για τρεις μεταβλητές αυτή η περιοχή δεν είναι αρκετά σαφής.

Αλγόριθμος για τη γραφική μέθοδο επίλυσης προβλημάτων

Θα εξετάσουμε την υλοποίηση της γραφικής μεθόδου για την επίλυση του ZLP χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Παράδειγμα 2.2.1. Λύστε το ZLP γραφικά:

(2.2.1)

Μέγιστη z=Χ 1 + 4Χ 2 (2.2.2)

Λύση.Για να κατασκευάσουμε μια περιοχή εφικτών λύσεων, η οποία αποτελείται από την τομή ημιεπίπεδων που αντιστοιχούν σε κάθε ανισότητα του συστήματος περιορισμών (2.2.1), γράφουμε τις εξισώσεις των οριακών ευθειών:

μεγάλο 1: Χ 1 + 5Χ 2 = 5; μεγάλο 2: Χ 1 + Χ 2 = 6; μεγάλο 3: 7Χ 1 + Χ 2 = 7.

μεγάλο 1 στη φόρμα (2.2.3.) διαιρούμε και τα δύο μέρη του με 5:
. Έτσι, ευθεία μεγάλο 1 τομές στον άξονα Ω 1 5 μονάδες, στον άξονα Ω 2 1 μονάδα. Ομοίως έχουμε για μεγάλο 2:
Και μεγάλο 3:
.

Για να προσδιορίσετε ημιεπίπεδα που πληρούν τους περιορισμούς του συστήματος (2.2.1), πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που δεν βρίσκεται στην οριακή γραμμή με τους περιορισμούς. Εάν λάβουμε μια αληθινή ανισότητα, τότε όλα τα σημεία από αυτό το ημιεπίπεδο είναι λύσεις σε αυτήν την ανισότητα. Διαφορετικά, επιλέξτε ένα άλλο μισό επίπεδο.

Έτσι, το πρώτο και το δεύτερο επιθυμητό ημιεπίπεδο βρίσκονται στην αντίθετη κατεύθυνση από την αρχή των συντεταγμένων (0 – 5 0 - 5; 7 0 + 0 7), και το δεύτερο - προς την αρχή των συντεταγμένων (0 + 0 6). Η περιοχή των εφικτών λύσεων στο Σχήμα 2.2.1 είναι σκιασμένη.

Εικόνα 2.2.1 – Περιοχή εφικτών λύσεων

Για να βρείτε το βέλτιστο σχέδιο, το οποίο θα βρίσκεται στην κορυφή του πολυγώνου λύσης, πρέπει να κατασκευάσετε ένα διάνυσμα κατευθύνσεων
=(Με 1 ,Με 2), το οποίο υποδεικνύει την κατεύθυνση της μεγαλύτερης αύξησης στην αντικειμενική συνάρτηση z=Με 1 Χ 1 +Με 2 Χ 2 .

Σε αυτό το πρόβλημα, το διάνυσμα κατεύθυνσης
= (1, 4): ξεκινά από το σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ(0,0) και τελειώνει στο σημείο Ν(1, 4).

Στη συνέχεια, κατασκευάζουμε μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την περιοχή των εφικτών λύσεων, κάθετη στο διάνυσμα, και ονομάζεται γραμμή επιπέδου στόχου λειτουργίες. Μετακινούμε τη γραμμή επιπέδου προς την κατεύθυνση του διανύσματος σε περίπτωση μεγιστοποίησης της αντικειμενικής συνάρτησης zκαι προς την αντίθετη κατεύθυνση, σε περίπτωση ελαχιστοποίησης z, μέχρι την τελευταία διασταύρωση με την περιοχή των εφικτών λύσεων. Ως αποτέλεσμα, το σημείο ή τα σημεία προσδιορίζονται όπου η αντικειμενική συνάρτηση φτάνει σε μια ακραία τιμή ή διαπιστώνεται το απεριόριστο της αντικειμενικής συνάρτησης zστο σύνολο των λύσεων του προβλήματος.

Έτσι, το μέγιστο σημείο της αντικειμενικής συνάρτησης zείναι το σημείο ΕΝΑδιασταυρώσεις γραμμών μεγάλο 2 και μεγάλο 3 .

Να υπολογιστεί η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z βρείτε τις συντεταγμένες του σημείουΕΝΑ . Από το σημείοΕΝΑ είναι το σημείο τομής των ευθειώνμεγάλο 2 καιμεγάλο 3, τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν ένα σύστημα εξισώσεων που αποτελείται από τις εξισώσεις των αντίστοιχων οριακών γραμμών:

Το θέμα λοιπόνΕΝΑ έχει συντεταγμένεςΧ 1 =1/6, Χ 2 = 35/6.

Για να υπολογίσετε τη βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες του σημείου σε αυτήνΕΝΑ .

Αντικατάσταση των συντεταγμένων του σημείουΕΝΑ στην αντικειμενική συνάρτηση (2.4), λαμβάνουμε

Μέγιστη z = 1/6 + 4·(35/6) = 47/2.

Παράδειγμα 2.2.2. Κατασκευάστε στο επίπεδο την περιοχή των εφικτών λύσεων του συστήματος γραμμικών ανισώσεων (2.2.4) και βρείτε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης (2.2.5):

(2.2.4)

z= –2Χ 1 –Χ 2 (2.2.5)

Λύση.Για να κατασκευάσουμε μια περιοχή εφικτών λύσεων, η οποία αποτελείται από τη τομή ημιεπίπεδων που αντιστοιχούν σε κάθε ανισότητα του συστήματος περιορισμών (2.2.4), γράφουμε τις εξισώσεις των οριακών ευθειών:

μεγάλο 1: 4Χ 1 – Χ 2 = 0; μεγάλο 2: Χ 1 + 3Χ 2 = 6; μεγάλο 3: Χ 1 – 3Χ 2 = 6; μεγάλο 4: Χ 2 = 1.

Ευθεία μεγάλοΤο 1 διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (0;0). Για να το κατασκευάσουμε, εκφράζουμε Χ 2 έως Χ 1: Χ 2 = 4Χ 1 . Ας βρούμε ένα άλλο σημείο από το οποίο διέρχεται η γραμμή μεγάλο 1, για παράδειγμα (1;4). Μέσα από το σημείο με συντεταγμένες (0;0) και το σημείο με συντεταγμένες (1;4) σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή μεγάλο 1 .

