Основные свойства функции
Пределы и непрерывность
Множества
Под множеством понимается совокупность однородных объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами или точками этого множества. Множества обозначают прописными буквами, а их элементы – строчными. Если a является элементом множества A , то используется запись a ÎA . Если b не является элементом множества A , то это записывается так: b ÏA . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается так: Ø.
Если множество B состоит из части элементов множества A или совпадает с ним, то множество B называют подмножеством множества и обозначают B ÌA .
Два множества называют равными , если они состоят из одних и тех же элементов.
Объединением двух множеств A и B называется множество C , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств: C =A ÈB .
Пересечением двух множеств A и B называется множество C , состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств: C =A ÇB .
Разностью множеств A и B называется множество E A , которые не принадлежат множеству B : .
Дополнением множества A ÌB называется множество C , состоящее из всех элементов множества B , не принадлежащих A .
Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми :
При этом N ÌZ ÌQ ÌR , I ÌR и R =I ÈQ .
Множество X , элементы которого удовлетворяют неравенству называется отрезком (сегментом) и обозначается [a ; b ]; неравенству a <x <b – интервалом и обозначается () ; неравенствам и - полуинтервалами и обозначаются соответственно и . Также часто приходится иметь дело с бесконечными интервалами и полуинтервалами: , , , и . Все их удобно называть промежутками .
Интервал , т.е. множество точек удовлетворяющих неравенству (где ), называется -окрестностью точки a .
Понятие функции. Основные свойства функции
Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие единственный элемент y множества Y , то говорят, что на множестве X задана функция y =f (x ). При этом x называют независимой переменной или аргументом , а y – зависимой переменной или функцией , а f обозначает закон соответствия. Множество X называют областью определения функции, а множество Y – областью значений функции.
Существует несколько способов задания функций.
1) Аналитический способ – функция задается формулой вида y =f (x ).
2) Табличный способ – функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции y =f (x ).
3) Графический способ – изображение графика функции, т.е. множества точек (x ; y ) координатной плоскости, абсциссы которых представляют значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции y =f (x ).
4) Словесный способ – функция описывается правилом ее составления. Например, функция Дирихле принимает значение 1, если x – рациональное число и 0, если x – иррациональное число.
Выделяют следующие основные свойства функций.
1 Четность и нечетность Функция y =f (x ) называется четной , если для любых значений x из области ее определения выполняется f (–x )=f (x ), и нечетной , если f (–x )=–f (x ). Если не выполняется ни одно из перечисленных равенств, то y =f (x ) называется функцией общего вида . График четной функции симметричен относительно оси Oy , а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2 Монотонность Функция y =f (x ) называется возрастающей (убывающей ) на промежутке X , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Пусть x 1 ,x 2 ÎX , x 2 >x 1 . Тогда функция возрастает на промежутке X , если f (x 2)>f (x 1), и убывает, если f (x 2)<f (x 1).
Наряду с возрастающими и убывающими функциями рассматривают неубывающие и невозрастающие функции. Функция называется неубывающей (невозрастающей ), если при x 1 ,x 2 ÎX , x 2 >x 1 выполняется неравенство f (x 2)≥f (x 1) (f (x 2)≤f (x 1)).
Возрастающие и убывающие функции, а также невозрастающие и неубывающие функции называют монотонными.
3 Ограниченность Функция y =f (x ) называется ограниченной на промежутке X , если существует такое положительное число M >0, что |f (x )|≤M для любого x ÎX . В противном случае функция называется неограниченной на X .
4 Периодичность Функция y =f (x ) называется периодической с периодом T ≠0, если для любых x из области определения функции f (x +T )=f (x ). В дальнейшем под периодом будем понимать наименьший положительный период функции.
Функция называется явной , если она задана формулой вида y =f (x ). Если функция задана уравнением F (x , y )=0, не разрешенным относительно зависимой переменной y , то ее называют неявной .
Пусть y =f (x ) есть функция от независимой переменной , определенная на множестве X с областью значений Y . Поставим в соответствие каждому y ÎY единственное значение x ÎX , при котором f (x )=y .Тогда полученная функция x =φ (y ), определенная на множестве Y с областью значений X , называется обратной и обозначается y =f –1 (x ). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей .
Пусть функция y =f (u ) есть функция переменной u , определенной на множестве U с областью значений Y , а переменная u в свою очередь является функцией u =φ (x ), определенной на множестве X с областью значений U . Тогда заданная на множестве X функция y =f (φ (x )) называется сложной функцией (композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).
