Η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ονομάζεται. Επίλυση προβλημάτων άμεσου και διπλού γραμμικού προγραμματισμού με χρήση Python
Σελίδα 2
Ο πίνακας δείχνει ότι για σχετικά κοντινές βέλτιστες τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης (f (z) (με αποκλίσεις της τάξης του 1%), ο αριθμός των προϊόντων που θα παραχθούν σύμφωνα με αυτά τα βέλτιστα σχέδια για μεμονωμένα είδη ποικίλλει μέσα σε αρκετές εκατοντάδες Έτσι, αυτό το πρόβλημα είναι ασταθές.
Ως αποτέλεσμα της επίλυσης του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, βρίσκεται η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (ο επιθυμητός συνδυασμός προϊόντων - μέγιστο εισόδημα), καθώς και οι τιμές των μεταβλητών που αντιστοιχούν σε αυτή τη βέλτιστη λύση: η κύρια x - είδη προϊόντων· επιπλέον zt - αποθέματα για περιορισμένους πόρους. dual Ug - ένα μέτρο της σπανιότητας πόρων. πρόσθετο διπλό Υ - - ποια προϊόντα είναι κατάλληλα να συμπεριληφθούν στο βέλτιστο σχέδιο.
Εάν το σύνολο λύσεων δεν είναι κενό, τότε η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης μπορεί να είναι είτε πεπερασμένη είτε απεριόριστα μεγάλη. Στην περίπτωση που η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι πεπερασμένη, αντιστοιχεί στο ακραίο σημείο.
Δεδομένου ότι ο χώρος λύσης μπορεί να είναι απεριόριστος, η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης μπορεί επίσης να είναι απείρως μεγάλη.
Όλοι οι περιορισμοί ικανοποιούνται εάν και μόνο εάν η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του κυρτού προβλήματος είναι μηδέν. Διαφορετικά, η ελάχιστη τιμή είναι απεριόριστη και πρέπει να βρεθεί μια ακραία ακτίνα, με τη βοήθεια της οποίας κατασκευάζεται ο παραβιασμένος περιορισμός.
Σε οποιαδήποτε επανάληψη t, είναι γνωστή η χαμηλότερη εκτίμηση x της βέλτιστης τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης. Η τιμή του x μπορεί να επιλεγεί με τον ίδιο τρόπο. Επιπλέον, υπάρχει μια κύρια λίστα προβλημάτων, στην οποία κάθε πρόβλημα έχει μια συγκεκριμένη μερική λύση.
Τώρα μπορείτε να βρείτε τη λύση που αντιστοιχεί στη βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης.
Στην αρχή κάθε επανάληψης t, είναι γνωστή η ανώτερη εκτίμηση x της βέλτιστης τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης. Η τιμή του x προσδιορίζεται με έναν γενικά αποδεκτό τρόπο. Επιπλέον, δίνεται μια κύρια λίστα εργασιών, που περιέχει ένα ορισμένο υποσύνολο Xij 1, που ορίζει έναν μερικό κύκλο και ένα υποσύνολο τιμών c - -, που έγινε αποδεκτό ως αποτέλεσμα της αναθεώρησης να είναι ίσο με oo. Για να υπολογίσετε τη χαμηλότερη εκτίμηση της βέλτιστης τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης που αντιστοιχεί σε έναν κύκλο που είναι το συμπλήρωμα ενός μερικού κύκλου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ίδια μέθοδο όπως στον αλγόριθμο ρύθμισης διαδρομής. Από την άλλη πλευρά, μπορεί κανείς να καθορίσει τη βέλτιστη λύση στο πρόβλημα εκχώρησης συμπεριλαμβάνοντας σε αυτό το πρόβλημα τους συντελεστές c - που ανήκουν σε γραμμές και στήλες που δεν σχετίζονται με το υποσύνολο xti 1 που περιλαμβάνονται στον μερικό κύκλο.
Σε τέτοιες περιπτώσεις, υπάρχουν άπειρα σχέδια που αντιστοιχούν στη βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Στην πολυδιάστατη περίπτωση, λένε ότι το υπερεπίπεδο του σταθερού κέρδους είναι παράλληλο με το υπερεπίπεδο - το όριο ενός από τους πόρους.
Θεώρημα 4.1. Η ακολουθία Q(Xh) συγκλίνει στη βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του ντετερμινιστικού προβλήματος, ισοδύναμη με ένα πρόβλημα στοχαστικού γραμμικού προγραμματισμού δύο σταδίων. Η ακολουθία lj/J περιέχει μια συγκλίνουσα υποακολουθία. Κάθε συγκλίνουσα υποακολουθία του Xh συγκλίνει στη βέλτιστη προηγούμενη σχεδίαση x του στοχαστικού προβλήματος δύο σταδίων.