Να μειωθεί η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μεγάλο 2 στη μορφή σε τμήματα στους άξονες (2.2.3), διαιρούμε και τα δύο μέρη του με το 6:
. Έτσι, ευθεία μεγάλο 2 τομές στον άξονα Ω 1 6 μονάδες, στον άξονα Ω 2 - 2 μονάδες. Ομοίως έχουμε για μεγάλο 3:
και Άμεση μεγάλο 4 παράλληλα με τον άξονα Ω 1 και διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (0;1) .

Για τον προσδιορισμό ημιεπίπεδων που πληρούν τους περιορισμούς του συστήματος (2.2.4), είναι απαραίτητο να αντικατασταθούν οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που δεν βρίσκεται στην οριακή γραμμή με τους περιορισμούς. Λόγω περιορισμώνΧ 1 0, Χ 2 0, η περιοχή των αποδεκτών λύσεων του ZLP βρίσκεται στο πρώτο τέταρτο του επιπέδου συντεταγμένων.

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ
η περιοχή των εφικτών λύσεων στο σχήμα 2.2.2 είναι σκιασμένη.

Εικόνα 2.2.2 – Περιοχή εφικτών λύσεων

Ας κατασκευάσουμε ένα διάνυσμα κατευθύνσεων
= (–2,–1). Στη συνέχεια, χτίζουμε μια γραμμή επιπέδου κάθετη στο διάνυσμα .

Για να βρούμε τη μεγαλύτερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, μετακινούμε τη γραμμή επιπέδου προς την κατεύθυνση του διανύσματος μέχρι την τελευταία τομή με την περιοχή των εφικτών λύσεων. Έτσι, το μέγιστο σημείο της αντικειμενικής συνάρτησης zείναι το σημείο ΕΝΑ(διασταύρωση γραμμών μεγάλο 1 και μεγάλο 2).

Να υπολογιστεί η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης zβρείτε τις συντεταγμένες του σημείου ΕΝΑ. Από το σημείο ΕΝΑείναι το σημείο τομής των ευθειών μεγάλο 1 και μεγάλο 2, τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν ένα σύστημα εξισώσεων που αποτελείται από τις εξισώσεις των αντίστοιχων οριακών γραμμών:

Το θέμα λοιπόνΕΝΑ έχει συντεταγμένεςΧ 1 =6/13, Χ 2 = 24/13.

Αντικατάσταση των συντεταγμένων του σημείουΕΝΑ στην αντικειμενική συνάρτηση (2.2.5), λαμβάνουμε τη βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Μέγιστη z= – 2·(6/13) – (24/13) = – 36/13.

Για να βρούμε τη μικρότερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, μετακινούμε τη γραμμή επιπέδου προς την αντίθετη κατεύθυνση από το διάνυσμα μέχρι την τελευταία τομή με την περιοχή των εφικτών λύσεων. Στην περίπτωση αυτή, η αντικειμενική συνάρτηση είναι απεριόριστη στην περιοχή των εφικτών λύσεων, δηλ. Το ZLP δεν έχει ελάχιστο.

Ως αποτέλεσμα της απόφασης της ΣΔΙΤ, είναι δυνατές οι ακόλουθες περιπτώσεις:

Η αντικειμενική συνάρτηση φτάνει τη βέλτιστη τιμή της σε μία μόνο κορυφή του πολυγώνου λύσης.

Η αντικειμενική συνάρτηση φτάνει τη βέλτιστη τιμή της σε οποιοδήποτε σημείο στην άκρη του πολυγώνου απόφασης (το ZLP έχει εναλλακτικά σχέδια αναφοράς με τις ίδιες τιμές z );

Το PLP δεν έχει βέλτιστα σχέδια.

Η ZLP έχει ένα βέλτιστο σχέδιο στην περίπτωση απεριόριστης γκάμα εφικτών λύσεων.

Σκοπός της υπηρεσίας. Η ηλεκτρονική αριθμομηχανή έχει σχεδιαστεί για να λύνει προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού χρησιμοποιώντας τη μέθοδο simplex μεταβαίνοντας στο KZLPΚαι SZLP. Στην περίπτωση αυτή, το πρόβλημα εύρεσης του ελάχιστου της αντικειμενικής συνάρτησης ανάγεται στο πρόβλημα εύρεσης του μέγιστου μέσω του μετασχηματισμού της αντικειμενικής συνάρτησης F*(X) = -F(X) . Είναι επίσης δυνατό να δημιουργηθεί ένα διπλό πρόβλημα.

Η λύση γίνεται σε τρία στάδια:

Μετάβαση στο KZLP. Οποιοδήποτε LLP της μορφής ax ≤ b , ax ≥ b , ax = b (F(X) → extr) ανάγεται στη μορφή ax = b , F(X) → max ;
Μετάβαση στο SZLP. Ένα CLLP της μορφής ax = b ανάγεται στη μορφή ax ≤ b , F(X) → max ;
Λύση με τη μέθοδο simplex.

Οδηγίες. Επιλέξτε τον αριθμό των μεταβλητών και τον αριθμό των σειρών (αριθμός περιορισμών). Η λύση που προκύπτει αποθηκεύεται σε ένα αρχείο Word.

Μετάβαση από το πρόβλημα ελαχιστοποίησης της αντικειμενικής συνάρτησης στο πρόβλημα μεγιστοποίησης

Το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης της αντικειμενικής συνάρτησης F(X) μπορεί εύκολα να μειωθεί στο πρόβλημα της μεγιστοποίησης της συνάρτησης F*(X) υπό τους ίδιους περιορισμούς εισάγοντας τη συνάρτηση: F*(X) = -F(X) . Και τα δύο προβλήματα έχουν την ίδια λύση X*, και ταυτόχρονα min(F(X)) = -max(F*(X)) .
Ας δείξουμε αυτό το γεγονός γραφικά:

F(x) → min

F(x) → μέγ

Για να βελτιστοποιήσουμε τη συνάρτηση στόχου χρησιμοποιούμε τις ακόλουθες έννοιες και μεθόδους.
Βασικό σχέδιο– ένα σχέδιο με καθορισμένες μέσω ελεύθερων βασικών μεταβλητών.
Βασικό σχέδιο– σχέδιο αναφοράς με μηδέν βασικές μεταβλητές.
Βέλτιστο σχέδιο– ένα βασικό σχέδιο που ικανοποιεί τη βέλτιστη αντικειμενική συνάρτηση (OF).

