Ανάλυση παλινδρόμησης στο Microsoft Excel - ο πιο ολοκληρωμένος οδηγός για τη χρήση του MS Excel για την επίλυση προβλημάτων ανάλυσης παλινδρόμησης στον τομέα των επιχειρηματικών αναλυτικών στοιχείων. Ο Konrad Carlberg εξηγεί ξεκάθαρα θεωρητικά ζητήματα, η γνώση των οποίων θα σας βοηθήσει να αποφύγετε πολλά λάθη τόσο κατά τη διεξαγωγή της ανάλυσης παλινδρόμησης μόνοι σας όσο και κατά την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων της ανάλυσης που εκτελείται από άλλα άτομα. Όλο το υλικό, από απλές συσχετίσεις και t-test έως πολλαπλή ανάλυση συνδιακύμανσης, βασίζεται σε παραδείγματα πραγματικού κόσμου και συνοδεύεται από λεπτομερείς διαδικασίες βήμα προς βήμα.

Το βιβλίο συζητά τις ιδιορρυθμίες και τις διαμάχες των συναρτήσεων παλινδρόμησης του Excel, εξετάζει τις επιπτώσεις κάθε επιλογής και επιχειρήματος και εξηγεί πώς να εφαρμόσετε αξιόπιστα μεθόδους παλινδρόμησης σε τομείς που κυμαίνονται από την ιατρική έρευνα έως την οικονομική ανάλυση.

Κόνραντ Κάρλμπεργκ. Ανάλυση παλινδρόμησης στο Microsoft Excel. – Μ.: Διαλεκτική, 2017. – 400 σελ.

Κατεβάστε τη σημείωση σε ή μορφή, παραδείγματα σε μορφή

Κεφάλαιο 1: Αξιολόγηση μεταβλητότητας δεδομένων

Οι στατιστικολόγοι έχουν στη διάθεσή τους πολλά μέτρα διαφοροποίησης. Ένα από αυτά είναι το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των μεμονωμένων τιμών από τον μέσο όρο. Στο Excel, η συνάρτηση SQUARE() χρησιμοποιείται για αυτό. Αλλά η διακύμανση χρησιμοποιείται συχνότερα. Η διασπορά είναι ο μέσος όρος των τετραγωνικών αποκλίσεων. Η διακύμανση δεν είναι ευαίσθητη στον αριθμό των τιμών στο σύνολο δεδομένων υπό μελέτη (ενώ το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων αυξάνεται με τον αριθμό των μετρήσεων).

Το Excel προσφέρει δύο συναρτήσεις που επιστρέφουν διακύμανση: DISP.G() και DISP.V():

• Χρησιμοποιήστε τη συνάρτηση DISP.G() εάν οι προς επεξεργασία τιμές αποτελούν έναν πληθυσμό. Δηλαδή, οι τιμές που περιέχονται στο εύρος είναι οι μόνες τιμές που σας ενδιαφέρουν.
• Χρησιμοποιήστε τη συνάρτηση DISP.B() εάν οι προς επεξεργασία τιμές αποτελούν δείγμα από μεγαλύτερο πληθυσμό. Υποτίθεται ότι υπάρχουν πρόσθετες τιμές των οποίων τη διακύμανση μπορείτε επίσης να εκτιμήσετε.

Εάν μια ποσότητα όπως ένας μέσος όρος ή ένας συντελεστής συσχέτισης υπολογίζεται από έναν πληθυσμό, ονομάζεται παράμετρος. Μια παρόμοια ποσότητα που υπολογίζεται με βάση ένα δείγμα ονομάζεται στατιστική. Καταμέτρηση αποκλίσεων από τον μέσο όροσε ένα δεδομένο σύνολο, θα λάβετε ένα άθροισμα τετραγωνικών αποκλίσεων μικρότερου μεγέθους από ό,τι αν τις μετρούσατε από οποιαδήποτε άλλη τιμή. Μια παρόμοια δήλωση ισχύει για τη διακύμανση.

Όσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος του δείγματος, τόσο πιο ακριβής είναι η υπολογισμένη στατιστική τιμή. Αλλά δεν υπάρχει μέγεθος δείγματος μικρότερο από το μέγεθος του πληθυσμού για το οποίο μπορείτε να είστε βέβαιοι ότι η στατιστική τιμή ταιριάζει με την τιμή της παραμέτρου.

Ας υποθέσουμε ότι έχετε ένα σύνολο 100 υψών των οποίων ο μέσος όρος διαφέρει από τον μέσο όρο του πληθυσμού, όσο μικρή κι αν είναι η διαφορά. Υπολογίζοντας τη διακύμανση για ένα δείγμα, θα λάβετε μια τιμή, ας πούμε 4. Αυτή η τιμή είναι μικρότερη από οποιαδήποτε άλλη τιμή που μπορεί να ληφθεί υπολογίζοντας την απόκλιση καθεμίας από τις 100 τιμές ύψους σε σχέση με οποιαδήποτε άλλη τιμή εκτός από τον μέσο όρο του δείγματος , συμπεριλαμβανομένου του πραγματικού μέσου όρου του πληθυσμού. Επομένως, η υπολογιζόμενη διακύμανση θα είναι διαφορετική και μικρότερη από τη διακύμανση που θα λαμβάνατε εάν με κάποιο τρόπο ανακαλύψατε και χρησιμοποιούσατε μια παράμετρο πληθυσμού και όχι μια μέση τιμή δείγματος.

Το μέσο άθροισμα των τετραγώνων που προσδιορίστηκε για το δείγμα παρέχει μια χαμηλότερη εκτίμηση της διακύμανσης του πληθυσμού. Η διακύμανση που υπολογίζεται με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται εκτοπισμένοιεκτίμηση. Αποδεικνύεται ότι για να εξαλειφθεί η μεροληψία και να ληφθεί μια αμερόληπτη εκτίμηση, αρκεί να διαιρέσουμε το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων όχι με το n, Πού n- μέγεθος δείγματος και n – 1.

Μέγεθος n – 1ονομάζεται αριθμός (αριθμός) βαθμών ελευθερίας. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι υπολογισμού αυτής της ποσότητας, αν και όλοι περιλαμβάνουν είτε την αφαίρεση κάποιου αριθμού από το μέγεθος του δείγματος είτε την καταμέτρηση του αριθμού των κατηγοριών στις οποίες εμπίπτουν οι παρατηρήσεις.

Η ουσία της διαφοράς μεταξύ των συναρτήσεων DISP.G() και DISP.V() είναι η εξής:

• Στη συνάρτηση VAR.G(), το άθροισμα των τετραγώνων διαιρείται με τον αριθμό των παρατηρήσεων και επομένως αντιπροσωπεύει μια μεροληπτική εκτίμηση της διακύμανσης, τον αληθινό μέσο όρο.
• Στη συνάρτηση DISP.B(), το άθροισμα των τετραγώνων διαιρείται με τον αριθμό των παρατηρήσεων μείον 1, δηλ. από τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας, που δίνει μια πιο ακριβή, αμερόληπτη εκτίμηση της διακύμανσης του πληθυσμού από τον οποίο προήλθε το δείγμα.

Τυπική απόκλιση τυπική απόκλιση, SD) – είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:

Ο τετραγωνισμός των αποκλίσεων μετατρέπει την κλίμακα μέτρησης σε μια άλλη μέτρηση, η οποία είναι το τετράγωνο της αρχικής: μέτρα - σε τετραγωνικά μέτρα, δολάρια - σε τετραγωνικά δολάρια κ.λπ. Η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης και επομένως μας οδηγεί πίσω στις αρχικές μονάδες μέτρησης. Όποιο είναι πιο βολικό.

Είναι συχνά απαραίτητος ο υπολογισμός της τυπικής απόκλισης αφού τα δεδομένα υποβληθούν σε κάποιους χειρισμούς. Και παρόλο που σε αυτές τις περιπτώσεις τα αποτελέσματα είναι αναμφίβολα τυπικές αποκλίσεις, συνήθως καλούνται τυπικά σφάλματα. Υπάρχουν διάφοροι τύποι τυπικών σφαλμάτων, συμπεριλαμβανομένου του τυπικού σφάλματος μέτρησης, του τυπικού σφάλματος αναλογίας και του τυπικού σφάλματος του μέσου όρου.

Ας υποθέσουμε ότι συλλέξατε δεδομένα ύψους για 25 τυχαία επιλεγμένους ενήλικες άνδρες σε καθεμία από τις 50 πολιτείες. Στη συνέχεια, υπολογίζετε το μέσο ύψος των ενήλικων αρσενικών σε κάθε πολιτεία. Οι προκύπτουσες 50 μέσες τιμές μπορούν με τη σειρά τους να θεωρηθούν παρατηρήσεις. Από αυτό, θα μπορούσατε να υπολογίσετε την τυπική τους απόκλιση, η οποία είναι τυπικό σφάλμα του μέσου όρου. Ρύζι. 1. συγκρίνει την κατανομή 1.250 ακατέργαστων μεμονωμένων τιμών (στοιχεία ύψους για 25 άνδρες σε καθεμία από τις 50 πολιτείες) με την κατανομή των μέσων όρων των 50 πολιτειών. Ο τύπος για την εκτίμηση του τυπικού σφάλματος του μέσου όρου (δηλαδή, η τυπική απόκλιση των μέσων, όχι μεμονωμένες παρατηρήσεις):

πού είναι το τυπικό σφάλμα του μέσου όρου; μικρό– τυπική απόκλιση των αρχικών παρατηρήσεων· n– αριθμός παρατηρήσεων στο δείγμα.

Ρύζι. 1. Η διακύμανση στους μέσους όρους από κράτος σε κράτος είναι σημαντικά μικρότερη από τη διακύμανση σε μεμονωμένες παρατηρήσεις.

Στη στατιστική, υπάρχει μια σύμβαση σχετικά με τη χρήση ελληνικών και λατινικών γραμμάτων για την αναπαράσταση στατιστικών μεγεθών. Συνηθίζεται να δηλώνονται οι παράμετροι του γενικού πληθυσμού με ελληνικά γράμματα και δείγματα στατιστικών με λατινικά γράμματα. Επομένως, όταν μιλάμε για την τυπική απόκλιση πληθυσμού, τη γράφουμε ως σ. αν ληφθεί υπόψη η τυπική απόκλιση του δείγματος, τότε χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό s. Όσο για τα σύμβολα για τον προσδιορισμό των μέσων όρων, δεν συμφωνούν τόσο καλά μεταξύ τους. Η μέση τιμή του πληθυσμού συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα μ. Ωστόσο, το σύμβολο X̅ χρησιμοποιείται παραδοσιακά για να αναπαραστήσει τη μέση τιμή του δείγματος.

z-scoreεκφράζει τη θέση μιας παρατήρησης στην κατανομή σε μονάδες τυπικής απόκλισης. Για παράδειγμα, z = 1,5 σημαίνει ότι η παρατήρηση απέχει 1,5 τυπικές αποκλίσεις από τη μέση τιμή. Ορος z-scoreχρησιμοποιείται για μεμονωμένες αξιολογήσεις, π.χ. για διαστάσεις που αποδίδονται σε μεμονωμένα στοιχεία δείγματος. Ο όρος που χρησιμοποιείται για να αναφέρεται σε τέτοια στατιστικά στοιχεία (όπως ο μέσος όρος του κράτους) z-score:

όπου X είναι ο μέσος όρος του δείγματος, μ είναι ο μέσος όρος του πληθυσμού, είναι το τυπικό σφάλμα του μέσου όρου ενός συνόλου δειγμάτων:

όπου σ είναι το τυπικό σφάλμα του πληθυσμού (μεμονωμένες μετρήσεις), n– μέγεθος δείγματος.

Ας υποθέσουμε ότι εργάζεστε ως εκπαιδευτής σε ένα κλαμπ γκολφ. Καταφέρατε να μετρήσετε την απόσταση των βολών σας για μεγάλο χρονικό διάστημα και γνωρίζετε ότι ο μέσος όρος είναι 205 γιάρδες και η τυπική απόκλιση είναι 36 γιάρδες. Σου προσφέρεται ένα νέο κλαμπ, ισχυριζόμενος ότι θα αυξήσει την απόσταση χτυπήματος κατά 10 γιάρδες. Ζητάτε από κάθε έναν από τους επόμενους 81 θαμώνες του κλαμπ να κάνει μια δοκιμαστική βολή με ένα νέο κλαμπ και να καταγράψει την απόσταση αιώρησής του. Αποδείχθηκε ότι η μέση απόσταση με το νέο κλαμπ ήταν 215 γιάρδες. Ποια είναι η πιθανότητα μια διαφορά 10 γιάρδων (215 – 205) να οφείλεται αποκλειστικά σε δειγματοληπτικό σφάλμα; Ή για να το θέσω αλλιώς: Ποια είναι η πιθανότητα, σε πιο εκτεταμένες δοκιμές, ο νέος σύλλογος να μην παρουσιάσει αύξηση στην απόσταση χτυπήματος σε σχέση με τον υπάρχοντα μακροπρόθεσμο μέσο όρο των 205 γιάρδων;

Μπορούμε να το ελέγξουμε δημιουργώντας ένα z-score. Τυπικό σφάλμα του μέσου όρου:

Στη συνέχεια z-score:

Πρέπει να βρούμε την πιθανότητα ο μέσος όρος του δείγματος να απέχει 2,5 σ από τον μέσο όρο του πληθυσμού. Αν η πιθανότητα είναι μικρή, τότε οι διαφορές δεν οφείλονται στην τύχη, αλλά στην ποιότητα του νέου συλλόγου. Το Excel δεν διαθέτει έτοιμη συνάρτηση για τον προσδιορισμό της πιθανότητας βαθμολογίας z. Ωστόσο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο =1-NORM.ST.DIST(z-score,TRUE), όπου η συνάρτηση NORM.ST.DIST() επιστρέφει την περιοχή κάτω από την κανονική καμπύλη στα αριστερά της βαθμολογίας z (Εικόνα 2).

Ρύζι. 2. Η συνάρτηση NORM.ST.DIST() επιστρέφει την περιοχή κάτω από την καμπύλη στα αριστερά της τιμής z. Για να μεγεθύνετε την εικόνα, κάντε δεξί κλικ πάνω της και επιλέξτε Άνοιγμα εικόνας σε νέα καρτέλα

Το δεύτερο όρισμα της συνάρτησης NORM.ST.DIST() μπορεί να πάρει δύο τιμές: TRUE - η συνάρτηση επιστρέφει την περιοχή της περιοχής κάτω από την καμπύλη στα αριστερά του σημείου που καθορίζεται από το πρώτο όρισμα. FALSE – η συνάρτηση επιστρέφει το ύψος της καμπύλης στο σημείο που καθορίζεται από το πρώτο όρισμα.

Εάν ο μέσος όρος πληθυσμού (μ) και η τυπική απόκλιση (σ) δεν είναι γνωστοί, χρησιμοποιείται η τιμή t (βλ. λεπτομέρειες). Οι δομές z-score και t-score διαφέρουν στο ότι η τυπική απόκλιση s που προκύπτει από τα αποτελέσματα του δείγματος χρησιμοποιείται για την εύρεση του t-score και όχι της γνωστής τιμής της παραμέτρου του πληθυσμού σ. Η κανονική καμπύλη έχει ένα μόνο σχήμα και το σχήμα της κατανομής τιμής t ποικίλλει ανάλογα με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας df. βαθμούς ελευθερίας) του δείγματος που αντιπροσωπεύει. Ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας του δείγματος είναι ίσος με n – 1, Πού n- μέγεθος δείγματος (Εικ. 3).

Ρύζι. 3. Το σχήμα των κατανομών t που προκύπτουν σε περιπτώσεις που η παράμετρος σ είναι άγνωστη διαφέρει από το σχήμα της κανονικής κατανομής

Το Excel έχει δύο συναρτήσεις για την κατανομή t, που ονομάζεται επίσης κατανομή Student: Η STUDENT.DIST() επιστρέφει την περιοχή κάτω από την καμπύλη στα αριστερά μιας δεδομένης τιμής t και η STUDENT.DIST.PH() επιστρέφει την περιοχή στην δικαίωμα.

Κεφάλαιο 2. Συσχέτιση

Η συσχέτιση είναι ένα μέτρο εξάρτησης μεταξύ στοιχείων ενός συνόλου διατεταγμένων ζευγών. Η συσχέτιση χαρακτηρίζεται Συντελεστές συσχέτισης Pearson–r. Ο συντελεστής μπορεί να λάβει τιμές στην περιοχή από -1,0 έως +1,0.

Οπου S xΚαι S y– τυπικές αποκλίσεις μεταβλητών ΧΚαι Υ, S xy– συνδιακύμανση:

Σε αυτόν τον τύπο, η συνδιακύμανση διαιρείται με τις τυπικές αποκλίσεις των μεταβλητών ΧΚαι Υ, αφαιρώντας έτσι τα αποτελέσματα κλιμάκωσης που σχετίζονται με τη μονάδα από τη συνδιακύμανση. Το Excel χρησιμοποιεί τη συνάρτηση CORREL(). Το όνομα αυτής της συνάρτησης δεν περιέχει τα προσδιοριστικά στοιχεία Г και В, τα οποία χρησιμοποιούνται στα ονόματα συναρτήσεων όπως STANDARDEV(), VARIANCE() ή COVARIANCE(). Παρόλο που ο συντελεστής συσχέτισης του δείγματος παρέχει μια μεροληπτική εκτίμηση, ο λόγος της μεροληψίας είναι διαφορετικός από ό,τι στην περίπτωση της διακύμανσης ή της τυπικής απόκλισης.

Ανάλογα με το μέγεθος του γενικού συντελεστή συσχέτισης (συχνά συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα ρ ), συντελεστής συσχέτισης rπαράγει μια μεροληπτική εκτίμηση, με την επίδραση της μεροληψίας να αυξάνεται καθώς μειώνονται τα μεγέθη του δείγματος. Ωστόσο, δεν προσπαθούμε να διορθώσουμε αυτήν την προκατάληψη με τον ίδιο τρόπο όπως, για παράδειγμα, κάναμε κατά τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης, όταν αντικαταστήσαμε όχι τον αριθμό των παρατηρήσεων, αλλά τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας στον αντίστοιχο τύπο. Στην πραγματικότητα, ο αριθμός των παρατηρήσεων που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό της συνδιακύμανσης δεν έχει καμία επίδραση στο μέγεθος.

Ο τυπικός συντελεστής συσχέτισης προορίζεται για χρήση με μεταβλητές που σχετίζονται μεταξύ τους με γραμμική σχέση. Η παρουσία μη γραμμικότητας ή/και σφαλμάτων στα δεδομένα (ακραίες τιμές) οδηγεί σε λανθασμένο υπολογισμό του συντελεστή συσχέτισης. Για τη διάγνωση προβλημάτων δεδομένων, συνιστάται η δημιουργία διαγραμμάτων διασποράς. Αυτός είναι ο μόνος τύπος γραφήματος στο Excel που αντιμετωπίζει τόσο τον οριζόντιο όσο και τον κάθετο άξονα ως άξονες τιμών. Ένα γραμμικό γράφημα ορίζει μια από τις στήλες ως άξονα κατηγορίας, ο οποίος παραμορφώνει την εικόνα των δεδομένων (Εικ. 4).

Ρύζι. 4. Οι γραμμές παλινδρόμησης φαίνονται ίδιες, αλλά συγκρίνετε τις εξισώσεις τους μεταξύ τους

Οι παρατηρήσεις που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή του γραμμικού διαγράμματος είναι διατεταγμένες σε ίση απόσταση κατά μήκος του οριζόντιου άξονα. Οι ετικέτες διαίρεσης κατά μήκος αυτού του άξονα είναι απλώς ετικέτες, όχι αριθμητικές τιμές.

Αν και η συσχέτιση συχνά σημαίνει ότι υπάρχει σχέση αιτίου-αποτελέσματος, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδειχθεί ότι αυτό συμβαίνει. Τα στατιστικά στοιχεία δεν χρησιμοποιούνται για να αποδειχθεί αν μια θεωρία είναι αληθής ή ψευδής. Για να αποκλείσετε ανταγωνιστικές εξηγήσεις για αποτελέσματα παρατήρησης, βάλτε προγραμματισμένα πειράματα. Τα στατιστικά στοιχεία χρησιμοποιούνται για να συνοψίσουν τις πληροφορίες που συλλέγονται κατά τη διάρκεια τέτοιων πειραμάτων και να ποσοτικοποιήσουν την πιθανότητα ότι η απόφαση που ελήφθη μπορεί να είναι εσφαλμένη, δεδομένης της διαθέσιμης βάσης στοιχείων.