Πρέπει να σημειωθεί ότι πολύ συχνά, λόγω περιορισμών, η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης δεν επιτυγχάνεται όπου η επιφάνειά της έχει μηδενική κλίση. Συχνά η καλύτερη λύση αντιστοιχεί σε ένα από τα όρια του χώρου σχεδιασμού.
Στην αρχή κάθε επανάληψης t, είναι γνωστή η ανώτερη εκτίμηση x a της βέλτιστης τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης.
Το τελευταίο μέρος αυτής της ενότητας συζητά το ζήτημα των κατά προσέγγιση μεθόδων για την εκτίμηση των βέλτιστων τιμών της αντικειμενικής συνάρτησης υπό διάφορες παραδοχές σχετικά με τη δομή του στοχαστικού μοντέλου. Η επόμενη ενότητα εξετάζει μια άλλη διατύπωση ενός προβλήματος στοχαστικού γραμμικού προγραμματισμού δύο σταδίων που επιτρέπει τη μετάβαση σε ένα τυπικό μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού διατηρώντας παράλληλα τη διάσταση.
Πράγματι, σύμφωνα με το (VI5), η τιμή της διπλής συνάρτησης είναι πάντα μικρότερη από τη βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Ως εκ τούτου, ο υπολογισμός της διπλής συνάρτησης για οποιεσδήποτε τιμές των πολλαπλασιαστών Lagrange δίνει ένα κατώτερο όριο για αυτήν την επιλογή διακλάδωσης.
Για να βρείτε το μέγιστο της αντικειμενικής συνάρτησης, χρησιμοποιήστε τη συνάρτηση μεγιστοποίησης, η μορφή της οποίας είναι μεγιστοποίηση(<функция>, <система ограничений>, <опции>);
Σε αυτήν την περίπτωση, είναι βολικό να καθορίσετε τη συνθήκη για μη αρνητικότητα των μεταβλητών χρησιμοποιώντας την επιλογή NONNEGATIVE.
> βέλτιστη:=maximize(f,syst_ogr,ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΟ);
Χρησιμοποιήστε την εντολή subs, η οποία σας επιτρέπει να αντικαταστήσετε τιμές μεταβλητών Χ 1 και Χ 2 ανά λειτουργία φά.
> fmax:=subs(x1=83/17,x2=19/17,f);
Χρησιμοποιήστε τη συνάρτηση evalf για να εκφράσετε την απάντηση ως πραγματικός αριθμός με 4 σημαντικά ψηφία.
> fmax:=evalf(fmax,4);
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με τη λύση του προβλήματος LP χωρίς εξήγηση στο παράρτημα.
Επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης σε ένα εξειδικευμένο πακέτο SimplexWin. Http://www.Simplexwin.Narod.Ru/
Αυτό το πρόγραμμα έχει σχεδιαστεί για να λύνει προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού χρησιμοποιώντας τη μέθοδο simplex.
Εργο. Βρείτε τιμές μεταβλητών Χ 1 Και Χ 2, στο οποίο
υπό περιορισμούς
Εντολή εργασίας:
Εκκινήστε το πρόγραμμα SimplexWin και ορίστε το απαιτούμενο μέγεθος του πίνακα περιορισμών επιλέγοντας την εντολή μενού Settings – Matrix size (Εικ. 13).
Ρύζι. 13. Προσδιορισμός του μεγέθους του πίνακα.
Εισαγάγετε τα δεδομένα (Εικ. 14). Εάν το πρόβλημα δεν εισαχθεί σε κανονική μορφή, τότε προστίθενται αυτόματα επιπλέον μεταβλητές και τεχνητές βάσεις (καθώς και οι αντίστοιχοι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης).
Εικ.14. Εισαγωγή δεδομένων.
II. Εύρεση του βέλτιστου σχεδίου και της βέλτιστης τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης.
Ρύζι. 15. Φόρμα αποτελεσμάτων.
Στη φόρμα Αποτελέσματα, κάντε κλικ στο κουμπί Αποτέλεσμα, το οποίο σας επιτρέπει να λύσετε αυτόματα το πρόβλημα και να εμφανίσετε στην οθόνη τον πιο πρόσφατο πίνακα και το αποτέλεσμα του simplex (Εικ. 16).
Ρύζι. 16. Η λύση του προβλήματος.
Επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης σεΠροέχω
Ας δούμε ένα παράδειγμα εύρεσης του παρακάτω προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού.
Εργο. Βρείτε τιμές μεταβλητών Χ 1 Και Χ 2, στο οποίο
υπό περιορισμούς
Εντολή εργασίας:
I. Καταχώρηση αρχικών στοιχείων.
Δημιουργήστε μια φόρμα οθόνης για την εισαγωγή των συνθηκών του προβλήματος (μεταβλητές, αντικειμενική συνάρτηση, περιορισμοί) και εισαγάγετε τα αρχικά δεδομένα σε αυτήν (συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης, συντελεστές μεταβλητών σε περιορισμούς, δεξιά πλευρά των περιορισμών) (Εικ. 17 ).