Καθοδηγητικό (επίλυση) στοιχείοείναι ο συντελεστής του ελεύθερου αγνώστου, που γίνεται βασικός, και ο ίδιος ο συντελεστής μετατρέπεται σε ενότητα.
Γραμμή οδηγού– η γραμμή του κύριου στοιχείου, στην οποία βρίσκεται ο βασικός άγνωστος με συντελεστή μονάδας, που εξαιρείται κατά τη μετατροπή (γραμμή με τον ελάχιστο περιοριστικό συντελεστή, βλέπε παρακάτω).
Στήλη οδηγού– η στήλη του κύριου στοιχείου, το ελεύθερο άγνωστο του οποίου μετατρέπεται σε βασικό (η στήλη με το μέγιστο όφελος, βλέπε παρακάτω).

Οι μεταβλητές x 1, …, x m, που περιλαμβάνονται με συντελεστές μονάδας σε μία μόνο εξίσωση του συστήματος, με μηδενικούς συντελεστές στις υπόλοιπες, ονομάζονται βασικόςή εξαρτώμενος. Στο κανονικό σύστημα, κάθε εξίσωση αντιστοιχεί ακριβώς σε μία βασική μεταβλητή. Η μετάβαση πραγματοποιείται με τη μέθοδο Gauss-Jordan. Η κύρια ιδέα αυτής της μεθόδου είναι να αναγάγει ένα σύστημα m εξισώσεων με n αγνώστους σε μια κανονική μορφή χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις πράξεις σε χορδές.
Οι υπόλοιπες n-m μεταβλητές (x m +1 ,…, x n) καλούνται μη βασικήή ανεξάρτητες μεταβλητές.

Βασική λύσηπου ονομάζεται αποδεκτή βασική λύση, εάν οι τιμές των βασικών μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε αυτό x j ≥0, που ισοδυναμεί με τη συνθήκη μη αρνητικότητας b j ≥0.
Μια εφικτή λύση βάσης είναι γωνιακό σημείοαποδεκτό σύνολο S ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού και μερικές φορές ονομάζεται σχέδιο αναφοράς.
Αν μεταξύ των μη αρνητικών αριθμών b j είναι ίσοι με μηδέν, τότε η αποδεκτή βασική λύση ονομάζεται εκφυλισμένος(εκφυλισμένο γωνιακό σημείο) και καλείται το αντίστοιχο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού εκφυλισμένος.

Παράδειγμα Νο. 1. Μειώστε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού σε ένα τυπικό ZLP.
F(X) = x 1 + 2x 2 - 2x 3 → min με περιορισμούς:
4x 1 + 3x 2 - x 3 ≤10
- 2x 2 + 5x 3 ≥3
x 1 + 2x 3 =9
Για να φέρετε το ZLP στην κανονική μορφή είναι απαραίτητο:
1. Αλλάξτε το πρόσημο της αντικειμενικής συνάρτησης. Ας μειώσουμε το πρόβλημα F(X) → min στο πρόβλημα F(X) → max. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε το F(X) με το (-1). Στην πρώτη ανισότητα σημασίας (≤), εισάγουμε τη βασική μεταβλητή x 4 ; στη δεύτερη ανισότητα νοήματος (≥), εισάγουμε τη βασική μεταβλητή x 5 με πρόσημο μείον.
4x 1 + 3x 2 -1x 3 + 1x 4 + 0x 5 = 10
0x 1 -2x 2 + 5x 3 + 0x 4 -1x 5 = 3
1x 1 + 0x 2 + 2x 3 + 0x 4 + 0x 5 = 9
F(X) = - x 1 - 2x 2 + 2x 3
Μετάβαση στο SZLP.
Εκτεταμένος πίνακας του συστήματος περιορισμών ισότητας για αυτό το πρόβλημα:

4	3	-1	1	0	10
0	-2	5	0	-1	3
1	0	2	0	0	9

Ας αναγάγουμε το σύστημα στον πίνακα ταυτότητας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μετασχηματισμού Jordan.
1. Μπορείτε να επιλέξετε x 4 ως βασική μεταβλητή.
2. Επιλέγουμε το x 2 ως βασική μεταβλητή.
Στοιχείο ανάλυσης RE=-2. Η γραμμή που αντιστοιχεί στη μεταβλητή x 2 προκύπτει διαιρώντας όλα τα στοιχεία της γραμμής x 2 με το στοιχείο ανάλυσης RE = -2. Στη θέση του στοιχείου επίλυσης παίρνουμε 1. Στα υπόλοιπα κελιά της στήλης x 2 γράφουμε μηδενικά. Όλα τα άλλα στοιχεία καθορίζονται από τον κανόνα του ορθογωνίου. Ας παρουσιάσουμε τον υπολογισμό κάθε στοιχείου με τη μορφή πίνακα:

4-(0 3):-2	3-(-2 3):-2	-1-(5 3):-2	1-(0 3):-2	0-(-1 3):-2	10-(3 3):-2
0: -2	-2: -2	5: -2	0: -2	-1: -2	3: -2
1-(0 0):-2	0-(-2 0):-2	2-(5 0):-2	0-(0 0):-2	0-(-1 0):-2	9-(3 0):-2

Παίρνουμε έναν νέο πίνακα:

4	0	6 1 / 2	1	-1 1 / 2	14 1 / 2
0	1	-2 1 / 2	0	1 / 2	-1 1 / 2
1	0	2	0	0	9

3. Επιλέγουμε ως βασική μεταβλητή το x 3.
Στοιχείο ανάλυσης RE=2. Η γραμμή που αντιστοιχεί στη μεταβλητή x 3 προκύπτει διαιρώντας όλα τα στοιχεία της γραμμής x 3 με το στοιχείο επίλυσης RE=2. Στη θέση του στοιχείου επίλυσης παίρνουμε 1. Στα υπόλοιπα κελιά της στήλης x 3 γράφουμε μηδενικά. Όλα τα άλλα στοιχεία καθορίζονται από τον κανόνα του ορθογωνίου. Ας παρουσιάσουμε τον υπολογισμό κάθε στοιχείου με τη μορφή πίνακα:

4-(1 6 1 / 2):2	0-(0 6 1 / 2):2	6 1 / 2 -(2 6 1 / 2):2	1-(0 6 1 / 2):2	-1 1 / 2 -(0 6 1 / 2):2	14 1 / 2 -(9 6 1 / 2):2
0-(1 -2 1 / 2):2	1-(0 -2 1 / 2):2	-2 1 / 2 -(2 -2 1 / 2):2	0-(0 -2 1 / 2):2	1 / 2 -(0 -2 1 / 2):2	-1 1 / 2 -(9 -2 1 / 2):2
1: 2	0: 2	2: 2	0: 2	0: 2	9: 2

Παίρνουμε έναν νέο πίνακα:

3 / 4	0	0	1	-1 1 / 2	-14 3 / 4
1 1 / 4	1	0	0	1 / 2	9 3 / 4
1 / 2	0	1	0	0	4 1 / 2

Δεδομένου ότι το σύστημα έχει έναν πίνακα ταυτότητας, λαμβάνουμε X = (4,2,3) ως βασικές μεταβλητές.
Οι αντίστοιχες εξισώσεις είναι:
3 / 4 x 1 + x 4 - 1 1 / 2 x 5 = -14 3 / 4
1 1/4 x 1 + x 2 + 1/2 x 5 = 9 3/4
1/2 x 1 + x 3 = 4 1/2
Ας εκφράσουμε τις βασικές μεταβλητές ως προς τις υπόλοιπες:
x 4 = - 3 / 4 x 1 + 1 1 / 2 x 5 -14 3 / 4
x 2 = - 1 1/4 x 1 - 1/2 x 5 +9 3/4
x 3 = - 1 / 2 x 1 +4 1 / 2
Ας τα αντικαταστήσουμε στη συνάρτηση προορισμού:
F(X) = - x 1 - 2(- 1 1 / 4 x 1 - 1 / 2 x 5 +9 3 / 4) + 2(- 1 / 2 x 1 +4 1 / 2)
ή

Σύστημα ανισοτήτων:
- 3 / 4 x 1 + 1 1 / 2 x 5 -14 3 / 4 ≥ 0
- 1 1/4 x 1 - 1/2 x 5 +9 3/4 ≥ 0
- 1/2 x 1 +4 1/2 ≥ 0
Μειώνουμε το σύστημα των ανισοτήτων στην ακόλουθη μορφή:
3 / 4 x 1 - 1 1 / 2 x 5 ≤ -14 3 / 4
1 1/4 x 1 + 1/2 x 5 ≤ 9 3/4
1/2 x 1 ≤ 4 1/2
F(X) = 1 / 2 x 1 + x 5 -10 1 / 2 → μέγ.
Ας απλοποιήσουμε το σύστημα.
3 / 4 x 1 - 1 1 / 2 x 2 ≤ -14 3 / 4
1 1/4 x 1 + 1/2 x 2 ≤ 9 3/4
1/2 x 1 ≤ 4 1/2
F(X) = 1 / 2 x 1 + x 2 -10 1 / 2 → μέγ.

Παράδειγμα Νο. 2. Αρχικά, βρείτε τη λύση στο πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη γραφική μέθοδο και μετά τη μέθοδο simplex.
F(X) = x 1 + x 2 - x 3 + x 5 +15 → max (min) με περιορισμούς:
-3x 1 + x 2 + x 3 =3
4x 1 + 2x 2 - x 4 =12
2x 1 - x 2 + x 5 =2
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, x 4 ≥ 0, x 5 ≥ 0

Παράδειγμα 6.1.

Λύση:

Το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού δίνεται σε τυπική μορφή και έχει λοιπόν δύο παραμέτρους σχεδιασμού

Είναι δυνατή η επίλυσή του με τη γεωμετρική μέθοδο.

Στάδιο 1: ( ODR ).

Θεωρήστε τον πρώτο περιορισμό, αντικαταστήστε το πρόσημο της ανισότητας με πρόσημο ίσου και εκφράστε τη μεταβλητή x2διά μέσου x1:

Ομοίως, προσδιορίζουμε τα σημεία για τους υπόλοιπους περιορισμούς του συστήματος και κατασκευάζουμε ευθείες γραμμές από αυτούς που αντιστοιχούν σε κάθε ανισότητα (Εικ. 1). Αριθμούμε τις γραμμές σύμφωνα με το προηγουμένως υιοθετημένο σχήμα.

Στάδιο 2: .

Ας ορίσουμε ημιεπίπεδα - λύσεις σε καθεμία από τις ανισώσεις.

Ας εξετάσουμε την πρώτη ανισότητα του συστήματος περιορισμών προβλήματος. Ας πάρουμε κάποιο σημείο (σημείο ελέγχου) που δεν ανήκει στην ευθεία που αντιστοιχεί σε αυτήν την ανισότητα, για παράδειγμα, το σημείο (0; 0). Ας το αντικαταστήσουμε με την υπό εξέταση ανισότητα:

Κατά την αντικατάσταση των συντεταγμένων του σημείου ελέγχου, η ανισότητα παραμένει έγκυρη. Κατά συνέπεια, το σύνολο των σημείων που ανήκουν σε αυτή τη γραμμή (καθώς η ανισότητα δεν είναι αυστηρή), καθώς και αυτά που βρίσκονται κάτω από αυτήν, θα είναι λύσεις στην υπό εξέταση ανισότητα (ας σημειώσουμε στο γράφημα (Εικ. 1) το μισό που βρέθηκε -επίπεδο με δύο βέλη που δείχνουν προς τα κάτω δίπλα στη γραμμή Εγώ ) .

Ομοίως προσδιορίζουμε τις λύσεις άλλων ανισώσεων και τις σημειώνουμε ανάλογα στο γράφημα. Ως αποτέλεσμα, το γράφημα θα μοιάζει με αυτό:

Στάδιο 3: .

Τα ευρεθέντα ημιεπίπεδα (λύσεις σε καθεμία από τις ανισότητες του συστήματος των περιορισμών) σχηματίζουν ένα πολύγωνο όταν τέμνονται ABCDEO, που είναι το ODD του υπό εξέταση προβλήματος.