Κεφάλαιο 3: Απλή παλινδρόμηση

Εάν δύο μεταβλητές σχετίζονται μεταξύ τους, έτσι ώστε η τιμή του συντελεστή συσχέτισης να υπερβαίνει, ας πούμε, το 0,5, τότε σε αυτήν την περίπτωση είναι δυνατό να προβλεφθεί (με κάποια ακρίβεια) η άγνωστη τιμή μιας μεταβλητής από τη γνωστή τιμή της άλλης . Για να λάβετε τις προβλεπόμενες τιμές τιμής με βάση τα δεδομένα που φαίνονται στο Σχ. 5, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε από τις διάφορες πιθανές μεθόδους, αλλά σχεδόν σίγουρα δεν θα χρησιμοποιήσετε αυτήν που φαίνεται στο Σχ. 5. Ωστόσο, θα πρέπει να εξοικειωθείτε με αυτό, γιατί καμία άλλη μέθοδος δεν σας επιτρέπει να αποδείξετε τη σύνδεση μεταξύ συσχέτισης και πρόβλεψης τόσο ξεκάθαρα όσο αυτή. Στο Σχ. Το 5 στην περιοχή B2:C12 δείχνει ένα τυχαίο δείγμα δέκα σπιτιών και παρέχει δεδομένα για την έκταση κάθε σπιτιού (σε τετραγωνικά πόδια) και την τιμή πώλησής του.

Ρύζι. 5. Οι προβλεπόμενες τιμές των τιμών πώλησης σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή

Βρείτε τους μέσους όρους, τις τυπικές αποκλίσεις και τον συντελεστή συσχέτισης (εύρος A14:C18). Υπολογίστε τις βαθμολογίες z της περιοχής (E2:E12). Για παράδειγμα, το κελί E3 περιέχει τον τύπο: =(B3-$B$14)/$B$15. Υπολογίστε τις βαθμολογίες z της προβλεπόμενης τιμής (F2:F12). Για παράδειγμα, το κελί F3 περιέχει τον τύπο: =ЕЗ*$В$18. Μετατρέψτε τις βαθμολογίες z σε τιμές δολαρίου (H2:H12). Στο κελί NZ ο τύπος είναι: =F3*$C$15+$C$14.

Σημειώστε ότι η προβλεπόμενη τιμή τείνει πάντα να μετατοπίζεται προς τη μέση τιμή του 0. Όσο πιο κοντά είναι ο συντελεστής συσχέτισης στο μηδέν, τόσο πιο κοντά στο μηδέν είναι η προβλεπόμενη βαθμολογία z. Στο παράδειγμά μας, ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ της περιοχής και της τιμής πώλησης είναι 0,67 και η προβλεπόμενη τιμή είναι 1,0 * 0,67, δηλ. 0,67. Αυτό αντιστοιχεί σε μια υπέρβαση μιας τιμής πάνω από τη μέση τιμή ίση με τα δύο τρίτα μιας τυπικής απόκλισης. Εάν ο συντελεστής συσχέτισης ήταν ίσος με 0,5, τότε η προβλεπόμενη τιμή θα ήταν 1,0 * 0,5, δηλ. 0,5. Αυτό αντιστοιχεί σε μια υπέρβαση μιας τιμής πάνω από τη μέση τιμή ίση με μόνο μισή τυπική απόκλιση. Όποτε η τιμή του συντελεστή συσχέτισης διαφέρει από την ιδανική τιμή, δηλ. μεγαλύτερη από -1,0 και μικρότερη από 1,0, η βαθμολογία της προβλεπόμενης μεταβλητής θα πρέπει να είναι πιο κοντά στον μέσο όρο της από τη βαθμολογία της προβλεπόμενης (ανεξάρτητης) μεταβλητής προς τη δική της. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται παλινδρόμηση στη μέση τιμή, ή απλά παλινδρόμηση.

Το Excel έχει πολλές συναρτήσεις για τον προσδιορισμό των συντελεστών μιας εξίσωσης γραμμής παλινδρόμησης (που ονομάζεται γραμμή τάσης στο Excel) y =kx + σι. Για να προσδιορίσετε κεξυπηρετεί τη λειτουργία

=SLOPE(γνωστές_τιμές_υ, γνωστές_χ_τιμές)

Εδώ στοείναι η προβλεπόμενη μεταβλητή, και Χ– ανεξάρτητη μεταβλητή. Πρέπει να ακολουθείτε αυστηρά αυτή τη σειρά μεταβλητών. Η κλίση της γραμμής παλινδρόμησης, ο συντελεστής συσχέτισης, οι τυπικές αποκλίσεις των μεταβλητών και η συνδιακύμανση συνδέονται στενά (Εικόνα 6). Η συνάρτηση INTERMEPT() επιστρέφει την τιμή που παρεμποδίζεται από τη γραμμή παλινδρόμησης στον κατακόρυφο άξονα:

=LIMIT(γνωστές_τιμές_υ, γνωστές_χ_τιμές)

Ρύζι. 6. Η σχέση μεταξύ τυπικών αποκλίσεων μετατρέπει τη συνδιακύμανση σε συντελεστή συσχέτισης και την κλίση της γραμμής παλινδρόμησης

Σημειώστε ότι ο αριθμός των τιμών x και y που παρέχονται ως ορίσματα στις συναρτήσεις SLOPE() και INTERCEPT() πρέπει να είναι ο ίδιος.

Στην ανάλυση παλινδρόμησης, χρησιμοποιείται ένας άλλος σημαντικός δείκτης - R 2 (R-τετράγωνο) ή ο συντελεστής προσδιορισμού. Καθορίζει τη συμβολή στη συνολική μεταβλητότητα των δεδομένων από τη σχέση μεταξύ ΧΚαι στο. Στο Excel, υπάρχει μια συνάρτηση για αυτό που ονομάζεται CVPIERSON(), η οποία παίρνει ακριβώς τα ίδια ορίσματα με τη συνάρτηση CORREL().

Δύο μεταβλητές με μη μηδενικό συντελεστή συσχέτισης μεταξύ τους λέγεται ότι εξηγούν τη διακύμανση ή έχουν επεξηγημένη διακύμανση. Η τυπικά εξηγούμενη διακύμανση εκφράζεται ως ποσοστό. Ετσι R 2 = 0,81 σημαίνει ότι εξηγείται το 81% της διακύμανσης (σκέδασης) δύο μεταβλητών. Το υπόλοιπο 19% οφείλεται σε τυχαίες διακυμάνσεις.

Το Excel έχει μια συνάρτηση TREND που διευκολύνει τους υπολογισμούς. Συνάρτηση TREND():

• αποδέχεται τις γνωστές τιμές που παρέχετε Χκαι γνωστές αξίες στο;
• υπολογίζει την κλίση της γραμμής παλινδρόμησης και τη σταθερά (τομή).
• επιστρέφει προβλεπόμενες τιμές στο, προσδιορίζεται με την εφαρμογή μιας εξίσωσης παλινδρόμησης σε γνωστές τιμές Χ(Εικ. 7).

Η συνάρτηση TREND() είναι μια συνάρτηση πίνακα (αν δεν έχετε συναντήσει τέτοιες συναρτήσεις πριν, προτείνω).

Ρύζι. 7. Η χρήση της συνάρτησης TREND() σάς επιτρέπει να επιταχύνετε και να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς σε σύγκριση με τη χρήση ενός ζεύγους συναρτήσεων SLOPE() και INTERCEPT()

Για να εισαγάγετε τη συνάρτηση TREND() ως τύπο πίνακα στα κελιά G3:G12, επιλέξτε την περιοχή G3:G12, εισαγάγετε τον τύπο TREND(NW:C12;B3:B12), πατήστε παρατεταμένα τα πλήκτρα και μόνο μετά πατήστε το πλήκτρο . Σημειώστε ότι ο τύπος περικλείεται σε σγουρά τιράντες: ( και ). Αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο το Excel σάς λέει ότι αυτός ο τύπος ερμηνεύεται ως τύπος πίνακα. Μην εισάγετε μόνοι σας τις παρενθέσεις: Εάν προσπαθήσετε να τις εισαγάγετε μόνοι σας ως μέρος ενός τύπου, το Excel θα αντιμετωπίσει την εισαγωγή σας ως μια κανονική συμβολοσειρά κειμένου.

Η συνάρτηση TREND() έχει δύο ακόμη ορίσματα: new_values_xΚαι συνθ. Το πρώτο σάς επιτρέπει να κάνετε μια πρόβλεψη για το μέλλον και το δεύτερο μπορεί να αναγκάσει τη γραμμή παλινδρόμησης να περάσει από την αρχή (μια τιμή TRUE λέει στο Excel να χρησιμοποιήσει την υπολογισμένη σταθερά, μια τιμή FALSE λέει στο Excel να χρησιμοποιήσει μια σταθερά = 0 ). Το Excel σάς επιτρέπει να σχεδιάσετε μια γραμμή παλινδρόμησης σε ένα γράφημα έτσι ώστε να διέρχεται από την αρχή. Ξεκινήστε σχεδιάζοντας ένα διάγραμμα διασποράς και, στη συνέχεια, κάντε δεξί κλικ σε έναν από τους δείκτες της σειράς δεδομένων. Επιλέξτε το στοιχείο στο μενού περιβάλλοντος που ανοίγει Προσθέστε μια γραμμή τάσης; επιλέξτε μια επιλογή Γραμμικός; εάν χρειάζεται, κάντε κύλιση προς τα κάτω στον πίνακα, επιλέξτε το πλαίσιο Ρύθμιση διασταύρωσης; Βεβαιωθείτε ότι το σχετικό πλαίσιο κειμένου έχει οριστεί σε 0.0.

Εάν έχετε τρεις μεταβλητές και θέλετε να προσδιορίσετε τη συσχέτιση μεταξύ δύο από αυτές, εξαλείφοντας την επιρροή της τρίτης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μερική συσχέτιση. Ας υποθέσουμε ότι σας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ του ποσοστού των κατοίκων μιας πόλης που έχουν ολοκληρώσει το κολέγιο και του αριθμού των βιβλίων στις βιβλιοθήκες της πόλης. Συλλέξατε δεδομένα για 50 πόλεις, αλλά... Το πρόβλημα είναι ότι και οι δύο αυτές παράμετροι μπορεί να εξαρτώνται από την ευημερία των κατοίκων μιας συγκεκριμένης πόλης. Φυσικά, είναι πολύ δύσκολο να βρεις άλλες 50 πόλεις που χαρακτηρίζονται από το ίδιο ακριβώς επίπεδο ευημερίας των κατοίκων.

Χρησιμοποιώντας στατιστικές μεθόδους για τον έλεγχο της επιρροής του πλούτου τόσο στην οικονομική υποστήριξη της βιβλιοθήκης όσο και στην οικονομική προσιτότητα των κολεγίων, θα μπορούσατε να λάβετε μια πιο ακριβή ποσοτικοποίηση της ισχύος της σχέσης μεταξύ των μεταβλητών που σας ενδιαφέρουν, δηλαδή τον αριθμό των βιβλίων και τον αριθμό των πτυχιούχοι. Μια τέτοια συσχέτιση υπό όρους μεταξύ δύο μεταβλητών, όταν οι τιμές άλλων μεταβλητών είναι σταθερές, ονομάζεται μερική συσχέτιση. Ένας τρόπος για να το υπολογίσετε είναι να χρησιμοποιήσετε την εξίσωση:

Οπου rC.B. . W- συντελεστής συσχέτισης μεταξύ των μεταβλητών College και Books με εξαίρεση την επιρροή (σταθερή τιμή) της μεταβλητής Wealth. rC.B.- συντελεστής συσχέτισης μεταξύ των μεταβλητών College και Books. rCW- συντελεστής συσχέτισης μεταξύ των μεταβλητών College και Welfare. rB.W.- συντελεστής συσχέτισης μεταξύ των μεταβλητών Βιβλία και Πρόνοια.

Από την άλλη πλευρά, η μερική συσχέτιση μπορεί να υπολογιστεί με βάση την ανάλυση των υπολειμμάτων, δηλ. διαφορές μεταξύ των προβλεπόμενων τιμών και των σχετικών αποτελεσμάτων των πραγματικών παρατηρήσεων (και οι δύο μέθοδοι παρουσιάζονται στο Σχ. 8).

Ρύζι. 8. Μερική συσχέτιση ως συσχέτιση υπολειμμάτων

Για να απλοποιήσετε τον υπολογισμό του πίνακα των συντελεστών συσχέτισης (B16:E19), χρησιμοποιήστε το πακέτο ανάλυσης Excel (μενού Δεδομένα –> Ανάλυση –> Ανάλυση Δεδομένων). Από προεπιλογή, αυτό το πακέτο δεν είναι ενεργό στο Excel. Για να το εγκαταστήσετε, μεταβείτε στο μενού Αρχείο –> Επιλογές –> Πρόσθετα. Στο κάτω μέρος του ανοιγμένου παραθύρου ΕπιλογέςΠροέχωβρείτε το χωράφι Ελεγχος, επιλέξτε ΠρόσθεταΠροέχω, κάντε κλικ Πάω. Επιλέξτε το πλαίσιο δίπλα στο πρόσθετο Πακέτο ανάλυσης. Κάντε κλικ στο A ανάλυση δεδομένων, επιλέξτε επιλογή Συσχέτιση. Καθορίστε $B$2:$D$13 ως το διάστημα εισαγωγής, επιλέξτε το πλαίσιο Ετικέτες στην πρώτη γραμμή, καθορίστε το $B$16:$E$19 ως το διάστημα εξόδου.

Μια άλλη δυνατότητα είναι να προσδιοριστεί η ημιμερική συσχέτιση. Για παράδειγμα, ερευνάτε τις επιπτώσεις του ύψους και της ηλικίας στο βάρος. Έτσι, έχετε δύο προγνωστικές μεταβλητές - ύψος και ηλικία, και μια μεταβλητή πρόβλεψης - βάρος. Θέλετε να εξαιρέσετε την επιρροή μιας μεταβλητής πρόβλεψης σε μια άλλη, αλλά όχι στη μεταβλητή πρόβλεψης:

όπου H – Ύψος, W – Βάρος, A – Ηλικία. Ο δείκτης συντελεστών ημιμερικής συσχέτισης χρησιμοποιεί παρενθέσεις για να δείξει ποια μεταβλητή αφαιρείται και από ποια μεταβλητή. Σε αυτήν την περίπτωση, ο συμβολισμός W(H.A) υποδεικνύει ότι η επίδραση της μεταβλητής Age αφαιρείται από τη μεταβλητή Height, αλλά όχι από τη μεταβλητή Weight.

Μπορεί να φαίνεται ότι το θέμα που συζητείται δεν έχει ιδιαίτερη σημασία. Εξάλλου, αυτό που έχει μεγαλύτερη σημασία είναι η ακρίβεια της συνολικής εξίσωσης παλινδρόμησης, ενώ το πρόβλημα της σχετικής συνεισφοράς των επιμέρους μεταβλητών στη συνολική επεξηγημένη διακύμανση φαίνεται να είναι δευτερεύουσας σημασίας. Ωστόσο, αυτό απέχει πολύ από την περίπτωση. Μόλις αρχίσετε να αναρωτιέστε αν μια μεταβλητή αξίζει να χρησιμοποιηθεί σε μια εξίσωση πολλαπλής παλινδρόμησης, το ζήτημα γίνεται σημαντικό. Μπορεί να επηρεάσει την αξιολόγηση της ορθότητας της επιλογής του μοντέλου για ανάλυση.

Κεφάλαιο 4. Συνάρτηση LINEST().

Η συνάρτηση LINEST() επιστρέφει 10 στατιστικά στοιχεία παλινδρόμησης. Η συνάρτηση LINEST() είναι μια συνάρτηση πίνακα. Για να το εισαγάγετε, επιλέξτε μια περιοχή που περιέχει πέντε σειρές και δύο στήλες, πληκτρολογήστε τον τύπο και κάντε κλικ (Εικ. 9):

LINEST(B2:B21,A2:A21,TRUE,TRUE)

Ρύζι. 9. Συνάρτηση LINEST(): α) επιλέξτε το εύρος D2:E6, β) εισάγετε τον τύπο όπως φαίνεται στη γραμμή τύπων, γ) κάντε κλικ

Η συνάρτηση LINEST() επιστρέφει:

• συντελεστής παλινδρόμησης (ή κλίση, κελί D2).
• τμήμα (ή σταθερά, κελί E3).
• τυπικά σφάλματα συντελεστή παλινδρόμησης και σταθερά (εύρος D3:E3).
• συντελεστής προσδιορισμού R2 για παλινδρόμηση (κελί D4).
• τυπικό σφάλμα εκτίμησης (κελί E4).
• F-test για πλήρη παλινδρόμηση (κελί D5).
• αριθμός βαθμών ελευθερίας για το υπόλοιπο άθροισμα τετραγώνων (κελί E5).
• άθροισμα παλινδρόμησης τετραγώνων (κελί D6).
• υπολειπόμενο άθροισμα τετραγώνων (κελί Ε6).

Ας δούμε καθένα από αυτά τα στατιστικά στοιχεία και πώς αλληλεπιδρούν.

Τυπικό σφάλμαστην περίπτωσή μας, είναι η τυπική απόκλιση που υπολογίζεται για τα δειγματοληπτικά σφάλματα. Δηλαδή, αυτή είναι μια κατάσταση όπου ο γενικός πληθυσμός έχει ένα στατιστικό στοιχείο και το δείγμα έχει ένα άλλο. Η διαίρεση του συντελεστή παλινδρόμησης με το τυπικό σφάλμα δίνει μια τιμή 2,092/0,818 = 2,559. Με άλλα λόγια, ένας συντελεστής παλινδρόμησης 2,092 απέχει δυόμισι τυπικά σφάλματα από το μηδέν.

Εάν ο συντελεστής παλινδρόμησης είναι μηδέν, τότε η καλύτερη εκτίμηση της προβλεπόμενης μεταβλητής είναι ο μέσος όρος της. Τα δυόμισι τυπικά σφάλματα είναι αρκετά μεγάλα και μπορείτε να υποθέσετε με ασφάλεια ότι ο συντελεστής παλινδρόμησης για τον πληθυσμό είναι μη μηδενικός.

Μπορείτε να προσδιορίσετε την πιθανότητα απόκτησης συντελεστή παλινδρόμησης δείγματος 2,092 εάν η πραγματική τιμή του στον πληθυσμό είναι 0,0 χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση

STUDENT.DIST.PH (κριτήριο t = 2.559, αριθμός βαθμών ελευθερίας = 18)

Γενικά, ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας = n – k – 1, όπου n είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων και k ο αριθμός των προγνωστικών μεταβλητών.

Αυτός ο τύπος επιστρέφει 0,00987 ή στρογγυλοποιείται στο 1%. Μας λέει ότι εάν ο συντελεστής παλινδρόμησης για τον πληθυσμό είναι 0%, τότε η πιθανότητα να ληφθεί ένα δείγμα 20 ατόμων για τα οποία ο εκτιμώμενος συντελεστής παλινδρόμησης είναι 2,092 είναι μέτριο 1%.

Το τεστ F (κελί D5 στο Σχ. 9) εκτελεί τις ίδιες λειτουργίες σε σχέση με την πλήρη παλινδρόμηση με το τεστ t σε σχέση με τον συντελεστή απλής παλινδρόμησης κατά ζεύγη. Το τεστ F χρησιμοποιείται για να ελεγχθεί εάν ο συντελεστής προσδιορισμού R 2 για μια παλινδρόμηση είναι αρκετά μεγάλος ώστε να απορρίψει την υπόθεση ότι στον πληθυσμό έχει τιμή 0,0, που δείχνει ότι δεν υπάρχει διακύμανση που να εξηγείται από τον προβλεπόμενο και την προβλεπόμενη μεταβλητή. Όταν υπάρχει μόνο μία μεταβλητή πρόβλεψης, η δοκιμή F είναι ακριβώς ίση με το τετράγωνο του τεστ t.

Μέχρι στιγμής έχουμε εξετάσει μεταβλητές διαστήματος. Εάν έχετε μεταβλητές που μπορούν να λάβουν πολλές τιμές, που αντιπροσωπεύουν απλά ονόματα, για παράδειγμα, Άνδρας και Γυναίκα ή Ερπετό, Αμφιβία και Ψάρι, αντιπροσωπεύστε τις ως αριθμητικό κωδικό. Τέτοιες μεταβλητές ονομάζονται ονομαστικές.

Στατιστικά R2ποσοτικοποιεί την αναλογία διακύμανσης που εξηγείται.

Τυπικό σφάλμα εκτίμησης.Στο Σχ. Το σχήμα 4.9 παρουσιάζει τις προβλεπόμενες τιμές της μεταβλητής Weight, που λαμβάνονται με βάση τη σχέση της με τη μεταβλητή Height. Το εύρος E2:E21 περιέχει τις υπολειπόμενες τιμές για τη μεταβλητή Weight. Πιο συγκεκριμένα, αυτά τα υπολείμματα ονομάζονται σφάλματα - εξ ου και ο όρος τυπικό σφάλμα εκτίμησης.