Ρύζι. 17. Μορφή οθόνης της εργασίας (δρομέας στο κελί D6).
Σχόλιο: Σε μορφή οθόνης στο Σχ. 17 Σε κάθε μεταβλητή και σε κάθε συντελεστή του προβλήματος εκχωρείται ένα συγκεκριμένο κελί στο Excel. Έτσι, για παράδειγμα, οι μεταβλητές εργασιών αντιστοιχούν στα κελιά B3 ( 
), C3 ( 
), οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης αντιστοιχούν στα κελιά B6 ( 
), C6 ( 
), οι δεξιές πλευρές των περιορισμών αντιστοιχούν στα κελιά F10 ( 
), F11 ( 
), F12 ( 
)και τα λοιπά.
Εισαγάγετε τις εξαρτήσεις από το μαθηματικό μοντέλο στη φόρμα οθόνης, π.χ. Εισαγάγετε τον τύπο για τον υπολογισμό της αντικειμενικής συνάρτησης και τον τύπο για τον υπολογισμό των τιμών των αριστερών πλευρών των περιορισμών.
Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης καθορίζεται από την έκφραση 
. Χρησιμοποιώντας τους χαρακτηρισμούς των αντίστοιχων κελιών στο Excel, ο τύπος για τον υπολογισμό της αντικειμενικής συνάρτησης μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα προϊόντωνκαθένα από τα κελιά που έχουν εκχωρηθεί για τις τιμές των μεταβλητών εργασιών (B3, C3) στα αντίστοιχα κελιά που έχουν εκχωρηθεί για τους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης (B6, C6).
Για να ορίσετε τον τύπο εξάρτησης για τη συνάρτηση στόχου, κάντε τα εξής: :
– τοποθετήστε τον κέρσορα στο κελί D6;
– παράθυρο κλήσης Function Wizard - Βήμα 1 από 2πατώντας το κουμπί 
στην τυπική γραμμή εργαλείων.
- στο παράθυρο Λειτουργίαεπιλέξτε λειτουργία SUMPRODUCT;
- στο παράθυρο που εμφανίζεται SUMPRODUCTΣτη γραμμή Πίνακας 1εισάγετε έκφραση B$3:C$3, και στη γραμμή Πίνακας 2- έκφραση Β6: C6;
- πάτα το κουμπί Εντάξει.
Ρύζι. 18. Εισαγωγή τύπου για τον υπολογισμό του CF στο παράθυρο του Οδηγού συναρτήσεων.
Αφού εισαγάγετε τα κελιά σε σειρές Πίνακας 1Και Πίνακας 2στο παράθυρο SUMPRODUCTΘα εμφανιστούν οι αριθμητικές τιμές των εισαγόμενων πινάκων (Εικ. 18) και η τρέχουσα τιμή υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον εισαγόμενο τύπο, δηλαδή 0 (αφού τη στιγμή που εισάγεται ο τύπος, οι τιμές των μεταβλητών εργασιών είναι μηδέν) θα εμφανιστεί στη φόρμα οθόνης (Εικ. 19).
Σχόλιο: Το σύμβολο $ πριν από τον αριθμό σειράς σημαίνει ότι όταν αντιγράφετε αυτόν τον τύπο σε άλλα σημεία του φύλλου Excel, ο αριθμός σειράς 3 δεν θα αλλάξει. Σύμβολο : σημαίνει ότι ο τύπος χρησιμοποιεί όλα τα κελιά μεταξύ των κελιών αριστερά και δεξιά του παχέος εντέρου.
Οι αριστερές πλευρές των περιορισμών του προβλήματος είναι άθροισμα προϊόντωνκαθένα από τα κελιά που έχουν εκχωρηθεί για τις τιμές των μεταβλητών προβλήματος (B3, C3) στο αντίστοιχο κελί που έχει εκχωρηθεί για τους συντελεστές ενός συγκεκριμένου περιορισμού (B10, C10 – 1ος περιορισμός, B11, C11 – 2ος περιορισμός, B12, C12 – 3ος περιορισμός).
Οι τύποι που καθορίζουν τις αριστερές πλευρές των περιορισμών του προβλήματος διαφέρουν μεταξύ τους και από τον τύπο στο κελί προορισμού D6μόνο τον αριθμό γραμμής στον δεύτερο πίνακα. Αυτός ο αριθμός καθορίζεται από τη γραμμή στην οποία είναι γραμμένος ο περιορισμός στη φόρμα οθόνης. Επομένως, για να ορίσετε εξαρτήσεις για τα αριστερά μέρη του περιορισμού, αρκεί να αντιγράψετε τον τύπο από το κελί προορισμού στα κελιά των αριστερών τμημάτων των περιορισμών.