Элементарные функции
К основным элементарным функциям относят:
- степенную функцию y =x n ; y =x – n и y =x 1/ n ;
- показательную функцию y =a x ;
- логарифмическую функцию y =log a x ;
- тригонометрические функции y =sin x , y =cos x , y =tg x и y =ctg x ;
- обратные тригонометрические функции y = arcsin x , y =arccos x , y =arctg x и y =arcctg x .
Из основных элементарных функций новые функции могут быть получены при помощи алгебраических действий и суперпозицией функций.
Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций суперпозиции, называются элементарными .
Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:
· целая рациональная функция (многочлен или полином)
· дробно-рациональная функция (отношение двух многочленов)
· иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).
Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной . К числу трансцендентных функций относятся показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.
Способы заданий функций
Функция считается заданной, если известна область определения и указано правило, по которому для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Такое правило можно указать различными способами. Наиболее распространенные:
1. Аналитический. В этом способе зависимость между переменными х и у выражается в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по заданному значению аргумента найти значение функции.
Например. y = 2x, или y = x 2 и т.д. заданы именно аналитически.
Чем хорош аналитический способ задания функции? Тем, что если у вас есть формула - вы знаете про функцию всё! Вы можете составить таблицу. Построить график. Исследовать эту функцию по полной программе. Точно предсказать, где и как будет вести себя эта функция. Весь матанализ стоит именно на таком способе задания функций.
2. Табличный способ. Заключается в том, что значения аргумента и функции записаны в виде таблицы.
X | - 3 | - 1 | ||||
Y | - 6 | - 2 |
Используются таблицы социологических опросов, экспериментальных измерений, таблицы бухгалтерской отчетности, логарифмические таблицы, тригонометрических функций и т.д.
На табличном способе задания функции основаны реляционные базы данных.
3. Графический способ . Заключается в задании соответствия между х и у при помощи графика.
По оси абсцисс откладывается аргумент (х), а по оси ординат - значение функции (у). По графику можно выбрать любой х и найти соответствующее ему значение у .
Эта кривая – и есть закон, по которому можно перевести икс в игрек.
Графический способ хорош своей наглядностью. Сразу видно, как ведёт себя функция. График функции позволяет не только с его помощью находить значения функции, но и видеть многие её свойства: в каких точках функция обращается в нуль, на каких промежутках она принимает отрицательные или положительные значения, где она возрастает или убывает и др. А уж в теме с производной, задания с графиками - сплошь и рядом! Недостаток – ограниченная точность значений/
Вообще, аналитический и графический способы задания функции идут рука об руку. Работа с формулой помогает построить график. А график частенько подсказывает решения, которые в формуле и не заметишь.
4. Словесный способ . Функция описывается правилом ее составления с помощью естественного языка.
Например: «Каждому отрицательному числу соответствует -1, нулю – число 0, а каждому положительному – число 1».
Обычно эту функцию обозначают так: Y=sign X (читают: «Игрек равен сигнум Х»). Латинское слово signum переводится как «знак» и указывает знак числа. Эту функцию можно задать так:
1, если Х<0
Y= 0, если Х=0
1, если Х>0
Основные свойства функции
6.1. Монотонность (возрастание, убывание на интервале)
Функция у = f (x) называется возрастающей на некотором интервале, если для любых х из этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. при х 1 < x 2 , имеет место неравенство
f (x 1) < f (x 2).
Функция y=f (x) называется убывающей на некотором интервале, если для любых х из этого интервала большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. при х 1 < x 2 , имеет место неравенство
f (x 1) > f (x 2).
Если же при любых значениях х взятых из некоторого промежутка и удовлетворяющих условию х 1 < x 2 вытекает нестрогое неравенство f (x 1) £ f (x 2) илиf (x 1) ³ f (x 2) , то функция называется неубывающей (невозрастающей).
Функции только убывающие или только возрастающие называют монотонными .
6.2. Четность и нечетность функции
Функцию у = f (x), х є Х, называют четной , если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х) , т.е. при изменении знака аргумента значение функции не изменяется.
Функцию у = f (x), х є X, называют нечетной , если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = - f (х) , т.е. при изменении знака аргумента меняется только знак функции.
Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х).
Алгоритм исследования функции у = f(х) на четность
1. Найти f (-х).
3. Сравнить f (x) = f (-x)
а) если f(-х) = f(х), то функция – четная,
б) если f(-х) = -f(х), то функция – нечетная;
в) если хотя бы в одной точке х є Х выполняется соотношение f(-х) = f(х) и хотя бы в одной точке х є X выполняется соотношение f(-х) = -f(х), то функция не является ни четной, ни нечетной.
6.3. Периодичность
Функция f (x) называется периодической, если существует такое число l ¹0 (называемое периодом), что в каждой точке области определения функции выполняется условие f (x+l) = f (x) .