Ρύζι. 10. Τόσο το R 2 όσο και το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης εκφράζουν την ακρίβεια των προβλέψεων που λαμβάνονται χρησιμοποιώντας παλινδρόμηση

Όσο μικρότερο είναι το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης, τόσο πιο ακριβής είναι η εξίσωση παλινδρόμησης και τόσο πιο κοντά αναμένετε οποιαδήποτε πρόβλεψη που παράγεται από την εξίσωση να ταιριάζει με την πραγματική παρατήρηση. Το τυπικό σφάλμα εκτίμησης παρέχει έναν τρόπο ποσοτικοποίησης αυτών των προσδοκιών. Το βάρος του 95% των ατόμων με ένα ορισμένο ύψος θα είναι στο εύρος:

(ύψος * 2.092 – 3.591) ± 2.092 * 21.118

F-statisticείναι ο λόγος της διακύμανσης μεταξύ ομάδων προς διακύμανση εντός ομάδας. Αυτό το όνομα εισήχθη από τον στατιστικολόγο George Snedecor προς τιμήν του Sir, ο οποίος ανέπτυξε την ανάλυση διακύμανσης (ANOVA, Analysis of Variance) στις αρχές του 20ου αιώνα.

Ο συντελεστής προσδιορισμού R 2 εκφράζει την αναλογία του συνολικού αθροίσματος των τετραγώνων που σχετίζεται με την παλινδρόμηση. Η τιμή (1 – R 2) εκφράζει την αναλογία του συνολικού αθροίσματος τετραγώνων που σχετίζονται με υπολείμματα - σφάλματα πρόβλεψης. Η δοκιμή F μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση LINEST (κελί F5 στην Εικ. 11), χρησιμοποιώντας αθροίσματα τετραγώνων (εύρος G10:J11), χρησιμοποιώντας αναλογίες διακύμανσης (εύρος G14:J15). Οι τύποι μπορούν να μελετηθούν στο συνημμένο αρχείο Excel.

Ρύζι. 11. Υπολογισμός κριτηρίου F

Όταν χρησιμοποιείτε ονομαστικές μεταβλητές, χρησιμοποιείται εικονική κωδικοποίηση (Εικόνα 12). Για την κωδικοποίηση τιμών, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τις τιμές 0 και 1. Η πιθανότητα F υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση:

F.DIST.PH(K2;I2;I3)

Εδώ, η συνάρτηση F.DIST.PH() επιστρέφει την πιθανότητα απόκτησης ενός κριτηρίου F που υπακούει στην κεντρική κατανομή F (Εικ. 13) για δύο σύνολα δεδομένων με τους αριθμούς βαθμών ελευθερίας που δίνονται στα κελιά I2 και I3 , η τιμή του οποίου συμπίπτει με την τιμή που δίνεται στο κελί K2.

Ρύζι. 12. Ανάλυση παλινδρόμησης χρησιμοποιώντας εικονικές μεταβλητές

Ρύζι. 13. Κεντρική κατανομή F στο λ = 0

Κεφάλαιο 5. Πολλαπλή παλινδρόμηση

Όταν μεταβαίνετε από την απλή παλινδρόμηση κατά ζεύγη με μία μεταβλητή πρόβλεψης σε πολλαπλή παλινδρόμηση, προσθέτετε μία ή περισσότερες μεταβλητές πρόβλεψης. Αποθηκεύστε τις τιμές των μεταβλητών πρόβλεψης σε γειτονικές στήλες, όπως οι στήλες Α και Β στην περίπτωση δύο προβλέψεων ή Α, Β και Γ στην περίπτωση τριών προγνωστικών. Πριν εισαγάγετε έναν τύπο που περιλαμβάνει τη συνάρτηση LINEST(), επιλέξτε πέντε σειρές και τόσες στήλες όσες υπάρχουν μεταβλητές πρόβλεψης, συν μία ακόμη για τη σταθερά. Στην περίπτωση παλινδρόμησης με δύο μεταβλητές πρόβλεψης, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η ακόλουθη δομή:

LINEST(A2: A41; B2: C41;;TRUE)

Ομοίως στην περίπτωση τριών μεταβλητών:

LINEST(A2:A61,B2:D61,;TRUE)

Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να μελετήσετε τις πιθανές επιπτώσεις της ηλικίας και της διατροφής στα επίπεδα της LDL - λιποπρωτεΐνες χαμηλής πυκνότητας, οι οποίες πιστεύεται ότι είναι υπεύθυνες για το σχηματισμό αθηρωματικών πλακών, οι οποίες προκαλούν αθηροθρόμβωση (Εικ. 14).

Ρύζι. 14. Πολλαπλή παλινδρόμηση

Το R 2 της πολλαπλής παλινδρόμησης (που αντανακλάται στο κελί F13) είναι μεγαλύτερο από το R 2 οποιασδήποτε απλής παλινδρόμησης (E4, H4). Η πολλαπλή παλινδρόμηση χρησιμοποιεί πολλαπλές μεταβλητές πρόβλεψης ταυτόχρονα. Σε αυτή την περίπτωση, το R2 σχεδόν πάντα αυξάνεται.

Για οποιαδήποτε απλή γραμμική εξίσωση παλινδρόμησης με μία μεταβλητή πρόβλεψης, θα υπάρχει πάντα μια τέλεια συσχέτιση μεταξύ των προβλεπόμενων τιμών και των τιμών της μεταβλητής πρόβλεψης, επειδή η εξίσωση πολλαπλασιάζει τις τιμές πρόβλεψης επί μία σταθερά και προσθέτει μια άλλη σταθερά σε κάθε προϊόν. Αυτό το αποτέλεσμα δεν παραμένει σε πολλαπλή παλινδρόμηση.

Εμφάνιση των αποτελεσμάτων που επιστρέφονται από τη συνάρτηση LINEST() για πολλαπλή παλινδρόμηση (Εικόνα 15). Οι συντελεστές παλινδρόμησης εξάγονται ως μέρος των αποτελεσμάτων που επιστρέφονται από τη συνάρτηση LINEST(). με αντίστροφη σειρά μεταβλητών(Το G–H–I αντιστοιχεί στο C–B–A).

Ρύζι. 15. Οι συντελεστές και τα τυπικά λάθη τους εμφανίζονται με αντίστροφη σειρά στο φύλλο εργασίας.

Οι αρχές και οι διαδικασίες που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση παλινδρόμησης μιας μεταβλητής πρόβλεψης προσαρμόζονται εύκολα για να λάβουν υπόψη πολλαπλές μεταβλητές πρόβλεψης. Αποδεικνύεται ότι μεγάλο μέρος αυτής της προσαρμογής εξαρτάται από την εξάλειψη της επιρροής των μεταβλητών πρόβλεψης μεταξύ τους. Το τελευταίο συνδέεται με μερικούς και ημιμερικούς συσχετισμούς (Εικ. 16).

Ρύζι. 16. Η πολλαπλή παλινδρόμηση μπορεί να εκφραστεί μέσω αναδρομής κατά ζεύγη υπολειμμάτων (δείτε το αρχείο Excel για τύπους)

Στο Excel, υπάρχουν συναρτήσεις που παρέχουν πληροφορίες σχετικά με τις κατανομές t και F. Οι συναρτήσεις των οποίων τα ονόματα περιλαμβάνουν το τμήμα DIST, όπως οι STUDENT.DIST() και F.DIST(), λαμβάνουν ένα τεστ t ή F-test ως όρισμα και επιστρέφουν την πιθανότητα παρατήρησης μιας καθορισμένης τιμής. Οι συναρτήσεις των οποίων τα ονόματα περιλαμβάνουν το τμήμα OBR, όπως οι STUDENT.INR() και F.INV(), λαμβάνουν μια τιμή πιθανότητας ως όρισμα και επιστρέφουν μια τιμή κριτηρίου που αντιστοιχεί στην καθορισμένη πιθανότητα.

Δεδομένου ότι αναζητούμε κρίσιμες τιμές της κατανομής t που κόβουν τις άκρες των περιοχών της ουράς της, περνάμε το 5% ως όρισμα σε μία από τις συναρτήσεις STUDENT.INV(), η οποία επιστρέφει την τιμή που αντιστοιχεί σε αυτήν την πιθανότητα (Εικ. 17, 18).

Ρύζι. 17. Τεστ δύο ουρών

Ρύζι. 18. Τεστ μονής ουράς

Καθιερώνοντας έναν κανόνα απόφασης για την περιοχή άλφα μιας ουράς, αυξάνετε τη στατιστική ισχύ του τεστ. Εάν πάτε σε ένα πείραμα και είστε σίγουροι ότι έχετε κάθε λόγο να περιμένετε έναν θετικό (ή αρνητικό) συντελεστή παλινδρόμησης, τότε θα πρέπει να εκτελέσετε μια δοκιμή single-tail. Σε αυτήν την περίπτωση, η πιθανότητα να πάρετε τη σωστή απόφαση απορρίπτοντας την υπόθεση του μηδενικού συντελεστή παλινδρόμησης στον πληθυσμό θα είναι μεγαλύτερη.

Οι στατιστικολόγοι προτιμούν να χρησιμοποιούν τον όρο κατευθυνόμενη δοκιμήαντί του όρου δοκιμή μονής ουράςκαι όρος μη κατευθυνόμενη δοκιμήαντί του όρου δοκιμή δύο ουρών. Οι όροι κατευθυνόμενοι και μη κατευθυνόμενοι προτιμώνται επειδή δίνουν έμφαση στον τύπο της υπόθεσης παρά στη φύση των ουρών της κατανομής.

Μια προσέγγιση για την αξιολόγηση του αντίκτυπου των προγνωστικών με βάση τη σύγκριση μοντέλων.Στο Σχ. Το Σχήμα 19 παρουσιάζει τα αποτελέσματα μιας ανάλυσης παλινδρόμησης που ελέγχει τη συμβολή της μεταβλητής Diet στην εξίσωση παλινδρόμησης.

Ρύζι. 19. Σύγκριση δύο μοντέλων δοκιμάζοντας διαφορές στα αποτελέσματά τους

Τα αποτελέσματα της συνάρτησης LINEST() (εύρος H2:K6) σχετίζονται με αυτό που ονομάζω πλήρες μοντέλο, το οποίο παλινδρομεί τη μεταβλητή LDL στις μεταβλητές Διατροφή, Ηλικία και HDL. Το εύρος H9:J13 παρουσιάζει υπολογισμούς χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η προγνωστική μεταβλητή Διατροφή. Αυτό το ονομάζω περιορισμένο μοντέλο. Στο πλήρες μοντέλο, το 49,2% της διακύμανσης στην εξαρτημένη μεταβλητή LDL εξηγήθηκε από τις προγνωστικές μεταβλητές. Στο περιορισμένο μοντέλο, μόνο το 30,8% της LDL εξηγείται από τις μεταβλητές Age και HDL. Η απώλεια στο R 2 λόγω εξαίρεσης της μεταβλητής Diet από το μοντέλο είναι 0,183. Στην περιοχή G15:L17, γίνονται υπολογισμοί που δείχνουν ότι υπάρχει μόνο μια πιθανότητα 0,0288 ότι η επίδραση της μεταβλητής Diet είναι τυχαία. Στο υπόλοιπο 97,1%, η διατροφή έχει επίδραση στην LDL.

Κεφάλαιο 6: Υποθέσεις και προφυλάξεις για ανάλυση παλινδρόμησης

Ο όρος "υπόθεση" δεν ορίζεται αρκετά αυστηρά και ο τρόπος που χρησιμοποιείται υποδηλώνει ότι εάν η υπόθεση δεν ικανοποιείται, τότε τα αποτελέσματα ολόκληρης της ανάλυσης είναι τουλάχιστον αμφισβητήσιμα ή ίσως άκυρα. Αυτό δεν συμβαίνει στην πραγματικότητα, αν και σίγουρα υπάρχουν περιπτώσεις όπου η παραβίαση μιας υπόθεσης αλλάζει ριζικά την εικόνα. Βασικές παραδοχές: α) τα υπολείμματα της μεταβλητής Υ κατανέμονται κανονικά σε οποιοδήποτε σημείο Χ κατά μήκος της γραμμής παλινδρόμησης. β) Οι τιμές Y εξαρτώνται γραμμικά από τις τιμές X. γ) η διασπορά των υπολειμμάτων είναι περίπου η ίδια σε κάθε σημείο Χ. δ) δεν υπάρχει εξάρτηση μεταξύ των υπολειμμάτων.

Εάν οι υποθέσεις δεν παίζουν σημαντικό ρόλο, οι στατιστικολόγοι λένε ότι η ανάλυση είναι ισχυρή σε παραβίαση της υπόθεσης. Ειδικότερα, όταν χρησιμοποιείτε παλινδρόμηση για να ελέγξετε διαφορές μεταξύ των μέσων της ομάδας, η υπόθεση ότι οι τιμές Y - και επομένως τα υπολείμματα - κατανέμονται κανονικά δεν παίζει σημαντικό ρόλο: οι δοκιμές είναι ανθεκτικές σε παραβιάσεις της υπόθεσης κανονικότητας. Είναι σημαντικό να αναλύετε δεδομένα χρησιμοποιώντας γραφήματα. Για παράδειγμα, περιλαμβάνεται στο πρόσθετο Ανάλυση Δεδομένωνεργαλείο Οπισθοδρόμηση.

Εάν τα δεδομένα δεν πληρούν τις παραδοχές της γραμμικής παλινδρόμησης, υπάρχουν στη διάθεσή σας άλλες προσεγγίσεις εκτός από τη γραμμική παλινδρόμηση. Ένα από αυτά είναι η λογιστική παλινδρόμηση (Εικ. 20). Κοντά στα άνω και κάτω όρια της μεταβλητής πρόβλεψης, η γραμμική παλινδρόμηση παράγει μη ρεαλιστικές προβλέψεις.

Ρύζι. 20. Λογιστική παλινδρόμηση

Στο Σχ. Το Σχήμα 6.8 παρουσιάζει τα αποτελέσματα δύο μεθόδων ανάλυσης δεδομένων που στοχεύουν στην εξέταση της σχέσης μεταξύ του ετήσιου εισοδήματος και της πιθανότητας αγοράς κατοικίας. Προφανώς, η πιθανότητα αγοράς θα αυξηθεί με την αύξηση του εισοδήματος. Τα γραφήματα διευκολύνουν τον εντοπισμό των διαφορών μεταξύ των αποτελεσμάτων που η γραμμική παλινδρόμηση προβλέπει την πιθανότητα αγοράς ενός σπιτιού και των αποτελεσμάτων που μπορεί να λάβετε χρησιμοποιώντας μια διαφορετική προσέγγιση.

Στη γλώσσα του στατιστικολόγου, η απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης όταν στην πραγματικότητα είναι αληθής ονομάζεται σφάλμα τύπου Ι.

Στο πρόσθετο Ανάλυση Δεδομένωνπροσφέρει ένα βολικό εργαλείο για τη δημιουργία τυχαίων αριθμών, επιτρέποντας στον χρήστη να καθορίσει το επιθυμητό σχήμα της κατανομής (για παράδειγμα, Normal, Binomial ή Poisson), καθώς και τη μέση και τυπική απόκλιση.

Διαφορές μεταξύ συναρτήσεων της οικογένειας STUDENT.DIST().Ξεκινώντας με το Excel 2010, είναι διαθέσιμες τρεις διαφορετικές μορφές της συνάρτησης που επιστρέφουν την αναλογία της κατανομής στα αριστερά ή/και στα δεξιά μιας δεδομένης τιμής t-test. Η συνάρτηση STUDENT.DIST() επιστρέφει το κλάσμα της περιοχής κάτω από την καμπύλη κατανομής στα αριστερά της τιμής t-test που καθορίζετε. Ας υποθέσουμε ότι έχετε 36 παρατηρήσεις, οπότε ο αριθμός βαθμών ελευθερίας για την ανάλυση είναι 34 και η τιμή t-test = 1,69. Σε αυτή την περίπτωση ο τύπος

STUDENT.DIST(+1,69,34,TRUE)

επιστρέφει την τιμή 0,05 ή 5% (Εικόνα 21). Το τρίτο όρισμα της συνάρτησης STUDENT.DIST() μπορεί να είναι TRUE ή FALSE. Εάν οριστεί σε TRUE, η συνάρτηση επιστρέφει την αθροιστική περιοχή κάτω από την καμπύλη στα αριστερά της καθορισμένης δοκιμής t, εκφρασμένη ως αναλογία. Αν είναι FALSE, η συνάρτηση επιστρέφει το σχετικό ύψος της καμπύλης στο σημείο που αντιστοιχεί στο t-test. Άλλες εκδόσεις της συνάρτησης STUDENT.DIST() - STUDENT.DIST.PH() και STUDENT.DIST.2X() - λαμβάνουν μόνο την τιμή t-test και τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας ως ορίσματα και δεν απαιτούν τον καθορισμό τρίτου επιχείρημα.

Ρύζι. 21. Η πιο σκούρα σκιασμένη περιοχή στην αριστερή ουρά της κατανομής αντιστοιχεί στην αναλογία της περιοχής κάτω από την καμπύλη προς τα αριστερά μιας μεγάλης θετικής τιμής t-test

Για να προσδιορίσετε την περιοχή στα δεξιά του τεστ t, χρησιμοποιήστε έναν από τους τύπους:

1 — STIODENT.DIST (1, 69;34; TRUE)

STUDENT.DIST.PH(1,69;34)

Ολόκληρη η περιοχή κάτω από την καμπύλη πρέπει να είναι 100%, οπότε αφαιρώντας από το 1 το κλάσμα της περιοχής στα αριστερά της τιμής του t-test που επιστρέφει η συνάρτηση δίνει το κλάσμα της περιοχής στα δεξιά της τιμής του t-test. Ίσως σας φαίνεται προτιμότερο να λάβετε απευθείας το κλάσμα εμβαδού που σας ενδιαφέρει χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση STUDENT.DIST.PH(), όπου PH σημαίνει τη δεξιά ουρά της κατανομής (Εικ. 22).

Ρύζι. 22. Περιοχή άλφα 5% για δοκιμή κατεύθυνσης

Η χρήση των συναρτήσεων STUDENT.DIST() ή STUDENT.DIST.PH() σημαίνει ότι έχετε επιλέξει μια κατευθυντική υπόθεση εργασίας. Η κατευθυντική υπόθεση εργασίας σε συνδυασμό με τη ρύθμιση της τιμής άλφα στο 5% σημαίνει ότι τοποθετείτε και το 5% στη δεξιά ουρά των κατανομών. Θα πρέπει να απορρίψετε τη μηδενική υπόθεση μόνο εάν η πιθανότητα της τιμής του t-test που λαμβάνετε είναι 5% ή μικρότερη. Οι υποθέσεις κατεύθυνσης γενικά οδηγούν σε πιο ευαίσθητα στατιστικά τεστ (αυτή η μεγαλύτερη ευαισθησία ονομάζεται επίσης μεγαλύτερη στατιστική ισχύς).

Σε μια μη κατευθυνόμενη δοκιμή, η τιμή άλφα παραμένει στο ίδιο επίπεδο 5%, αλλά η κατανομή θα είναι διαφορετική. Επειδή πρέπει να επιτρέψετε δύο αποτελέσματα, η πιθανότητα ενός ψευδώς θετικού πρέπει να κατανεμηθεί μεταξύ των δύο ουρών της κατανομής. Είναι γενικά αποδεκτό να κατανέμεται εξίσου αυτή η πιθανότητα (Εικ. 23).

Χρησιμοποιώντας την ίδια τιμή t-test και τον ίδιο αριθμό βαθμών ελευθερίας όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, χρησιμοποιήστε τον τύπο

STUDENT.DIST.2Х(1,69;34)

Χωρίς ιδιαίτερο λόγο, η συνάρτηση STUDENT.DIST.2X() επιστρέφει τον κωδικό σφάλματος #NUM, εάν της δοθεί μια αρνητική τιμή t-test ως πρώτο όρισμα.

Εάν τα δείγματα περιέχουν διαφορετικές ποσότητες δεδομένων, χρησιμοποιήστε τη δοκιμή t δύο δειγμάτων με διαφορετικές διακυμάνσεις που περιλαμβάνονται στη συσκευασία Ανάλυση Δεδομένων.

Κεφάλαιο 7: Χρήση παλινδρόμησης για τον έλεγχο των διαφορών μεταξύ των μέσων της ομάδας

Οι μεταβλητές που εμφανίζονταν προηγουμένως κάτω από το όνομα μεταβλητές πρόβλεψης θα ονομάζονται μεταβλητές αποτελέσματος σε αυτό το κεφάλαιο και ο όρος μεταβλητές παράγοντα θα χρησιμοποιηθεί αντί του όρου μεταβλητές πρόβλεψης.

Η απλούστερη προσέγγιση για την κωδικοποίηση μιας ονομαστικής μεταβλητής είναι εικονική κωδικοποίηση(Εικ. 24).

Ρύζι. 24. Ανάλυση παλινδρόμησης βασισμένη σε εικονική κωδικοποίηση

Όταν χρησιμοποιείτε ψευδή κωδικοποίηση οποιουδήποτε είδους, θα πρέπει να ακολουθούνται οι ακόλουθοι κανόνες:

• Ο αριθμός των στηλών που προορίζονται για νέα δεδομένα πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των επιπέδων παραγόντων μείον
• Κάθε διάνυσμα αντιπροσωπεύει ένα επίπεδο παράγοντα.
• Τα θέματα σε ένα από τα επίπεδα, που είναι συχνά η ομάδα ελέγχου, κωδικοποιούνται με 0 σε όλα τα διανύσματα.