Για να υπολογίσετε τις τιμές των αριστερών πλευρών των περιορισμών, κάντε τα εξής:
– τοποθετήστε τον κέρσορα στο κελί D6και αντιγράψτε τα περιεχόμενα του κελιού στο πρόχειρο (χρησιμοποιώντας τα πλήκτρα Ctrl+C).
– τοποθετήστε τον κέρσορα με τη σειρά του στα πεδία της αριστερής πλευράς καθενός από τους περιορισμούς, δηλαδή ρε10 ,ρε11 , ρε12 και επικολλήστε τα περιεχόμενα του buffer σε αυτά τα πεδία (χρησιμοποιώντας τα πλήκτρα Ctrl+V) (σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των κελιών στον δεύτερο πίνακα του τύπου θα αλλάξει στον αριθμό της σειράς από την οποία έγινε η επικόλληση το buffer).
Αφού μπείτε στην οθόνη στα πεδία ρε10 ,ρε11 , ρε12 Θα εμφανιστεί το 0 (μηδενική τιμή) (Εικ. 19).
Ρύζι. 19. Μορφή οθόνης της εργασίας μετά το νερό
όλες τις απαραίτητες φόρμουλες.
Ελέγξτε ότι οι τύποι έχουν εισαχθεί σωστά.
Για αυτό:
– κάντε διπλό κλικ στο αριστερό κουμπί του ποντικιού στα κελιά με τύπους και τα κελιά που χρησιμοποιούνται στον τύπο θα επισημανθούν στην οθόνη (Εικ. 20 και Εικ. 21).
Ρύζι. 20
τύπους για να στοχεύσετε το κελί D6.
Ρύζι. 20. Έλεγχος της σωστής εισαγωγής
τύπους στο κελί D10 για την αριστερή πλευρά των περιορισμών.
Καθορίστε τη συνάρτηση στόχου και εισαγάγετε περιορισμούς στο παράθυρο Εύρεση λύσης(Εικ. 21).
Για αυτό:
– τοποθετήστε τον κέρσορα στο κελί D6;
– παράθυρο κλήσης Εύρεση λύσηςεπιλέγοντας στη γραμμή εργαλείων Δεδομένα - Εύρεση λύσης;
– τοποθετήστε τον κέρσορα στο πεδίο Ορισμός κελιού στόχου;
– εισάγετε τη διεύθυνση του κελιού προορισμού 6 $ D $ή κάντε ένα κλικ με το αριστερό κουμπί του ποντικιού στο κελί προορισμού στη φόρμα οθόνης, το οποίο θα ισοδυναμεί με την εισαγωγή της διεύθυνσης από το πληκτρολόγιο.
– υποδείξτε την κατεύθυνση βελτιστοποίησης της αντικειμενικής συνάρτησης κάνοντας κλικ μία φορά με το αριστερό κουμπί του ποντικιού στο κουμπί επιλογής μέγιστη αξία;
- στο παράθυρο Αναζήτηση αποφάσεωνστο χωράφι Αλλαγή κελιώνεισάγετε κελιά με μεταβλητές τιμές $B$3:$C$3, επιλέγοντάς τα στη φόρμα οθόνης κρατώντας πατημένο το αριστερό κουμπί του ποντικιού.
Ρύζι. 21. Παράθυρο Αναζήτηση για λύση.
- πάτα το κουμπί Προσθήκη;
– σύμφωνα με τις συνθήκες της εργασίας, επιλέξτε το απαιτούμενο σύμβολο στο πεδίο πρόσημο, για παράδειγμα, για 1 περιορισμό αυτό είναι το σύμβολο 
;
- στο χωράφι Περιορισμόςεισαγάγετε τη διεύθυνση κελιού στη δεξιά πλευρά του εν λόγω περιορισμού, για παράδειγμα $10 F $;
– καθιερώστε ομοίως σχέσεις μεταξύ του δεξιού και του αριστερού τμήματος άλλων περιορισμών ( $D$11
$1 F$1
,
$D$12
$1 F$2)
;
– επιβεβαιώστε την εισαγωγή όλων των καταστάσεων που αναφέρονται πατώντας το κουμπί Εντάξει(Εικ. 22 και Εικ. 23).
Ρύζι. 22. Προσθήκη συνθήκης.
Σχόλιο: Εάν, κατά την εισαγωγή μιας συνθήκης εργασίας, υπάρχει ανάγκη αλλαγής ή διαγραφής των περιορισμών που έχουν εισαχθεί, αυτό μπορεί να γίνει κάνοντας κλικ στα κουμπιά Αλλαγήή Διαγράφω.
Η αντικειμενική συνάρτηση είναι μια μαθηματική αναπαράσταση της εξάρτησης του κριτηρίου βελτιστότητας από τις επιθυμητές μεταβλητές.2. Διαβάθμιση της συνάρτησης.