Ρύζι. 1. Περιοχή εφικτών λύσεων στο πρόβλημα

Στάδιο 4:
Το διάνυσμα κλίσης δείχνει την κατεύθυνση μεγιστοποίησης της αντικειμενικής συνάρτησης. Ας προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του: τις συντεταγμένες του αρχικού του σημείου (σημείο εφαρμογής) – (0; 0), τις συντεταγμένες του δεύτερου σημείου:

Ας σχεδιάσουμε αυτό το διάνυσμα στο γράφημα (Εικ. 2).

Στάδιο 5: .

Ας εξετάσουμε την αντικειμενική συνάρτηση αυτού του προβλήματος:

Ας του δώσουμε κάποια αξία, για παράδειγμα, . Ας εκφράσουμε τη μεταβλητή x2διά μέσου x1:

Για να κατασκευάσουμε μια ευθεία γραμμή χρησιμοποιώντας αυτήν την εξίσωση, θα καθορίσουμε δύο αυθαίρετα σημεία, για παράδειγμα:

Ας κατασκευάσουμε μια ευθεία γραμμή που αντιστοιχεί στην αντικειμενική συνάρτηση (Εικ. 2).

Ρύζι. 2. Κατασκευή της συνάρτησης στόχου F(X) και του διανύσματος κλίσης C

Στάδιο 6: προσδιορίζοντας το μέγιστο της συνάρτησης στόχου.

Κίνηση ευθείας γραμμής φά(Χ) παράλληλα με τον εαυτό του προς την κατεύθυνση του διανύσματος κλίσης, προσδιορίζουμε το ακραίο σημείο (σημεία) του ODR. Σύμφωνα με το γράφημα (Εικ. 3), ένα τέτοιο σημείο είναι το σημείο C - το σημείο τομής των γραμμών Εγώ Και II .

Ρύζι. 3. Προσδιορισμός του μέγιστου σημείου της αντικειμενικής συνάρτησης F(X)

Ας προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου Γ, για το σκοπό αυτό, λύνουμε το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες που βρέθηκαν στην αντικειμενική συνάρτηση και ας βρούμε τη βέλτιστη (μέγιστη) τιμή της:

Απάντηση:υπό δεδομένους περιορισμούς, τη μέγιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης φά(Χ)=24, που επιτυγχάνεται στο σημείο Γ, οι συντεταγμένες του x1=6, x2=4.

Παράδειγμα 6.2.Λύστε το πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού χρησιμοποιώντας τη γεωμετρική μέθοδο:

Λύση:

Τα στάδια 1-3 είναι παρόμοια με τα αντίστοιχα στάδια της προηγούμενης εργασίας.
Στάδιο 4: κατασκευή ενός διανύσματος κλίσης.
Η κατασκευή του διανύσματος κλίσης πραγματοποιείται με τον ίδιο τρόπο όπως στο προηγούμενο πρόβλημα. Ας σχεδιάσουμε αυτό το διάνυσμα στο γράφημα (Εικ. 4). Ας σημειώσουμε επίσης σε αυτό το γράφημα με ένα βέλος την αντίθετη κατεύθυνση από το διάνυσμα κλίσης - την κατεύθυνση ελαχιστοποίησης της αντικειμενικής συνάρτησης φά (Χ).

Στάδιο 5: κατασκευή μιας συνάρτησης άμεσου στόχου.

Κατασκευή άμεσης αντικειμενικής συνάρτησης φά(Χ) εκτελείται με τον ίδιο τρόπο όπως στο προηγούμενο πρόβλημα (το αποτέλεσμα της κατασκευής φαίνεται στο Σχ. 4).

Ρύζι. 4. Κατασκευή της συνάρτησης στόχου F(x) και του διανύσματος κλίσης C

Στάδιο 6: τον καθορισμό του βέλτιστου της συνάρτησης στόχου.

Κίνηση ευθείας γραμμής φά(Χ) παράλληλα με τον εαυτό του στην αντίθετη κατεύθυνση από το διάνυσμα κλίσης, προσδιορίζουμε το ακραίο σημείο (σημεία) του ODR. Σύμφωνα με το γράφημα (Εικ. 5), ένα τέτοιο σημείο είναι το σημείο Ο με συντεταγμένες (0; 0).

Ρύζι. 5. Προσδιορισμός του ελάχιστου σημείου της αντικειμενικής συνάρτησης

Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του ελάχιστου σημείου στη συνάρτηση στόχο, προσδιορίζουμε τη βέλτιστη (ελάχιστη) τιμή της, η οποία είναι ίση με 0.
Απάντηση:κάτω από δεδομένους περιορισμούς, την ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης φά(Χ)=0, το οποίο επιτυγχάνεται στο σημείο O (0; 0).

Παράδειγμα 6.3.Λύστε το παρακάτω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού χρησιμοποιώντας τη γεωμετρική μέθοδο:

Λύση:

Το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού που εξετάζουμε δίνεται σε κανονική μορφή επιλέγουμε τις βασικές μεταβλητές Χ 1 Και Χ2 .

Ας συνθέσουμε έναν εκτεταμένο πίνακα και ας επιλέξουμε τις βασικές μεταβλητές χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Jordan-Gauss Χ1 Και Χ 2 .

Πολλαπλασιάστε (στοιχείο προς στοιχείο) την πρώτη γραμμή με –3 και προσθέστε τη στη δεύτερη:
.

Πολλαπλασιάστε τη δεύτερη γραμμή με:

Ας προσθέσουμε τη δεύτερη γραμμή στην πρώτη γραμμή:

Ως αποτέλεσμα, το σύστημα περιορισμών θα λάβει την ακόλουθη μορφή:

Ας εκφράσουμε τις βασικές μεταβλητές ως ελεύθερες:

Ας εκφράσουμε επίσης τη συνάρτηση στόχου με όρους ελεύθερων μεταβλητών για να το κάνουμε αυτό, αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές των βασικών μεταβλητών στη συνάρτηση στόχο:

Ας γράψουμε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού που προκύπτει:

Δεδομένου ότι οι μεταβλητές Χ1 Και Χ2 μη αρνητικό, τότε το προκύπτον σύστημα περιορισμών μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

Τότε το αρχικό πρόβλημα μπορεί να γραφτεί ως εξής, ισοδύναμο με ένα τυπικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού:

Αυτό το πρόβλημα έχει δύο παραμέτρους σχεδιασμού, επομένως, μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη γεωμετρική μέθοδο.