Ο τύπος στα κελιά F2:H6 =LINEST(A2:A22,C2:D22,;TRUE) επιστρέφει στατιστικά στοιχεία παλινδρόμησης. Για σύγκριση, στο Σχ. Το Σχήμα 24 δείχνει τα αποτελέσματα της παραδοσιακής ANOVA που επιστρέφονται από το εργαλείο. Μονόδρομος ANOVAπρόσθετα Ανάλυση Δεδομένων.

Κωδικοποίηση εφέ.Σε έναν άλλο τύπο κωδικοποίησης που ονομάζεται κωδικοποίηση εφέ,Ο μέσος όρος κάθε ομάδας συγκρίνεται με τον μέσο όρο των μέσων της ομάδας. Αυτή η πτυχή της κωδικοποίησης εφέ οφείλεται στη χρήση του -1 αντί του 0 ως κώδικα για την ομάδα, η οποία λαμβάνει τον ίδιο κώδικα σε όλα τα διανύσματα κώδικα (Εικόνα 25).

Ρύζι. 25. Κωδικοποίηση εφέ

Όταν χρησιμοποιείται εικονική κωδικοποίηση, η σταθερή τιμή που επιστρέφεται από το LINEST() είναι ο μέσος όρος της ομάδας στην οποία εκχωρούνται μηδενικοί κωδικοί σε όλα τα διανύσματα (συνήθως στην ομάδα ελέγχου). Στην περίπτωση κωδικοποίησης εφέ, η σταθερά είναι ίση με τη συνολική μέση τιμή (κελί J2).

Το γενικό γραμμικό μοντέλο είναι ένας χρήσιμος τρόπος για να κατανοήσουμε τις συνιστώσες της τιμής μιας μεταβλητής αποτελέσματος:

Y ij = μ + α j + ε ij

Η χρήση ελληνικών γραμμάτων σε αυτόν τον τύπο αντί για λατινικά γράμματα υπογραμμίζει το γεγονός ότι αναφέρεται στον πληθυσμό από τον οποίο λαμβάνονται δείγματα, αλλά μπορεί να ξαναγραφτεί για να υποδείξει ότι αναφέρεται σε δείγματα που προέρχονται από έναν δεδομένο πληθυσμό:

Y ij = Y̅ + a j + e ij

Η ιδέα είναι ότι κάθε παρατήρηση Y ij μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα των ακόλουθων τριών συνιστωσών: ο γενικός μέσος όρος, μ; επίδραση της θεραπείας j, και j; τιμή e ij, η οποία αντιπροσωπεύει την απόκλιση του μεμονωμένου ποσοτικού δείκτη Y ij από τη συνδυασμένη τιμή του γενικού μέσου όρου και την επίδραση της j-ης επεξεργασίας (Εικ. 26). Ο στόχος της εξίσωσης παλινδρόμησης είναι να ελαχιστοποιήσει το άθροισμα των τετραγώνων των υπολειμμάτων.

Ρύζι. 26. Παρατηρήσεις αποσυντεθειμένες σε συνιστώσες ενός γενικού γραμμικού μοντέλου

Παραγοντική ανάλυση.Εάν η σχέση μεταξύ της μεταβλητής αποτελέσματος και δύο ή περισσότερων παραγόντων μελετηθεί ταυτόχρονα, τότε σε αυτή την περίπτωση μιλάμε για χρήση της παραγοντικής ανάλυσης. Η προσθήκη ενός ή περισσότερων παραγόντων σε μια μονόδρομη ANOVA μπορεί να αυξήσει τη στατιστική ισχύ. Στη μονόδρομη ανάλυση διακύμανσης, η διακύμανση στη μεταβλητή του αποτελέσματος που δεν μπορεί να αποδοθεί σε έναν παράγοντα περιλαμβάνεται στο υπολειπόμενο μέσο τετράγωνο. Αλλά μπορεί κάλλιστα αυτή η παραλλαγή να σχετίζεται με έναν άλλο παράγοντα. Στη συνέχεια, αυτή η διακύμανση μπορεί να αφαιρεθεί από το μέσο τετραγωνικό σφάλμα, μια μείωση του οποίου οδηγεί σε αύξηση των τιμών της δοκιμής F και επομένως σε αύξηση της στατιστικής ισχύος της δοκιμής. Εποικοδόμημα Ανάλυση Δεδομένωνπεριλαμβάνει ένα εργαλείο που επεξεργάζεται δύο παράγοντες ταυτόχρονα (Εικ. 27).

Ρύζι. 27. Εργαλείο Αμφίδρομη ανάλυση διακύμανσης με επαναλήψεις του Πακέτο Ανάλυσης

Το εργαλείο ANOVA που χρησιμοποιείται σε αυτό το σχήμα είναι χρήσιμο επειδή επιστρέφει τον μέσο όρο και τη διακύμανση της μεταβλητής αποτελέσματος, καθώς και την τιμή μετρητή, για κάθε ομάδα που περιλαμβάνεται στη σχεδίαση. Στον πίνακα Ανάλυση διακύμανσηςεμφανίζει δύο παραμέτρους που δεν υπάρχουν στην έξοδο της έκδοσης ενός παράγοντα του εργαλείου ANOVA. Δώστε προσοχή στις πηγές παραλλαγής ΔείγμαΚαι Στήλεςστις γραμμές 27 και 28. Πηγή παραλλαγής Στήλεςαναφέρεται στο φύλο. Πηγή παραλλαγής Δείγμααναφέρεται σε οποιαδήποτε μεταβλητή της οποίας οι τιμές καταλαμβάνουν διαφορετικές γραμμές. Στο Σχ. 27 τιμές για την ομάδα KursLech1 βρίσκονται στις γραμμές 2-6, η ομάδα KursLech2 είναι στις γραμμές 7-11 και η ομάδα KursLechZ είναι στις γραμμές 12-16.

Το κύριο σημείο είναι ότι και οι δύο παράγοντες, Φύλο (στήλες ετικέτας στο κελί E28) και θεραπεία (δείγμα ετικέτας στο κελί E27), περιλαμβάνονται στον πίνακα ANOVA ως πηγές διακύμανσης. Τα μέσα για τους άνδρες είναι διαφορετικά από τα μέσα για τις γυναίκες, και αυτό δημιουργεί μια πηγή διαφοροποίησης. Τα μέσα για τις τρεις θεραπείες διαφέρουν επίσης, παρέχοντας μια άλλη πηγή διαφοροποίησης. Υπάρχει επίσης μια τρίτη πηγή, η αλληλεπίδραση, η οποία αναφέρεται στη συνδυαστική επίδραση των μεταβλητών Φύλο και Θεραπεία.

Κεφάλαιο 8. Ανάλυση Συνδιακύμανσης

Το Analysis of Covariance, ή ANCOVA (Analysis of Covariation), μειώνει την προκατάληψη και αυξάνει τη στατιστική ισχύ. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι ένας από τους τρόπους αξιολόγησης της αξιοπιστίας μιας εξίσωσης παλινδρόμησης είναι τα F-test:

F = MS Regression/MS Residual

όπου MS (Μέσο τετράγωνο) είναι το μέσο τετράγωνο και οι δείκτες Παλινδρόμησης και Υπολειπόμενος υποδεικνύουν την παλινδρόμηση και την υπολειπόμενη συνιστώσα, αντίστοιχα. Το MS Residual υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

MS Residual = SS Residual / df Residual

όπου SS (Άθροισμα τετραγώνων) είναι το άθροισμα των τετραγώνων και df είναι ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας. Όταν προσθέτετε συνδιακύμανση σε μια εξίσωση παλινδρόμησης, κάποιο μέρος του συνολικού αθροίσματος τετραγώνων δεν περιλαμβάνεται στο SS ResiduaI, αλλά στο SS Regression. Αυτό οδηγεί σε μείωση του SS Residua l, και ως εκ τούτου του MS Residual. Όσο μικρότερο είναι το MS Residual, τόσο μεγαλύτερο είναι το F-test και τόσο πιο πιθανό είναι να απορρίψετε τη μηδενική υπόθεση ότι δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ των μέσων. Ως αποτέλεσμα, ανακατανέμετε τη μεταβλητότητα της μεταβλητής αποτελέσματος. Στην ANOVA, όταν η συνδιακύμανση δεν λαμβάνεται υπόψη, η μεταβλητότητα γίνεται σφάλμα. Αλλά στο ANCOVA, μέρος της μεταβλητότητας που αποδόθηκε προηγουμένως στον όρο σφάλματος εκχωρείται σε μια συμμεταβλητή και γίνεται μέρος της παλινδρόμησης SS.

Εξετάστε ένα παράδειγμα στο οποίο το ίδιο σύνολο δεδομένων αναλύεται πρώτα με ANOVA και μετά με ANCOVA (Εικόνα 28).

Ρύζι. 28. Η ανάλυση ANOVA δείχνει ότι τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την εξίσωση παλινδρόμησης είναι αναξιόπιστα

Η μελέτη συγκρίνει τις σχετικές επιδράσεις της σωματικής άσκησης, που αναπτύσσει τη μυϊκή δύναμη, και της γνωστικής άσκησης (κάνοντας σταυρόλεξα), που διεγείρει την εγκεφαλική δραστηριότητα. Τα άτομα χωρίστηκαν τυχαία σε δύο ομάδες έτσι ώστε και οι δύο ομάδες να εκτεθούν στις ίδιες συνθήκες στην αρχή του πειράματος. Μετά από τρεις μήνες, μετρήθηκε η γνωστική απόδοση των υποκειμένων. Τα αποτελέσματα αυτών των μετρήσεων φαίνονται στη στήλη Β.

Το εύρος A2:C21 περιέχει τα δεδομένα πηγής που μεταβιβάστηκαν στη συνάρτηση LINEST() για την εκτέλεση ανάλυσης χρησιμοποιώντας κωδικοποίηση εφέ. Τα αποτελέσματα της συνάρτησης LINEST() δίνονται στην περιοχή E2:F6, όπου το κελί E2 εμφανίζει τον συντελεστή παλινδρόμησης που σχετίζεται με το διάνυσμα κρούσης. Το κελί E8 περιέχει t-test = 0,93 και το κελί E9 ελέγχει την αξιοπιστία αυτού του t-test. Η τιμή που περιέχεται στο κελί Ε9 υποδεικνύει ότι η πιθανότητα να συναντήσετε τη διαφορά μεταξύ των μέσων της ομάδας που παρατηρήθηκε σε αυτό το πείραμα είναι 36% εάν οι μέσοι όροι της ομάδας είναι ίσοι στον πληθυσμό. Λίγοι θεωρούν αυτό το αποτέλεσμα στατιστικά σημαντικό.

Στο Σχ. Το Σχήμα 29 δείχνει τι συμβαίνει όταν προσθέτετε μια συμμεταβλητή στην ανάλυση. Σε αυτήν την περίπτωση, πρόσθεσα την ηλικία κάθε θέματος στο σύνολο δεδομένων. Ο συντελεστής προσδιορισμού R 2 για την εξίσωση παλινδρόμησης που χρησιμοποιεί τη συμμεταβλητή είναι 0,80 (κελί F4). Η τιμή R 2 στην περιοχή F15:G19, στην οποία αντιγράφω τα αποτελέσματα ANOVA που ελήφθησαν χωρίς τη συμμεταβλητή, είναι μόνο 0,05 (κελί F17). Επομένως, μια εξίσωση παλινδρόμησης που περιλαμβάνει τη συμμεταβλητή προβλέπει τιμές για τη μεταβλητή Γνωσιακής Βαθμολογίας με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια από τη χρήση του διανύσματος Επιπτώσεων μόνο. Για το ANCOVA, η πιθανότητα να ληφθεί τυχαία η τιμή δοκιμής F που εμφανίζεται στο κελί F5 είναι μικρότερη από 0,01%.

Ρύζι. 29. Η ANCOVA επαναφέρει μια εντελώς διαφορετική εικόνα

28 Οκτ

Καλησπέρα, αγαπητοί αναγνώστες του ιστολογίου! Σήμερα θα μιλήσουμε για μη γραμμικές παλινδρομήσεις. Η λύση των γραμμικών παλινδρομήσεων μπορεί να προβληθεί στο LINK.

Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται κυρίως στην οικονομική μοντελοποίηση και την πρόβλεψη. Στόχος του είναι να παρατηρήσει και να εντοπίσει εξαρτήσεις μεταξύ δύο δεικτών.

Οι κύριοι τύποι μη γραμμικής παλινδρόμησης είναι:

• πολυώνυμο (τετραγωνικό, κυβικό).
• υπερβολικός;
• ήσυχος;
• εκδηλωτικός;
• λογαριθμική

Μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν διάφοροι συνδυασμοί. Για παράδειγμα, για ανάλυση χρονοσειρών σε τραπεζικές, ασφαλιστικές και δημογραφικές μελέτες, χρησιμοποιείται η καμπύλη Gompzer, η οποία είναι ένας τύπος λογαριθμικής παλινδρόμησης.

Στην πρόβλεψη με χρήση μη γραμμικών παλινδρομήσεων, το κύριο πράγμα είναι να βρούμε τον συντελεστή συσχέτισης, ο οποίος θα μας δείξει εάν υπάρχει στενή σχέση μεταξύ δύο παραμέτρων ή όχι. Κατά κανόνα, εάν ο συντελεστής συσχέτισης είναι κοντά στο 1, τότε υπάρχει σύνδεση και η πρόβλεψη θα είναι αρκετά ακριβής. Ένα άλλο σημαντικό στοιχείο των μη γραμμικών παλινδρομήσεων είναι το μέσο σχετικό σφάλμα ( ΕΝΑ ), εάν είναι στο διάστημα<8…10%, значит модель достаточно точна.

Εδώ μάλλον θα ολοκληρώσουμε το θεωρητικό μπλοκ και θα προχωρήσουμε σε πρακτικούς υπολογισμούς.

Έχουμε έναν πίνακα πωλήσεων αυτοκινήτων για μια περίοδο 15 ετών (ας τον υποδηλώσουμε X), ο αριθμός των βημάτων μέτρησης θα είναι το όρισμα n, έχουμε επίσης έσοδα για αυτές τις περιόδους (ας το συμβολίσουμε με Y), πρέπει να προβλέψουμε τι τα έσοδα θα είναι στο μέλλον. Ας φτιάξουμε τον παρακάτω πίνακα:

Για τη μελέτη θα χρειαστεί να λύσουμε την εξίσωση (εξάρτηση του Υ από το Χ): y=ax 2 +bx+c+e. Αυτή είναι μια κατά ζεύγη τετραγωνική παλινδρόμηση. Σε αυτήν την περίπτωση, εφαρμόζουμε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για να βρούμε τα άγνωστα ορίσματα - a, b, c. Θα οδηγήσει σε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων της μορφής:

Για να λύσουμε αυτό το σύστημα, θα χρησιμοποιήσουμε, για παράδειγμα, τη μέθοδο του Cramer. Βλέπουμε ότι τα αθροίσματα που περιλαμβάνονται στο σύστημα είναι συντελεστές για τους αγνώστους. Για να τα υπολογίσουμε, θα προσθέσουμε πολλές στήλες στον πίνακα (D,E,F,G,H) και θα υπογράψουμε σύμφωνα με το νόημα των υπολογισμών - στη στήλη D θα τετραγωνίσουμε το x, στο E θα το βάλουμε σε κύβο, στο F θα πολλαπλασιάσουμε τους εκθέτες x και y, στο H θα τετραγωνίσουμε το x και θα πολλαπλασιάσουμε με το y.

Θα λάβετε έναν πίνακα της φόρμας γεμάτο με τα πράγματα που χρειάζονται για να λύσετε την εξίσωση.

Ας σχηματίσουμε μια μήτρα ΕΝΑ σύστημα που αποτελείται από συντελεστές για αγνώστους στην αριστερή πλευρά των εξισώσεων. Ας το τοποθετήσουμε στο κελί A22 και ας το ονομάσουμε " Α=". Ακολουθούμε το σύστημα εξισώσεων που επιλέξαμε για να λύσουμε την παλινδρόμηση.

Δηλαδή, στο κελί B21 πρέπει να τοποθετήσουμε το άθροισμα της στήλης όπου ανεβάσαμε τον δείκτη Χ στην τέταρτη δύναμη - F17. Ας αναφερθούμε απλώς στο κελί - "=F17". Στη συνέχεια, χρειαζόμαστε το άθροισμα της στήλης όπου το X ήταν κυβισμένο - E17, τότε πηγαίνουμε αυστηρά σύμφωνα με το σύστημα. Έτσι, θα χρειαστεί να συμπληρώσουμε ολόκληρο τον πίνακα.

Σύμφωνα με τον αλγόριθμο του Cramer, θα πληκτρολογήσουμε έναν πίνακα A1, παρόμοιο με τον A, στον οποίο αντί για τα στοιχεία της πρώτης στήλης θα πρέπει να τοποθετηθούν τα στοιχεία των δεξιών πλευρών των εξισώσεων του συστήματος. Δηλαδή, το άθροισμα της στήλης Χ πολλαπλασιασμένο επί το Υ, το άθροισμα της στήλης ΧΥ και το άθροισμα της στήλης Υ.

Θα χρειαστούμε επίσης δύο ακόμη πίνακες - ας τους ονομάσουμε Α2 και Α3 στους οποίους η δεύτερη και η τρίτη στήλη θα αποτελούνται από τους συντελεστές της δεξιάς πλευράς των εξισώσεων. Η εικόνα θα είναι έτσι.

Ακολουθώντας τον επιλεγμένο αλγόριθμο, θα χρειαστεί να υπολογίσουμε τις τιμές των οριζόντιων παραγόντων (ορίζοντες, D) των πινάκων που προκύπτουν. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο MOPRED. Θα τοποθετήσουμε τα αποτελέσματα στα κελιά J21:K24.

Θα υπολογίσουμε τους συντελεστές της εξίσωσης σύμφωνα με τον Cramer στα κελιά απέναντι από τις αντίστοιχες ορίζουσες χρησιμοποιώντας τον τύπο: ένα(στο κελί M22) - "=K22/K21"; σι(στο κελί M23) - "=K23/K21"; Με(στο κελί M24) - "=K24/K21".

Παίρνουμε την επιθυμητή μας εξίσωση ζευγαρωμένης τετραγωνικής παλινδρόμησης:

y=-0,074x 2 +2,151x+6,523

Ας αξιολογήσουμε την εγγύτητα της γραμμικής σχέσης χρησιμοποιώντας τον δείκτη συσχέτισης.

Για να υπολογίσετε, προσθέστε μια επιπλέον στήλη J στον πίνακα (ας την ονομάσουμε y*). Ο υπολογισμός θα γίνει ως εξής (σύμφωνα με την εξίσωση παλινδρόμησης που λάβαμε) - "=$m$22*B2*B2+$M$23*B2+$M$24."Ας το τοποθετήσουμε στο κελί J2. Το μόνο που απομένει είναι να σύρετε τον δείκτη αυτόματης συμπλήρωσης στο κελί J16.

Για να υπολογίσετε τα αθροίσματα (Υ-Υ μέσος όρος) 2, προσθέστε τις στήλες K και L στον πίνακα με τους αντίστοιχους τύπους. Υπολογίζουμε τον μέσο όρο για τη στήλη Y χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση AVERAGE.

Στο κελί K25 θα τοποθετήσουμε τον τύπο για τον υπολογισμό του δείκτη συσχέτισης - “=ROOT(1-(K17/L17))”.

Βλέπουμε ότι η τιμή του 0,959 είναι πολύ κοντά στο 1, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει μια στενή μη γραμμική σχέση μεταξύ των πωλήσεων και των ετών.

Απομένει να αξιολογηθεί η ποιότητα προσαρμογής της εξίσωσης τετραγωνικής παλινδρόμησης που προκύπτει (δείκτης προσδιορισμού). Υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο για τον τετραγωνικό δείκτη συσχέτισης. Δηλαδή, ο τύπος στο κελί K26 θα είναι πολύ απλός - "=K25*K25".

Ο συντελεστής 0,920 είναι κοντά στο 1, γεγονός που υποδηλώνει υψηλή ποιότητα προσαρμογής.

Το τελευταίο βήμα είναι ο υπολογισμός του σχετικού σφάλματος. Ας προσθέσουμε μια στήλη και εισάγουμε τον τύπο εκεί: “=ABS((C2-J2)/C2), ABS - ενότητα, απόλυτη τιμή. Σχεδιάστε το δείκτη προς τα κάτω και στο κελί M18 εμφανίστε τη μέση τιμή (AVERAGE), αντιστοιχίστε τη μορφή ποσοστού στα κελιά. Το αποτέλεσμα που λήφθηκε - 7,79% είναι εντός των αποδεκτών τιμών σφάλματος<8…10%. Значит вычисления достаточно точны.

Εάν προκύψει ανάγκη, μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα γράφημα χρησιμοποιώντας τις λαμβανόμενες τιμές.

Επισυνάπτεται ένα παράδειγμα αρχείου - ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ!