Ένα διάνυσμα του οποίου τα συστατικά είναι οι τιμές των μερικών παραγώγων, δηλαδή ένα διάνυσμα
ονομάζεται κλίση της συνάρτησης που υπολογίζεται στο σημείο.
3. Γενικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού.
Η τυπική μαθηματική διατύπωση του γενικού προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού μοιάζει με αυτό: πρέπει να βρείτε την ακραία τιμή του δείκτη απόδοσης (αντικειμενική συνάρτηση)
(γραμμική συνάρτηση στοιχείων λύσης) υπό γραμμικές περιοριστικές συνθήκες που επιβάλλονται στα στοιχεία λύσης:
όπου δίνονται αριθμοί. 
4. Τυπικό πρόβλημα LP.
Σε τυπική μορφή, ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι ένα μέγιστο (ελάχιστο) πρόβλημα για μια γραμμική αντικειμενική συνάρτηση. Το σύστημα περιορισμών του αποτελείται μόνο από γραμμικές ανισότητες του τύπου «<= » или « >=" Όλες οι μεταβλητές του προβλήματος είναι μη αρνητικές.
Οποιοδήποτε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να διατυπωθεί σε τυποποιημένη μορφή.
Η μετατροπή ενός ελάχιστου προβλήματος σε μέγιστο πρόβλημα, καθώς και η διασφάλιση ότι οι μεταβλητές δεν είναι αρνητικές, γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως πριν. Οποιαδήποτε ισότητα σε ένα σύστημα περιορισμών είναι ισοδύναμη με ένα σύστημα αμοιβαία αντίθετων ανισοτήτων:
Υπάρχουν άλλοι τρόποι μετατροπής ενός συστήματος ισοτήτων σε σύστημα ανισοτήτων, δηλ.
Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να διατυπωθεί σε τυπική μορφή.
Απάντηση στην επιλογή 2:
Τυπικό πρόβλημα LP.
ή, σε συμβολισμό πίνακα, πού είναι ο πίνακας συντελεστών. Διάνυσμα ονομάζεται διάνυσμα συντελεστών γραμμικής μορφής, διάνυσμα περιορισμών. 5. Κανονικό πρόβλημα lp.ΣΕ κανονική μορφή το πρόβλημα είναι πρόβλημα για το μέγιστο (ελάχιστο) κάποιας γραμμικής συνάρτησης φά 1 , το σύστημα περιορισμών του αποτελείται μόνο από ισότητες (εξισώσεις). Ταυτόχρονα, μεταβλητές εργασιών 2 Χ , Χ , ..., Χ
|
| |
n
είναι μη αρνητικές:
Οποιοδήποτε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να μετατραπεί σε κανονική μορφή.
Υπάρχουν άλλοι τρόποι μετατροπής ενός συστήματος ισοτήτων σε σύστημα ανισοτήτων, δηλ.
Μια σύντομη σημειογραφία του κανονικού προβλήματος LP:
X = (x1, x2, ..., xn), C = (c1, c2, ..., cn).
Κανονικό πρόβλημα LP.
ή, σε σημειογραφία μήτρας, 
6. Συμμετρικά και ασύμμετρα διπλά προβλήματα. 
Πρόβλημα διπλού γραμμικού προγραμματισμού. Σκεφτείτε το πρόβλημα LP 
(1) ή, σε συμβολισμό πίνακα, (2) Το πρόβλημα διπλό έως (1) (διπλό πρόβλημα) ονομάζεται πρόβλημα LP σε μεταβλητές της μορφής
(3) ή, σε σημειογραφία μήτρας, (4) όπου . Οι κανόνες για την κατασκευή του προβλήματος (3) σύμφωνα με τη μορφή του προβλήματος γραφής (1) είναι οι εξής: στο πρόβλημα (3). Εάν τα διπλά προβλήματα (2), (4) είναι αποδεκτά, τότε και τα δύο έχουν λύση και την ίδια τιμή.
Συμμετρικά διπλά προβλήματα
Μια ποικιλία προβλημάτων διπλού γραμμικού προγραμματισμού είναι διπλά συμμετρικά προβλήματα, στα οποία το σύστημα περιορισμών τόσο του αρχικού όσο και του διπλού προβλημάτων καθορίζεται από ανισότητες και η συνθήκη της μη αρνητικότητας επιβάλλεται στις διπλές μεταβλητές.
Μεταβλητές Εργασίας
Ας φτιάξουμε ένα μοντέλο του προβλήματος.