Στάδιο 1: κατασκευή ευθειών γραμμών που περιορίζουν την περιοχή των εφικτών λύσεων ( ODR ).

Ας εξετάσουμε το σύστημα περιορισμών του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού (για λόγους ευκολίας, αριθμούμε τις ανισότητες):

Ας κατασκευάσουμε ευθείες γραμμές που αντιστοιχούν σε κάθε ανισότητα (Εικ. 6). Αριθμούμε τις ευθείες γραμμές σύμφωνα με το προηγουμένως υιοθετημένο σχήμα.

Στάδιο 2: προσδιορισμός της λύσης σε καθεμία από τις ανισότητες του συστήματος των περιορισμών.

Χρησιμοποιώντας σημεία ελέγχου, προσδιορίζουμε ημιεπίπεδα - λύσεις σε καθεμία από τις ανισώσεις και τις σημειώνουμε στο γράφημα (Εικ. 6) χρησιμοποιώντας βέλη.

Στάδιο 3: προσδιορισμός του ODD ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού.

Τα ευρεθέντα ημιεπίπεδα (δηλαδή, λύσεις σε καθεμία από τις ανισότητες του συστήματος περιορισμών) δεν έχουν κοινή τομή (άρα οι λύσεις στην ανισότητα I γενικά έρχονται σε αντίθεση με τις υπόλοιπες ανισώσεις του συστήματος περιορισμών), επομένως, το σύστημα περιορισμών δεν είναι συνεπής και επομένως το πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού δεν έχει λύση.

Ρύζι. 6. Τμήμα ενός εγγράφου MathCAD:

την κατασκευή μιας περιοχής με εφικτές λύσεις σε ένα πρόβλημα

Απάντηση:Το υπό εξέταση πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού δεν έχει λύση λόγω της ασυνέπειας του συστήματος των περιορισμών.

Εάν, μετά την αντικατάσταση των συντεταγμένων του σημείου ελέγχου στην ανισότητα, η σημασία του παραβιάζεται, τότε η λύση αυτής της ανισότητας είναι ένα μισό επίπεδο που δεν περιέχει αυτό το σημείο (δηλαδή, βρίσκεται στην άλλη πλευρά της γραμμής).

Η κατεύθυνση αντίθετη από το διάνυσμα κλίσης αντιστοιχεί στην κατεύθυνση ελαχιστοποίησης της αντικειμενικής συνάρτησης.

Οι γραφικές μέθοδοι συνδέονται κυρίως με τη γεωμετρική αναπαράσταση της συναρτησιακής εξάρτησης χρησιμοποιώντας γραμμές σε ένα επίπεδο. Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται για τη γρήγορη εύρεση της τιμής των συναρτήσεων με βάση την αντίστοιχη τιμή του ορίσματος, για την οπτική εμφάνιση λειτουργικών εξαρτήσεων.
Στην οικονομική ανάλυση χρησιμοποιούνται σχεδόν όλοι οι τύποι γραφημάτων: γραφήματα σύγκρισης, διαγράμματα χρονοσειρών, καμπύλες κατανομής, γραφήματα πεδίων συσχέτισης, στατιστικά χαρτογράμματα. Τα διαγράμματα σύγκρισης είναι ιδιαίτερα διαδεδομένα στην ανάλυση - για τη σύγκριση δεικτών αναφοράς με προγραμματισμένους, προηγούμενες περιόδους και κορυφαίες επιχειρήσεις εγχώριων ή ξένων επιχειρήσεων. Για την οπτική απεικόνιση της δυναμικής των οικονομικών φαινομένων (και στην ανάλυση πρέπει να ασχολείται κανείς πολύ συχνά με χρονοσειρές), χρησιμοποιούνται διαγράμματα χρονοσειρών.
Χρησιμοποιώντας ένα πλέγμα συντεταγμένων, κατασκευάζονται επίσης γραφήματα της εξάρτησης, για παράδειγμα, του επιπέδου κόστους από τον όγκο των παραγόμενων και πωλούμενων προϊόντων. γραφήματα στα οποία μπορείτε να απεικονίσετε συσχετίσεις μεταξύ δεικτών. Σε ένα σύστημα αξόνων συντεταγμένων, η εικόνα δείχνει την επίδραση διαφόρων παραγόντων σε έναν συγκεκριμένο δείκτη.
Η γραφική μέθοδος χρησιμοποιείται ευρέως για τη μελέτη διαδικασιών παραγωγής, οργανωτικών δομών, διαδικασιών προγραμματισμού κ.λπ. Για παράδειγμα, για την ανάλυση της αποτελεσματικότητας της χρήσης εξοπλισμού παραγωγής, κατασκευάζονται γραφήματα υπολογισμού, συμπεριλαμβανομένων γραφημάτων πολλαπλών παραγόντων.

Σημείωση: κάθε κύκλος θεωρείται μία από τις κορυφές του γραφήματος. ο αριθμός στον άνω τομέα κάθε κορυφής σημαίνει τον αύξοντα αριθμό της· Με βάση τους αριθμούς δύο γειτονικών κορυφών, σχηματίζεται ο κώδικας εργασίας. Ο αριθμός στον κάτω τομέα κάθε κορυφής είναι ο σειριακός αριθμός της προηγούμενης κορυφής και η γραμμή που συνδέει αυτές τις δύο κορυφές σημαίνει μια συγκεκριμένη εργασία. Κάτω από τη γραμμή είναι η προγραμματισμένη διάρκεια αυτής της εργασίας. ο αριθμός στον αριστερό τομέα κάθε κορυφής σημαίνει τη συνολική διάρκεια όλων των προηγούμενων εργασιών, ο αριθμός στον δεξιό τομέα διαφέρει από τον αριθμό στον αριστερό κατά το ποσό του αποθεματικού (χρονοαπόθεμα). Έτσι, για κορυφές που βρίσκονται στην κρίσιμη διαδρομή, οι αριθμοί στον αριστερό και δεξιό τομέα της κορυφής συμπίπτουν, αφού το χρονικό περιθώριο είναι 0.