Κατηγορίες:// από 28/10/2017

Παλινδρόμηση στο Excel

Η επεξεργασία στατιστικών δεδομένων μπορεί επίσης να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας το πρόσθετο Πακέτο Ανάλυσης στο υποστοιχείο του μενού «Υπηρεσία». Στο Excel 2003, αν ανοίξετε ΥΠΗΡΕΣΙΑ, δεν μπορούμε να βρούμε την καρτέλα ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ, μετά κάντε κλικ στο αριστερό κουμπί του ποντικιού για να ανοίξετε την καρτέλα ΥΠΕΡΔΟΜΕΣκαι απέναντι από το σημείο ΠΑΚΕΤΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣΚάντε κλικ στο αριστερό κουμπί του ποντικιού για να βάλετε ένα σημάδι επιλογής (Εικ. 17).

Ρύζι. 17. Παράθυρο ΥΠΕΡΔΟΜΕΣ

Μετά από αυτό στο μενού ΥΠΗΡΕΣΙΑεμφανίζεται η καρτέλα ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ.

Στο Excel 2007 για εγκατάσταση ΠΑΚΕΤΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣπρέπει να κάνετε κλικ στο κουμπί OFFICE στην επάνω αριστερή γωνία του φύλλου (Εικ. 18α). Στη συνέχεια, κάντε κλικ στο κουμπί ΡΥΘΜΙΣΕΙΣ EXCEL. Στο παράθυρο που εμφανίζεται ΡΥΘΜΙΣΕΙΣ EXCELκάντε αριστερό κλικ στο αντικείμενο ΥΠΕΡΔΟΜΕΣκαι στη δεξιά πλευρά της αναπτυσσόμενης λίστας επιλέξτε το στοιχείο ΠΑΚΕΤΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ.Επόμενο κλικ στο ΕΝΤΑΞΕΙ.

Επιλογές Excel Κουμπί γραφείου

Ρύζι. 18. Εγκατάσταση ΠΑΚΕΤΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣστο Excel 2007

Για να εγκαταστήσετε το Πακέτο Ανάλυσης, κάντε κλικ στο κουμπί ΠΑΩ,που βρίσκεται στο κάτω μέρος του ανοιχτού παραθύρου. Θα εμφανιστεί ένα παράθυρο όπως φαίνεται στο Σχ. 12. Βάλτε ένα τσιμπούρι μπροστά από ΠΑΚΕΤΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ.Στην καρτέλα ΔΕΔΟΜΕΝΑθα εμφανιστεί ένα κουμπί ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ(Εικ. 19).

Από τα προτεινόμενα είδη, επιλέξτε το στοιχείο " ΟΠΙΣΘΟΔΡΟΜΗΣΗ" και κάντε κλικ σε αυτό με το αριστερό κουμπί του ποντικιού. Στη συνέχεια, κάντε κλικ στο OK.

Θα εμφανιστεί ένα παράθυρο όπως φαίνεται στο Σχ. 21

Εργαλείο ανάλυσης " ΟΠΙΣΘΟΔΡΟΜΗΣΗ» χρησιμοποιείται για την προσαρμογή ενός γραφήματος σε ένα σύνολο παρατηρήσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Η παλινδρόμηση χρησιμοποιείται για την ανάλυση της επίδρασης σε μια μεμονωμένη εξαρτημένη μεταβλητή των τιμών μιας ή περισσότερων ανεξάρτητων μεταβλητών. Για παράδειγμα, διάφοροι παράγοντες επηρεάζουν την αθλητική απόδοση ενός αθλητή, όπως η ηλικία, το ύψος και το βάρος. Είναι δυνατόν να υπολογιστεί ο βαθμός στον οποίο καθένας από αυτούς τους τρεις παράγοντες επηρεάζει την απόδοση ενός αθλητή και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσει αυτά τα δεδομένα για να προβλέψει την απόδοση ενός άλλου αθλητή.

Το εργαλείο παλινδρόμησης χρησιμοποιεί τη συνάρτηση LINEST.

Πλαίσιο διαλόγου REGRESSION

Ετικέτες Επιλέξτε το πλαίσιο ελέγχου εάν η πρώτη σειρά ή η πρώτη στήλη του εύρους εισαγωγής περιέχει επικεφαλίδες. Καταργήστε αυτό το πλαίσιο ελέγχου εάν δεν υπάρχουν κεφαλίδες. Σε αυτήν την περίπτωση, οι κατάλληλες κεφαλίδες για τα δεδομένα του πίνακα εξόδου θα δημιουργηθούν αυτόματα.

Επίπεδο αξιοπιστίας Επιλέξτε το πλαίσιο ελέγχου για να συμπεριλάβετε ένα επιπλέον επίπεδο στον συνοπτικό πίνακα εξόδου. Στο κατάλληλο πεδίο, εισαγάγετε το επίπεδο εμπιστοσύνης που θέλετε να εφαρμόσετε, εκτός από το προεπιλεγμένο επίπεδο 95%.

Σταθερά - μηδέν Επιλέξτε το πλαίσιο ελέγχου για να αναγκάσετε τη γραμμή παλινδρόμησης να περάσει από την αρχή.

Εύρος εξόδου Εισαγάγετε την αναφορά στο επάνω αριστερό κελί της περιοχής εξόδου. Παρέχετε τουλάχιστον επτά στήλες για τον συνοπτικό πίνακα εξόδου, ο οποίος θα περιλαμβάνει: αποτελέσματα ANOVA, συντελεστές, τυπικό σφάλμα του υπολογισμού Y, τυπικές αποκλίσεις, αριθμό παρατηρήσεων, τυπικά σφάλματα για συντελεστές.

Νέο φύλλο εργασίας Επιλέξτε αυτήν την επιλογή για να ανοίξετε ένα νέο φύλλο εργασίας στο βιβλίο εργασίας και να επικολλήσετε τα αποτελέσματα της ανάλυσης, ξεκινώντας από το κελί A1. Εάν είναι απαραίτητο, εισαγάγετε ένα όνομα για το νέο φύλλο στο πεδίο που βρίσκεται απέναντι από το αντίστοιχο κουμπί επιλογής.

Νέο βιβλίο εργασίας Επιλέξτε αυτήν την επιλογή για να δημιουργήσετε ένα νέο βιβλίο εργασίας με τα αποτελέσματα να προστίθενται σε ένα νέο φύλλο εργασίας.

Υπολείμματα Επιλέξτε το πλαίσιο ελέγχου για να συμπεριλάβετε υπολείμματα στον πίνακα εξόδου.

Τυποποιημένα υπολείμματα Επιλέξτε το πλαίσιο ελέγχου για να συμπεριλάβετε τυποποιημένα υπολείμματα στον πίνακα εξόδου.

Υπολειπόμενη γραφική παράσταση Επιλέξτε το πλαίσιο ελέγχου για να σχεδιάσετε τα υπολείμματα για κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή.

Fit Plot Επιλέξτε το πλαίσιο ελέγχου για να σχεδιάσετε τις προβλεπόμενες έναντι των παρατηρούμενων τιμών.

Οικόπεδο κανονικής πιθανότηταςΕπιλέξτε το πλαίσιο ελέγχου για να σχεδιάσετε ένα κανονικό γράφημα πιθανοτήτων.

Λειτουργία LINEST

Για να πραγματοποιήσετε υπολογισμούς, επιλέξτε με τον κέρσορα το κελί στο οποίο θέλουμε να εμφανιστεί η μέση τιμή και πατήστε το πλήκτρο = στο πληκτρολόγιο. Στη συνέχεια, στο πεδίο Όνομα, υποδείξτε την επιθυμητή λειτουργία, για παράδειγμα ΜΕΣΟΣ(Εικ. 22).

Ρύζι. 22 Εύρεση συναρτήσεων στο Excel 2003

Αν στο χωράφι ΟΝΟΜΑτο όνομα της συνάρτησης δεν εμφανίζεται και, στη συνέχεια, κάντε αριστερό κλικ στο τρίγωνο δίπλα στο πεδίο και μετά θα εμφανιστεί ένα παράθυρο με μια λίστα συναρτήσεων. Εάν αυτή η λειτουργία δεν βρίσκεται στη λίστα, κάντε αριστερό κλικ στο στοιχείο της λίστας ΑΛΛΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ, θα εμφανιστεί ένα πλαίσιο διαλόγου FUNCTION MASTER, στο οποίο, χρησιμοποιώντας κάθετη κύλιση, επιλέξτε τη λειτουργία που θέλετε, τονίστε την με τον κέρσορα και κάντε κλικ στο ΕΝΤΑΞΕΙ(Εικ. 23).

Ρύζι. 23. Οδηγός λειτουργιών

Για να αναζητήσετε μια συνάρτηση στο Excel 2007, μπορείτε να ανοίξετε οποιαδήποτε καρτέλα στο μενού, στη συνέχεια, για να πραγματοποιήσετε υπολογισμούς, επιλέξτε με τον κέρσορα το κελί στο οποίο θέλουμε να εμφανιστεί η μέση τιμή και πατήστε το πλήκτρο = στο πληκτρολόγιο. Στη συνέχεια, στο πεδίο Όνομα, καθορίστε τη συνάρτηση ΜΕΣΟΣ. Το παράθυρο για τον υπολογισμό της συνάρτησης είναι παρόμοιο με αυτό που εμφανίζεται στο Excel 2003.

Μπορείτε επίσης να επιλέξετε την καρτέλα Τύποι και να κάνετε αριστερό κλικ στο κουμπί στο μενού " ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ"(Εικ. 24), θα εμφανιστεί ένα παράθυρο FUNCTION MASTER, η εμφάνιση του οποίου μοιάζει με το Excel 2003. Επίσης στο μενού μπορείτε να επιλέξετε αμέσως μια κατηγορία συναρτήσεων (πρόσφατα χρησιμοποιημένες, οικονομική, λογική, κείμενο, ημερομηνία και ώρα, μαθηματικές, άλλες συναρτήσεις) στις οποίες θα αναζητήσουμε τις επιθυμητές λειτουργία.

Άλλα χαρακτηριστικά Σύνδεσμοι και Πίνακες Μαθηματικός

Ρύζι. 24 Επιλογή συνάρτησης στο Excel 2007

Λειτουργία LINESTυπολογίζει στατιστικά στοιχεία για μια σειρά χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για να υπολογίσει την ευθεία που προσεγγίζει καλύτερα τα διαθέσιμα δεδομένα και στη συνέχεια επιστρέφει έναν πίνακα που περιγράφει την ευθεία που προκύπτει. Μπορείτε επίσης να συνδυάσετε τη λειτουργία LINESTμε άλλες συναρτήσεις για τον υπολογισμό άλλων ειδών μοντέλων που είναι γραμμικά σε άγνωστες παραμέτρους (των οποίων οι άγνωστες παράμετροι είναι γραμμικές), συμπεριλαμβανομένων των σειρών πολυωνυμικών, λογαριθμικών, εκθετικών και ισχύος. Επειδή επιστρέφεται ένας πίνακας τιμών, η συνάρτηση πρέπει να καθοριστεί ως τύπος πίνακα.

Η εξίσωση για μια ευθεία γραμμή είναι:

(σε περίπτωση πολλών περιοχών τιμών x),

όπου η εξαρτημένη τιμή y είναι συνάρτηση της ανεξάρτητης τιμής x, οι τιμές m είναι οι συντελεστές που αντιστοιχούν σε κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή x και το b είναι μια σταθερά. Σημειώστε ότι τα y, x και m μπορούν να είναι διανύσματα. Λειτουργία LINESTεπιστρέφει έναν πίνακα . LINESTμπορεί επίσης να επιστρέψει πρόσθετα στατιστικά στοιχεία παλινδρόμησης.

LINEST(γνωστές_τιμές_y; γνωστές_τιμές_x; const; στατιστικά)

Known_y_values ​​- το σύνολο των τιμών y που είναι ήδη γνωστά για τη σχέση.

Εάν ο πίνακας Known_y_values ​​έχει μία στήλη, τότε κάθε στήλη στον πίνακα known_x_values ​​αντιμετωπίζεται ως ξεχωριστή μεταβλητή.

Εάν ο πίνακας Known_y_values ​​έχει μία σειρά, τότε κάθε γραμμή στον πίνακα known_x_values ​​αντιμετωπίζεται ως ξεχωριστή μεταβλητή.

Το Known_x-values ​​είναι ένα προαιρετικό σύνολο τιμών x που είναι ήδη γνωστά για τη σχέση.

Ο πίνακας Known_x_values ​​μπορεί να περιέχει ένα ή περισσότερα σύνολα μεταβλητών. Εάν χρησιμοποιείται μόνο μία μεταβλητή, τότε οι πίνακες Known_y_values ​​και known_x_values ​​μπορούν να έχουν οποιοδήποτε σχήμα - αρκεί να έχουν την ίδια διάσταση. Εάν χρησιμοποιούνται περισσότερες από μία μεταβλητές, τότε το Known_y_values ​​πρέπει να είναι ένα διάνυσμα (δηλαδή, ένα διάστημα ύψους μίας γραμμής ή πλάτους μίας στήλης).

Εάν παραλειφθεί ο πίνακας_γνωστών_χ_τιμών, τότε ο πίνακας (1;2;3;...) θεωρείται ότι έχει το ίδιο μέγεθος με τον πίνακα_γνωστές_τιμές_y.

Το Const είναι μια δυαδική τιμή που καθορίζει εάν η σταθερά b απαιτείται να είναι ίση με 0.

Εάν το όρισμα "const" είναι TRUE ή παραλειφθεί, τότε η σταθερά b αξιολογείται ως συνήθως.

Εάν το όρισμα "const" είναι FALSE, τότε η τιμή του b ορίζεται στο 0 και οι τιμές του m επιλέγονται με τέτοιο τρόπο ώστε η σχέση να ικανοποιείται.

Στατιστικά - Μια boolean τιμή που υποδεικνύει εάν πρέπει να επιστραφούν πρόσθετα στατιστικά στοιχεία παλινδρόμησης.

Εάν τα στατιστικά στοιχεία είναι TRUE, το LINEST επιστρέφει επιπλέον στατιστικά στοιχεία παλινδρόμησης. Ο πίνακας που επιστρέφεται θα μοιάζει με αυτό: (mn;mn-1;...;m1;b:sen;sen-1;...;se1;seb:r2;sey:F;df:ssreg;ssresid).

Εάν τα στατιστικά στοιχεία είναι FALSE ή παραλείπονται, το LINEST επιστρέφει μόνο τους συντελεστές m και τη σταθερά b.

Πρόσθετα στατιστικά παλινδρόμησης.

Μέγεθος Περιγραφή se1,se2,...,sen Τυπικές τιμές σφάλματος για τους συντελεστές m1,m2,...,mn. seb Τυπική τιμή σφάλματος για τη σταθερά b (seb = #N/A εάν το const είναι FALSE). r2 Συντελεστής ντετερμινισμού. Συγκρίνονται οι πραγματικές τιμές του y και οι τιμές που λαμβάνονται από την εξίσωση της γραμμής. Με βάση τα αποτελέσματα σύγκρισης, υπολογίζεται ο συντελεστής ντετερμινισμού, κανονικοποιημένος από 0 σε 1. Εάν είναι ίσος με 1, τότε υπάρχει πλήρης συσχέτιση με το μοντέλο, δηλ. δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ των πραγματικών και των εκτιμώμενων τιμών του υ. Στην αντίθετη περίπτωση, εάν ο συντελεστής προσδιορισμού είναι 0, δεν έχει νόημα να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση παλινδρόμησης για να προβλέψουμε τις τιμές του y. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τον τρόπο υπολογισμού του r2, ανατρέξτε στις «Σημειώσεις» στο τέλος αυτής της ενότητας. sey Τυπικό σφάλμα για την εκτίμηση του y. φά F-statistic ή F-παρατηρούμενη τιμή. Η στατιστική F χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει εάν μια παρατηρούμενη σχέση μεταξύ μιας εξαρτημένης και μιας ανεξάρτητης μεταβλητής οφείλεται στην τύχη. df Βαθμοί ελευθερίας. Οι βαθμοί ελευθερίας είναι χρήσιμοι για την εύρεση κρίσιμων τιμών F σε έναν στατιστικό πίνακα. Για να προσδιορίσετε το επίπεδο εμπιστοσύνης του μοντέλου, πρέπει να συγκρίνετε τις τιμές στον πίνακα με το στατιστικό F που επιστρέφεται από τη συνάρτηση LINEST. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τον υπολογισμό του df, δείτε τις «Σημειώσεις» στο τέλος αυτής της ενότητας. Το Παράδειγμα 4 παρακάτω δείχνει τη χρήση των τιμών F και df. ssreg Παλινδρόμηση τετραγώνων. ssresid Υπολειπόμενο άθροισμα τετραγώνων. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τον υπολογισμό του ssreg και του ssresid, ανατρέξτε στις «Σημειώσεις» στο τέλος αυτής της ενότητας.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει τη σειρά με την οποία επιστρέφονται πρόσθετα στατιστικά στοιχεία παλινδρόμησης.

Σημειώσεις:

Οποιαδήποτε ευθεία μπορεί να περιγραφεί από την κλίση και την τομή της με τον άξονα y:

Κλίση (m): Για να προσδιορίσετε την κλίση μιας γραμμής, που συνήθως συμβολίζεται με m, παίρνετε δύο σημεία στη γραμμή και ; η κλίση θα είναι ίση με .

Y-τομή (b): Η τομή y μιας ευθείας, που συνήθως συμβολίζεται με b, είναι η τιμή y για το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει τον άξονα y.

Η εξίσωση της ευθείας έχει τη μορφή . Εάν οι τιμές των m και b είναι γνωστές, τότε οποιοδήποτε σημείο στη γραμμή μπορεί να υπολογιστεί αντικαθιστώντας τις τιμές του y ή του x στην εξίσωση. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση TREND.

Εάν υπάρχει μόνο μία ανεξάρτητη μεταβλητή x, μπορείτε να λάβετε την κλίση και την τομή y απευθείας χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:

Κλίση: INDEX(LINEST(γνωστές_y_τιμές; γνωστές_x_τιμές); 1)

Τέμμα Y: INDEX(LINEST(γνωστές_τιμές_υ; γνωστές_χ_τιμές); 2)

Η ακρίβεια της προσέγγισης χρησιμοποιώντας την ευθεία γραμμή που υπολογίζεται από τη συνάρτηση LINEST εξαρτάται από το βαθμό διασποράς δεδομένων. Όσο πιο κοντά είναι τα δεδομένα σε μια ευθεία γραμμή, τόσο πιο ακριβές είναι το μοντέλο που χρησιμοποιείται από τη συνάρτηση LINEST. Η συνάρτηση LINEST χρησιμοποιεί ελάχιστα τετράγωνα για να καθορίσει την καλύτερη προσαρμογή στα δεδομένα. Όταν υπάρχει μόνο μία ανεξάρτητη μεταβλητή x, τα m και b υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:

όπου x και y είναι δείγματα μέσα, για παράδειγμα x = AVERAGE(γνωστά_x) και y = AVERAGE(γνωστά_y's).

Οι συναρτήσεις προσαρμογής LINEST και LGRFPRIBL μπορούν να υπολογίσουν την ευθεία γραμμή ή την εκθετική καμπύλη που ταιριάζει καλύτερα στα δεδομένα. Ωστόσο, δεν απαντούν στο ερώτημα ποιο από τα δύο αποτελέσματα είναι καταλληλότερο για την επίλυση του προβλήματος. Μπορείτε επίσης να αξιολογήσετε τη συνάρτηση TREND(known_y_values; known_x_values) για μια ευθεία γραμμή ή τη συνάρτηση GROWTH(known_y_values; known_x_values) για μια εκθετική καμπύλη. Αυτές οι συναρτήσεις, εκτός αν έχουν καθοριστεί new_x-values, επιστρέφουν έναν πίνακα υπολογισμένων τιμών y για τις πραγματικές x-values ​​κατά μήκος μιας γραμμής ή καμπύλης. Στη συνέχεια, μπορείτε να συγκρίνετε τις υπολογιζόμενες τιμές με τις πραγματικές τιμές. Μπορείτε επίσης να δημιουργήσετε γραφήματα για οπτική σύγκριση.