Λύση
Πριν κατασκευάσουμε ένα μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος, ᴛ.ᴇ. γράψτε το χρησιμοποιώντας μαθηματικά σύμβολα, είναι εξαιρετικά σημαντικό να κατανοήσετε με σαφήνεια την οικονομική κατάσταση που περιγράφεται στη συνθήκη. Για αυτό, είναι εξαιρετικά σημαντικό από την άποψη της οικονομίας και όχι των μαθηματικών, απάντησε τις παρακάτω ερωτήσεις:
1) Ποιες είναι οι απαιτούμενες ποσότητες του προβλήματος;
2) Ποιος είναι ο σκοπός της απόφασης; Ποια παράμετρος του προβλήματος χρησιμεύει ως κριτήριο για την αποτελεσματικότητα (βελτιστοποίηση) της λύσης, για παράδειγμα, κέρδος, κόστος, χρόνος κ.λπ. Προς ποια κατεύθυνση πρέπει να αλλάξει η τιμή αυτής της παραμέτρου (προς μέγιστο ή προς το ελάχιστο) για να επιτευχθούν τα καλύτερα αποτελέσματα;
3) Ποιες προϋποθέσεις πρέπει να πληρούνται σχετικά με τις απαιτούμενες ποσότητες και πόρους της εργασίας;
Αυτές οι συνθήκες καθορίζουν τον τρόπο με τον οποίο διάφορες παράμετροι του προβλήματος πρέπει να σχετίζονται μεταξύ τους, για παράδειγμα, το ποσό των πόρων που δαπανώνται στην παραγωγή και το απόθεμά του στην αποθήκη. την ποσότητα των παραγόμενων προϊόντων και τη χωρητικότητα της αποθήκης όπου θα αποθηκευτούν· την ποσότητα των παραγόμενων προϊόντων και τη ζήτηση της αγοράς για αυτά τα προϊόντα κ.λπ.
Μόνο μετά την οικονομική απάντηση σε όλα αυτά τα ερωτήματα μπορούμε να αρχίσουμε να γράφουμε αυτές τις απαντήσεις σε μαθηματική μορφή, ᴛ.ᴇ. για την καταγραφή του μαθηματικού μοντέλου.
Το πρόβλημα απαιτεί να καθοριστεί πόση βαφή κάθε τύπου πρέπει να παραχθεί. Για το λόγο αυτό, οι απαιτούμενες ποσότητες, άρα και οι μεταβλητές του προβλήματος, είναι οι ημερήσιοι όγκοι παραγωγής κάθε τύπου βαφής:
x1 – ημερήσιος όγκος παραγωγής βαφής 1ου τύπου, [t χρώμα/ημέρα].
x2 – ημερήσιος όγκος παραγωγής βαφής 2ου τύπου, [t βαφή/ημέρα].
Η δήλωση προβλήματος δηλώνει τον στόχο της επίτευξης μέγιστου εισοδήματος από τις πωλήσεις προϊόντων. Εκείνοι. Το κριτήριο απόδοσης είναι η παράμετρος ημερήσιου εισοδήματος, η οποία θα πρέπει να τείνει στο μέγιστο. Για τον υπολογισμό του ποσού των ημερήσιων εσόδων από την πώληση χρωμάτων και των δύο τύπων, είναι εξαιρετικά σημαντικό να γνωρίζουμε τον όγκο παραγωγής χρωμάτων, ᴛ.ᴇ. x1 και x2 τόνους χρώματος την ημέρα, καθώς και τιμές χονδρικής για χρώματα 1ου και 2ου τύπου - σύμφωνα με τις συνθήκες, 3 και 2 χιλιάδες ρούβλια, αντίστοιχα. για 1 τόνο χρώματος. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, τα έσοδα από την πώληση του ημερήσιου όγκου παραγωγής βαφής 1ου τύπου είναι ίσα με 3 x 1 χιλιάδες ρούβλια. ανά ημέρα, και από την πώληση βαφής 2ου τύπου - 2x 2 χιλιάδες ρούβλια. ανά μέρα. Για το λόγο αυτό, γράφουμε την αντικειμενική συνάρτηση ως το άθροισμα των εσόδων από την πώληση χρωμάτων 1ου και 2ου τύπου (υποθέτοντας ανεξαρτησία των όγκων πωλήσεων κάθε χρώματος)
Αντικειμενική συνάρτηση - έννοια και τύποι. Ταξινόμηση και χαρακτηριστικά της κατηγορίας "Συνάρτηση στόχος" 2017, 2018.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ 1. Τι προκάλεσε την ανάγκη για εξωτερική οικονομική δραστηριότητα της επιχείρησης;
3. Τι είναι εμπόδιο στο... .
F(X) = 75X1 + 800/X1 + 78X2 + 1600/X2.
Η συνάρτηση είναι κυρτή εάν F"(x)>0 για οποιοδήποτε x. Ας ελέγξουμε: ; ; ; . Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι κυρτή επειδή "x>0.