Σε ένα μαθηματικά επισημοποιημένο σύστημα ανάλυσης, σχεδιασμού και διαχείρισης, τα δικτυακά διαγράμματα καταλαμβάνουν ιδιαίτερη θέση. Παρέχουν μεγάλη οικονομική επίδραση στην κατασκευή και εγκατάσταση βιομηχανικών και άλλων επιχειρήσεων.
Το διάγραμμα δικτύου (Εικ. 6.1) σας επιτρέπει να εντοπίσετε τα πιο σημαντικά από ολόκληρο το συγκρότημα έργων, αυτά που βρίσκονται στην κρίσιμη διαδρομή, και να συγκεντρώσετε τους κύριους πόρους των κατασκευαστικών οργανισμών σε αυτά, να δημιουργήσετε σχέσεις μεταξύ διαφόρων εξειδικευμένων οργανισμών και να συντονίσετε τους δουλειά. Οι δραστηριότητες στο κρίσιμο μονοπάτι απαιτούν τη μεγαλύτερη αναμονή για την άφιξη του επόμενου συμβάντος. Στο στάδιο της επιχειρησιακής ανάλυσης και διαχείρισης, το χρονοδιάγραμμα του δικτύου καθιστά δυνατή την αποτελεσματική παρακολούθηση της προόδου της κατασκευής και τη λήψη έγκαιρων μέτρων για την εξάλειψη πιθανών καθυστερήσεων στις εργασίες.
Η χρήση διαγραμμάτων δικτύου για ανάλυση, σχεδιασμό και διαχείριση παρέχει, όπως δείχνουν πολλά παραδείγματα, μείωση του χρόνου κατασκευής κατά 20-30% και αύξηση της παραγωγικότητας της εργασίας κατά 15-20%.
Κατά την απευθείας ανάλυση σε εργοτάξια, η χρήση υλικών σχεδιασμού και διαχείρισης δικτύου συμβάλλει στον σωστό εντοπισμό των λόγων που επηρεάζουν την πρόοδο της κατασκευής και στον προσδιορισμό των επιχειρήσεων που δεν διασφαλίζουν την ολοκλήρωση των εργασιών που τους έχουν ανατεθεί ή την παράδοση του εξοπλισμού εντός των προθεσμιών που ορίζει το χρονοδιάγραμμα.
Η ανάπτυξη ενός χρονοδιαγράμματος δικτύου στην κατασκευή πραγματοποιείται παρουσία: προτύπων για τη διάρκεια της κατασκευής και την περίοδο έναρξης λειτουργίας ενός αντικειμένου ή συγκροτήματος αντικειμένων, εκτιμήσεις σχεδιασμού, ένα έργο οργάνωσης κατασκευής και παραγωγής εργασίας, τυπικών τεχνολογικών χαρτών , τρέχοντα πρότυπα για το κόστος εργασίας, τα υλικά και τη λειτουργία μηχανών. Επιπλέον, κατά την κατάρτιση ενός χρονοδιαγράμματος, χρησιμοποιείται η εμπειρία εκτέλεσης μεμονωμένων εργασιών, καθώς και δεδομένα σχετικά με την παραγωγική βάση των οργανισμών κατασκευής και εγκατάστασης.
Με βάση όλα αυτά τα δεδομένα, καταρτίζεται ένας πίνακας εργασιών και πόρων, όπου στην τεχνολογική ακολουθία παραγωγής εργασίας τα χαρακτηριστικά τους, όγκος, ένταση εργασίας σε ανθρωποημέρες, εκτελεστής (οργάνωση και ομάδα), αριθμός εργαζομένων, βάρδιες, ανάγκη Αναφέρονται οι μηχανισμοί και τα υλικά, οι πηγές προμήθειας τους, η συνολική διάρκεια των εργασιών σε ημέρες, καθώς και η προηγούμενη εργασία, μετά την ολοκλήρωση της οποίας μπορεί να ξεκινήσει η εργασία. Με βάση τους δείκτες ενός τέτοιου πίνακα, προετοιμάζεται ένα διάγραμμα δικτύου, το οποίο μπορεί να έχει διαφορετικούς βαθμούς λεπτομέρειας ανάλογα με το υιοθετημένο σχήμα παραγωγής.
διαχείριση της εργασίας και επίπεδο διαχείρισης· Εκτός από το γενικό πρόγραμμα, οι ερμηνευτές αναπτύσσουν ένα πρόγραμμα για την εργασία που εκτελούν.
Τα κύρια στοιχεία ενός διαγράμματος δικτύου: συμβάν, εργασία, αναμονή, εξάρτηση.
Κατά την ανάλυση της προόδου κατασκευής ενός αντικειμένου, θα πρέπει να διαπιστωθεί εάν το χρονοδιάγραμμα του δικτύου έχει σχεδιαστεί σωστά, εάν η κρίσιμη διαδρομή δεν έχει υπερεκτιμηθεί, εάν έχουν ληφθεί υπόψη όλες οι δυνατότητες μείωσής του κατά τη βελτιστοποίηση του χρονοδιαγράμματος, εάν οποιαδήποτε εργασία μπορεί να εκτελεστεί παράλληλα ή ο χρόνος που αφιερώνεται σε αυτές μπορεί να μειωθεί αυξάνοντας τα μέσα μηχανοποίησης κ.λπ. Αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό σε περιπτώσεις όπου η διάρκεια της εργασίας σύμφωνα με το χρονοδιάγραμμα δεν εξασφαλίζει την έγκαιρη ολοκλήρωση της κατασκευής.
Το κύριο υλικό για τον προγραμματισμό δικτύου που χρησιμοποιείται στην ανάλυση είναι οι πληροφορίες σχετικά με την πρόοδο των εργασιών σύμφωνα με το χρονοδιάγραμμα, το οποίο συνήθως καταρτίζεται τουλάχιστον μία φορά τη δεκαετία. Ως παράδειγμα, δίνεται ένας χάρτης της εργασίας και πληροφορίες σχετικά με την πρόοδο των εργασιών σε ένα κατασκευαστικό έργο που εκτελείται σύμφωνα με το χρονοδιάγραμμα του δικτύου (Πίνακας 6.1). Σύμφωνα με τον χάρτη, κρίσιμες εργασίες πραγματοποιήθηκαν στις αρχές του μήνα πριν από το χρονοδιάγραμμα, αλλά στη συνέχεια η εγκατάσταση δοκών γερανού κατά μήκος της σειράς Β αφέθηκε να καθυστερήσει και οι επόμενες εργασίες - εγκατάσταση δοκών γερανού κατά μήκος της σειράς Α - ολοκληρώθηκαν μια μέρα πίσω από το πρόγραμμα.
Η βελτιστοποίηση των χρονοδιαγραμμάτων του δικτύου πραγματοποιείται στο στάδιο του σχεδιασμού με μείωση της κρίσιμης διαδρομής, δηλαδή ελαχιστοποίηση του χρόνου κατασκευής σε δεδομένα επίπεδα πόρων, ελαχιστοποίηση του επιπέδου κατανάλωσης υλικών, εργατικών και οικονομικών πόρων σε καθορισμένες προθεσμίες για την ολοκλήρωση των κατασκευαστικών εργασιών. Είναι επίσης δυνατή μια μικτή προσέγγιση: για ένα μέρος της εργασίας (πιο ακριβό) - ελαχιστοποίηση του επιπέδου κατανάλωσης πόρων με καθορισμένη προθεσμία για την ολοκλήρωση της εργασίας, για το άλλο - ελαχιστοποίηση της προθεσμίας για ένα σταθερό επίπεδο πόρων.
Η επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης διευκολύνεται σε μεγάλο βαθμό από την παρουσία πακέτων προγραμμάτων εφαρμογών (APP) προσαρμοσμένων για την προετοιμασία βέλτιστων διαγραμμάτων δικτύου σε έναν υπολογιστή.
Στην ξένη πρακτική της ανάλυσης συστημάτων, μια γραφο-μαθηματική μέθοδος που ονομάζεται «δέντρο αποφάσεων» είναι κοινή. Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι η εξής.
Μέσα από μια προκαταρκτική εκτίμηση των αναγκών, μια προκαταρκτική ανάλυση των πιθανών οργανωτικών, τεχνικών ή τεχνολογικών συνθηκών, σκιαγραφούνται όλες οι πιθανές επιλογές για την επίλυση ενός δεδομένου προβλήματος. Αναπτύχθηκε για πρώτη φορά