Κατά την εκτέλεση ανάλυσης παλινδρόμησης, το Microsoft Excel υπολογίζει, για κάθε σημείο, το τετράγωνο της διαφοράς μεταξύ της προβλεπόμενης τιμής y και της πραγματικής τιμής y. Το άθροισμα αυτών των τετραγωνικών διαφορών ονομάζεται υπολειπόμενο άθροισμα τετραγώνων (ssresid). Στη συνέχεια, το Microsoft Excel υπολογίζει το συνολικό άθροισμα των τετραγώνων (sstotal). Αν const = TRUE ή η τιμή αυτού του ορίσματος δεν προσδιορίζεται, το συνολικό άθροισμα των τετραγώνων θα είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των διαφορών μεταξύ των πραγματικών τιμών y και των μέσων τιμών y. Όταν const = FALSE, το συνολικό άθροισμα των τετραγώνων θα είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των πραγματικών τιμών y (χωρίς να αφαιρείται η μέση τιμή y από τη μερική τιμή y). Το άθροισμα της παλινδρόμησης των τετραγώνων μπορεί στη συνέχεια να υπολογιστεί ως εξής: ssreg = sstotal - ssresid. Όσο μικρότερο είναι το υπολειπόμενο άθροισμα των τετραγώνων, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του συντελεστή προσδιορισμού r2, ο οποίος δείχνει πόσο καλά η εξίσωση που προκύπτει με την ανάλυση παλινδρόμησης εξηγεί τις σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών. Ο συντελεστής r2 είναι ίσος με ssreg/sstotal.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, μία ή περισσότερες στήλες X (αφήστε τις τιμές Y και X να βρίσκονται σε στήλες) δεν έχουν πρόσθετη κατηγοριματική τιμή σε άλλες στήλες X. Με άλλα λόγια, η αφαίρεση μιας ή περισσότερων στηλών X μπορεί να έχει ως αποτέλεσμα τον υπολογισμό των τιμών Y με την ίδια ακρίβεια. Σε αυτήν την περίπτωση, οι πλεονάζουσες στήλες X θα εξαιρεθούν από το μοντέλο παλινδρόμησης. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται «συγγραμμικότητα» επειδή οι πλεονάζουσες στήλες του X μπορούν να αναπαρασταθούν ως το άθροισμα πολλών μη περιττών στηλών. Η συνάρτηση LINEST ελέγχει για συγγραμμικότητα και αφαιρεί τυχόν περιττές στήλες X από το μοντέλο παλινδρόμησης, εάν τις εντοπίσει. Οι στήλες X που αφαιρέθηκαν μπορούν να αναγνωριστούν στην έξοδο LINEST με συντελεστή 0 και με τιμή se 0. Η κατάργηση μιας ή περισσότερων στηλών ως περιττών αλλάζει την τιμή του df επειδή εξαρτάται από τον αριθμό των στηλών X που χρησιμοποιούνται πραγματικά για σκοπούς πρόβλεψης. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τον υπολογισμό του df, δείτε το Παράδειγμα 4 παρακάτω Όταν το df αλλάζει λόγω της αφαίρεσης περιττών στηλών, αλλάζουν και οι τιμές των sey και F. Δεν συνιστάται η συχνή χρήση συγγραμμικότητας. Ωστόσο, θα πρέπει να χρησιμοποιείται εάν ορισμένες στήλες Χ περιέχουν 0 ή 1 ως δείκτη που υποδεικνύει εάν το θέμα του πειράματος ανήκει σε μια ξεχωριστή ομάδα. Εάν const = TRUE ή δεν έχει καθοριστεί μια τιμή για αυτό το όρισμα, το LINEST εισάγει μια επιπλέον στήλη X για να μοντελοποιήσει το σημείο τομής. Εάν υπάρχει μια στήλη με τιμές 1 για άνδρες και 0 για γυναίκες και υπάρχει στήλη με τιμές 1 για γυναίκες και 0 για άνδρες, τότε η τελευταία στήλη αφαιρείται επειδή μπορούν να ληφθούν οι τιμές της από τη στήλη "ανδρικός δείκτης".

Ο υπολογισμός του df για περιπτώσεις όπου οι X στήλες δεν αφαιρούνται από το μοντέλο λόγω συγγραμμικότητας γίνεται ως εξής: εάν υπάρχουν k στήλες γνωστές_x και η τιμή const = TRUE ή δεν καθορίζεται, τότε df = n – k – 1. Αν const = FALSE, τότε df = n - k. Και στις δύο περιπτώσεις, η αφαίρεση των στηλών X λόγω συγγραμμικότητας αυξάνει την τιμή df κατά 1.

Οι τύποι που επιστρέφουν πίνακες πρέπει να εισαχθούν ως τύποι πίνακα.

Όταν εισάγετε έναν πίνακα σταθερών ως όρισμα, για παράδειγμα, known_x_values, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε ένα ερωτηματικό για να διαχωρίσετε τις τιμές στην ίδια γραμμή και μια άνω και κάτω τελεία για να διαχωρίσετε γραμμές. Οι διαχωριστικοί χαρακτήρες ενδέχεται να διαφέρουν ανάλογα με τις ρυθμίσεις στο παράθυρο Γλώσσα και Ρυθμίσεις στον Πίνακα Ελέγχου.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι τιμές y που προβλέπονται από την εξίσωση παλινδρόμησης μπορεί να μην είναι σωστές εάν βρίσκονται εκτός του εύρους των τιμών y που χρησιμοποιήθηκαν για τον ορισμό της εξίσωσης.

Βασικός αλγόριθμος που χρησιμοποιείται στη συνάρτηση LINEST, διαφέρει από τον αλγόριθμο της κύριας συνάρτησης ΚΛΙΝΩΚαι ΤΟΜΗ. Η διαφορά μεταξύ αλγορίθμων μπορεί να οδηγήσει σε διαφορετικά αποτελέσματα με αβέβαια και συγγραμμικά δεδομένα. Για παράδειγμα, εάν τα σημεία δεδομένων ορίσματος Known_y_values ​​είναι 0 και τα σημεία δεδομένων επιχειρήματος Known_x_values ​​είναι 1, τότε:

Λειτουργία LINESTεπιστρέφει τιμή ίση με 0. Αλγόριθμος συνάρτησης LINESTχρησιμοποιείται για την επιστροφή κατάλληλων τιμών για συγγραμμικά δεδομένα και σε αυτήν την περίπτωση μπορεί να βρεθεί τουλάχιστον μία απάντηση.

Οι συναρτήσεις SLOPE και LINE επιστρέφουν το σφάλμα #DIV/0! Ο αλγόριθμος των συναρτήσεων SLOPE και INTERCEPT χρησιμοποιείται για την εύρεση μόνο μιας απάντησης, αλλά στην περίπτωση αυτή μπορεί να υπάρχουν πολλές.

Εκτός από τον υπολογισμό στατιστικών για άλλους τύπους παλινδρόμησης, το LINEST μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό περιοχών για άλλους τύπους παλινδρόμησης, εισάγοντας συναρτήσεις των μεταβλητών x και y ως σειρές των μεταβλητών x και y για το LINEST. Για παράδειγμα, ο ακόλουθος τύπος:

LINEST(y_τιμές, x_values^COLUMN($A:$C))

λειτουργεί έχοντας μια στήλη τιμών Y και μια στήλη τιμών X για τον υπολογισμό μιας προσέγγισης κύβου (πολυώνυμο 3ου βαθμού) της ακόλουθης μορφής:

Ο τύπος μπορεί να τροποποιηθεί για τον υπολογισμό άλλων τύπων παλινδρόμησης, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να χρειαστεί να προσαρμοστούν οι τιμές εξόδου και άλλα στατιστικά στοιχεία.

Η επεξεργασία στατιστικών δεδομένων μπορεί επίσης να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας ένα πρόσθετο ΠΑΚΕΤΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ(Εικ. 62).

Από τα προτεινόμενα είδη, επιλέξτε το στοιχείο " ΟΠΙΣΘΟΔΡΟΜΗΣΗ" και κάντε κλικ σε αυτό με το αριστερό κουμπί του ποντικιού. Στη συνέχεια, κάντε κλικ στο OK.

Θα εμφανιστεί ένα παράθυρο όπως φαίνεται στο Σχ. 63.

Εργαλείο ανάλυσης " ΟΠΙΣΘΟΔΡΟΜΗΣΗ» χρησιμοποιείται για την προσαρμογή ενός γραφήματος σε ένα σύνολο παρατηρήσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Η παλινδρόμηση χρησιμοποιείται για την ανάλυση της επίδρασης σε μια μεμονωμένη εξαρτημένη μεταβλητή των τιμών μιας ή περισσότερων ανεξάρτητων μεταβλητών. Για παράδειγμα, διάφοροι παράγοντες επηρεάζουν την αθλητική απόδοση ενός αθλητή, όπως η ηλικία, το ύψος και το βάρος. Είναι δυνατόν να υπολογιστεί ο βαθμός στον οποίο καθένας από αυτούς τους τρεις παράγοντες επηρεάζει την απόδοση ενός αθλητή και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσει αυτά τα δεδομένα για να προβλέψει την απόδοση ενός άλλου αθλητή.

Το εργαλείο παλινδρόμησης χρησιμοποιεί τη συνάρτηση LINEST.

Πλαίσιο διαλόγου REGRESSION

Ετικέτες Επιλέξτε το πλαίσιο ελέγχου εάν η πρώτη σειρά ή η πρώτη στήλη του εύρους εισαγωγής περιέχει επικεφαλίδες. Καταργήστε αυτό το πλαίσιο ελέγχου εάν δεν υπάρχουν κεφαλίδες. Σε αυτήν την περίπτωση, οι κατάλληλες κεφαλίδες για τα δεδομένα του πίνακα εξόδου θα δημιουργηθούν αυτόματα.

Επίπεδο αξιοπιστίας Επιλέξτε το πλαίσιο ελέγχου για να συμπεριλάβετε ένα επιπλέον επίπεδο στον συνοπτικό πίνακα εξόδου. Στο κατάλληλο πεδίο, εισαγάγετε το επίπεδο εμπιστοσύνης που θέλετε να εφαρμόσετε, εκτός από το προεπιλεγμένο επίπεδο 95%.

Σταθερά - μηδέν Επιλέξτε το πλαίσιο ελέγχου για να αναγκάσετε τη γραμμή παλινδρόμησης να περάσει από την αρχή.

Εύρος εξόδου Εισαγάγετε την αναφορά στο επάνω αριστερό κελί της περιοχής εξόδου. Παρέχετε τουλάχιστον επτά στήλες για τον συνοπτικό πίνακα εξόδου, ο οποίος θα περιλαμβάνει: αποτελέσματα ANOVA, συντελεστές, τυπικό σφάλμα του υπολογισμού Y, τυπικές αποκλίσεις, αριθμό παρατηρήσεων, τυπικά σφάλματα για συντελεστές.

Νέο φύλλο εργασίας Επιλέξτε αυτήν την επιλογή για να ανοίξετε ένα νέο φύλλο εργασίας στο βιβλίο εργασίας και να επικολλήσετε τα αποτελέσματα της ανάλυσης, ξεκινώντας από το κελί A1. Εάν είναι απαραίτητο, εισαγάγετε ένα όνομα για το νέο φύλλο στο πεδίο που βρίσκεται απέναντι από το αντίστοιχο κουμπί επιλογής.

Νέο βιβλίο εργασίας Επιλέξτε αυτήν την επιλογή για να δημιουργήσετε ένα νέο βιβλίο εργασίας με τα αποτελέσματα να προστίθενται σε ένα νέο φύλλο εργασίας.

Υπολείμματα Επιλέξτε το πλαίσιο ελέγχου για να συμπεριλάβετε υπολείμματα στον πίνακα εξόδου.

Τυποποιημένα υπολείμματα Επιλέξτε το πλαίσιο ελέγχου για να συμπεριλάβετε τυποποιημένα υπολείμματα στον πίνακα εξόδου.

Υπολειπόμενη γραφική παράσταση Επιλέξτε το πλαίσιο ελέγχου για να σχεδιάσετε τα υπολείμματα για κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή.

Fit Plot Επιλέξτε το πλαίσιο ελέγχου για να σχεδιάσετε τις προβλεπόμενες έναντι των παρατηρούμενων τιμών.

Οικόπεδο κανονικής πιθανότηταςΕπιλέξτε το πλαίσιο ελέγχου για να σχεδιάσετε ένα κανονικό γράφημα πιθανοτήτων.

Λειτουργία LINEST

Για να πραγματοποιήσετε υπολογισμούς, επιλέξτε με τον κέρσορα το κελί στο οποίο θέλουμε να εμφανιστεί η μέση τιμή και πατήστε το πλήκτρο = στο πληκτρολόγιο. Στη συνέχεια, στο πεδίο Όνομα, υποδείξτε την επιθυμητή λειτουργία, για παράδειγμα ΜΕΣΟΣ(Εικ. 22).

Λειτουργία LINESTυπολογίζει στατιστικά στοιχεία για μια σειρά χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για να υπολογίσει την ευθεία που προσεγγίζει καλύτερα τα διαθέσιμα δεδομένα και στη συνέχεια επιστρέφει έναν πίνακα που περιγράφει την ευθεία που προκύπτει. Μπορείτε επίσης να συνδυάσετε τη λειτουργία LINESTμε άλλες συναρτήσεις για τον υπολογισμό άλλων ειδών μοντέλων που είναι γραμμικά σε άγνωστες παραμέτρους (των οποίων οι άγνωστες παράμετροι είναι γραμμικές), συμπεριλαμβανομένων των σειρών πολυωνυμικών, λογαριθμικών, εκθετικών και ισχύος. Επειδή επιστρέφεται ένας πίνακας τιμών, η συνάρτηση πρέπει να καθοριστεί ως τύπος πίνακα.

Η εξίσωση για μια ευθεία γραμμή είναι:

y=m 1 x 1 +m 2 x 2 +…+b (σε περίπτωση πολλών περιοχών τιμών x),

όπου η εξαρτημένη τιμή y είναι συνάρτηση της ανεξάρτητης τιμής x, οι τιμές m είναι οι συντελεστές που αντιστοιχούν σε κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή x και το b είναι μια σταθερά. Σημειώστε ότι τα y, x και m μπορούν να είναι διανύσματα. Λειτουργία LINESTεπιστρέφει πίνακα (mn;mn-1;…;m 1 ;b). LINESTμπορεί επίσης να επιστρέψει πρόσθετα στατιστικά στοιχεία παλινδρόμησης.

LINEST(γνωστές_τιμές_y; γνωστές_τιμές_x; const; στατιστικά)

Known_y_values ​​- ένα σύνολο y-τιμών που είναι ήδη γνωστές για τη σχέση y=mx+b.

Εάν ο πίνακας Known_y_values ​​έχει μία στήλη, τότε κάθε στήλη στον πίνακα known_x_values ​​αντιμετωπίζεται ως ξεχωριστή μεταβλητή.

Εάν ο πίνακας Known_y_values ​​έχει μία σειρά, τότε κάθε γραμμή στον πίνακα known_x_values ​​αντιμετωπίζεται ως ξεχωριστή μεταβλητή.

Το Known_x-values ​​είναι ένα προαιρετικό σύνολο τιμών x που είναι ήδη γνωστά για τη σχέση y=mx+b.

Ο πίνακας Known_x_values ​​μπορεί να περιέχει ένα ή περισσότερα σύνολα μεταβλητών. Εάν χρησιμοποιείται μόνο μία μεταβλητή, τότε οι πίνακες Known_y_values ​​και known_x_values ​​μπορούν να έχουν οποιοδήποτε σχήμα - αρκεί να έχουν την ίδια διάσταση. Εάν χρησιμοποιούνται περισσότερες από μία μεταβλητές, τότε το Known_y_values ​​πρέπει να είναι ένα διάνυσμα (δηλαδή, ένα διάστημα ύψους μίας γραμμής ή πλάτους μίας στήλης).

Εάν παραλειφθεί ο πίνακας_γνωστών_χ_τιμών, τότε ο πίνακας (1;2;3;...) θεωρείται ότι έχει το ίδιο μέγεθος με τον πίνακα_γνωστές_τιμές_y.

Το Const είναι μια δυαδική τιμή που καθορίζει εάν η σταθερά b απαιτείται να είναι ίση με 0.

Εάν το όρισμα "const" είναι TRUE ή παραλειφθεί, τότε η σταθερά b αξιολογείται ως συνήθως.

Εάν το όρισμα «const» είναι FALSE, τότε η τιμή του b ορίζεται στο 0 και οι τιμές του m επιλέγονται έτσι ώστε να ικανοποιείται η σχέση y=mx.

Στατιστικά - Μια boolean τιμή που υποδεικνύει εάν πρέπει να επιστραφούν πρόσθετα στατιστικά στοιχεία παλινδρόμησης.

Εάν τα στατιστικά στοιχεία είναι TRUE, το LINEST επιστρέφει επιπλέον στατιστικά στοιχεία παλινδρόμησης. Ο πίνακας που επιστρέφεται θα μοιάζει με αυτό: (mn;mn-1;...;m1;b:sen;sen-1;...;se1;seb:r2;sey:F;df:ssreg;ssresid).

Εάν τα στατιστικά στοιχεία είναι FALSE ή παραλείπονται, το LINEST επιστρέφει μόνο τους συντελεστές m και τη σταθερά b.

Πρόσθετα στατιστικά στοιχεία παλινδρόμησης (Πίνακας 17)

Μέγεθος	Περιγραφή
se1,se2,...,sen	Τυπικές τιμές σφάλματος για τους συντελεστές m1,m2,...,mn.
seb	Τυπική τιμή σφάλματος για τη σταθερά b (seb = #N/A εάν το const είναι FALSE).
r2	Συντελεστής ντετερμινισμού. Συγκρίνονται οι πραγματικές τιμές του y και οι τιμές που λαμβάνονται από την εξίσωση της γραμμής. Με βάση τα αποτελέσματα σύγκρισης, υπολογίζεται ο συντελεστής ντετερμινισμού, κανονικοποιημένος από 0 σε 1. Εάν είναι ίσος με 1, τότε υπάρχει πλήρης συσχέτιση με το μοντέλο, δηλ. δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ των πραγματικών και των εκτιμώμενων τιμών του υ. Στην αντίθετη περίπτωση, εάν ο συντελεστής προσδιορισμού είναι 0, δεν έχει νόημα να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση παλινδρόμησης για να προβλέψουμε τις τιμές του y. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τον τρόπο υπολογισμού του r2, ανατρέξτε στις «Σημειώσεις» στο τέλος αυτής της ενότητας.
sey	Τυπικό σφάλμα για την εκτίμηση του y.
φά	F-statistic ή F-παρατηρούμενη τιμή. Η στατιστική F χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει εάν μια παρατηρούμενη σχέση μεταξύ μιας εξαρτημένης και μιας ανεξάρτητης μεταβλητής οφείλεται στην τύχη.
df	Βαθμοί ελευθερίας. Οι βαθμοί ελευθερίας είναι χρήσιμοι για την εύρεση κρίσιμων τιμών F σε έναν στατιστικό πίνακα. Για να προσδιορίσετε το επίπεδο εμπιστοσύνης του μοντέλου, πρέπει να συγκρίνετε τις τιμές στον πίνακα με το στατιστικό F που επιστρέφεται από τη συνάρτηση LINEST. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τον υπολογισμό του df, δείτε τις «Σημειώσεις» στο τέλος αυτής της ενότητας. Το Παράδειγμα 4 παρακάτω δείχνει τη χρήση των τιμών F και df.
ssreg	Παλινδρόμηση τετραγώνων.
ssresid	Υπολειπόμενο άθροισμα τετραγώνων. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τον υπολογισμό του ssreg και του ssresid, ανατρέξτε στις «Σημειώσεις» στο τέλος αυτής της ενότητας.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει τη σειρά με την οποία επιστρέφονται πρόσθετα στατιστικά στοιχεία παλινδρόμησης (Εικόνα 64).

Σημειώσεις:

Οποιαδήποτε ευθεία μπορεί να περιγραφεί από την κλίση και την τομή της με τον άξονα y:

Κλίση (m): Για να προσδιορίσετε την κλίση μιας ευθείας, που συνήθως συμβολίζεται με m, πρέπει να λάβετε δύο σημεία στην ευθεία (x 1 ,y 1) και (x 2 ,y 2). η κλίση θα είναι ίση με (y 2 -y 1)/(x 2 -x 1).

Y-τομή (b): Η τομή y μιας ευθείας, που συνήθως συμβολίζεται με b, είναι η τιμή y για το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει τον άξονα y.

Η εξίσωση της ευθείας είναι y=mx+b. Εάν οι τιμές των m και b είναι γνωστές, τότε οποιοδήποτε σημείο στη γραμμή μπορεί να υπολογιστεί αντικαθιστώντας τις τιμές του y ή του x στην εξίσωση. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση TREND.

Εάν υπάρχει μόνο μία ανεξάρτητη μεταβλητή x, μπορείτε να λάβετε την κλίση και την τομή y απευθείας χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:

Κλίση: INDEX(LINEST(γνωστές_y_τιμές; γνωστές_x_τιμές); 1)

Τέμμα Y: INDEX(LINEST(γνωστές_τιμές_υ; γνωστές_χ_τιμές); 2)

Η ακρίβεια της προσέγγισης χρησιμοποιώντας την ευθεία γραμμή που υπολογίζεται από τη συνάρτηση LINEST εξαρτάται από το βαθμό διασποράς δεδομένων. Όσο πιο κοντά είναι τα δεδομένα σε μια ευθεία γραμμή, τόσο πιο ακριβές είναι το μοντέλο που χρησιμοποιείται από τη συνάρτηση LINEST. Η συνάρτηση LINEST χρησιμοποιεί ελάχιστα τετράγωνα για να καθορίσει την καλύτερη προσαρμογή στα δεδομένα. Όταν υπάρχει μόνο μία ανεξάρτητη μεταβλητή x, τα m και b υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:

όπου x και y είναι δείγματα μέσα, για παράδειγμα x = AVERAGE(γνωστά_x) και y = AVERAGE(γνωστά_y's).