Например, функции у= sin x, y=tg x являются периодическими с периодами p и 2p: sin (x+2p)=sin x; tg (x+p)=tg (x).
6.4. Ограниченность
Функция у= f (x) называется ограниченной, если ее область значений ограничена, т.е. все ее значения лежат на некотором конечном промежутке.
Функция у= f (x) называется ограниченной на всей области определения D(f), если существует такое число М > 0, такое что ½f (x)½£ М для любого хÎХ.
Пример, у=cos x является ограниченной, так как ½cos x½£ 1 для любого хÎR.
Классификация функций
7.1. Основные элементарные функции:
а) Линейная функция у=kx+b. Графиком линейной функции является прямая.
б) Степенная функция у=х 2 . Например, при n=2 получим квадратичную функцию, графиком которой является парабола. При n=3 – кубическая парабола.
в) Показательная функция у=а х, где а – данное положительное число не равное единице, х – переменная величина, которая может принимать любые действительные значения. г) Логарифмическая функция у=log a x (а>0, а¹1). Является обратной по отношению к показательной функции, так как если у=log a x, то х=а у.
д) Тригонометрические функции: у=cos x, y=sin x, y=tg x, y=ctg x.
е) Обратные тригонометрические функции: y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg, y=arcctg.
Таким образом, элементарными называются функции , которые получаются из основных функций с помощью четырех арифметических действий и суперпозиций (формирование сложных функций), примененных конечное число раз.
7.2. Рациональные функции.
а) Целая рациональная функция (многочлен) – такая функция, над значениями аргумента х которой и некоторыми постоянными числами выполняются операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведение в степень. Пример целой рациональной функции: .
б) Дробно-рациональная функция – представлена в виде частного от деления двух целых рациональных функций. Пример дробно-рациональной функции: .
7.3. Иррациональные функции – алгебраические функции, содержащие аргумент под знаком радикала (корня).
Примером может являться функция .
7.4. Сложная функция. Сложная функция - это функция от функции. Если u - функция от x, то есть u=u(x), а f - функция от u: f=f(u), то функция y=f(u) - сложная. Пример, у=sin 2 x – сложная функция, ее можно представить так y=u 2 , где u=sin x.
Русская гимназия
КОНСПЕКТ
Выполнил
ученик 10“Ф” класса Бурмистров Сергей
Руководитель
учитель Математики
Юлина О.А.
Нижний Новгород
Функция и её свойства
Функция- зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у .
Переменная х- независимая переменная или аргумент.
Переменная у- зависимая переменная
Значение функции- значение у , соответствующее заданному значению х .
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.
Функция является четной- если для любого х f(x)=f(-x)
Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Возрастающая функция-
если для любых х 1
и х 2
,
таких, что х 1
<
х 2
, выполняется неравенство f(
х 1
)
Убывающая функция- если для любых х 1 и х 2 , таких, что х 1 < х 2 , выполняется неравенство f( х 1 )>f( х 2 )
Способы задания функции
¨ Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у =f(x) , где f(x)- íåêîòîðîå âыðàæåíèå с переменной х . В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
¨ На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.
Виды функций и их свойства
1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у= b , где b- некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат
2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у= kx , где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности .
Cвойства функции y=kx :
1. Область определения функции- множество всех действительных чисел
2. y=kx - нечетная функция
3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b , где k иb - действительные числа. Если в частности, k=0 , то получаем постоянную функцию y=b ; если b=0 , то получаем прямую пропорциональность y=kx .
Свойства функции y=kx+b :
1. Область определения- множество всех действительных чисел
2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.
3. При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
Графиком функции является прямая .
4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k /х, где k¹0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Свойства функции y=k / x:
1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля
2. y=k / x - нечетная функция
3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).
Графиком функции является гипербола .
5)Функция y=x 2
Свойства функции y=x 2:
2. y=x 2 - четная функция
3. На промежутке функция убывает
Графиком функции является парабола .
6)Функция y=x 3
Свойства функции y=x 3:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x 3 - нечетная функция
3. Функция возрастает на всей числовой прямой
Графиком функции является кубическая парабола
7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=x n , где n - натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x 2 ; y=x 3 . Их свойства рассмотрены выше.
Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 2 . График функции напоминает параболу y=x 2 , только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.
Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 3 . График функции напоминает кубическую параболу.
8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x -n , где n - натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.
Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x -n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.
Пусть n- четное число, например n=2.
Свойства функции y=x -2 :
1. Функция определена при всех x¹0
2. y=x -2 - четная функция
3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).
Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.
9)Функция y= Ö х
Свойства функции y= Ö х :
1. Область определения - луч }