	Ασκηση					Πληροφορίες				Απόθεμα χρόνου για εργασία		Αριθμός ty
Ονομα έργα	κρυπτογράφημα	ημερομηνία ξεκίνησε	ημερομηνία αφού τελειώσει	σχεδιασμένος συνεχίζεται	Σχετικά με Αποθεματικό χρόνος	% εκείνοι-	απαιτούμενος χρόνος για	στο τάξη	πραγματική ημερομηνία	εύρεση ρεύμα	δεν βρίσκεται	κρατήστε χρόνο με
	έργα	έργα (σχέδιο)	νια έργα (σχέδιο)	κάτοικος ας, ημέρες	μου	ουα έτοιμος ness	αφού τελειώσει νια έργα, ημέρες	zader γυναίκες	αφού τελειώσει νια έργα	στην κρίσιμη διαδρομή	αα κρίσιμη διαδρομή	αρχή μήνα, ημέρες
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Ανάπτυξη του εδάφους	1-2	1/IV	6/IV	5	0	100	-	-	6/IV	¦-	-	-
Σκυροδέτηση θεμελίων για λέβητες	2-3	7/IV	17/1V	9	0	100	14/IV	2	2
Σκυροδέτηση θεμελίων σύμφωνα με τη σειρά Α	2-4	7/IV	14/1V	7	2	100	14/IV
Το ίδιο και για τη σειρά Β	2-5	7/IV	14/IV	7	2	100	-	-	14/IV
Συσκευή διανομής σωλήνων	6-18	18/IV	21/IV	4	19	100	-	-	29/IV	-7
Συσκευή επίχωσης	6-7	18/IV	19/IV	2	0	100	17/IV	2	2
Εγκατάσταση προκατασκευασμένων κατασκευών από σκυρόδεμα
lonn: κατά μήκος της σειράς Β	7-8	20/IV	22/IV	3	1	100	-	-	22/IV	_	-	-
κατά μήκος της σειράς Α	7-9	20/IV	22/IV	3	1	100	-	-	22/IV	-	-	-

Κατασκευή σιδηροτροχιών γερανού και εγκατάσταση πύργου γερανού 7-10
Τοποθέτηση πλαισίων στήριξης στη βάση για εξοπλισμό 7-16 Εγκατάσταση δοκών γερανού:
κατά μήκος της σειράς Β 8-11
20/IV 24/IV 4
20/IV 24/IV 4
24/IV 25/IV 2

κατά μήκος της σειράς Α 10-12 25/IV 26/IV
Τοποθέτηση πρώτου μέρους δοκών και πλακών κάλυψης 12-13 27/IV 4/V
Εγκατάσταση τροχιών γερανού για γέφυρα lt;3 γερανοί 12-14 27/IV 3/V

6	7	8	9	10	11	12	13
0	100	-	-	22/IV	1	-	1
14	100.	-	-	29/IV	-	-5	-
1	100	πίσω-	27/IV	-2

27/IV -1
υποστήριξη με προμήθεια κατασκευών από οπλισμένο σκυρόδεμα

100 -

διευρυμένες επιλογές. Στη συνέχεια, καθώς εισάγονται πρόσθετες προϋποθέσεις, καθεμία από αυτές χωρίζεται σε έναν αριθμό επιλογών. Μια γραφική αναπαράσταση αυτών των επιλογών σας επιτρέπει να εξαιρέσετε τις λιγότερο κερδοφόρες και να επιλέξετε την πιο αποδεκτή.
Αυτή η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό της σειράς επεξεργασίας ορισμένων εξαρτημάτων σε πολλά μηχανήματα, προκειμένου να ελαχιστοποιηθεί ο συνολικός χρόνος επεξεργασίας. κατά τον καθορισμό του μεγέθους των πόρων για την ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους παραγωγής· κατά την κατανομή των επενδύσεων κεφαλαίου και άλλων πόρων μεταξύ βιομηχανικών εγκαταστάσεων· κατά την επίλυση προβλημάτων μεταφορών και άλλων.