Οι συναρτήσεις προσαρμογής LINEST και LGRFPRIBL μπορούν να υπολογίσουν την ευθεία γραμμή ή την εκθετική καμπύλη που ταιριάζει καλύτερα στα δεδομένα. Ωστόσο, δεν απαντούν στο ερώτημα ποιο από τα δύο αποτελέσματα είναι καταλληλότερο για την επίλυση του προβλήματος. Μπορείτε επίσης να αξιολογήσετε τη συνάρτηση TREND(known_y_values; known_x_values) για μια ευθεία γραμμή ή τη συνάρτηση GROWTH(known_y_values; known_x_values) για μια εκθετική καμπύλη. Αυτές οι συναρτήσεις, εκτός αν έχουν καθοριστεί new_x-values, επιστρέφουν έναν πίνακα υπολογισμένων τιμών y για τις πραγματικές x-values ​​κατά μήκος μιας γραμμής ή καμπύλης. Στη συνέχεια, μπορείτε να συγκρίνετε τις υπολογιζόμενες τιμές με τις πραγματικές τιμές. Μπορείτε επίσης να δημιουργήσετε γραφήματα για οπτική σύγκριση.

Κατά την εκτέλεση ανάλυσης παλινδρόμησης, το Microsoft Excel υπολογίζει, για κάθε σημείο, το τετράγωνο της διαφοράς μεταξύ της προβλεπόμενης τιμής y και της πραγματικής τιμής y. Το άθροισμα αυτών των τετραγωνικών διαφορών ονομάζεται υπολειπόμενο άθροισμα τετραγώνων (ssresid). Στη συνέχεια, το Microsoft Excel υπολογίζει το συνολικό άθροισμα των τετραγώνων (sstotal). Αν const = TRUE ή η τιμή αυτού του ορίσματος δεν προσδιορίζεται, το συνολικό άθροισμα των τετραγώνων θα είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των διαφορών μεταξύ των πραγματικών τιμών y και των μέσων τιμών y. Όταν const = FALSE, το συνολικό άθροισμα των τετραγώνων θα είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των πραγματικών τιμών y (χωρίς να αφαιρείται η μέση τιμή y από τη μερική τιμή y). Το άθροισμα της παλινδρόμησης των τετραγώνων μπορεί στη συνέχεια να υπολογιστεί ως εξής: ssreg = sstotal - ssresid. Όσο μικρότερο είναι το υπολειπόμενο άθροισμα των τετραγώνων, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του συντελεστή προσδιορισμού r2, ο οποίος δείχνει πόσο καλά η εξίσωση που προκύπτει με την ανάλυση παλινδρόμησης εξηγεί τις σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών. Ο συντελεστής r2 είναι ίσος με ssreg/sstotal.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, μία ή περισσότερες στήλες X (αφήστε τις τιμές Y και X να βρίσκονται σε στήλες) δεν έχουν πρόσθετη κατηγοριματική τιμή σε άλλες στήλες X. Με άλλα λόγια, η αφαίρεση μιας ή περισσότερων στηλών X μπορεί να έχει ως αποτέλεσμα τον υπολογισμό των τιμών Y με την ίδια ακρίβεια. Σε αυτήν την περίπτωση, οι πλεονάζουσες στήλες X θα εξαιρεθούν από το μοντέλο παλινδρόμησης. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται «συγγραμμικότητα» επειδή οι πλεονάζουσες στήλες του X μπορούν να αναπαρασταθούν ως το άθροισμα πολλών μη περιττών στηλών. Η συνάρτηση LINEST ελέγχει για συγγραμμικότητα και αφαιρεί τυχόν περιττές στήλες X από το μοντέλο παλινδρόμησης, εάν τις εντοπίσει. Οι στήλες X που αφαιρέθηκαν μπορούν να αναγνωριστούν στην έξοδο LINEST με συντελεστή 0 και με τιμή se 0. Η κατάργηση μιας ή περισσότερων στηλών ως περιττών αλλάζει την τιμή του df επειδή εξαρτάται από τον αριθμό των στηλών X που χρησιμοποιούνται πραγματικά για σκοπούς πρόβλεψης. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τον υπολογισμό του df, δείτε το Παράδειγμα 4 παρακάτω Όταν το df αλλάζει λόγω της αφαίρεσης περιττών στηλών, αλλάζουν και οι τιμές των sey και F. Δεν συνιστάται η συχνή χρήση συγγραμμικότητας. Ωστόσο, θα πρέπει να χρησιμοποιείται εάν ορισμένες στήλες Χ περιέχουν 0 ή 1 ως δείκτη που υποδεικνύει εάν το θέμα του πειράματος ανήκει σε μια ξεχωριστή ομάδα. Εάν const = TRUE ή δεν έχει καθοριστεί μια τιμή για αυτό το όρισμα, το LINEST εισάγει μια επιπλέον στήλη X για να μοντελοποιήσει το σημείο τομής. Εάν υπάρχει μια στήλη με τιμές 1 για άνδρες και 0 για γυναίκες και υπάρχει στήλη με τιμές 1 για γυναίκες και 0 για άνδρες, τότε η τελευταία στήλη αφαιρείται επειδή μπορούν να ληφθούν οι τιμές της από τη στήλη "ανδρικός δείκτης".

Ο υπολογισμός του df για περιπτώσεις όπου οι X στήλες δεν αφαιρούνται από το μοντέλο λόγω συγγραμμικότητας γίνεται ως εξής: εάν υπάρχουν k στήλες γνωστές_x και η τιμή const = TRUE ή δεν καθορίζεται, τότε df = n – k – 1. Αν const = FALSE, τότε df = n - k. Και στις δύο περιπτώσεις, η αφαίρεση των στηλών X λόγω συγγραμμικότητας αυξάνει την τιμή df κατά 1.

Οι τύποι που επιστρέφουν πίνακες πρέπει να εισαχθούν ως τύποι πίνακα.

Όταν εισάγετε έναν πίνακα σταθερών ως όρισμα, για παράδειγμα, known_x_values, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε ένα ερωτηματικό για να διαχωρίσετε τις τιμές στην ίδια γραμμή και μια άνω και κάτω τελεία για να διαχωρίσετε γραμμές. Οι διαχωριστικοί χαρακτήρες ενδέχεται να διαφέρουν ανάλογα με τις ρυθμίσεις στο παράθυρο Γλώσσα και Ρυθμίσεις στον Πίνακα Ελέγχου.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι τιμές y που προβλέπονται από την εξίσωση παλινδρόμησης μπορεί να μην είναι σωστές εάν βρίσκονται εκτός του εύρους των τιμών y που χρησιμοποιήθηκαν για τον ορισμό της εξίσωσης.

Βασικός αλγόριθμος που χρησιμοποιείται στη συνάρτηση LINEST, διαφέρει από τον αλγόριθμο της κύριας συνάρτησης ΚΛΙΝΩΚαι ΤΟΜΗ. Η διαφορά μεταξύ αλγορίθμων μπορεί να οδηγήσει σε διαφορετικά αποτελέσματα με αβέβαια και συγγραμμικά δεδομένα. Για παράδειγμα, εάν τα σημεία δεδομένων ορίσματος Known_y_values ​​είναι 0 και τα σημεία δεδομένων επιχειρήματος Known_x_values ​​είναι 1, τότε:

Λειτουργία LINESTεπιστρέφει τιμή ίση με 0. Αλγόριθμος συνάρτησης LINESTχρησιμοποιείται για την επιστροφή κατάλληλων τιμών για συγγραμμικά δεδομένα και σε αυτήν την περίπτωση μπορεί να βρεθεί τουλάχιστον μία απάντηση.

Οι συναρτήσεις SLOPE και LINE επιστρέφουν το σφάλμα #DIV/0! Ο αλγόριθμος των συναρτήσεων SLOPE και INTERCEPT χρησιμοποιείται για την εύρεση μόνο μιας απάντησης, αλλά στην περίπτωση αυτή μπορεί να υπάρχουν πολλές.

Εκτός από τον υπολογισμό στατιστικών για άλλους τύπους παλινδρόμησης, το LINEST μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό περιοχών για άλλους τύπους παλινδρόμησης, εισάγοντας συναρτήσεις των μεταβλητών x και y ως σειρές των μεταβλητών x και y για το LINEST. Για παράδειγμα, ο ακόλουθος τύπος:

LINEST(y_τιμές, x_values^COLUMN($A:$C))

λειτουργεί έχοντας μια στήλη τιμών Y και μια στήλη τιμών X για τον υπολογισμό μιας προσέγγισης κύβου (πολυώνυμο 3ου βαθμού) της ακόλουθης μορφής:

y=m 1 x+m 2 x 2 +m 3 x 3 +b

Ο τύπος μπορεί να τροποποιηθεί για τον υπολογισμό άλλων τύπων παλινδρόμησης, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να χρειαστεί να προσαρμοστούν οι τιμές εξόδου και άλλα στατιστικά στοιχεία.

Σε προηγούμενες δημοσιεύσεις, η ανάλυση επικεντρωνόταν συχνά σε μια μεμονωμένη αριθμητική μεταβλητή, όπως οι αποδόσεις αμοιβαίων κεφαλαίων, οι χρόνοι φόρτωσης της ιστοσελίδας ή η κατανάλωση αναψυκτικών. Σε αυτήν και στις επόμενες σημειώσεις, θα εξετάσουμε μεθόδους για την πρόβλεψη των τιμών μιας αριθμητικής μεταβλητής ανάλογα με τις τιμές μιας ή περισσότερων άλλων αριθμητικών μεταβλητών.

Το υλικό θα επεξηγηθεί με ένα εγκάρσιο παράδειγμα. Πρόβλεψη όγκου πωλήσεων σε κατάστημα ρούχων.Η αλυσίδα καταστημάτων εκπτωτικών ρούχων Sunflowers επεκτείνεται συνεχώς εδώ και 25 χρόνια. Ωστόσο, η εταιρεία δεν έχει επί του παρόντος συστηματική προσέγγιση για την επιλογή νέων καταστημάτων. Η τοποθεσία στην οποία μια εταιρεία σκοπεύει να ανοίξει ένα νέο κατάστημα καθορίζεται βάσει υποκειμενικών εκτιμήσεων. Τα κριτήρια επιλογής είναι οι ευνοϊκές συνθήκες ενοικίασης ή η ιδέα του διαχειριστή για την ιδανική τοποθεσία του καταστήματος. Φανταστείτε ότι είστε επικεφαλής του τμήματος ειδικών έργων και προγραμματισμού. Σας έχει ανατεθεί να αναπτύξετε ένα στρατηγικό σχέδιο για το άνοιγμα νέων καταστημάτων. Αυτό το σχέδιο θα πρέπει να περιλαμβάνει μια πρόβλεψη ετήσιων πωλήσεων για νέα καταστήματα. Πιστεύετε ότι ο χώρος λιανικής σχετίζεται άμεσα με τα έσοδα και θέλετε να το συνυπολογίσετε στη διαδικασία λήψης αποφάσεων. Πώς αναπτύσσετε ένα στατιστικό μοντέλο για να προβλέψετε τις ετήσιες πωλήσεις με βάση το μέγεθος ενός νέου καταστήματος;

Συνήθως, η ανάλυση παλινδρόμησης χρησιμοποιείται για την πρόβλεψη των τιμών μιας μεταβλητής. Στόχος του είναι να αναπτύξει ένα στατιστικό μοντέλο που μπορεί να προβλέψει τις τιμές μιας εξαρτημένης μεταβλητής ή απόκρισης από τις τιμές μιας τουλάχιστον ανεξάρτητης ή επεξηγηματικής μεταβλητής. Σε αυτή τη σημείωση, θα εξετάσουμε την απλή γραμμική παλινδρόμηση - μια στατιστική μέθοδο που σας επιτρέπει να προβλέψετε τις τιμές μιας εξαρτημένης μεταβλητής Υαπό τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ. Οι επόμενες σημειώσεις θα περιγράψουν ένα μοντέλο πολλαπλής παλινδρόμησης σχεδιασμένο να προβλέπει τις τιμές μιας ανεξάρτητης μεταβλητής Υμε βάση τις τιμές πολλών εξαρτημένων μεταβλητών ( X 1, X 2, …, X k).

Κατεβάστε τη σημείωση σε ή μορφή, παραδείγματα σε μορφή

Τύποι μοντέλων παλινδρόμησης

Οπου ρ 1 – συντελεστής αυτοσυσχέτισης. Αν ρ 1 = 0 (χωρίς αυτοσυσχέτιση), ρε≈ 2; Αν ρ 1 ≈ 1 (θετική αυτοσυσχέτιση), ρε≈ 0; Αν ρ 1 = -1 (αρνητική αυτοσυσχέτιση), ρε ≈ 4.

Στην πράξη, η εφαρμογή του κριτηρίου Durbin-Watson βασίζεται στη σύγκριση της τιμής ρεμε κρίσιμες θεωρητικές αξίες dLΚαι dUγια δεδομένο αριθμό παρατηρήσεων n, αριθμός ανεξάρτητων μεταβλητών του μοντέλου κ(για απλή γραμμική παλινδρόμηση κ= 1) και επίπεδο σημαντικότητας α. Αν ρε< d L , η υπόθεση για την ανεξαρτησία των τυχαίων αποκλίσεων απορρίπτεται (επομένως, υπάρχει θετική αυτοσυσχέτιση). Αν D>dU, η υπόθεση δεν απορρίπτεται (δηλαδή δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση). Αν dL< D < d U , δεν υπάρχουν επαρκείς λόγοι για τη λήψη απόφασης. Όταν η υπολογιζόμενη τιμή ρευπερβαίνει το 2, τότε με dLΚαι dUΔεν συγκρίνεται ο ίδιος ο συντελεστής ρε, και η έκφραση (4 – ρε).

Για να υπολογίσουμε τα στατιστικά στοιχεία Durbin-Watson στο Excel, ας στραφούμε στον κάτω πίνακα στο Σχ. 14 Απόσυρση υπολοίπου. Ο αριθμητής στην παράσταση (10) υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση =SUMMAR(array1;array2) και τον παρονομαστή =SUMMAR(array) (Εικ. 16).

Ρύζι. 16. Τύποι υπολογισμού στατιστικών Durbin-Watson

Στο παράδειγμά μας ρε= 0,883. Το κύριο ερώτημα είναι: ποια τιμή της στατιστικής Durbin-Watson θα πρέπει να θεωρηθεί αρκετά μικρή για να συμπεράνουμε ότι υπάρχει θετική αυτοσυσχέτιση; Είναι απαραίτητο να συσχετιστεί η τιμή του D με τις κρίσιμες τιμές ( dLΚαι dU), ανάλογα με τον αριθμό των παρατηρήσεων nκαι επίπεδο σημαντικότητας α (Εικ. 17).

Ρύζι. 17. Κρίσιμες τιμές στατιστικών Durbin-Watson (τεμάχιο πίνακα)

Έτσι, στο πρόβλημα του όγκου πωλήσεων σε ένα κατάστημα που παραδίδει αγαθά στο σπίτι, υπάρχει μία ανεξάρτητη μεταβλητή ( κ= 1), 15 παρατηρήσεις ( n= 15) και επίπεδο σημαντικότητας α = 0,05. Οθεν, dL= 1,08 και ρεU= 1,36. Από ρε = 0,883 < dL= 1,08, υπάρχει θετική αυτοσυσχέτιση μεταξύ των υπολειμμάτων, η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί.

Έλεγχος υποθέσεων σχετικά με την κλίση και τον συντελεστή συσχέτισης

Παραπάνω, η παλινδρόμηση χρησιμοποιήθηκε αποκλειστικά για την πρόβλεψη. Για τον προσδιορισμό των συντελεστών παλινδρόμησης και την πρόβλεψη της τιμής μιας μεταβλητής Υγια μια δεδομένη τιμή μεταβλητής ΧΧρησιμοποιήθηκε η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Επιπλέον, εξετάσαμε το ριζικό μέσο τετραγωνικό σφάλμα της εκτίμησης και τον μικτό συντελεστή συσχέτισης. Εάν η ανάλυση των υπολειμμάτων επιβεβαιώσει ότι δεν παραβιάζονται οι προϋποθέσεις εφαρμογής της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων και ότι το μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης είναι επαρκές, με βάση τα δεδομένα του δείγματος, μπορεί να υποστηριχθεί ότι υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ των μεταβλητών στο τον πληθυσμό.

Εφαρμογήt -κριτήρια για την κλίση.Δοκιμάζοντας εάν η κλίση του πληθυσμού β 1 είναι ίση με μηδέν, μπορεί κανείς να καθορίσει εάν υπάρχει στατιστικά σημαντική σχέση μεταξύ των μεταβλητών ΧΚαι Υ. Εάν αυτή η υπόθεση απορριφθεί, μπορεί να υποστηριχθεί ότι μεταξύ των μεταβλητών ΧΚαι Υυπάρχει μια γραμμική σχέση. Οι μηδενικές και οι εναλλακτικές υποθέσεις διατυπώνονται ως εξής: H 0: β 1 = 0 (δεν υπάρχει γραμμική εξάρτηση), H1: β 1 ≠ 0 (υπάρχει γραμμική εξάρτηση). Εξ ορισμού t-το στατιστικό είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ της κλίσης του δείγματος και της υποθετικής τιμής της κλίσης του πληθυσμού, διαιρούμενη με το ριζικό μέσο τετραγωνικό σφάλμα της εκτίμησης της κλίσης:

(11) t = (σι 1 – β 1 ) / Sb 1

Οπου σι 1 – κλίση άμεσης παλινδρόμησης σε δεδομένα δείγματος, β1 – υποθετική κλίση άμεσου πληθυσμού, και στατιστικά δοκιμών tέχει t-διανομή με ν – 2βαθμούς ελευθερίας.

Ας ελέγξουμε αν υπάρχει στατιστικά σημαντική σχέση μεταξύ του μεγέθους του καταστήματος και των ετήσιων πωλήσεων στο α = 0,05. t-το κριτήριο εμφανίζεται μαζί με άλλες παραμέτρους όταν χρησιμοποιείται Πακέτο ανάλυσης(επιλογή Οπισθοδρόμηση). Τα πλήρη αποτελέσματα του πακέτου ανάλυσης φαίνονται στο Σχ. 4, θραύσμα που σχετίζεται με τη στατιστική t - στο Σχ. 18.

Ρύζι. 18. Αποτελέσματα αιτήσεων t

Από τον αριθμό των καταστημάτων n= 14 (βλ. Εικ. 3), κρίσιμη τιμή t- στατιστικές σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0,05 μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο: t L=STUDENT.ARV(0,025,12) = –2,1788, όπου 0,025 είναι το μισό του επιπέδου σημαντικότητας και 12 = n – 2; t U=STUDENT.OBR(0,975,12) = +2,1788.

Από t-statistics = 10,64 > t U= 2,1788 (Εικ. 19), μηδενική υπόθεση H 0απορρίφθηκε. Αντίπερα, r-τιμή για Χ= 10,6411, υπολογισμένο με τον τύπο =1-STUDENT.DIST(D3,12,TRUE), είναι περίπου ίσο με μηδέν, οπότε η υπόθεση H 0και πάλι απορρίφθηκε. Το γεγονός ότι r-Η τιμή σχεδόν μηδέν σημαίνει ότι αν δεν υπήρχε πραγματική γραμμική σχέση μεταξύ του μεγέθους του καταστήματος και των ετήσιων πωλήσεων, θα ήταν σχεδόν αδύνατο να εντοπιστεί χρησιμοποιώντας γραμμική παλινδρόμηση. Επομένως, υπάρχει μια στατιστικά σημαντική γραμμική σχέση μεταξύ των μέσων ετήσιων πωλήσεων καταστήματος και του μεγέθους του καταστήματος.

Ρύζι. 19. Έλεγχος της υπόθεσης για την κλίση του πληθυσμού σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 και 12 βαθμών ελευθερίας

Εφαρμογήφά -κριτήρια για την κλίση.Μια εναλλακτική προσέγγιση για τον έλεγχο υποθέσεων σχετικά με την κλίση της απλής γραμμικής παλινδρόμησης είναι να χρησιμοποιηθεί φά-κριτήρια. Να σας το υπενθυμίσουμε φάΤο -test χρησιμοποιείται για να ελέγξει τη σχέση μεταξύ δύο διακυμάνσεων (για περισσότερες λεπτομέρειες, βλ.). Κατά τον έλεγχο της υπόθεσης της κλίσης, το μέτρο των τυχαίων σφαλμάτων είναι η διακύμανση σφάλματος (το άθροισμα των τετραγωνικών σφαλμάτων διαιρούμενο με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας), άρα φά-Το κριτήριο χρησιμοποιεί τον λόγο της διακύμανσης που εξηγείται από την παλινδρόμηση (δηλαδή την τιμή SSR, διαιρούμενο με τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών κ), στη διακύμανση σφάλματος ( MSE = S YΧ 2 ).

Εξ ορισμού φά-το στατιστικό είναι ίσο με το μέσο τετράγωνο παλινδρόμησης (MSR) διαιρούμενο με τη διακύμανση σφάλματος (MSE): φά = MSR/ MSE, Πού MSR=SSR / κ, MSE =SSE/(n– k – 1), k– αριθμός ανεξάρτητων μεταβλητών στο μοντέλο παλινδρόμησης. Στατιστικά τεστ φάέχει φά-διανομή με κΚαι n– k – 1βαθμούς ελευθερίας.