Επομένως, η επιλογή του βέλτιστου αριθμού τρένων σε δύο τμήματα αποδεικνύεται ότι είναι ένα κυρτό πρόβλημα προγραμματισμού που μπορεί να λυθεί... . - Συνάρτηση στόχος της κατανάλωσης και μοντελοποίηση της καταναλωτικής συμπεριφοράς
Στις συνθήκες ενός συστήματος αγοράς για τη διαχείριση των δραστηριοτήτων παραγωγής και πωλήσεων επιχειρήσεων και επιχειρήσεων, η βάση για τη λήψη επιχειρηματικών αποφάσεων είναι οι πληροφορίες αγοράς και η εγκυρότητα των αποφάσεων επαληθεύεται από την αγορά κατά την πώληση αγαθών και υπηρεσιών. Με αυτή την προσέγγιση...
Η συνάρτηση στόχος πρέπει να εξαρτάται σημαντικά από εξωτερικές παραμέτρους ή μέρος αυτών. Διαφορετικά, η βελτιστοποίηση για αυτήν τη συνάρτηση στόχου δεν έχει νόημα. Η αντικειμενική συνάρτηση αντιπροσωπεύει ένα διάνυσμα σε Μ-διαστατικός χώρος εξωτερικών παραμέτρων του συστήματος
Συνήθως, η αντικειμενική συνάρτηση καθορίζεται σε βαθμωτή μορφή.
Χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες τέσσερις μορφές της αντικειμενικής συνάρτησης.
1. Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη συνάρτηση στόχος είναι μια εξωτερική παράμετρος
Σε αυτή την περίπτωση, η αντικειμενική συνάρτηση είναι απλώς ίση με μία από τις εξωτερικές παραμέτρους ή την αμοιβαία τιμή της
Αλλα ( Μ– 1) οι εξωτερικές παράμετροι μεταφράζονται σε ένα σύστημα περιορισμών.
Η φυσική έννοια της αντικειμενικής συνάρτησης των δεδομένων τύπων είναι ότι όσο μεγαλύτερη (ή μικρότερη) είναι η παράμετρος y Εγώ, όσο το καλύτερο, όταν τα άλλα πράγματα είναι ίσα, αυτό το σύστημα είναι, και η ισότητα άλλων συνθηκών νοείται με την έννοια των περιορισμών σε άλλες εξωτερικές παραμέτρους. Τυπικά προβλήματα με τη μειωμένη μορφή της αντικειμενικής συνάρτησης: βελτιστοποίηση του συστήματος για αξιοπιστία ( y = Π(t)), θόρυβος, κόστος και άλλες εξωτερικές παράμετροι. Μια τέτοια αντικειμενική συνάρτηση έχει σαφή φυσική (τεχνική ή οικονομική) σημασία, χαρακτηρίζει αντικειμενικά το σύστημα και επομένως χρησιμοποιείται συχνά. Δηλαδή, σε αυτή την περίπτωση, η συνάρτηση στόχος είναι μια εξωτερική παράμετρος του συστήματος. Αυτό ονομάζεται αντικειμενική λειτουργία του συστήματος. Αυτά μπορεί να είναι: ακρίβεια, ταχύτητα, χρόνος, κόστος, αξιοπιστία, βάρος, διαστάσεις, κάποιο είδος τεχνολογικού δείκτη κ.λπ.
2. Η δεύτερη μορφή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι το άθροισμα των παραμέτρων της ίδιας διάστασης ή το άθροισμα των συναρτήσεων αυτών των παραμέτρων
Αυτή η φόρμα είναι τυπική κατά τη βελτιστοποίηση σύμφωνα με οικονομικά κριτήρια, κριτήρια πολυπλοκότητας κ.λπ.
Για παράδειγμα, κατά την ελαχιστοποίηση του ετήσιου μειωμένου κόστους του συστήματος, η αντικειμενική συνάρτηση είναι το άθροισμα δύο εξωτερικών παραμέτρων: ετήσιο λειτουργικό κόστος και κόστος κεφαλαίου που σχετίζεται με την περίοδο απόσβεσης του συστήματος. Σε αυτή την περίπτωση, καθεμία από αυτές τις εξωτερικές παραμέτρους του συστήματος είναι μια σύνθετη συνάρτηση των εσωτερικών (να βρεθούν) παραμέτρων του.
Οι αντικειμενικές συναρτήσεις των προβλημάτων βελτιστοποίησης με βάση το κριτήριο πολυπλοκότητας έχουν επίσης τη δεύτερη μορφή, επειδή παρουσιάζονται ως το άθροισμα της πολυπλοκότητας μεμονωμένων υποσυστημάτων ή μπλοκ του συστήματος.
3. Η τρίτη μορφή της αντικειμενικής συνάρτησης - η κατάταξη μορφή - είναι ένα διατεταγμένο σύνολο αντικειμενικών συναρτήσεων της πρώτης μορφής με προτεραιότητες
Η πρώτη αντικειμενική συνάρτηση είναι η πιο σημαντική, η τελευταία αντικειμενική συνάρτηση είναι η λιγότερο σημαντική.
Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, η αντικειμενική συνάρτηση αυτού του τύπου γράφεται ως εξής:
Ένα παράδειγμα κατάταξης είναι (για παράδειγμα) η ακόλουθη σειρά αντικειμενικών συναρτήσεων: ακρίβεια, αξιοπιστία, κόστος. Η έννοια της αντικειμενικής συνάρτησης της τρίτης μορφής είναι η εξής. Το πιο σημαντικό πράγμα - ο πρώτος στη σειρά - αναγνωρίζεται ως μερικά Εγώ-παράμετρος συστήματος - y Εγώ(π.χ. ακρίβεια). Αν κάποιο σύστημα το έχει αυτό ΕγώΗ ου παράμετρος είναι μεγαλύτερη από αυτή όλων των άλλων συστημάτων, τότε ανεξάρτητα από τις τιμές των άλλων παραμέτρων (εφόσον πληρούν τους περιορισμούς), αυτό το σύστημα θεωρείται το καλύτερο. Στη συνέχεια σύμφωνα με τη δεύτερη παράμετρο κ.λπ.
Η διαδικασία βελτιστοποίησης σε αυτήν την περίπτωση, κατά κανόνα, είναι πολλαπλών βημάτων. Τέτοια βελτιστοποίηση εφαρμόζεται συχνά εν αγνοία τους σε τεχνικά συστήματα. Αρχικά επιλέγεται το σύστημα με την καλύτερη ακρίβεια, εάν πολλά συστήματα έχουν την ίδια ακρίβεια, επιλέγεται το πιο αξιόπιστο και μετά επιλέγεται το φθηνότερο. Σε κάθε βήμα βελτιστοποίησης, χρησιμοποιείται μόνο ένα κριτήριο, το οποίο δεν έρχεται σε αντίθεση με την έννοια της προσέγγισης συστημάτων (βελτιστοποίηση σύμφωνα με ένα μόνο κριτήριο, βλέπε παρακάτω).
4. Η τέταρτη - πιο γενική - μορφή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι μια αυθαίρετη εξάρτηση από το σύνολο ή μέρος (αλλά όχι λιγότερο από δύο) ετερογενών εξωτερικών παραμέτρων
Σε αυτήν την περίπτωση, οι ετερογενείς παράμετροι μετατρέπονται σε αδιάστατες (ή μονοδιάστατες) και η αντικειμενική συνάρτηση σχηματίζεται ως μια ορισμένη σύνθεση (για παράδειγμα, ο αριθμητικός μέσος όρος) των λαμβανόμενων αδιάστατων δεικτών.
Μια μοναδική αντικειμενική συνάρτηση της τέταρτης μορφής μπορεί να ληφθεί από τις αντικειμενικές συναρτήσεις της τρίτης μορφής πολλαπλασιάζοντάς τις με συντελεστές στάθμισης και επακόλουθη άθροιση:
Οπου κανονική μορφή μικρό (y Εγώ) - ένας από κσυναρτήσεις στόχου της τρίτης μορφής·
ω μικρό– ο συντελεστής βάρους του.
Ωστόσο, όπως υποδεικνύεται εκεί, ο προσδιορισμός των συντελεστών στάθμισης μεμονωμένων αντικειμενικών συναρτήσεων είναι πολύ δύσκολος.
Η ακραία τιμή της προκύπτουσας ποσότητας θα θεωρείται βέλτιστη.
Έτσι, μπορεί να υποδειχθεί ότι στις περισσότερες περιπτώσεις (1η και 3η μορφή) οι δείκτες ποιότητας του συστήματος εκτιμώνται από αριθμητικές τιμές των συνιστωσών της αντικειμενικής συνάρτησης διανύσματος, οι οποίες ονομάζονται λειτουργικά :
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Δεδομένου ότι τα συστήματα λειτουργούν υπό συνθήκες τυχαίων επιρροών, οι τιμές των συναρτήσεων συχνά αποδεικνύονται τυχαίες μεταβλητές. Αυτό δεν είναι βολικό όταν χρησιμοποιείτε λειτουργικότητα με τη μορφή δεικτών ποιότητας. Επομένως, σε τέτοιες περιπτώσεις, συνήθως χρησιμοποιούνται οι μέσες τιμές των αντίστοιχων λειτουργιών. Για παράδειγμα: ο μέσος αριθμός προϊόντων που παράγονται ανά βάρδια. μέσο κόστος παραγωγής κ.λπ.
Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι δείκτες ποιότητας αντιπροσωπεύουν τις πιθανότητες ορισμένων τυχαίων γεγονότων. Στην περίπτωση αυτή, ως αντικειμενική συνάρτηση επιλέγεται η πιθανότητα 
εκπλήρωση του καθορισμένου στόχου (εργασίας) από το σύστημα
Για παράδειγμα, η πιθανότητα ανίχνευσης στόχου από το ραντάρ κ.λπ.