Για ένα δεδομένο επίπεδο σημαντικότητας α, ο κανόνας απόφασης διατυπώνεται ως εξής: αν F>FU, η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται. διαφορετικά δεν απορρίπτεται. Τα αποτελέσματα, που παρουσιάζονται με τη μορφή ενός συνοπτικού πίνακα ανάλυσης διακύμανσης, φαίνονται στο Σχ. 20.

Ρύζι. 20. Πίνακας ανάλυσης διακύμανσης για τον έλεγχο της υπόθεσης σχετικά με τη στατιστική σημασία του συντελεστή παλινδρόμησης

Επίσης t-κριτήριο φά-το κριτήριο εμφανίζεται στον πίνακα όταν χρησιμοποιείται Πακέτο ανάλυσης(επιλογή Οπισθοδρόμηση). Πλήρη αποτελέσματα της εργασίας Πακέτο ανάλυσηςφαίνονται στο Σχ. 4, θραύσμα που σχετίζεται με φά- στατιστικά - στο Σχ. 21.

Ρύζι. 21. Αποτελέσματα αιτήσεων φά-κριτήρια που λαμβάνονται χρησιμοποιώντας το πακέτο ανάλυσης Excel

Η στατιστική F είναι 113,23 και r-τιμή κοντά στο μηδέν (κελί Σημασίαφά). Εάν το επίπεδο σημαντικότητας α είναι 0,05, προσδιορίστε την κρίσιμη τιμή φά-κατανομές με έναν και 12 βαθμούς ελευθερίας μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο F U=F.OBR(1-0,05;1;12) = 4,7472 (Εικ. 22). Από φά = 113,23 > F U= 4,7472, και r-τιμή κοντά στο 0< 0,05, нулевая гипотеза H 0απορρίπτεται, δηλ. Το μέγεθος ενός καταστήματος σχετίζεται στενά με τις ετήσιες πωλήσεις του.

Ρύζι. 22. Έλεγχος της υπόθεσης της κλίσης του πληθυσμού σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 με έναν και 12 βαθμούς ελευθερίας

Διάστημα εμπιστοσύνης που περιέχει κλίση β 1 .Για να ελέγξετε την υπόθεση ότι υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ των μεταβλητών, μπορείτε να κατασκευάσετε ένα διάστημα εμπιστοσύνης που περιέχει την κλίση β 1 και να επαληθεύσετε ότι η υποθετική τιμή β 1 = 0 ανήκει σε αυτό το διάστημα. Το κέντρο του διαστήματος εμπιστοσύνης που περιέχει την κλίση β 1 είναι η κλίση του δείγματος σι 1 , και τα όριά του είναι οι ποσότητες b 1 ±tn –2 Sb 1

Όπως φαίνεται στο Σχ. 18, σι 1 = +1,670, n = 14, Sb 1 = 0,157. t 12 =STUDENT.ARV(0,975,12) = 2,1788. Οθεν, b 1 ±tn –2 Sb 1 = +1,670 ± 2,1788 * 0,157 = +1,670 ± 0,342, ή + 1,328 ≤ β 1 ≤ +2,012. Έτσι, υπάρχει μια πιθανότητα 0,95 ότι η κλίση του πληθυσμού βρίσκεται στο διάστημα +1.328 έως +2.012 (δηλαδή 1.328.000 $ έως 2.012.000 $). Δεδομένου ότι αυτές οι τιμές είναι μεγαλύτερες από το μηδέν, υπάρχει μια στατιστικά σημαντική γραμμική σχέση μεταξύ των ετήσιων πωλήσεων και της περιοχής καταστήματος. Εάν το διάστημα εμπιστοσύνης περιείχε μηδέν, δεν θα υπήρχε σχέση μεταξύ των μεταβλητών. Επιπλέον, το διάστημα εμπιστοσύνης σημαίνει ότι κάθε αύξηση της επιφάνειας του καταστήματος κατά 1.000 τ. ft οδηγεί σε αύξηση του μέσου όγκου πωλήσεων από 1.328.000 $ σε 2.012.000 $.

Χρήσηt -κριτήρια για τον συντελεστή συσχέτισης.εισήχθη συντελεστής συσχέτισης r, το οποίο είναι ένα μέτρο της σχέσης μεταξύ δύο αριθμητικών μεταβλητών. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προσδιοριστεί εάν υπάρχει στατιστικά σημαντική σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών. Ας υποδηλώσουμε τον συντελεστή συσχέτισης μεταξύ των πληθυσμών και των δύο μεταβλητών με το σύμβολο ρ. Οι μηδενικές και οι εναλλακτικές υποθέσεις διατυπώνονται ως εξής: H 0: ρ = 0 (χωρίς συσχέτιση), H 1: ρ ≠ 0 (υπάρχει συσχέτιση). Έλεγχος ύπαρξης συσχέτισης:

Οπου r = + , Αν σι 1 > 0, r = – , Αν σι 1 < 0. Тестовая статистика tέχει t-διανομή με ν – 2βαθμούς ελευθερίας.

Στο πρόβλημα για την αλυσίδα καταστημάτων Sunflowers r 2= 0,904, α β 1- +1.670 (βλ. Εικ. 4). Από β 1> 0, ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ των ετήσιων πωλήσεων και του μεγέθους του καταστήματος είναι r= +√0,904 = +0,951. Ας ελέγξουμε τη μηδενική υπόθεση ότι δεν υπάρχει συσχέτιση μεταξύ αυτών των μεταβλητών χρησιμοποιώντας t-στατιστική:

Σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0,05, η μηδενική υπόθεση θα πρέπει να απορριφθεί γιατί t= 10,64 > 2,1788. Έτσι, μπορεί να υποστηριχθεί ότι υπάρχει στατιστικά σημαντική σχέση μεταξύ των ετήσιων πωλήσεων και του μεγέθους του καταστήματος.

Όταν συζητούνται συμπεράσματα σχετικά με την κλίση του πληθυσμού, τα διαστήματα εμπιστοσύνης και τα τεστ υποθέσεων χρησιμοποιούνται εναλλακτικά. Ωστόσο, ο υπολογισμός του διαστήματος εμπιστοσύνης που περιέχει τον συντελεστή συσχέτισης αποδεικνύεται πιο δύσκολος, δεδομένου ότι ο τύπος της δειγματοληπτικής κατανομής της στατιστικής rεξαρτάται από τον πραγματικό συντελεστή συσχέτισης.

Εκτίμηση μαθηματικής προσδοκίας και πρόβλεψη επιμέρους τιμών

Αυτή η ενότητα εξετάζει μεθόδους για την εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας μιας απάντησης Υκαι προβλέψεις ατομικών αξιών Υγια δεδομένες τιμές της μεταβλητής Χ.

Δημιουργία διαστήματος εμπιστοσύνης.Στο παράδειγμα 2 (βλ. ενότητα παραπάνω Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων) η εξίσωση παλινδρόμησης κατέστησε δυνατή την πρόβλεψη της τιμής της μεταβλητής Υ Χ. Στο πρόβλημα της επιλογής τοποθεσίας για ένα κατάστημα λιανικής, ο μέσος ετήσιος όγκος πωλήσεων σε ένα κατάστημα με έκταση 4000 τ. πόδια ήταν ίσο με 7,644 εκατομμύρια δολάρια, ωστόσο, αυτή η εκτίμηση των μαθηματικών προσδοκιών του γενικού πληθυσμού είναι σημειακή. Για την εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας του πληθυσμού, προτάθηκε η έννοια του διαστήματος εμπιστοσύνης. Ομοίως, μπορούμε να εισαγάγουμε την έννοια διάστημα εμπιστοσύνης για τη μαθηματική προσδοκία της απάντησηςγια μια δεδομένη τιμή μεταβλητής Χ:

Οπου , = σι 0 + σι 1 X i– η προβλεπόμενη τιμή είναι μεταβλητή Υστο Χ = X i, Σ ΥΧ– ρίζα μέσο τετραγωνικό σφάλμα, n– μέγεθος δείγματος, Χεγώ- καθορισμένη τιμή της μεταβλητής Χ, µ Υ|Χ = Χεγώ– μαθηματική προσδοκία της μεταβλητής Υστο Χ = Xi, SSX =

Η ανάλυση του τύπου (13) δείχνει ότι το πλάτος του διαστήματος εμπιστοσύνης εξαρτάται από διάφορους παράγοντες. Σε ένα δεδομένο επίπεδο σημαντικότητας, μια αύξηση στο πλάτος των διακυμάνσεων γύρω από τη γραμμή παλινδρόμησης, που μετράται χρησιμοποιώντας το ριζικό μέσο τετραγωνικό σφάλμα, οδηγεί σε αύξηση του πλάτους του διαστήματος. Από την άλλη πλευρά, όπως θα περίμενε κανείς, η αύξηση του μεγέθους του δείγματος συνοδεύεται από στένωση του διαστήματος. Επιπλέον, το πλάτος του διαστήματος αλλάζει ανάλογα με τις τιμές Χεγώ. Αν η μεταβλητή τιμή Υπροβλεπόμενη για τις ποσότητες Χ, κοντά στη μέση τιμή , το διάστημα εμπιστοσύνης αποδεικνύεται μικρότερο από ό,τι όταν προβλέπεται η απόκριση για τιμές που απέχουν πολύ από το μέσο όρο.

Ας πούμε ότι κατά την επιλογή μιας τοποθεσίας καταστήματος, θέλουμε να δημιουργήσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95% για τις μέσες ετήσιες πωλήσεις όλων των καταστημάτων των οποίων η επιφάνεια είναι 4000 τετραγωνικά μέτρα. πόδια:

Επομένως, ο μέσος ετήσιος όγκος πωλήσεων σε όλα τα καταστήματα με έκταση 4.000 τ. πόδια, με 95% πιθανότητα να κυμαίνεται από 6,971 έως 8,317 εκατομμύρια δολάρια.

Υπολογίστε το διάστημα εμπιστοσύνης για την προβλεπόμενη τιμή.Εκτός από το διάστημα εμπιστοσύνης για τη μαθηματική προσδοκία της απόκρισης για μια δεδομένη τιμή της μεταβλητής Χ, είναι συχνά απαραίτητο να γνωρίζουμε το διάστημα εμπιστοσύνης για την προβλεπόμενη τιμή. Αν και ο τύπος για τον υπολογισμό ενός τέτοιου διαστήματος εμπιστοσύνης είναι πολύ παρόμοιος με τον τύπο (13), αυτό το διάστημα περιέχει την προβλεπόμενη τιμή και όχι την εκτίμηση της παραμέτρου. Διάστημα για την προβλεπόμενη απόκριση ΥΧ = Xiγια μια συγκεκριμένη τιμή μεταβλητής Χεγώκαθορίζεται από τον τύπο:

Ας υποθέσουμε ότι όταν επιλέγουμε μια τοποθεσία για ένα κατάστημα λιανικής, θέλουμε να δημιουργήσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95% για τον προβλεπόμενο ετήσιο όγκο πωλήσεων για ένα κατάστημα του οποίου η έκταση είναι 4000 τετραγωνικά μέτρα. πόδια:

Επομένως, ο προβλεπόμενος ετήσιος όγκος πωλήσεων για ένα κατάστημα με επιφάνεια 4000 τ. πόδια, με πιθανότητα 95% κυμαίνεται από 5,433 έως 9,854 εκατομμύρια δολάρια Όπως μπορούμε να δούμε, το διάστημα εμπιστοσύνης για την προβλεπόμενη τιμή απόκρισης είναι πολύ μεγαλύτερο από το διάστημα εμπιστοσύνης για τις μαθηματικές προσδοκίες. Αυτό συμβαίνει επειδή η μεταβλητότητα στην πρόβλεψη μεμονωμένων τιμών είναι πολύ μεγαλύτερη από την εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας.

Παγίδες και ηθικά ζητήματα που σχετίζονται με τη χρήση παλινδρόμησης

Δυσκολίες που σχετίζονται με την ανάλυση παλινδρόμησης:

• Αγνοώντας τις προϋποθέσεις εφαρμογής της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων.
• Εσφαλμένη εκτίμηση των προϋποθέσεων εφαρμογής της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων.
• Λανθασμένη επιλογή εναλλακτικών μεθόδων όταν παραβιάζονται οι προϋποθέσεις εφαρμογής της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων.
• Εφαρμογή ανάλυσης παλινδρόμησης χωρίς βαθιά γνώση του αντικειμένου της έρευνας.
• Παρέκταση μιας παλινδρόμησης πέρα ​​από το εύρος της επεξηγηματικής μεταβλητής.
• Σύγχυση μεταξύ στατιστικών και αιτιακών σχέσεων.

Η ευρεία χρήση υπολογιστικών φύλλων και στατιστικού λογισμικού έχει εξαλείψει τα υπολογιστικά προβλήματα που είχαν παρεμποδίσει τη χρήση της ανάλυσης παλινδρόμησης. Ωστόσο, αυτό οδήγησε στο γεγονός ότι η ανάλυση παλινδρόμησης χρησιμοποιήθηκε από χρήστες που δεν είχαν επαρκή προσόντα και γνώσεις. Πώς μπορούν οι χρήστες να γνωρίζουν εναλλακτικές μεθόδους εάν πολλοί από αυτούς δεν έχουν ιδέα για τις προϋποθέσεις εφαρμογής της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων και δεν γνωρίζουν πώς να ελέγξουν την εφαρμογή τους;

Ο ερευνητής δεν πρέπει να παρασυρθεί με τους τσακισμένους αριθμούς - υπολογίζοντας τη μετατόπιση, την κλίση και τον μικτό συντελεστή συσχέτισης. Χρειάζεται βαθύτερη γνώση. Ας το ερμηνεύσουμε αυτό με ένα κλασικό παράδειγμα από σχολικά βιβλία. Ο Anscombe έδειξε ότι και τα τέσσερα σύνολα δεδομένων που φαίνονται στο Σχ. 23, έχουν τις ίδιες παραμέτρους παλινδρόμησης (Εικ. 24).

Ρύζι. 23. Τέσσερα σύνολα τεχνητών δεδομένων

Ρύζι. 24. Ανάλυση παλινδρόμησης τεσσάρων συνόλων τεχνητών δεδομένων. γίνεται με Πακέτο ανάλυσης(κάντε κλικ στην εικόνα για μεγέθυνση)

Έτσι, από την άποψη της ανάλυσης παλινδρόμησης, όλα αυτά τα σύνολα δεδομένων είναι εντελώς πανομοιότυπα. Αν η ανάλυση τελείωνε εκεί, θα χάναμε πολλές χρήσιμες πληροφορίες. Αυτό αποδεικνύεται από τα διαγράμματα διασποράς (Εικόνα 25) και τα υπολειμματικά διαγράμματα (Εικόνα 26) που κατασκευάστηκαν για αυτά τα σύνολα δεδομένων.

Ρύζι. 25. Γραφήματα διασποράς για τέσσερα σύνολα δεδομένων

Τα διαγράμματα διασποράς και τα υπολειμματικά γραφήματα υποδεικνύουν ότι αυτά τα δεδομένα διαφέρουν μεταξύ τους. Το μόνο σύνολο που κατανέμεται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής είναι το σύνολο Α. Η γραφική παράσταση των υπολειμμάτων που υπολογίζονται από το σύνολο Α δεν έχει κανένα σχέδιο. Αυτό δεν μπορεί να ειπωθεί για τα σύνολα Β, Γ και Δ. Η γραφική παράσταση διασποράς για το σύνολο Β δείχνει ένα έντονο τετραγωνικό σχέδιο. Αυτό το συμπέρασμα επιβεβαιώνεται από το υπολειπόμενο οικόπεδο, το οποίο έχει παραβολικό σχήμα. Το διάγραμμα διασποράς και το υπολειπόμενο διάγραμμα δείχνουν ότι το σύνολο δεδομένων Β περιέχει μια ακραία τιμή. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να εξαιρεθεί η ακραία τιμή από το σύνολο δεδομένων και να επαναληφθεί η ανάλυση. Μια μέθοδος για τον εντοπισμό και την εξάλειψη των ακραίων τιμών στις παρατηρήσεις ονομάζεται ανάλυση επιρροής. Μετά την εξάλειψη της ακραίας τιμής, το αποτέλεσμα της επανεκτίμησης του μοντέλου μπορεί να είναι εντελώς διαφορετικό. Το διάγραμμα διασποράς που σχεδιάστηκε από δεδομένα από το σύνολο G απεικονίζει μια ασυνήθιστη κατάσταση στην οποία το εμπειρικό μοντέλο εξαρτάται σημαντικά από μια μεμονωμένη απόκριση ( Χ 8 = 19, Υ 8 = 12,5). Τέτοια μοντέλα παλινδρόμησης πρέπει να υπολογίζονται ιδιαίτερα προσεκτικά. Έτσι, τα διαγράμματα διασποράς και τα υπολειμματικά διαγράμματα είναι ένα ουσιαστικό εργαλείο για την ανάλυση παλινδρόμησης και θα πρέπει να αποτελούν αναπόσπαστο μέρος της. Χωρίς αυτές, η ανάλυση παλινδρόμησης δεν είναι αξιόπιστη.

Ρύζι. 26. Υπολειμματικά διαγράμματα για τέσσερα σύνολα δεδομένων

Πώς να αποφύγετε παγίδες στην ανάλυση παλινδρόμησης:

• Ανάλυση πιθανών σχέσεων μεταξύ μεταβλητών ΧΚαι Υξεκινάτε πάντα σχεδιάζοντας ένα διάγραμμα διασποράς.
• Πριν ερμηνεύσετε τα αποτελέσματα της ανάλυσης παλινδρόμησης, ελέγξτε τις προϋποθέσεις για την εφαρμογή της.
• Σχεδιάστε τα υπολείμματα έναντι της ανεξάρτητης μεταβλητής. Αυτό θα επιτρέψει να προσδιοριστεί πόσο καλά ταιριάζει το εμπειρικό μοντέλο με τα αποτελέσματα της παρατήρησης και να ανιχνευθεί παραβίαση της σταθερότητας διασποράς.
• Χρησιμοποιήστε ιστογράμματα, διαγράμματα στελέχους και φύλλων, διαγράμματα πλαισίου και γραφικές παραστάσεις κανονικής κατανομής για να ελέγξετε την υπόθεση της κανονικής κατανομής σφάλματος.
• Εάν δεν πληρούνται οι προϋποθέσεις εφαρμογής της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, χρησιμοποιήστε εναλλακτικές μεθόδους (για παράδειγμα, μοντέλα τετραγωνικής ή πολλαπλής παλινδρόμησης).
• Εάν πληρούνται οι προϋποθέσεις για τη δυνατότητα εφαρμογής της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, είναι απαραίτητο να ελεγχθεί η υπόθεση σχετικά με τη στατιστική σημασία των συντελεστών παλινδρόμησης και να κατασκευαστούν διαστήματα εμπιστοσύνης που περιέχουν τη μαθηματική προσδοκία και την προβλεπόμενη τιμή απόκρισης.
• Αποφύγετε την πρόβλεψη τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής εκτός του εύρους της ανεξάρτητης μεταβλητής.
• Λάβετε υπόψη ότι οι στατιστικές σχέσεις δεν είναι πάντα αιτίου-αποτελέσματος. Να θυμάστε ότι η συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών δεν σημαίνει ότι υπάρχει σχέση αιτίου-αποτελέσματος μεταξύ τους.

Περίληψη.Όπως φαίνεται στο μπλοκ διάγραμμα (Εικόνα 27), η σημείωση περιγράφει το απλό μοντέλο γραμμικής παλινδρόμησης, τις προϋποθέσεις για την εφαρμογή του και τον τρόπο δοκιμής αυτών των συνθηκών. Θεωρείται t-κριτήριο ελέγχου της στατιστικής σημασίας της κλίσης παλινδρόμησης. Χρησιμοποιήθηκε ένα μοντέλο παλινδρόμησης για την πρόβλεψη των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής. Θεωρείται ένα παράδειγμα που σχετίζεται με την επιλογή τοποθεσίας για ένα κατάστημα λιανικής, στο οποίο εξετάζεται η εξάρτηση του ετήσιου όγκου πωλήσεων από την περιοχή του καταστήματος. Οι πληροφορίες που λαμβάνονται σάς επιτρέπουν να επιλέξετε με μεγαλύτερη ακρίβεια μια τοποθεσία για ένα κατάστημα και να προβλέψετε τον ετήσιο όγκο πωλήσεών του. Οι ακόλουθες σημειώσεις θα συνεχίσουν τη συζήτηση της ανάλυσης παλινδρόμησης και θα εξετάσουν επίσης μοντέλα πολλαπλών παλινδρόμησης.

Ρύζι. 27. Σημειώστε διάγραμμα δομής

Χρησιμοποιούνται υλικά από το βιβλίο Levin et al. – Μ.: Williams, 2004. – Σελ. 792–872

Εάν η εξαρτημένη μεταβλητή είναι κατηγορική, πρέπει να χρησιμοποιηθεί λογιστική παλινδρόμηση.